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最新人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 14:40
tags:高中数学集合

初高中数学题的差别-十张图总结高中数学所有必考知识


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人教版高中数学必修一第一章函数与集合
概念知识点总结


第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念:
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是 或者不是这
个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对 象,相同的对象归入一个集合时,
仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺 序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的
元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
(Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
(Ⅱ)描述法:将集 合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确
定的条件表示某些对象是否属于这 个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
(3)图示法(文氏图):
4、常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a
∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a
?
A
6、集合的分类:
1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集 不含任何元
素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系———子集
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说两集合有
包含关系,称 集合A为集合B的子集,记作A
?
B
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注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
B或B
?
A
集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2
n
.
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论:对 于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B
的任何一个元素都是集 合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
?A?B且B?A

① 任何一个集合是它本身的子集。A
?
A
②真子集:如果A
?
B,且 A
?
B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
?
B(或B
?
A)
③如果 A
?
B, B
?
C ,那么 A
?
C
④ 如果A
?
B 同时 B
?
A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义: 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B
的并集。记作:A∪B(读作 ”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A,A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A , A∪B
= B∪A.
4、全集与补集
(1)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素 ,这个集合就可以看作一
个全集。通常用U来表示。
(2)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即A
?
S),由S中
S
所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。

A
记作: C
S
A ,即 C
S
A ={x | x
?
S且 x
?
A}

(3)性质:⑴C
U
(C
U
A)=A ⑵(C
U
A)∩A=Φ ⑶(C
U
A)∪A=U
CsA
(4)(C
U
A)∩(C
U
B)=C
U
(A∪B) (5)(C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B)

二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A
中的任意一个数x,在集合B中都有唯一 确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集
合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x ),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A
叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数 值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函
数的值域.
注意:1、如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使
这个式子有意义的实数的集合;2、 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充:
能使函数式有意义的实数x的 集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要
依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必
须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数 是由一些基本函数通
过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合 .(6)指
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数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
注意:(1)构成函数三个要素是定义域、 对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系
决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全 一致,即称这两个函数相等(或为同
一函数)。
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和 对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值
的字母无关。 相同函数的判断方法:①定义域一致;②表达式相同 (两点必须同时具备)
值域补充
(1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其
定义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复
杂 函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标
的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反 过来,以满足y=f(x)的每一组有序
实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续 曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最
多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法:
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以 (x,y)为坐标在坐
标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法:
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
(1)将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:书上P21例5
?
1
?
(2) y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如
y?a与y?a?
??

?
a
?
(3) y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如
y?log
a
x与y??log
a
x?log
1
x

x?x
a
x
Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(x
?
a) 左加右减; 由f(x)得到f(x)
?
a 上加下

(3)作用:A、直观的 看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高
解题的速度;发现解题中的错误。
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
5.映射
定义:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对 于集合
A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A
?
B”
给定一个集合 A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素
b叫做元素a的象,元 素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法 则f是确定的;
②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一
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u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]
般是不同的;
增 增 增
③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每
减 减
一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合

A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)
减 增 减
不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
减 减 增
6、函数的表示法:
常用的函数表示法及各自的优点:
1 函数图象既可以是连续 的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形
是否是函数图象的依据:作垂直于x轴 的直线与曲线最多有一个交点。
2 解析法:必须注明函数的定义域;
3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;
4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数 值时必须把
自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几< br>种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意:
(1) 分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定
义域的并集,值域 是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f是g的复合函数。
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变量x
1
,x
2

当x
1
2
时,都有f(x
1
)2
),那么就说f(x)在区间D上是 增函数。区间D称为y=f(x)的单
调增区间;
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
,x
2
,当x
1
2
时,都有f( x
1
)>f(x
2
),那么就说
f(x)在这个区间上是减函数.区 间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2、必须是 对于区间D内的任意两个自变量x
1
,x
2
;当x
1
2
时,总有f(x
1
)2
) (或f(x
1
)
>f(x
2
))。
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)
单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
2
;2 作差f(x
1
)-f(x
2
);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定
号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的 单调性密
切相关,其规律如下:
复合函数单调性:口诀:同增异减
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写
成其并集.
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(4)判断函数的单调性常用的结论
①函数
y??f(x)

y?f(x)
的单调性相反;
② 当函数
y?f(x)
恒为正或恒有负时,
y?
1
f(x)
与 函数
y?f(x)
的单调性相反;
③函数
y?f(x)
与函数y?f(x)?C
(C为常数)的单调性相同;
④当C > 0(C为常数)时,
y?f(x)

y?Cf(x)
的单调性相同;

当C < 0(C为常数)时,
y?f(x)

y?Cf(x)
的单调性相反;
⑤函数
f(x)

g(x)
都是增(减)函数,则
f(x)?g( x)
仍是增(减)函数;

⑥若
f(x)?0,g(x)?0
且< br>f(x)

g(x)
都是增(减)函数,则
f(x)g(x)
也是增(减)函
数;

f(x)?0,g(x)?0

f(x)< br>与
g(x)
都是增(减)函数,则
f(x)g(x)
也是减(增)函数 ;

n
n
f(x)
f
f(x)?0f(x)kf(x)( k?0)
⑦设,若在定义域上是增函数,则、、
(x)(n?1)
1
都是增函 数,而
f(x)
是减函数.

8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做 偶函数.
(2)奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x )=—f(x),那么f(x)就叫做奇函
数.
注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、 由函数 的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的
任意一个x,则-x也一定是定 义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是
否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)
-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数 的定义域是否关
于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2 )有时判定
f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x) f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,
或借助函数的图象判定 .

函数奇偶性的性质
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;
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偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.

②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于
y
轴对称.
③若
f(x)
为偶函数,则
f(?x)?f(x)?f(|x|)
.
④若奇函数
f(x)
定义域中含有0,则必有
f(0)?0
. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数
F(x)
与一个偶 函

G(x)
的和(或差)”.如设
f(x)
是定义域为R的任一函 数, 则
F(x)?
f(x)?f(?x)

2
f(x)?f(?x )
.
2
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又 偶函数有无穷多个(
f(x)?0
,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
G(x)?
9、函数的解析表达式
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求 两个变量之间的函数关系时,一是要求出
它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,
A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;
B、已知复合函数f[g(x)]的表 达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达
式较简单时,也可用凑配法;
C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p30页)
(1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;
(2) 利用图象求函数的最大(小)值;
(3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递
增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f( x)在区间[a,
b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小 值f(b);


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