高中数学废了-高中数学中数学符号的发音
第1讲 §1.1.1集合的含义与表示
¤ 学习目标：通过实例，了解集合的含义
，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、
图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同
的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握
集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特
征.
¤ 知识要点：
1.
把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.
2.
集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，
基本形
式为
{a
1
,a
2
,a
3
,???,a
n
}
，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素
的共同特
征来表示，基本形式为
{x?A|P(x)}
，既要关注代表元素x，也要把握其属性
P(x)
，适用于
无限集.
3.
通常用大写拉丁字母
A,B,C,???
表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集
N，正整
数集
N
*
或
N
?
，整数集Z，有理数集Q
，实数集R.
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not
belong to），分别用符号
?
、
?
表
示，例如
3?
N
，
?2?N
.
¤ 例题精讲：
【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由方程
x(x
2<
br>?2x?3)?0
的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.
【例2】用适当的符号填空：已知
A?{x|x?3k?2,k?Z}<
br>，
B?{x|x?6m?1,m?Z}
，则有：
17A；－5A；
17B.
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P
6
练习题2，P
13
A组题4）
（1）一次函数
y?x?3
与y??2x?6
的图象的交点组成的集合；
（2）二次函数
y?x
2
?4
的函数值组成的集合；
（3）反比例函数
y?
2
的自变量的值组成的集合.
x
【第1练
§1.1.1集合的含义与表示】
※基础达标
1．以下元素的全体不能够构成集合的是（）.
A. 中国古代四大发明
B. 地球上的小河流
C. 方程
x
2
?1?0
的实数解
D. 周长为10cm的三角形
2．方程组
3
?
2
x
x<
br>?
?
2y
y
?
?11
的解集是（）.
1
?
?
D.
?
?
1，5
?
?
?
?
5，
1
?
B.
?
1，5
?
C. A .
?
5，1
3．给出下列关系：①
?R
；②
2?Q
；③
3?N<
br>*
；④
0?Z
. 其中正确的个数是（）.
2
A. 1
B. 2 C. 3 D. 4
4．有下列说法：（1）0与{0
}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为
{1,2,3}
或{3，
2，1}；（3）方程
(x?1)
2
(x?2)?0
的所有解的集合可表示为
{1，1，2}；（4）集合
{x4?x?5}
是有限集. 其中正确的说法是（）.
A. 只有（1）和（4） B. 只有（2）和（3） C. 只有（2）
D. 以上四种说法都不对
5．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）.
A.
M?{
?
}
，
N?{3.14159}
B.
M?{2,3}
，
N?{(2,3)}
C.
M?{x|?1?x?1,x?N}
，
N?{1}
D.
M?{1,3,
?
}
，
N?{
?
,1,|?3|}
6．已知实数
a?2
，集合
B?{x|?1?x?3}
，则a与
B的关系是.
※能力提高
8．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数
y?x
2
?2x?3
的函数值组成的集合；
（2）函数
y?
3
的自变量的值组成的集合.
2
x?2
第2讲§1.1.2集合间的基本关系
¤ 学习目
标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解
全集与空集的含义；
能利用Venn图表达集合间的关系.
¤ 知识要点：
1. 一般地，对于两个集合A、B
，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两
个集合有包含关系，其中集合A是集合B的
子集（subset），记作
A?B
（或
B?A
），读作“A
含于B
”（或“B包含A”）.
2. 如果集合A是集合B的子集（
A?B
），且集合B是
集合A的子集（
B?A
），即集合A与
集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相
等，记作
A?B
.
3. 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A
，则称集合A是集合B的真子集（proper
subset），
记作A
?
B（或B
?
?
A）.
?
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty
set），记作
?
，并规定空集是任何集合的子集.
5. 性质：
A?A<
br>；若
A?B
，
B?C
，则
A?C
；
若AB?A
，则
A?B
；若
AB?A
，则
B?A
.
¤ 例题精讲：
【例1】用适当的符号填空：
（1）{菱形}{平行四边形}； {等腰三角形}{等边三角形}.
（2）
?
{x?R|x
2
?2?0}
； 0
{0}；
?
{0}；N{0}.
【例3】若集合
M?x|x
2?x?6?0,N?
?
x|ax?1?0
?
，且
N?M
，求实数
a
的值.
点评：在考察“
A?B
”这一关系时，不要忘记“
?
”，因为
A?
?
时存在
A?B
. 从而需要分
情况讨论.
题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.
融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.
【第2练 §1.1.2集合间的基本关系】
※基础达标
1．已知集合
A?
?
xx?3k,k?Z
?<
br>,B?
?
xx?6k,k?Z
?
，则A与B之间最适合的关系是（）.
A.
A?B
B.
A?B
C.
A
?
B D. A
?
?
B
??
?
2．设集合
M?
?
x|?1?x?2
?
，<
br>N?
?
x|x?k?0
?
，若
M?N
，则
k
的取值范围是（）.
A．
k?2
B．
k??1
C．
k??1
D．
k?2
3．若
{a
2
,0,?1}?{a,b,0}
，则
a
2007
?b
2007
的值为（）.
A.
0 B. 1 C.
?1
D. 2
6．已知集合
A?
?
a,b,c,
?
，则集合A的真子集的
个数是.
b
7．当
{1,a,}?{0,a
2
,a?b}
时，a=_________，b=_________.
a
※能力提高
8．已知
A={2，3}，M={2，5，
a
2
?3a?5
}，N={1，3，
a
2
?6a?10
}，A
?
M，且A
?
N，求实
数a
的值.
9．已知集合
A?
?
x?2?x?5
?
，
B?
?
xm?1?x?2m?1
?
.若
B?
A
，求实数m的取值范围.
第3讲§1.1.3集合的基本运算（一）
¤ 学习目标：理解两个集合的并
集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给
定集合中一个子集的补集的含义，会求给定
子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体
会直观图示对理解抽象概念的作用.
¤ 知识要点：
集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，
再结合解题的训
练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.
并集
由所有属于集合A或属于
概念
集合B的元素所组成的集
合，称为集合A与B的并
集（union set）
记号
符号
图形
表示
¤ 例题精讲：
【例1】设集合
U?R,A?{x|?1?x?5},B?{x|3?x?9},求A
【例2】设
A?{x?Z||x|?6
}
，
B?
?
1,2,3
?
,C?
?
3,4
,5,6
?
，求：
（1）
A(BC)
；（2）
A
A
交集
由属于集合A且属于集合B
的元素
所组成的集合，称为
集合A与B的交集
（intersection set）
补集
对于集合A
，
由全集U中不属
于集合A的所有元素组成的集
合，称为
集合A相对于全集U
的补集（complementary set）
A
（读作“A的补集”）
A?{x|x?U,且x?A}
A
A
B
（读作“A并B”）
B?{x|x?A,或x?B}
A
A
B
（读作“A交B”）
B?{x|x?A,且x?B}
U
U
B,
U
(AB)
.
(BC)
.
【例3】已知集合
A?{x|?2?x?4}
，
B?{x|x?m}
，且AB?A
，求实数m的取值范围.
点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各
端点之间的关系，特别
要注意是否含端点的问题.
【例4】已知全集
U?{x|x?
10,且x?N
*
}
，
A?{2,4,5,8}
，
B?{1
,3,5,8}
，
求
C
U
(AB)
，
C
U
(AB)
，
(C
U
A)
【第3练 §1.1.3集合的基本运算（一）】
※基础达标
1．已知全集
U?
?
1,2,3,4,5,6,7?
，
A?
?
2,4,5
?
，则
C
U<
br>A?
（）.
A.
?
B.
?
2,4,6
?
C.
?
1,3,6,7
?
D.
?
1,3,5,7
?
2．若
A?{x|0?x?2},B
?{x|1?x?2}
，则
A
(C
U
B)
，
(C<
br>U
A)(C
U
B)
，并比较它们的关系.
B?
（）.
A.
{x|x?2}
B.
{x|x?1}
C.
{x|1?x?2}
D.
{x|0?x?2}
4．若
A?
?
0,1,2,3
?
,B?
?
x|x?3a,a?A
?
，则
AB?<
br>（）.
A.
?
1,2
?
B.
?
0,1
?
C.
?
0,3
?
D.
?
3
?
5．设集合
M?{x|?1?x?2}
，
N?{x|x?k?0}
，若
MN?
?
，则
k
的取
值范围是（）.
A．
k?2
B．
k??1
C．
k
?
?1
D．
?1?k?2
6
．设全集
U?{x?N
*
|x?8}
，
A?{1,3,5,7}，
B?{2,4,5}
，则
C
U
(AB)
=.
※能力提高
9．设
U?R
，
A?{x|?2?x?
4}
，
B?{x|8?2x?3x?7}
，求
C
U
?
A
?
B
?
、
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
.
※探究创新
10．设集合
A?{x|(x?4)(
x?a)?0,a?R}
，
B?{x|(x?1)(x?4)?0}
.
（1）求
AB
，
AB
；
（2）若
A?B
，求实数a的值；
第4讲§1.1.3集合的基本运算（二）
¤ 学习目标：掌握集合、交集、并集
、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握
集合运算中的一些数学思想方法.
¤
知识要点：
1. 含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.
我们需通过Venn图
理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过
图形，我们还可以
发现一些集合性质：
C
U
(AB)?(C
U
A)(C
U
B)
，
C
U
(AB)?(C
U
A)(C
U
B)
.
2.
集合元素个数公式：
n(AB)?n(A)?n(B)?n(AB)
.
3.
在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思
维.
¤ 例题精讲：
【例1】设集合
A??4,2a?1,a
2
,B?
?
9,a?5,1?a
?
，若
A
??
B?
?
9
?
，求实数
a
的值.
【例2】设集合
A?{x|(x?3)(x?a)?0,a?R}
，
B?{x|(x?4)(x?1)?0}
，求
A
材P
14
B组题2
）
B
，
AB
.（教
点评：集合A含有参数a，需要对参数a进行分情况讨论.
罗列参数a的各种情况时，需依据集
合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则
.
【例3】设集合A
={
x
|
x
2
?4x?0
}，B ={
x
|
x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
，
a?R
}，若A
实数
a
的值．
点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，
及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思
想方
法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=
?
的情形，从而造成错误．这需要在
解题过程中要全方位、多角度审视问题.
【第4练
§1.1.3集合的基本运算（二）】
※基础达标
1．已知集合A =
?
1,2,4
?
，B
=
xx是8的正约数
，则A与B的关系是（）.
A. A = B
B. A
?
B C. A
?
?
B
D. A∪B =
?
B=B，求
??
?
3．已知
U?
?
2,3,4,5,6,7
?
，
M?
?
3,4
,5,7
?
，
N?
?
2,4,5,6
?
，则（）.
A．
MN?
?
4,6
?
B.
MN?U
C．
(C
u
N)M?U
D.
(C
u
M)N?N
4．定义集合A、B的一种运算
：
A?B?{xx?x
1
?x
2
,其中x
1
?A,
x
2
?B}
，若
A?{1,2,3}
，
B?{1,2}，
则
A?B
中的所有元素数字之和为（）.
A．9
B. 14 C. 18 D. 21
6．已知集合A?{x?1?x?1}
，
B?{xx?a}
，且满足
AB?
?
，则实数
a
的取值范围是.
7．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有
农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车
的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种
的家庭数为.
※能力提高
8．已知集合
A?{x|x
2
?px?
q?0}
，
B?{x|x
2
?px?2q?0}
，且
AB?
{?1}
，求
A
9．已知集合U=
{2,3,a
2
?2a?3}
，A={
|
a
+1|，2}，
C
U
A
={
a
+3}
，求实数
a
的值.
※探究创新
10．（1）给定集合A、B，定义A※B={x|x=m
－n，m∈A，n∈B}．若A={4，5，6}，B={1，2，3}，
则集合A※B中的所有元素之
和为（）
A．15 B．14 C．29
D．－14
B
．
（2）设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A、B的运
算：A*B={x|x∈A，或x∈B，
且x
?
A∩B}，则(A*B)*A等于（）
A．AB．BC．
(
U
A)∩B
D．
A∪(
UB)