高中数学核心知识点常考题型精析：集合(理)

高中数学核心知识点常考题型精析：集合（理）


一、选择题（共20小题）

1．设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x≥5}，则?
U
A=（ ）
A．? B．{2} C．{5} D．{2，5}
2
2．设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x＜1，x∈R}，则M∩N=（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．（0，1] D．（0，1）
3．已知全集U= R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合?
U
（A∪B）=（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
4．已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（ ）
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
5．设集合A={（x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
）|x
i
∈{﹣1，0，1}， i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件
“1≤|x
1
|+|x
2
|+|x
3
|+|x
4
|+|x
5
|≤3”的元 素个数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．130
2
6．设集合S ={x|x＞﹣2}，T={x|x+3x﹣4≤0}，则（?
R
S）∪T=（ ）
A．（﹣2，1] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）
7．设常数 a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范 围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
8．若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数 为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．已知集合A={1，2，3，4，5}， B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
22
10．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x+b x+c），g（x）=（ax+1）（cx+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，
x∈R}， T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．{S}=1且{T}=0 B．{S}=1且{T}=1 C．{S}=2且{T}=2 D．{S}=2且{T}=3
2
11．设集合M={1，2}，N={a}，则“a=1”是“N?M”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
12．设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T ，V是Z
的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈ V，有xyz∈V，则下列结论恒
成立的是（ ）
A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
13．已知集合P={x|x≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） < br>14．设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足S?A且S∩B≠ ?的集合S的个数是（ ）
A．57 B．56 C．49 D．8
2
15．设P={x|x＜4}，Q={x|x＜4}，则（ ）
A．P?Q B．Q?P C．P?C
R
Q D．Q?C
R
P
16．设集合A= {x||x﹣a|＜1，x∈R}，B={x||x﹣b|＞2，x∈R}．若A?B，则实数a，b必满足（ ）
A．|a+b|≤3 B．|a+b|≥3 C．|a﹣b|≤3 D．|a﹣b|≥3
17．若集合A={x|x≥}，则?
R
A=（ ）
2
2

A．（﹣∞，0]∪（，+∞） B．（，+∞） C．（﹣∞，0]∪[，+∞） D．[，+∞）
18．定义A﹣B={x|x∈A且x?B}，若P ={1，2，3，4}，Q={2，5}，则Q﹣P=（ ）
A．P B．{5} C．{1，3，4} D．Q
19．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a +b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
20．已知集合A={x|x﹣2x＞0}，
A．A∩B=? B．A∪B=R C．B?A D．A?B
二、填空题（共9小题）

2
，则（ ）
21． 设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（?< br>U
A）∩B= _________ ．
22
22．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a，b}，则a+b= _________ ．
23．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c ，d）的个数
是 _________ ．
24．已知集合A={x∈R||x+2|＜3} ，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m= _________ ，
n= _________ ．
25．设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b }，B={b，c，d}，则（?
U
A）∪（?
U
B）= _________ ．
26．已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=
_________ ．
27．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是 _________ ．
28．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多 参加两个小组，已知参加数学、
物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小 组的有6人，同时参加物理和化学小组
的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 _________ 人．
29．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不 喜爱，则喜爱
篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 _________ ．
三、解答题（共1小题）

30．对正整数n，记I
n
={1，2 ，3…，n}，P
n
={|m∈I
n
，k∈I
n
}．
（1）求集合P
7
中元素的个数；
（2）若P
n
的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P
n
能
分成两个不相交的稀疏集的并．

高中数学核心知识点常考题型精析：集合（理）

参考答案与试题解析


一、选择题（共20小题）
2
1．设全集U={x∈N|x≥2}，集 合A={x∈N|x≥5}，则?
U
A=（ ）


? {2} {5}
A．B． C．

考点： 补集及其运算．
专题： 集合．
分析：
先化简集合A，结合全集，求得?
U
A．
2
解答：
解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x≥5}={x∈N|x≥3}，
则?
U
A={2}，
故选：B．
点评： 本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．

D． {2，5}
2．设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x＜1，x∈R}，则M∩N=（ ）

A．[0，1] B． [0，1） C． （0，1]

考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．
解答：
解：∵M={x|x≥0，x∈ R}，N={x|x
2
＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，
∴M∩N=[0，1）．
故选B．
点评： 本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．

2
D． （0，1） 3．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合?
U
（A∪B） =（ ）
{x|x≥0} {x|x≤1} {x|0≤x≤1}

A．B． C． D． {x|0＜x＜1}

考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析：
先求A∪B，再根据补集的定义求C
U
（A∪B）．
解答： 解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，
∴C
U
（A∪B）={x|0＜x＜1}，
故选：D．
点评： 本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．

4．已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（ ）

A．B． 0或3 C． D． 1或3
0或 1或

考点： 集合关系中的参数取值问题．
专题： 集合．
分析： 由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B?A，由此判断出参 数m可能的取值，再进行验证即可得出答
案选出正确选项．
解答：
解：由题意A∪B=A，即B?A，又，B={1，m}，
∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，

验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，
故选：B．
点评： 本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B ?A，再由集合的包含关系得出参数
所可能的取值．

5．设集合A={（x1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
）|x
i
∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤ |x
1
|+|x
2
|+|x
3
|+|x
4
|+|x
5
|≤3”
的元素个数为（ ）


60 90 120 130
A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
分析：
从条件“1≤|x
1
|+|x
2
|+|x
3
|+|x
4
|+|x
5
|≤3”入手， 讨论x
i
所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0
和4个是0三种情 况进行讨论．
解答：
解：由于|x
i
|只能取0或1，且“1≤|x1
|+|x
2
|+|x
3
|+|x
4
|+|x
5
|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0
三种情况：
①x
i
中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：
②x
i< br>中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：
③x
i
中有4个取 值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：
∴总共方法数是++=130．
；
；
．
即元素个数为130．
故选：D．
点评： 本题看似集 合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常
用到的方法 ，也是高考中一定会考查到的思想方法．

6．设集合S={x|x＞﹣2}，T={x| x+3x﹣4≤0}，则（?
R
S）∪T=（ ）

A．（﹣2，1] B． （﹣∞，﹣4] C． （﹣∞，1] D． [1，+∞）

考点： 交、并、补集的混合运算；全集及其运算．
专题： 集合．
分析：
先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得?
R
S，再利用并集的定义求出结果．
解答： 解：∵集合S={x|x＞﹣2}，
2
∴?
R
S={x|x≤﹣2}，
2
T={x|x+3x﹣4≤0}={x|﹣4≤x≤1}，
故（?
R
S）∪T={x|x≤1}
故选C．
点评： 此题属于 以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及并集的运算，是高考中常考的题型．在求补集时
注意全集 的范围．

7．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x| x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）

A．（﹣∞，2） B． （﹣∞，2] C． （2，+∞） D． [2，+∞）

考点： 并集及其运算；一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用；集合．
分析： 当 a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易
得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围． 综

上，得到满足题意的a范围．
解答： 解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤1，
∴1＜a≤2；
当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；
当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，
∴a＜1；
综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．
故选B．
点评： 此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

8．若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈ B}中的元素的个数为（ ）


5 4 3 2
A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
分析： 根据题意，计算元素的和，根据集合中元素的互异性，即可得到结论．
解答： 解：由题意，∵集合A ={﹣1，1}，B={0，2}，﹣1+0=﹣1，1+0=1，﹣1+2=1，1+2=3
∴{z|z=x+y，x∈A，y∈B}={﹣1，1，3}
∴集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3
故选C．
点评： 本题考查集合的概念，考查集合中元素的性质，属于基础题．

9．已知集合A={1，2 ，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）


3 6 8 10
A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
分析： 由题意，根据集合B中 的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，
得出正确选项
解答： 解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，
x=4时，y=1，2，3，
x=3时，y=1，2，
x=2时，y=1
综上知，B中的元素个数为10个
故选D
点评： 本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元 素的属性，用分类列举的方
法得出集合B中的元素的个数．

10．设a，b，c 为实数，f（x）=（x+a）（x+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx+bx+1）．记集合S={ x|f（x）=0，x∈R}，
T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S， T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）

A．{S}=1且{T}=0 B． {S}=1且{T}=1 C． {S}=2且{T}=2 D． {S}=2且{T}=3

考点： 集合的包含关系判断及应用．
专题： 集合．
分析： 通过给a，b，c赋特值，得到A，B，C三个选项有正确的可能，故本题可以通过排除法得到答案．
2
解答：
解：∵f（x）=（x+a）（x+bx+c），当f（x）=0时至少有一个根x=﹣a，
22

当b﹣4c=0时，f（x）=0还有一根
根；
2
，只要b≠2a，f（x）=0就有2个根；当b=2a，f（x）=0是一个
当b ﹣4c＜0时，f（x）=0只有一个根；
2
当b﹣4c＞0时，f（x）=0有二个根或三个根．
当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0，
当a＞0，b=0，c＞0时，{S}=1且{T}=1，
当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2．
故选D．
点评： 本题 考查解决选择题时，常通过举特例，利用排除法将一定不正确的选项排除，从而选出正确选项，排除
法是 解决直接求解有困难的选择题的一个好方法，合理恰当的运用，可以提高解题的速度．

11．设集合M={1，2}，N={a}，则“a=1”是“N?M”的（ ）

A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

充分必要条件 C．D． 既不充分又不必要条件

考点： 集合关系中的参数取值问题．
专题： 集合．
分析： 先由a=1判断是否能推出“N?M”；再由“N?M”判断是否能推出“a=1”，利用充要 条件的定义得到结论．
解答： 解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N?M
2
2
当N?M时，a=1或a=2有
所以“a=1”是“N?M”的充分不必要条件．
故选A．
点评： 本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题．

12．设S是整数 集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不
相交的非空子集，T∪V=Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列 结论恒成立的是（ ）

A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的

T，V中至多有一个关于乘法是封闭的 B．

T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的 C．

D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 阅读型；新定义；集合．
分析： 本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子 集T，V
的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．
解答： 解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；
从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．
故选A．
点评： 此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．

22
13．已知集合P={x|x≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣1] B． [1，+∞） C． [﹣1，1]

考点： 集合关系中的参数取值问题．
专题： 集合．
分析： 通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P?M?P；求出a的范围．
解答：
解：∵P={x|x
2
≤1}，
2
D． （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

∴P={x|﹣1≤x≤1}
∵P∪M=P
∴M?P
∴a∈P
﹣1≤a≤1
故选：C．
点评： 本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件P∪M=P?M?P是解题关键．

14．设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足S ?A且S∩B≠?的集合S的个数是（ ）


57 56 49 8
A．B． C． D．

考点： 子集与真子集．
专题： 计算题．
6
分析：
因为集合S为集合A的子集，而集合A的元素有6个，所以集合A的子集有 2个，又集合S与集合B的
交集不为空集，所以集合S中元素不能只有1，2，3，把不符合的情况舍去 ，即可得到满足题意的S的个
数．
解答： 解：集合A的子集有：?，{1}，{2}，{3 }，{4}，{5}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，…，{1，2，
3 ，4，5，6}，共1++++++=64个；
又S∩B≠?，B={4，5，6，7，8}， 所以S不能为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，?共8 个，
则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是64﹣8=56．
故选B．
点评： 此题考查学生掌握子集的计算方法，理解交集的意义，是一道基础题．

15．设P={x|x＜4}，Q={x|x＜4}，则（ ）


P?Q Q?P
A．B． C．
P?C
R
Q

考点： 集合的包含关系判断及应用．
分析：
此题只要求出x
2
＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出
解答：
解：P={x|x＜4}，Q={x|x
2
＜4}={x|﹣2＜x ＜2}，如图所示，
2
D．
Q?C
R
P
可知Q?P，故B正确．
点评： 此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．
16．设集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，B={x||x﹣b|＞2，x∈R}．若A?B，则 实数a，b必满足（ ）
|a+b|≤3 |a+b|≥3

A．B． C． |a﹣b|≤3 D． |a﹣b|≥3

考点： 集合的包含关系判断及应用；绝对值不等式的解法．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 先 利用绝对值不等式的解法化简集合A、B，再结合A?B，观察集合区间的端点之间的关系得到不等式，
由不等式即可得到结论．
解答： 解：∵A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|x＜b﹣2或x＞b+2}，
因为A?B，所以b﹣2≥a+1或b+2≤a﹣1，
即a﹣b≤﹣3或a﹣b≥3，
即|a﹣b|≥3．
故选D．
点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题．温馨提示：处理几何之间的子

集、交、并运算时一般利用数轴求解．

17．若集合A={x|

A．
（﹣∞，0]∪（
x≥}，则?
R
A=（ ）
B．
，+∞） （
C．
（﹣∞，0]∪[
D．
，+∞） [，+∞） ，+∞）

考点： 补集及其运算；对数函数的单调性与特殊点．
专题： 计算题．
分析： 欲求A的补集，必须先求集合A，利用对数的单调性求集合A，然后得结论，
解答：
解：∵x≥，
∴x≥，
∴0＜x，
，+∞）． ∴?
R
A=（﹣∞，0]∪（
故选A．
点评： 本题主要考查补集及其运算，这里要注意对数中真数的范围，否则容易出错．

18．定义 A﹣B={x|x∈A且x?B}，若P={1，2，3，4}，Q={2，5}，则Q﹣P=（ ）


P {5} Q
A．B． C． {1，3，4} D．

考点： 集合的包含关系判断及应用．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 理解新的运算，根据新定义A﹣B知道，新的集合A﹣B是由所有属于A但不属于B的元素组成．
解答： 解：Q﹣P是由所有属于Q但不属于P的元素组成，所以Q﹣P={5}．
故选B．
点评： 本题主要考查了集合的运算，是一道创新题，具有一定的新意．要求学生对新定义的A﹣B有充 分的理解
才能正确答．

19．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M ={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）


3 4 5 6
A．B． C． D．

考点： 集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．
专题： 计算题．
分析： 利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
解答： 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所 以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选B．
点评： 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．

20．已知集合A={x|x﹣2x＞0}，
A∩B=? A∪B=R

A．B．

2
，则（ ）
B?A
C．

A?B
D．

考点： 并集及其运算；一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用；集合．
分析： 根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．
2
解答：
解：∵集合A={x|x﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，
∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，
故选B．
点评： 本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．

二、填空题（共9小题）
21．设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3， 5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（?
U
A）∩B= {7，9} ．

考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析：
由条件利用 补集的定义求得?
U
A，再根据两个集合的交集的定义求得（?
U
A）∩B．
解答： 解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，
∴（?
U
A）={4，6，7，9 }，∴（?
U
A）∩B={7，9}，
故答案为：{7，9}．
点评： 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．

22．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a，b}，则a+b= ﹣1 ．

考点： 集合的相等．
专题： 集合．
分析： 根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．
22
解答：
解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a，b}，
22
则 ①或 ②，
由①得，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．
2222
若b=a，a=b，则两式相减得a﹣b=b﹣a，
∵互异的复数a，b，
∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，
故答案为：﹣1．
点评： 本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．

23．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b ≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 ．

考点： 集合的相等．
专题： 计算题；集合．
分析： 利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．
解答： 解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；
a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；
a=4时，b=1，c=3，d=2；
∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．

点评： 本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．

24．已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣ 2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m= ﹣1 ，n=
1 ．

考点： 集合关系中的参数取值问题．
专题： 探究型．
分析： 由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B=（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．
解答： 解：A={x∈R||x+2|＜3}={x∈R|﹣5＜x＜1}，
又集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B=（﹣1，n）．
如图

由图知m=﹣1，n=1，
故答案为﹣1，1．
点评： 本题考查集合 关系中的参数取值问题，解题的关键是理解交的运算及一元二次不等式的解集的形式，本题
一定的探究性 ，考查分析判断推理的能力

25．设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b} ，B={b，c，d}，则（?
U
A）∪（?
U
B）= {a，c，d} ．

考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 由题意全 集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，可先求出两集合A，B的补集，再由并 的运
算求出（?
U
A）∪（?
U
B）
解答： 解：集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，
所以?
U
A={c，d}，?
U
B={a}，
所以（?
U
A）∪（?
U
B）={a，c，d}
故答案为{a，c，d}
点评： 本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则

26．已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=

考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．
解答： 解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；
，则集合A∩B= {x|﹣2≤x≤5} ．
集合，
，
当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}，
所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，
故答案为：{x|﹣2≤x≤5}．
点评： 本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出 绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本
题解题是关键，考查计算能力．

27．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B= R，则实数a的取值范围是 a≤1 ．

考点： 集合关系中的参数取值问题．
专题： 集合．
分析： 利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
解答： 解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，
且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．
故答案为：a≤1．

点评： 本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
28．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、 物理、
化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化 学小组的有4人，则同
时参加数学和化学小组的有 8 人．

考点： Venn图表达集合的关系及运算．
专题： 集合．
分析： 画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可．
解答： 解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，
故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，
设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，
则card（A∩B∩C）=0，card（A∩B）=6，card（B∩C）=4，
由公 式card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣car d（A∩C）﹣card（B∩C）
知36=26+15+13﹣6﹣4﹣card（A∩C）
故card（A∩C）=8即同时参加数学和化学小组的有8人．
故答案为：8．

点评： 本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用、集合中元素的个数等基 础知识，考查运
算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

29．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱 篮球运动
但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 ．

考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 应用题；集合．
分析： 设两者都喜欢的人数为x人， 则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得
（15﹣x）+（10 ﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球
运动的 人数．
解答： 解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，

由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，
所以15﹣x=12，
即所求人数为12人，
故答案为：12．
点评： 本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．

三、解答题（共1小题）
30．对正整数n，记I
n
={1，2，3…，n }，P
n
={|m∈I
n
，k∈I
n
}．
（1）求集合P
7
中元素的个数；
（2）若P
n
的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P
n
能分成两个
不相交的稀疏集的并．

考点： 集合中元素个数的最值；子集与交集、并集运算的转换．
专题： 压轴题；新定义；集合．
分析：
（1）对于集合P
7
，有n=7．当k=4时，根据P
n
中有3个数与I
n
={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集
合P7
中元素的个数．
（2）先用反证法证明证当n≥15时，P
n
不能分 成两个不相交的稀疏集的并集，再证P
14
满足要求，从而求
得n的最大值．
解答：
解：（1）对于集合P
7
，有n=7．
当k=1时，m=1，2，3…，7，P
n
={1，2，3…，7}，7个数，
当k=2时，m=1，2，3…，7，P
n
对应有7个数，
当k=3时，m=1，2，3…，7，P
n
对应有7个数，
当k=4时，P
n
={
重复，
|m∈I
n
，k∈ I
n
}=P
n
={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）与k=1 时P
n
中的数
当k=5时，m=1，2，3…，7，P
n
对应有7个 数，
当k=6时，m=1，2，3…，7，P
n
对应有7个数，
当k=7时，m=1，2，3…，7，P
n
对应有7个数，
由此求得集合P
7
中元素的个数为 7×7﹣3=46．
（2）先证当n≥ 15时，P
n
不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，P
n
可以分成两个不相交的
稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=P
n
?I
n
．
22
不妨设1∈A，则由于1+3=2，∴3?A，即3∈B ．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=4，
这与A为稀疏集相矛盾． 再证P
14
满足要求．当k=1时，P
14
={|m∈I
14< br>，k∈I
14
}=I
14
，可以分成2个稀疏集的并集．
事 实上，只要取A
1
={1，2，4，6，9，11，13}，B
1
={3，5 ，7，8，10，12，14}，则A
1
和B
1
都是稀疏集，
且A< br>1
∪B
1
=I
14
．
当k=4时，集合{
疏集的并：
A
2
={，，，
当k=9 时，集合{
}，B
2
={，，}．
，}，
|m∈I
14
}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀
|m∈I
1 4
}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，
可以分为下列3个稀疏集的并：
A
3
={，，，，}，B
3
={，，，，}．

最后，集合C═{|m∈I
14
，k∈I
14
，且k≠1 ，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与P
n
中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A
1
∪A
2
∪A
3
∪C，B=B1
∪B
2
∪B
3
，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P< br>14
．
综上可得，n的最大值为14．
点评： 本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．