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【精品】高中数学必修一 集合及集合的表示(提高)讲义 知识点讲解+练习(含答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 14:34
tags:高中数学集合

高中数学选修1-2测试题-2018年辽宁省高中数学竞赛6


集合及集合的表示(B层)
【学习目标】
1.了解集合的含义,会使用符号 “
?
”“
?
”表示元素与集合之间的关系.
2.能选择自然语言、 图象语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受
集合语言的意义和作用.
3.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如常用数集、解集和一些基
本图形的集合 等.
【要点梳理】
集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础 ,一方面,许多
重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其所反映的数学思想 ,在
越来越广泛的领域中得到应用.
要点一、集合的有关概念
1.集合理论创始人 康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些
东西,并且能判断一个给定的东西是 否属于这个总体.
2.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合 (set),也简称集.
3.关于集合的元素的特征
(1)确定性:设A是一个给定的集合 ,x是某一个具体对象,则x或者是A的元素,或者不
是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同
一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性:集合中的元素的次序无先后之分.如:由1,2,3 组成的集合,也可以写成由1,
3,2组成一个集合,它们都表示同一个集合.
4.元素与集合的关系:
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作a
?
A
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A,记作
a?A

5.集合的分类
(1)空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作:
?
.
(2)有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集.


6.常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集),记作N
正整数集,记作N
*
或N
+

整数集,记作Z
有理数集,记作Q
实数集,记作R
要点二、集合的表示方法
我们可以用 自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举
法和描述法来表示集合.
1. 自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法.如:大于等于2且小于等于8的偶数
构成的集合.
2. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内.如:{1,2,3,4,5},{x2
,3x+2,
5y
3
-x,x
2
+y
2},….
3.描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{ }内.具体方 法:在大括
号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后< br>写出这个集合中元素所具有的共同特征.
4.图示法:图示法主要包括Venn图、数轴上的区 间等.为了形象直观,我们常常画一条封闭
的曲线,用它的内部来表示一个集合,这种表示集合的方法称 为韦恩(Venn)图法. 如下
图,就表示集合
?
1,2,3,4
?
.
1,2,3,4
【典型例题】
类型一:集合的概念及元素的性质
例1 集合
A
由形如
m?3n(m?Z,n?Z)
的数构成的,判断
答案: 是
解析:由分母有理化得,
1
?A
.
2?3
1
?2?3
.由题中集合
A
可知
m?2,n?1,
均有
m?Z ,n?Z

2?3
1
是不是集合
A
中的元素?
2 ?3
?
2?3?A
,即


点评:(1)解答本题首先要理解?

?
的含义,然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构
成的,
11
能否化成此形式,进而去判断是不是集合
A
中的元素.(2)判断一个元素
2?32?3
是不是某个集合的元素,就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题 ,主
要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三:
【变式1】设
S={x|x=m+2n,m,n?Z}

(1)若a
?
Z,则是否有a
?
S?
(2)对S中任意两 个元素x
1
,x
2
,则x
1
+x
2
,x< br>1
·x
2
,是否属于集合S?
解:(1)若a
?
Z ,则有a
?
S,即n=0时,x
?
Z,∴a
?
S;
(2)
?
x
1
,x
2
?
S,则
x
1
=m
1
+2n
1
,x
2
=m
2
+2n
2
(m
1
,n
1
,m
2
,n2
?Z)

?x
1
?x
2
?(m
1< br>?m
2
)?2(n
1
?n
2
)?S(m
1< br>?m
2
?Z,n
1
?n
2
?Z)

x
1
?x
2
=(m
1
+2n
1
)?(m< br>2
+2n
2
)=m
1
m
2
+2n
1
n
2
+2(m
1
n
2
+m
2
n< br>1
)

∵m
1
,n
1
,m
2
,n
2
?
Z,∴m
1
m
2
+2n
1n
2
?
Z,m
1
n
2
+m
2
n
1
?
Z
∴x
1
·x
2
?
S.
类型二:元素与集合的关系
例2.用符号“
?
”或“
?
”填空.
32____{x| x?4};
(1)
23_____{x|x?11},  

,n?N
?
},   5___{x|x?n
2
?1,n?N
?
};
(2)
3___{x|x?n
2
?1

,___{y|y?x2
},  (?11),___{(x,y)|y?x
2
}.
(3)< br>(?11)
解析:给定一个对象a,它与一个给定的集合A之间的关系为
a?A
,或者
a?A
,二者必
居其一.解答这类问题的关键是:弄清a的结构,弄清A的特征 ,然后才能下结论.对于第(1)
题,可以通过使用计算器,比较各数值的大小,也可以先将各数值转化 成结构一致的数,再比
较大小;对于第(2)题,不妨分别令x=3,x=5,解方程;对于第(3)题 ,要明确各个集合的本质
属性.
,?23?{x|x?11};
(1)
Q23?12?11

Q32?18?16?4,?32?{x|x?4};


(2)令
3?n
2
?1
,则
n??2?N< br>?


?3?{x|x?n
2
?1,n?N
?
};
?5?{x|x?n
2
?1,n?N
?
};

5?n
2
?1
,则
n??2,其中2?N
?


(3) ∵(-1,1)是一个有序实数对,且符合关系y=x
2

,?{ y|y?x
2
},  (?11),?{(x,y)|y?x
2
}.

(?11)
点评:第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外,“见根号就平方” 也是一种常用的解
,n?N
?
}
这个“口袋”中是装了题思路和方法,应注意 把握.第(2)题关键是明确集合
{x|x?n
2
?1
些x呢?还是装了些n 呢?要特别注意描述法表示的集合,是由符号“|”左边的元素组成的,
符号“|”右边的部分表示x具 有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合
{y|y?x
2
}
这个“ 口
袋”是由y构成的,并且是由所有的大于或等于0的实数组成的;而集合
{(x,y)|y? x
2
}
是由
抛物线
y?x
2
上的所有点构成的,是 一个点集.
举一反三:
【变式1】 用符号“
?
”或“
?
”填空
1
(1)若
A=Z
,则
?

A
;-2
A
.
2
1
(2)若B?
?
x|2x
2
?x?1?0
?
,

?

B
;-2
B
.
2
答案:
(1)
?

?
(2)
?

?

类型三:集合中元素性质的应用
例3.设
S
是至少含有两个元素的集合,在
S
上定义了一个二元运算“*”(即对任意 的
a,b?S

对于有序元素对(a,b),在
S
中唯一确定的元素
a*b
与之对应),若对任意的
a,b?S
,有
a*(b*a)?b
,则对任意的
a,b?S
,下列等式中不恒成立的是( )
A.
(a*b)*a?a

B.
[a*(b*a)]*(a*b)?a

C.
b*(b*b)?b

D.
(a*b)*[b*(a*b)]?b


答案: A
解析:抓住本题的本质
(a*b)*a?b
恒成立.
a,b
只要为
S
中元素即可有
a*b?S
. B中由已知即为
b*(a*b)?a
符合已知条件形式.
C

a?b即可. D中
a*b
相当于已知中的
a
也正确.只有
A不一定正确.
点评:本题应紧紧抓住关系式
(a*b)*a?b
,即关系式中有三个数,其中有两个数相同 且
分别在两边,此时关系式等于中间的数,只要分析出这个特点即可解决.
举一反三: 【变式1】定义集合运算:
AeB?
?
z|z?xy(x?y),x?A,y?B
?
.设集合
A?
?
0,1
?

B?
?
2,3
?

则集合
AeB
的所有元素之和为
A. 0 B. 6 C. 12 D. 18
答案: D < br>?

A?
?
0,1
?
,B?
?
2, 3
?
时,解析:
AeB?
?
z|z?xy(x?y),x?A,y? B
?

AeB?
?
0,6,12
?

于 是
AeB
的所有元素之和为0+6+12=18.
点评:这类试题通过给出新的数学 概念或新的运算方法,在新的情境下完成某种推理证明
是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、 新公式、新运算和新法则等类型.
6
例4.
M={a?Z,|?N}
,则M=( )
5-a
A. {2,3} B. {1,2,3,4} C. {1,2,3,6} D. {-1,2,3,4}
答案:D
解析:集合中的元素满足是整数,且能够使
由a
?
Z,所以-1≤a≤4
当a=-1时,
当a=0时,
6
=1?N
符合题意;
5-(-1)
66
是自然数,所以
0??6

5-a5-a
66
=?N
不符合题意;
5-05
63
=?N
不符合题意; 当a=1时,
5?12
6
=2?N
符合题意; 当a=2时,
5?2


6
=3?N
符合题意;
5-3
6
当a=4时,
=6?N
符合题意.
5-4
当a=3时,
故a=-1,a=2,a=3,a=4为M中元素,即M={-1,2,3,4},选项 D正确.
■高清课程:集合的表示及运算 例1
例5. 设集合
A
={ x
?R
|
ax
2
?2x?1?0
},当集合
A为单元素集时,求实数
a
的值.
答案:0,1
解析:由集合
A
中只含有一个元素可得,方程ax
2
+2x+1=0有一解,由于本方程并没有注< br>明是一个二次方程,故也可以是一次方程,应分类讨论:
当a=0时,可得是一次方程,故满足题意.
当a≠0时,则为一个二次方程,所以有一根的 含义是该方程有两个相等的根,即为判别
式为0时的a的值,可求得为a=1.故a的取值为0,1.
例6.已知集合
A?
?
a?2,(a?1)
2
,a
2
?3a?3
?
,若
1?A
,求实数
a
的值及集合
A
.
答案:
a?0

A?
?
1,2,3
?

解析:(1)若
a?2?1,

a??1
.
所以
A?
?
1,0,1
?
,与集合中元素的互异性矛盾,则
a??1应舍去.
(2)若
(a?1)
2
?1
,则
a?0
a??2


a?0
时,
A?
?
2,1,3
?
满足题意;

a??2
时,
A?
?
0,1,1
?
,与集合中元素的互异性矛盾,则
a??2
应舍去.
(3)若
a
2
?3a?3?1
,则
a??1
a??2
,由上分析知
a??1

a??2
均应舍去.
综上,
a?0
,集合
A?
?
1,2,3
?
. < br>点评:本题中由于1和集合
A
中元素的对应关系不明确,故要分类讨论.此类问题在解答 时,
既要应用元素的确定性、互异性解题,又要利用它们检验解的正确与否,特别是互异性,最容
易忽视,必须在学习中引起足够的重视.
举一反三:
【变式1】已知集合
A?< br>?
a?2,a
2
?2
?

3?A
,求实数< br>a
的值


答案:
a??1

解析:当
a?2?1
,即
a??1
时,A?
?
1,3
?
,满 足题意;

a
2
?2?3,

a??1

a?1
时,A?
?
3,3
?
,与集合的概念矛盾,不满足题意舍去 ,
a??1
时, 由上面知,满足题意

a??1

例7.设
A
是实数集,且满足条件:若
a?A,a?1
,则
(1)若
2?A
,则
A
中必还有另外两个元素;
(2)集合
A
不可能是单元素集;
(3)集合
A
中至少有三个不同的元素.
1
?A
.
1?a
1
答案:(1)
?1,
(2)略 (3)略
2
解析:(1)若
2?A
,则
元素.
(2)若
A
为单元素集,则
a?

11
1
1
??A
, 故集合
A
中还含有
?1,
两个
??1?A
,于是
1 ?(?1)2
1?2
2
11
,即
a
2
?a?1?0
,此方程无实数解,
?
a?

?
a
1?a1?a< br>1
都为集合
A
的元素,则
A
不可能是单元素集.
1 ?a
11-a
111?a
(3)由已知
a?A??A???A
.现只 需证明
a、、
三个数互不相
1
1?a?a
1?a?a
1?< br>1?a
11

?a
2
?a?1?0,
方程无解,< br>?
a?
1?a1?a
1?a1?a
②若
a?
?a
2
?a?1?0
,方程无解,
?a?
?a?a
11 ?a11?a
③若,
??a
2
?a?1?0
,方程无解,
??
1?a?a1?a?a
①若
a?
故集合
A
中至少有三个 不同的元素.
点评:集合离不开元素,元素是集合的核心,所以解决有关集合中的探索性问题,可以先
等.
从元素入手,作为解题的切入点.
类型四:集合的表示方法
例8.试分别用列举法和描述法表示下列集合:


(1)方程
x
2
?3?0
的所有实数根组成的集合;
(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
?3}

?
1 6,17,18,19,20,21,22,23,24
?
。 答案:
{3,
解析:(1)设方程
x
2
?3?0
的实数根为x,并且满足条件
x< br>2
?3?0

因此,用描述法表示为
A?{x|x
2
?3?0,x?R}

?3
方程
x
2
?3?0
有两个实数根
3,
?3}
. 因 此,用列举法表示为
A?{3,
(2)设大于15小于25的整数为x,它满足条件
x ?Z
,且15因此,用描述法表示为
B?{x|15?x?25,x?Z}

大于15小于25的整数有16,17,18,19,20,21,22,23,24,
因此 ,用列举法表示为
B?
?
16,17,18,19,20,21,22,23,24< br>?
.
点评:(1)列举法表示集合,元素不重复、不计次序、不遗漏,且元素与元素之 间用“,”
隔开.
(2)列举法适合表示有限集,当集合中元素的个数较少时,用列举法表示 集合较为方便,
而且一目了然.
(3)用描述法表示集合时,要注意代表元素是什么,同时要注意代表元素所具有的性质.
举一反三:
【变式1】用列举法表示集合:
(1)A={x
?
R |(x-1)(x+2)(x
2
-1)(x
3
-8)=0}
(2)B={(x,y)|x+y=3, x
?
N, y
?
N}
(3)C={y|x+y=3,x
?
N, y
?
N}
?< br>?
y?x
?
??
(4)
D?
?
(x,y)< br>??

?
?
y??x
?
??
?
?< br>y?x
?
(5)
M?
?
x
??

y??x
?
?
?
(6)P={x|x(x-a)=0, a
?
R}
解析:本题是描述法与列举法的互化,一定要先观察描述法中代表元素是什么.


(1)A={1,-2,-1,2}
(2)B={(0,3),(3,0),(1,2),(2,1)}
(3)C={0,1,2,3}
(4)D={(0,0)}
(5)M={0}
(6)当a≠0时,P={0,a};当a=0时,P={0}.
点评:此例题(2)与(3 ),(4)与(5)两组都是考察代表元素的,而(6)考察了集合
元素的互异性,遇到代数式时,能否 意识到字母a
?
R,需要分类讨论.
【变式2】用适当的方法表示下列集合:
(1)比5大3的数;
(2)方程
x
2
?y
2
? 4x?6y?13?0
的解集;
(3)二次函数
y?x
2
?10
的图象上的所有点组成的集合。 < br>答案:(1)
?
8
?
;(2)
?
(2,?3)
?
;(3)
?
(x,y)|y?x
2
?10
?

解析:(1)比5大3的数显然是8,故可表示为
?
8
?

(2)方程
x
2
?y
2
?4x?6y?13?0
可化为< br>(x?2)
2
?(y?3)
2
?0

?
x ?2,
?
方程的解集为
?
(2,?3)
?

?< br>?
y??3,
?
(3)用描述法表示为
?
(x,y)|y?x
2
?10
?

点评:用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合 中的元素;二要明确元素满足的条件;
三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。















巩固练习
一、选择题
1.下列四个集合中,是空集的是( )
A.
{x|x?3?3}
B.
{(x,y)|y
2
??x
2
,x,y?R}

C.
{x|x
2
?0}
D.
{x|x
2
?x?1?0,x?R}

2.集合
?
x?Z|(3x?1)(x?4)?0
?
可化简为( )
?
1
??
1
??
1
?
A.
? ?
B.
?
4
?
C.
?
,4
?
D.
?
?,?4
?

?
3
??
3
??
3
?
3.集合
A ?
?
1,3,5,7,???
?
用描述法可表示为( )
A.
?
x|x?n,n?N
?
B.
?
x|x?2n?1,n?N
?
C.
?
x|x?2n?1,n?N
?
D.
?
x|x?n?2,n?N
?

4.若以集合
S??
a,b,c
?
中的三个元素为边长可构成一个三角形,则这个三角形一定不是< br>( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
5. 已知
x,y,z
为非零实数,代数式
判断正确的是( )
A.
0?M
B.
2?M
C.
?4?M
D.
4?M

6.设
a,b,c
为 实数,
f(x)?(x?a)(x
2
?bx?c),g(x)?(ax?1)(ax< br>2
?bx?1)
.记集合
xyz|xyz|
???
的值所组成 的集合是
M
,则下列
|x||y||z|xyz
S?
?
x| f(x)?0,x?R
?
,T?
?
x|g(x)?0,x?R
?.若|
S
|、
|T|
分别为集合
S,T
的元素个数,则 下
列结论不可能的是( )


A.
|S|?1

|T|?0

C.
|S|?2

|T|?2


二、填空题
7.用符号“
?
”或“
?
”填空
B.
|S|?1

|T|?1

D.
|S|?2

|T|?3

(1)-3______
N

2
______
N

9
______
N

1
(2)
?______R ,
?
_______R,e______C
R
Q
(
e
是个无理数).
2
?
x?y?2,
8. 方程组
?
的解集
用列举法表示为 .
x?y?0
?
1
?
519
???
9.设
?
?
x|x< br>2
?ax??0
?
,则集合
?
x|x
2
?x ?a?0
?
中所有元素之积为 .
2
2
?< br>2
??
?
10.由
|a||b|
?(a,b?R)
所 确定的实数集合是 .
ab
11.用描述法表示的集合
?
y |y??x
2
?2x?1,x?R
?
可化简为 .
12.设
A
是整数集的一个非空子集,对于
k?A
,如果
k?1?A
,且
k?1?A
,那么称
k

A
的一个“孤立元” .给定
S?
?
1,2,3,4,5,6,7,8
?
,由
S< br>的3个元素构成的所有集合中,不含“孤
立元”的集合共有 个.
三、解答题
8
??
?N
?
,试用列举法表示集合
A
. 13. 已知集合
A?
?
x?N|
6?x
??
14.分别用列举法和 描述法表示下列集合:
(1)大于
?4
且小于6的整数所组成的集合;
( 2)方程
x
3
?5x
2
?6x?0
的实数根所组成的集合.
15.已知集合
A
={x
?R
|
ax
2
? 2x?1?0

a?R
}.
(1)若
A
中只有一个元素,实数
a
的取值范围.
(2)若
A
中至少有一个元素,实数
a
的取值范围.
(3)若
A
中元素至多只有一个,求实数
a
的取值范围.


16.设集合
M?
?
a|a?x
2
?y
2< br>,x,y?z
?
.
求证:(1)一切奇数属于集合
M

(2)偶数
4k?2(k?z)
不属于
M

(3)属于
M
的两个整数,其乘积仍属于
M
.
答案与解析:
一、选择题
1.D 选项A所代表的集合是
?
0
?
并非 空集,选项B所代表的集合是
?
(0,0)
?
并非空集,选项
C所代 表的集合是
?
0
?
并非空集,选项D中的方程
x
2
?x?1?0
无实数根.
1
2. B 解方程得
x
1
?, x
2
?4
,因为
x?Z
,故选B.
3
3. C 集合A表示所有的正奇数,故C正确.
4.D 元素的互异性
a?b?c
.
5. D
M?
?
?4,0,4
?
,故选D.
6.D 当
a?b?c?0
时,
|S|?1

|T|?0< br>;当
a?0,b
2
?4ac?0
时,
|S|?1
且< br>|T|?1
;当
a?0,b
2
?4ac?0
时且
b? a?c
(比如
a?1,c?3,b?4
)时,
|S|?2

|T|?2
,故只有D不可
能.
二、填空题
7.
(1)?,?,?;(2)?,?,?
.
8.
?
?
1,1
?
?
加减消元法,解二元一次方程组,解集是点集.
1
?
5
9919
1 5
?
?
1
?
9.
Q
?
?
x|x
2
?ax??0
?

?
??
?a???0
,解得
a??
,代入
x
2
?x?a?0

2
?
2
222
22
?
?
2
?
2

x
2
?
1999
x??0
,由韦达定理,得所有元素之积为
x
1
x
2
?
.
222
10.
?
?2,0,2
?

a,b
分类讨论可得.
11.
?
y|y?2
?

y??(x?1)
2
?2
Q?(x?1)
2
?0

?y?2
.
12.6 若
1?A
,因为1不是孤立元,所以
2?A
.设另一元 素为
k
,假设
k?3
,此时
A?
?
1,2,k?

k?1?A
,且
k?1?A
,不合题意,故
k?3
.据此分析满足条件的集合为


?
1,2,3
?
,?
2,3,4
?
,
?
3,4,5
?
,
?
4,5,6
?
,
?
5,6,7
?
,
?< br>6,7,8
?
,共有6个.
三、解答题
13.解:由题意可知6?x

8
的正约数,当
6?x?1,x?5
;当
6? x?2,x?4


6?x?4,x?2
;当
6?x?8,x?? 2
;而
x?0
,∴
x?2,4,5
,即
A?
?
2,4,5
?
.
14.解:(1)
?
?2,?1,0,1,2,3,4,5
?

?
x?Z|?4?x?6
?

(2)
?
?1,0,6
?

?
x?R|x
3
?5x
2
?6x?0
?
.
15. 解:(1)若
a?0
时,则
??4?4a?0
,解得
a?1
,此时
x??1
.
1

a?0
时,则
x??

2
?
a?0

a?1
时,
A
中只有一个元素.
(2)①
A
中只有一个元素时,同上
a?0

a?1
.
?
a?0,

A
中有两个元素时,
?
,解得
a?1

a?0
.综上
a?1
.
??0
?
1
( 3)①
a?0
时,原方程为
2x?1?0
,得
x??,
符合 题意;
2

a?0
时,方程
ax
2
?2x?1? 0
为一元二次方程,依题意
??4?4a?0
,解得
a?1
.
综上,实数
a
的取值范围是
a?1

a?0
. < br>16.证明:(1)设
a
为任意奇数,则
a?2k?1(k?z)
,因 为
2k?1?k
2
?(k?1)
2
,

k,k?1
均为整
数,
?
a?M
.由
a
的任意性知,一切奇数 属于
M
.
(2)首先我们证明如下命题:
设:
x,y?z
,则
x?y

x?y
具有相同的奇偶性.
以下用反证法证明.
假设
(4k?2)?M
,则存在
x,y?z
,使得
x
2
?y
2
?4k?2?(x?y)(x?y)?2(2k?1)
.若
x?y

则(
x?y
)(
x?y
)必定为奇数,而2(2k?1)
表示偶数,矛盾;若
x?y

x?yx?y
同为 奇数,
同为偶数,则(
x?y
)(
x?y
)必定被4整除,但2(2k?1)
表示不能被4整除的偶数,也导
致矛盾.
综上所述,形如
4k?2
的偶数不属于
M
.


(3)设
a,b?M
,则存在
x
1
,y
1
,x< br>2
,y
2
?z
,使得
a?x
1
2
? y
1
2
,b?x
2
2
?y
2
2
.
Qab?(x
1
2
?y
1
2
)(x
22
?y
2
2
)

=
x
1< br>2
x
2
2
?y
1
2
y
2
2
?2x
1
x
2
y
1
y
2
?2x< br>1
x
2
y
1
y
2
?x
1
2
y
2
2
?x
2
2
y
1
2

=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
2
?(x
1
y
2
?x
2
y
1
)
2

又因为
x
1
x
2?y
1
y
2

x
1
y
2
?x
2
y
1
均为整数,
?
ab?M
.

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