高中数学必修1第一章 集合与简易逻辑

第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组 确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写
字母来表示；集合中的各个对象称为元素 ，用小写字母来表示，元素
x
在集合A中，称
x
属
于A，记为
x?A
，否则称
x
不属于A，记作
x?A
。例如，通常用N，Z， Q，B，Q
+
分别表示
自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何 元素的集合称为空集，用
?
来
表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表 示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表
示集合的方法，如{1，2 ，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，
{x x?0}
分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B中的元
素，则A叫做B的子集，记为
A?B
，例如
N?Z
。规定空集是任何集合的子集，如果A是
B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等 。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属
于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，
A?B?{xx?A且x?B}.

定义4 并集，
A?B?{xx?A或x?B}.

定义5 补集，若
A?I,则C
1
A?{xx?I,且x?A}
称为A在I中的补集。
定义6 差集，
AB?{xx?A,且x?B}
。
定义7 集合
{xa?x?b,x?R,a?b}
记作开区间
(a,b)
，集合 {xa?x?b,x?R,a?b}
记作闭区间
[a,b]
，R记作
(? ?,??).

定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
（1）
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);
（2）
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
；
（3）
C
1< br>A?C
1
B?C
1
(A?B);
（4）
C
1
A?C
1
B?C
1
(A?B).

【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若
x?A?(B? C)
，则
x?A
，且
x?B
或
x?C
，所以
x?(A?B)
或
x?(A?C)
，即
x?(A?B)?(A?C)
；反之，
x?(A?B)?(A?C)
，则
x?(A?B)
或
x? (A?C)
，即
x?A
且

x?B
或
x?C
，即
x?A
且
x?(B?C)
，即
x?A?(B? C).

（3）若
x?C
1
A?C
1
B
， 则
x?C
1
A
或
x?C
1
B
，所以
x?A
或
x?B
，所以
x?(A?B)
，
又
x? I
，所以
x?C
1
(A?B)
，即
C
1
A ?C
1
B?C
1
(A?B)
，反之也有
C
1
(A?B)?C
1
A?C
1
B.

定理2 加法原理： 做一件事有
n
类办法，第一类办法中有
m
1
种不同的方法，第二类办
法中有
m
2
种不同的方法，…，第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事一共有
N?m
1
?m
2< br>???m
n
种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分
n个步骤，第一步有
m
1
种不同的方法，第二步有
m
2
种 不
同的方法，…，第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这 件事一共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设
M?{aa?x
2
?y
2
,x,y?Z}
，求证：
（1）
2k?1?M,(k?Z)
；
（2）
4k?2?M,(k?Z)
；
（3）若
p?M,q?M
，则
pq?M.

[证明]（1） 因为
k,k?1?Z
，且
2k?1?k
2
?(k?1)
2< br>，所以
2k?1?M.

（2）假设
4k?2?M(k?Z)
，则存在
x,y?Z
，使
4k?2?x
2
?y
2
， 由于
x?y
和
x?y
有
相同的奇偶性，所以
x
2< br>?y
2
?(x?y)(x?y)
是奇数或4的倍数，不可能等于
4k? 2
，假设不
成立，所以
4k?2?M.

（3）设
p?x< br>2
?y
2
,q?a
2
?b
2
,x,y,a, b?Z
，则
pq?(x
2
?y
2
)(a
2
?b
2
)

?a
2
a
2
?y
2< br>b
2
?x
2
b
2
?y
2
a
2
?(xa?yb)
2
?(xb?ya)
2
?M

（因为
xa?ya?Z,xb?ya?Z
）。
2．利用子集的定义证明集合 相等，先证
A?B
，再证
B?A
，则A=B。
例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足

。
A?M?B?M?A? B,A?B?M?A?B
，求集合M（用A，B表示）
【解】先证
(A?B)?M，若
x?(A?B)
，因为
A?M?A?B
，所以
x?A?M, x?M
，
所以
(A?B)?M
；
再证
M?(A?B)< br>，若
x?M
，则
x?A?B?M?A?B.
1）若
x?A，则
x?A?M?A?B
；
2）若
x?B
，则
x?B? M?A?B
。所以
M?(A?B).

综上，
M?A?B.

3．分类讨论思想的应用。
例3
A?{xx
2
?3x?2?0 },B?{xx
2
?ax?a?1?0},C?{xx
2
?mx?2?0}< br>，若
A?B?A,A?C?C
，求
a,m.

【解】依题设，
A?{1,2}
，再由
x
2
?ax?a?1?0
解得
x?a?1
或
x?1
，
因为
A?B?A
，所以
B?A
，所以
a?1?A
，所以
a?1?1
或2，所以
a? 2
或3。
因为
A?C?C
，所以
C?A
，若
C? ?
，则
??m
2
?8?0
，即
?22?m?22
， 若
C??
，
则
1?C
或
2?C
，解得
m? 3.

综上所述，
a?2
或
a?3
；
m?3
或
?22?m?22
。
4．计数原理的应用。
例4 集合A，B，C 是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若
A?B?I
，
求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。
【解】（1）集合I可划分为三个 不相交的子集；AB，BA，
A?B,I
中的每个元素恰属于
其中一个子集，10个元 素共有3
10
种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集
合对有3
10
个。
（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步， 第一步，
1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，< br>由乘法原理，子集共有
2
10
?1024
个，非空真子集有1022个 。
5．配对方法。
例5 给定集合
I?{1,2,3,?,n}
的
k
个子集：
A
1
,A
2
,?,A
k
，满 足任何两个子集的交集非空，

并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求
k
的值。
【解】 将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得
2
n?1
对，每一对不能同
在这
k
个子集中，因此，
k?2
n?1
；其次，每一对中必 有一个在这
k
个子集中出现，否则，若
有一对子集未出现，设为C
1
A与A，并设
A?A
1
??
，则
A
1
?C
1
A
，从而可以在
k
个子集中
再添加
C
1
A
，与已知矛盾，所以
k?2
n?1
。综上，
k?2
n?1
。
6．竞赛常用方法与例问题。
定理4 容斥原理；用
A
表示集合A的元素个数，则
A?B?A?B?A?B,
A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C
，
需要
xy此结 论可以推广
到
n
个集合的情况，即
?
?
A
i?1< br>n
i
?
?
A
i
?
?
A
i< br>?A
j
?
i?1i?j
n
1?i?j?k?n
?A
i
?A
j
?A
k
???(?1)
n?1?
n
A
i
.

i?1
定义8 集合的划分： 若
A
1
?A
2
???A
n
?I
，且
A
i
?A
j
??(1?i,j?n,i?j)
，则这些
子 集的全集叫I的一个
n
-划分。
定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理：将
mn?1
个元素放入
n(n?1)
个抽屉，必有一个抽屉放有不少于
m?1
个元素， 也必有一个抽屉放有不多于
m
个元素；将无穷多个元素放入
n
个抽屉必有一个 抽屉
放有无穷多个元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】 记
I?{1,2, 3,?,100},A?{x1?x?100,且x能被2整除（记为2x）}
，
B?{x1? x?100,3x},C?{x1?x?100,5x}
，由容斥原理，
?
100??
100
?
A?B?C?A?B?C?A?B?B?C?C?A?A?B?C?
?
?
?
?
??
?
2
??
3
?
?
100
??
100
??
100
??
100
??
100
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?74
，所以不能被2，3，5整除的数有
I?A?B?C? 26
??????
56101530
??????????
个。
例7 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？

【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图 所示。由题目条件可知每相邻两个数至多
有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其 中一组只有一个数，若S含有
这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多 含有其中5个数。
又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个 元素，另一方面，当
S?{rr?11k?t,t?1,2,4,7,10,r?2004,k?N}< br>时，恰有
S?912
，且S满足题目条件，所以最
少含有912个元素。
例8 求所有自然数
n(n?2)
，使得存在实数
a
1
,a
2
,?,a
n
满足：
n(n?1)
}.

2
{a
i
?a
j
}1?i?j?n}?{1,2,?,
【 解】 当
n?2
时，
a
1
?0,a
2
?1
；当
n?3
时，
a
1
?0,a
2
?1,a
3
?3
；当
n?4
时，
a
1
?0,a
2
?2,a
3
?5,a
4
?1
。下证当
n?5时，不存在
a
1
,a
2
,?,a
n
满足条件。
令
0?a
1
?a
2
???a
n
，则
a
n
?
n(n?1)
.

2
所以必存在某两个下 标
i?j
，使得
a
i
?a
j
?a
n
?1
，所以
a
n
?1?a
n?1
?a
1
?a
n?1
或
a
n
?1?a
n
?a
2，即
a
2
?1
，所以
a
n
?
n(n? 1)n(n?1)
，
a
2
?1
。
,a
n?1?a
n
?1
或
a
n
?
22
（ⅰ）若< br>a
n
?
n(n?1)
,a
n?1
?a
n?1
，考虑
a
n
?2
，有
a
n
?2? a
n?2
或
a
n
?2?a
n
?a
2
，即
2
a
2
?2
，设
a
n?2
?an
?2
，则
a
n?1
?a
n?2
?a
n
?a
n?1
，导致矛盾，故只有
a
2
?2.
< br>考虑
a
n
?3
，有
a
n
?3?a
n ?2
或
a
n
?3?a
n
?a
3
，即
a
3
?3
，设
a
n
?3?a
n?2
，则
a
n?1
?a
n?2
?2?a
2
?a
0< br>，推出矛盾，设
a
3
?3
，则
a
n
?an?1
?1?a
3
?a
2
，又推出矛盾， 所以
an?2
?a
2
,n?4
故当
n?5
时，不存在满足条件 的实数。
（ⅱ）若
a
n
?
n(n?1)
,a
2< br>?1
，考虑
a
n
?2
，有
a
n
?2 ?a
n?1
或
a
n
?2?a
n
?a
3，即
a
3
?2
，
2
这时
a
3
?a
2
?a
2
?a
1
，推出矛盾，故
a
n ?1
?a
n
?2
。考虑
a
n
?3
，有a
n
?3?a
n?2
或
a
n
?3?a
n
?a
3
，即
a
3
=3，于是
a
3
?a
2
?a
n
?a
n?1
，矛盾。因此
a
n?2
?a
n
?3
，所以
a
n?1
?a
n?2
?1?a
2
?a
1
，这又矛盾，所以只有
a
n?2
?a
2
，所以
n?4
。故当
n?5
时，不存 在满
足条件的实数。
例9 设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，…… ，n}，在A中取三个数，B中取两
个数组成五个元素的集合
A
i
，
i?1,2,?,20,A
i
?A
j
?2,1?i?j?20.
求< br>n
的最小值。

【解】
n
min
?16.

设B中每个数在所有
A
i中最多重复出现
k
次，则必有
k?4
。若不然，数
m
出 现
k
次
（
k?4
），则
3k?12.
在
m
出现的所有
A
i
中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，
就有集合{1，
a
1
,a
2
,m,b
1
}
{1,a
3
,a
4
,m,b
2
},{1,a
5,a
6
,m,b
3
}
，其中
a
i
?A ,1?i?6
，为满足题意
的集合。
a
i
必各不相同，但只能是2， 3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
k?4.

20个
A
i< br>中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以
n?16
。当
n?16
时，如
下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。
例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成
n
个互不相交的三元集合
{x,y,z}
，其中
x?y ?3z
，
求满足条件的最小正整数
n.

【解】 设其中第
i
个三元集为
{x
i
,y,z
i
},i?1,2,?,n,
则1+2+…+
3n?
?
4z
i
,

i? 1
n
3n(3n?1)
?4
?
z
i
。当
n
为偶数时，有
83n
，所以
n?8
，当
n
为奇数时 ，有
83n?1
，所以
2
i?1
n
所以
n?5，当
n?5
时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，1 2，7}，{10，14，
8}满足条件，所以
n
的最小值为5。