高中数学典型例题解析(第一章集合与常用逻辑用语)

第一章 集合与常用逻辑用语

§1.1 集合的概念与运算
一、知识导学

1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.
2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
3.子集：如果集合A的任意 一个元素都是集合B的元素（若
a?A
则
a?B
），则称

集合A为集合B的子集，记为A
?
B或B
?
A；如果A
?
B ，并且A
?
B，这时集合A称为
集合B的真子集，记为AB或BA.
4. 集合的相等：如果集合A、B同时满足A
?
B、B
?
A，则A=B. 5.补集：设A
?
S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记
为
C
s
A
.
6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常
记作U.
7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，
记作A
?
B.
8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并
集，记作A
?
B.
9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作
?
.
10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.
11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.
13.常用数集的 记法：自然数集记作N，正整数集记作N
+
或N，整数集记作Z，有理数
集记作Q，实 数集记作R.
二、疑难知识导析
1.符号
?
，，
?
，， =，表示集合与集合之间的关系，其中“
?
”包括“”和“=”
*
两种情况， 同样“
?
”包括“”和“=”两种情况.符号
?
，
?
表示元 素与集合之间的关系.
要注意两类不同符号的区别.
2.在判断给定对象能否构成集合时， 特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，
要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
4.对由条件给出的集合要明白 它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表
示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还 是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思
维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示 ，容易被忽视，如在关系式
中，
B
=
?
易漏掉的情况.
5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数
形结合法解之.
6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.

7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出
来.
8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.
9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：
2
，所有真子集个数为：
2
-1
三、经典例题导讲
2
[例1] 已知集合M={
y
|
y
=
x
＋1,x∈R},N={y|
y
=
x
＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}
C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
nn
?
y?x
2
?1
?
x? 0
?
x?1
错解：求M∩N及解方程组
?
得
?
或
?
∴选B
?
y?1
?
y?x?1
?y?2
错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素
是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(
x,y
)，因此M、N是数集而不是点集,
2
M、N分别表示函数
y
=
x
＋1(x∈R)，
y
=
x
＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
2
正解：M={
y
|
y
=
x
＋1,x∈R}={
y< br>|
y
≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩ N={
y
|
y
≥1}∩{y|(y∈R)}={
y
|
y
≥1}, ∴应选D．
22
注：集合是由元素构成的，认识 集合要从认识元素开始，要注意区分{
x
|
y
=
x
＋1}、 {
y
|
y
=
x
2
＋1,
x
∈R} 、{(
x
,
y
)|
y
=
x
＋1,
x
∈R}，这三个集合是不同的．
[
例2] 已知A={
x
|
x
－
3x
＋2=0},B={
x
|
ax
－2=0 }且A∪B=A，求实数
a
组成的集合C．
2
错解：由
x
－3
x
＋2=0得
x
=1或2．
当
x
=1时，
a
=2， 当
x
=2时，a=1．
错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.
当
a
=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
2
正解：∵A∪B=A ∴BA 又A={
x
|
x
－
3x
＋2=0}={1，2}
2
1或
?
2
?
∴C={0，1，2}∴B=或
??
[例3]已知
m
?
A,
n
?
B, 且集合A =
?
x|x?2a,a?Z
?
，B=
?
x|x?2a?1, a?Z
?
，又
C=
?
x|x?4a?1,a?Z
?
，则有： （ ）
A．
m
+
n
?
A B.
m
+
n
?
B C.
m
+
n
?
C D.
m
+
n
不属于A，B，C中任意一个
错解：∵
m
?
A，∴
m
=2
a
,
a
?Z
,同理
n
=2
a
+1,
a
?
Z, ∴
m
+
n
=4
a
+1,故选C
错因是上述解法缩小了
m
+
n
的取值范围.
正解：∵
m
?
A, ∴设
m
=2
a
1,
a
1
?
Z,

又∵
n
?B< br>,∴
n
=2
a
2
+1,
a
2
? Z ,
∴
m
+
n
=2(
a
1
+< br>a
2
)+1,而
a
1
+
a
2
? Z , ∴
m
+n
?
B, 故选B.
[例4］ 已知集合 A={x|x－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B
数p的取值范围．
2
错解：由x－3x－10≤0得－2≤x≤5．
2
A，求实

欲使BA，只须
?
?
?2?p?1
??3?p?3

?
2p?1?5
∴ p的取值范围是－3≤p≤3.
错因：上述解答忽略了空集是任何集合的子集这一结论，即B=时，符合题设．
正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3.
∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.
由①、②得：p≤3.

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B等集合问题易忽视空集
的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
2
[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac}．若A=B，求c的值．
分析：要 解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合
元素完全相同及集合中元素 的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
22
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac，消去b得：a＋ac－2ac=0，
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
2
∴c－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
22
（2）若a＋b=ac且a＋2b=ac，消去b得：2ac－ac－a=0，
2
∵a≠0，∴2c－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－
1
．
2
1
?
A，
a?1
且1?A.
1?a
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则
⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.
⑵A能否为单元素集合？请说明理由.
⑶若a∈A，证明：1－
1
∈A.
a
⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.
1
∈A ? 2∈A
2
1
∴ A中至少还有两个元素：－1和
2
1
⑵如果A为单元素集合，则a＝
1?a
解：⑴2∈A ? －1∈A ?
2
即
a?a?1
＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集
⑶a∈A ?
1
∈A ?
1?a
1
1?
1
1?a
∈ A?
1?a
?
1
A，即1－∈A
a
1?a?1

1111
∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.
aa
1?a1?a
11
①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠
1?a1?a
11
2
②若a=1－，即a-a+1=0，方程无解∴a≠1－
aa
1111
③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.
a
1?a
a
1?a
综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.

⑷由⑶知a∈A时，
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
[例7] 设集合A={
a
|
a
=
n
2
? 1
,
n
∈N}，集合B={
b
|
b
=
k< br>2
?4k?5
,
k
∈N}，试证：
++
AB．
证明：任设
a
∈A，
则
a
=
n
2
?1
=(
n
＋2)－4(
n
＋2)＋5 (
n
∈N),
2+
∵ n∈N*，∴ n＋2∈N*
∴ a∈B故 ①
显然，1
?A?a|a?n
2
?1,n?N
*
，而由 2
B={
b
|
b
=
k?4k?5
,
k
∈N}={
b
|
b
=
(k?2)
2
?1< br>，
k
∈N}知1∈B，于是A≠B
++
??
②
由①、② 得AB．
点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．
（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．
四、典型习题导练
22
1．集合A={x|x－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x－x－6＞0， x∈ Z}，则A∩B的非空真
子集的个数为（ ）
A．16 B．14 C．15 D．32
2
2．数集{1，2，x－3}中的x不能取的数值的集合是（ ）
A．{2，-2 } B．{－2，－
5
} C．{±2，±
5
} D．{
5
，
－
5
}
3. 若P={y|y=x,x∈R}，Q={y|y=x＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P B．Q C． D．不知道
22
4. 若P={y|y=x,x∈R}，Q={(x，y)|y=x,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P
5．若集合M＝｛
x|
Q
22
1
?1
｝，N＝{
x
|
x
2
≤
x
}，则M
?
N＝ （ ）
x
A．
{x|?1?x?1}
B．
{x|0?x?1}

C．
{x|?1?x?0}
D．
?

6.已知集合A={x|x＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R= ，则实数m的取值范围是_________．
7.设
a?R
，函数
2＋< br>f(x)?ax
2
?2x?2a.
若
f(x)?0
的解集为< br>A
，
B?
?
x|1?x?3
?
,AB?
?< br>，求实数
a
的取值范围。

8.已知集合A=
x|x
2
?ax?12b?0
和B=
x|x
2
?ax?b?0
满足
??
??
C
I
A∩B=
?
2
?
， A∩
C
I
B=
?
4
?
，I=R，求实数a,b的值 .
§1.2．常用逻辑用语
一、知识导学
1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“
?
”“
?
”“
?
”表示.
2．命题：能够判断真假的陈述句．
3．简单命题：不含逻辑联结词的命题
4． 复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；
非p
5．四种命题的构成：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆
否命题：若q 则p.
6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ” .
7．反 证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，
即“若p则q”为 真 .
8．充分条件与必要条件 ：
①pq ：p是q的充分条件；q是p的必要条件；
②pq ：p是q的充要条件 .
9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”
等；并用符号“
?
” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.
10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、
“对某个”； 并用符号“
?
”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.

二、疑难知识导析
1．基本题型及其方法
（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；
（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；
（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别
是互为逆 否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.
（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；
方法：利用定义
（5）证明
p
的充要条件是
q
；
方法：分别证明充分性和必要性
（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法 是通过证明命题的结论的反面不成立

而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.
注：常见关键词的否定：
关键词 是 都是（全是）
?
（
?
） 至少有一个 至多有一个 任意 存在
任意 否定 不是 不都是（全是）
?
（
?
） 一个也没有 至少有两个 存在
2．全称命题与特称命题的关系：
全称命题p:
?x?M,p(x)
,它的 否定
?p
:
?x?M,?p(x)
；特称命题p:
?x?M,p(x )
,
它的否定
?p
:
?x?M,?p(x)
；即全称命题的 否定是特称命题，特称命题的否定是全称命
题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.
三、经典例题导讲
[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命
题与逆否命题.
错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.
逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.
否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.
逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.
错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相
当于 求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的
例子作比较，注意结 合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.
正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.
逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.

[例2] 将下列命题改写成“ 若p则q”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随
x值的增加而增加.
错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.
错因： 如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值
增加，y的值也增 加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x
的值增加而增加，其否 命题为若a
?
o时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题
错解在注意 力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就
变成两个条件的命题， 但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.
正解：原命题改为： a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.
否命题为： a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.
原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加.
否命题为： 当x增加时，若a
?
o，则函数y=ax+b的值不增加.
[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足
a?b?2h
，命题乙为： 两个实数a、b
满足
a?1|?h
且
b?1|?h
，那么
A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
错解：
a?b?2h
?
(a?1)?( b?1)?2h?h?h
?
|a?1|?h
,
|b?1|?h

故本题应选C.

错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；
（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.
?
?
?h?a? 1?h
?
a?1?h
正解：因为
?
,
所以
?
,

?
?
?h?b?1?h
?
b? 1?h
两式相减得
?2h?a?b?2h

故
a?b?2h

即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.
?
?
a?2?h
由于
?

?
?
b?2?h
同理也可得
a?b?2h

因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.
[例4] 已知命题甲：a+b
?
4, 命题乙:a
?1
且b
?3
，则命题甲是命题乙的 .
错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙
的 充分不必要条件.
错因 ：对命题的否定不正确.a
?1
且b
?3
的否定是a=1或b=3.
正解：当a+b
?
4时,可选取a=1,b=5，故此时a
?1
且b
?3
不成立(
?
a=1).
同样，a
?1
,且b
?3
时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.
因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.
注：a
?1
且b
?3为真时，必须a
?1
,b
?3
同时成立.
[例5] 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q
成立的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
分析：本题考查简易逻辑知识.
因为p
?
r
?
s
?
q但r成立不能推出p成立，所以
p?q
,但q成立不能推出p成立，所
以 选A
解：选A
[例6] 已知关于
x
的一元二次方程 (m∈Z)
222
①
mx
－4
x
＋4＝0 ②
x
－4
mx
＋4
m
－4
m
－5＝0
求方程①和②都有整数解的充要条件.
解：方程①有实根的充要条件是
??16? 4?4?m?0,
解得m
?
1.
22
方程②有实根的充要条件是< br>??16m?4(4m?4m?5)?0
，解得
m??
5
.

4
??
5
?m?1.而m?Z,
故
m
=－1或m
=0或
m
=1.
4
当
m
=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；
当 m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解
m
=1.反之，
m
=1①②都 有整数解.
∴①②都有整数解的充要条件是
m
=1.
[例7] 用反证法 证明：若
a
、
b
、
c
?R
，且
x?a2
?2b?1
，
y?b
2
?2c?1
，

z?c
2
?2a?1
，则
x
、
y
、
z
中至少有一个不小于0.
证明： 假设
x
、
y
、
z
均小于0，即：

x?a
2
?2b?1?0
----① ；

y?b
2
?2c?1?0
----② ；

z?c
2
?2a?1?0
----③；
①+②+③得
x?y?z?(a?1)
2
?(b?1)
2
?(c?1)
2
?0
，
这与
(a?1)
2
?(b?1)2
?(c?1)
2
?0
矛盾，
则假设不成立，
∴
x
、
y
、
z
中至少有一个不小于0.

[例8] 已知命题
p
:方程
x
＋
mx
＋1=0有两个不等 的负根；命题
q
:方程4
x
＋4(
m
－2)
x＋1
＝0无实根．若“
p
或
q
”为真，“
p
且
q
”为假，求
m
的取值范围．
分析：“
p
或q
”为真，则命题
p
、
q
至少有一个为真，“
p
且
q
”为假，则命题
p
、
q
至少
有一为假，因此 ，两命题
p
、
q
应一真一假，即命题
p
为真，命题
q
为假或命题
p
为假，命
题
q
为真.
22
?
??m
2
?4?0
解： 若方程
x
＋
mx
＋1=0有两不等的负根，则
?
解得
m
＞2，
?
m?0
2
即命题
p
：
m
＞2
2
若方程4
x
＋4(
m
－2)
x
＋1＝0无实根，
22
则Δ＝16(
m
－2)－16＝16(
m
－4
m
＋3)＜0
解得：1＜
m
＜3.即
q
：1＜
m
＜3.
因“
p
或
q
”为真，所以
p
、
q
至少有 一为真，
又“
p
且
q
”为假，所以命题
p
、q
至少有一为假，
因此，命题
p
、
q
应一真一假，即 命题
p
为真，命题
q
为假或命题
p
为假，命题
q< br>为真.
?
m?2
?
m?2
或
?
∴
?
< br>1?m?3
m?1或m?3
?
?
解得：
m
≥3或1＜
m
≤2.
四、典型习题导练
2
1．方程
mx?2x?1?0
至少有一个负根，则（ ）
A.
0?m?1
或
m?0
B.
0?m?1
C.
m?1
D.
m?1

2
2．“
x?3x?2?0
”是“
x?1
或
x?4
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．三个数
a,b,c
不全为0的充要条件是 （ ）

A.
a,b,c
都不是0.





B.
a,b,c
中至多一个是0.
D.
a,b,c
中至少一个不是0. C.
a,b,c
中只有一个是0.
4．由命题
p
:6是12的约 数，
q
:6是24的约数，构成的“
p
或
q
”形式的命题是 ：_ ___，
“
p
且
q
”形式的命题是__ _，“非
p
”形式的命题是__ _.
5．若
a,b?R
，试从
A.
ab?0
B.
a?b?0
C.
a
2
?b
2
?0
D.
ab?0
E.
a?b?0

F.
a
2
?b
2
?0
中，选出适合下列条件者，用代号填空：
（1）使
a,b
都为0的充分条件是 ；
（2）使
a,b
都不为0的充分条件是 ；
（3）使
a,b
中至少有一个为0的充要条件是 ；
（4）使
a,b
中至少有一个不为0的充要条件是 ．
6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．
（1）
p
: 梯形有一组对边平行；
q
：梯形有一组对边相等．
22
（2）
p
: 1是方程
x?4x?3?0
的解；
q
：3是方程
x?4x?3?0
的解．
22
（3）
p
: 不等式
x?2x?1?0
解集为R；
q
: 不等式
x?2x?2?1
解集为
22
．
7．命题：已知
a
、
b
为实数，若
x
＋
ax
＋
b
≤ 0 有非空解集，则
a
－ 4
b
≥0.写出该命题的逆
命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假． 8．用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z =4c(1
－d)，t=4d(1－a)，则x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1