【新教材精创】1.1 集合的概念教学设计(1)-人教A版高中数学必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语
第1节 集合的概念

本 课是本节的第一课，也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主
要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手，体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言，
学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换. 养成良好的数学习惯。
集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确、规范 的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知
识，用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等， 并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进
行转换，初步运用集合的观点和思想来分析数学，解决简单 的数学问题.

课程目标
A.
通过实例了解集合的含义
,
体会元素与集
合的
“
属于
”
关系
,
能选择集合不 同的语言形
式描述具体的问题
.
B.
了解集合元素的确定性、互异性、无序
性
,
掌握常用数集及其专用符号
,
并能够用
其解决有关问题
.
C.
会用集合语言表示有关数学对象：描述
法，列举法。


1.教学重点：集合的含义与表示方法，元素与集合的关系；
2.教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合。

多媒体

学科素养
1.数学抽象：集合的含义；
2.逻辑推理：选择集合不同的语言形式描述具体的问
题；
3.数学运算：由集合与元素之间的关系求值；
4.直观想象：在理解集合含义及特性过程中 ，运用元素
分析法分析集合问题，提高学生分析问题和解决问题
的能力。

教学过程 教学设计意图
核心素养目标
一、情景引入，温故知新


情景1：集合论诞生于19世纪末，其创始人是康托尔（1829-1920，

德国数学家）。集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出现大







问题：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？
高一学生全体
初中阶段，我们学习过哪些集合？




大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，

它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学。
情景2：高一开学第二天，学校通知：上午8点，
在学校体育馆举行军训动员大会.
代数方面：自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，
不等式解的集合；
几何方面：点的集合等．
在初中学习中，我们用集合描述过什么？
圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．
二、探索新知
探究一 集合的含义
1.考察下列问题：
与集合的含义.提高
（1）1～20以内的所有偶数；
（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
学

生用数学抽象的
（3）所有正方形；
（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点;
（5）方程
x
2



通过初中所学及实
例，让学生感知、了
解，进而概括出元素思维方式思考并解
决问题的能力。









?3x?2?0
的所有实数根；
（6）地球上的四大洋。
思考:
上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全 体都能组成集合
吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？
2
、
归纳新知

（
1
）集合的含义

，
把一些元素组

一般地，我们把研究对象统称为元素
（
element
）

成的总体叫做集合
(set)
（简称集）
.
（
2
）
集合与元素的表示

通常用大写拉丁字母
A
，
B
，
C
，
…
表示集合，用小写拉丁字母
a
，
b
，
c
，
…
表示集合中的元素
.

探究二

集合中元素的性质

1.

所有的
“
帅哥
”
能否构成一个集合？由此说明什么？

不能
.
其中的元素不确定

集合中的元素是确定的

2.
由
1,3,0,5,
︱
-3
︳
这些数组成的一个集合中有
5
个元素，这种说法
正确吗？

不正确
.
集合中只有
4
个不同元素
1
，
3
，
0
，
5 .
集合中的元素是互异的

3.高一（
5
）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没
有变化？


集合没有变化

集合中的元素是没有顺序的

归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？

确定性、互异性、无序性

4.
两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等
.
练习
1
：判断以下元素的全体是否组成集合
,
并说明理由
:
(1)
大于
3
小于
11
的偶数
; (2)
我国的小河流
.
【解析】（
1
）是由
4,6,8 ,10
四个元素组成的集合
.

（
2
）由集合元素的确定性知其不能组成集合
.
探究三：

元素和集合的关系

1.
已知下面的两个实例：

（
1
）用
A
表示高一
(3)
班全体学生组成的集合
.



通过具体的例
子推理出元素的性
质，教会学生解决和
研究问题。







设计意图：集合是一
个原始 的、不定义的
概念，只是对集合进
行描述性说明.在开
始接触集合的时候，
主 要通过实例，让学
生感知、了解，进而
概括出元素与集合
的含义.提高学生用
数学抽象的思维方
式思考并解决问题
的能力。元素、集合
用数学语言表
示集合 和元素。


（
2
）用
a
表示高一
(3)
班的一位同学
，
b
表示高一
(4)
班的一位同
的字 母表示，以及元
素与集合的“属于”或
学
.
“不属于”关系，建议
思考：那么
a
，
b
与集合
A
分别有什么关系
?
在运用中逐渐熟悉.
【解析】
a
是集合
A
中的元素
,b
不是集合
A
中的元素
.

2.
元素与集合的
“
属于
”
关系

如果< br>a
是集合
A
中的元素，就说
a
属于集合
A
，
记作
a
∈
A
；
如
果
a
不是集合< br>A
中的元素，就说
a
不属于集合
A
，
记作
a
?
A.
③常用数集及其记法：非负整数（自然数集）
N
、
正整数集
N
或
N
＋
、
整数集
Z
、
有理数集
Q
、
实数集
R.
练习2. 用符号“∈”或“?”填空.
(1)2 N；(2)
2
_____Q；(3)0 {0}；
(4)b {a,b,c}.
【答案】(1) ∈ (2) ? （3）∈ （4）∈
探究四 集合的表示方法
1.列举法
思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？
【提示】可以这样表示： {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.
思考2: 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何用列举法表
示呢？
【提示】 {-1,-2}
问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的
方法叫做列举法.
注意：⑴大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；
⑵ 元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。
思考3：a与{a}有什么区别？
【答案】a 是一个元素，{a}是集合。
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合.
（2）方程x
2
=x的所有实数根组成的集合.
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
x
2
=x
*












通过练习巩固元素
的性质，提高学生解
决问题的能力。







集合的两种主要表
示法，都通过学生对
实 例或问题的思考，
去体验知识方法.不
仅要让学生明白用
列举法是集合最基
本 、最原始的表示方
法，还要理解到集合
中元素的列举与元
素的顺序无关.通过
问题的思考，学生认
识到仅用列举法表
示集合是不够的，有
些集合是列举不完
或者列举不出来的，
（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.
由此 说明学习描述
注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，
法的必要性. 学习描
因此集合可以有不同的列举方法.例如，
例1（1）可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}；
② 用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。
述法时，先用自然语
言表示集合元素具< br>有的共同属性，再介
绍用描述法的具体

2. 描述法
思考：能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？该集合中的元素有
什么性质？
【解析】不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：
（1） 集合中的元素都小于10.（2） 集合中的元素都是实数．
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，
写作:
方法.










，或


学生通过对实
例或问题的思考，去
体验知识方法。发现并提出数学问题，应
用数学语言予以表
达。

?
xx?10,x ?R
?
.
思考：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？ 有理数集
怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？
{x?Z|x?2k?1,k?Z}
{x?Z|x?2k?1,k?Z}
；
{x?Z|x?2k,k?Z}

Q?{x?R|x?
q
,p,q?Z,p?0}
p

问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？

在大括号内先写上表示 这个集合元素的一般符号及其取值
(
或变
化
)
范围
,
再画一条竖线
,
在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同
特征
.
这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法
.
如：
{x?A|p(x) }
或
{x?A：p(x)}
或
{x?A；p(x)}
。
< br>注意：在不致混淆的情况下
,
描述法也可以简写成列举法的形式
,
只是 去掉竖线和元素代表符号
,
例如
:
所有直角三角形的集合可以表
示为
{x|x
是直角三角形
},
也可以写成
{
直角三角形
}.
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合.
(1)方程x
2
-2=0的所有实数根组成的集合.
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解：(1)设方程x
2
-2=0的实数根为x,并且满足条件x
2
-2=0，因此，
用描述法表示为A={ x∈R|x
2
-2=0}.
?2
，因此，用列举法表示为方程x
2
-2=0有两个实数根为
2，
?2
}. A={
2，
(2) 设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10因此，用描述法表示为

B={x∈Z∣10大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用
列举法表示为
B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对
象？
自然语言描 述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一
一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限 或者元素有规律
性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共
同特征，集 合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.
三、达标检测
1．下列对象不能构成集合的是( )
①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的
气体．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【解析】 研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合





中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显

然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.
【答案】 D
1
2．下列三个关系式：①5∈R；②
?Q；③0∈Z.其中正确的个数是
4
( )
A．1 B．2 C．3 D．0
1
【解析】 ①正确；②因为∈Q，错误；③0∈Z，正确．
4
【答案】 B
3.a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成
的四边形可能是( )
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【解析】 由于 集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四
个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.
【答案】 D
4.设集合A＝{x|x
2
－
3x
＋
a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为
________.
【解析】 ∵4∈A，∴16－12＋a＝0，
用意识。








通过练习巩固本节
所学知识，通过学生
解决问题的能 力，感
悟其中蕴含的数学
思想，增强学生的应

∴a＝－4，
∴A＝{x|x
2
－
3x
－
4＝0}＝{－1,4}．
【答案】 {－1,4}
5．用适当的方法表示下列集合：
?
?
2x－3y＝14
(1)方程组
?
的解集；
?
3x＋2y＝8
?

(2)所有的正方形；
(3)抛物线y＝x
2
上的所有点组成的集合．
??
?
2x－3y＝14
?
x＝4
?
【解】 (1)解方程组得
?

?
3x＋2y＝8，
?
??
y＝－2，

故解集为{(4，－2)}．
(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．
(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x
2
}．
四、小结
1.集合的概念
2.集合元素的三个特征：
3.常见数集的专用符号
4.集合的表示方法
五、作业
习题1.1 1,2题
通过总结， 让学生
进一步巩固集合与
元素的含义与性质，
集合的表示方法，提
高语言转换 和抽象
概括能力,树立用集
合语言表示数学内
容的意识。