高中数学 集合与常用逻辑用语 测试题

集合与常用逻辑用语测试题
学校:___________姓名：_________ __班级：___________考号：___________


一、单选题
1．(2018·辽宁阜新实验中学月考)已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：x>a，若綈q 的一
个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是( )
A. [1，＋∞) B. (－∞，1]
C. [－1，＋∞) D. (－∞，－3]
2．若
x
2
?x?2?0
是
?2?x?a
的充分不必要条件，则
a
的取值范围是（ ）
A.
0?a?2
B.
a?2
C.
0?a?2
D.
a?2

3．已知集合
A?x|y?9?x
2

，
B?
?
x|x?a
?
，若
A?B?A
，则实数
a
的取值
范围是( )
A.
?
??,?3
B.
?
??,?3
?
C.
?
??,0
D.
3,??
?

4．已知
a?R
，则“
a?0
”是“
f
?
x
?
?x?ax
是偶函数”的（ ）
2
??
???
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．全集
U?
?
?2,?1,0,1,2
?
，集合
A?
?
?2,2
?
，集合
B?xx
2
?1?0
，则图中阴影
部分所表示的集 合为（ ）
??

A.
?
?1,0,1
?
B.
?
?1,0
?
C.
?
?1,1
?
D.
?
0
?

6．命题“
?x?R
，
x
3
?x
2
?1?0
”的否定是（ ）
A.
?x?R
，
x
3
?x
2
?1?0
B.
?x?R
，
x
3
?x
2
?1?0

C.
?x?R
，
x
3
?x
2
?1?0
D. 不存在
x?R
，
x
3
?x
2
?1?0

7．已知命题
p:
若
?

P

?
，
a

P

?
，则
a

P

?
；命题
q:
若
a

P

?
，
a

P

?
，
试卷第1页，总4页

?
?
?
?b
，则
a

P

b
，下列是真命题的是( )
A.
p?q
B.
p?
?
?q
?

C.
p?
?
?q
?
D.
?
?p
?
?q

8．已知集合
A?
?0,1,2,3
?
,B?
?
x|?1?x?3
?
，则< br>A?B
=( )
A.
?
1,2
?
B.
?
0,1,2
?

C.
?
0,1,2,3
?
D.
?

9．下列选项中，说法正确的是( )
A. 若
a
＞
b
＞0，则ln
a
＜ln
b

B. 向量
a
＝(1，
m
)与
b
＝(
m,
2
m
－1)(
m
∈R)垂直的充要条件是
m
＝1
C. 命题“?
n
∈N3＞(
n
＋2)·2
*,
n n
－1
”的否定是“?
n
∈N3≥(
n
＋2)·2
*,
nn
－1
”
D. 已知函数
f
(
x
)在区间[
a
，
b
]上的图象是连续不断的，则命题“若
f
(
a
)·
f
(
b
)＜0，
则
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)内至少有一个零点”的逆命题为假命 题
10．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，
意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设
A
，
B< br>为
两个同高的几何体，
p
：
A
，
B
的体积不 相等，
q
：
A
，
B
在等高处的截面积不恒相等，根
据祖暅原理可知，
p
是
q
的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件


二、填空题
11．已知集合
A
=
?
x|
?
?
1
?
?2
x
?8,x?R
?

B＝{
x
|－1<
x
<
m
＋1，
x
∈R }，若
x
∈
B
成立的一
2
?
个充分不必要的条件是
x
∈
A
，则实数
m
的取值范围是________．
12．已知非空集合
A
，
B
满足下列四个条件：
①
A
∪
B
＝{1,2,3,4,5,6,7}；
②
A
∩
B
＝?；
③
A
中的元素个数不是
A
中的元素；
④
B
中的元素个数不是
B
中的元素．
(1)如果集合
A
中只有1个元素，那么
A
＝________；
(2)有序集合对(
A
，
B
)的个数是________．
试卷第2页，总4页

13．下列说法中不正确的是________．(填序号)
①若
a
∈R，则“1a＜1”是“
a
＞1”的必要不充分条件； < br>②“
p
∧
q
为真命题”是“
p
∨
q
为真命题”的必要不充分条件；
③若命题
p
：“?
x
∈R，sin
x
＋cos
x
≤2”，则
p
是真命题；
④命题 “?
x
0
∈R，＋2
x
0
＋3＜0”的否定是“?
x
∈R，
x
＋2
x
＋3＞0”．
14．命题：“?
x
∈R，cos2
x
≤cos
x
”的否定是________．
15．给出下列四个命题：
①命题“?
x
∈R，cos
x
>0”的否定是“?
x
0
∈R，cos
x
0
≤0”； ②若0<
a
<1，则函数
f
(
x
)＝
x
＋
a
－3只有一个零点；
③函数
y
＝2
2
si n
x
cos
x
在
?
?
2
2
2x
?
??
?
,
?
上是单调递减函数；
?44
?
④若lg
a
＋lg
b
＝lg(
a
＋
b
)，则
a
＋
b
的最小值为4.
其中真命题的序号是________．
16．已知集合
A
＝{
x
|
x
≤2}，
B
＝{
x
|
x
≥< br>a
}，且
A
∪
B
＝R，则实数
a
的取值范围 是________．
17．命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________.
18．若
a,b
为非零实数，则下列四个命题都成立：
①
a?
1
2
?0
②
?
a?b
?
?a
2
?2ab?b
2
③若
a?b
，则
a??b

a
④若
a
2< br>?ab
，则
a?b
则对于任意非零复数
a,b
，上述命题仍然 成立的序号是
_____
。
19．设p ，q均为实数，则“ q<0 ”是“方程 x+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”
的________条件.
(选填：充要、必要不充分、充分不必要、既不充分也不必要)
20．
以下说法正确的是
________
(填序号)．

2
①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角
形，但不能用余弦定理去解；< br>
②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应
于任何三角形；

③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；

④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．

试卷第3页，总4页

三、解答题
21．若集合P满足P∩{4，6}＝{4}，P∩{ 8，10}＝{10}，且P?{4，6，8，10}，求集
合P.
22．已知集合A＝{x|x＋3≤0}，B＝{x|x－a<0}.
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝B，求a的取值范围.
23．(2016·广东揭阳三中高一段考)已知全集为R,集合A={x|2≤x≤6},B={x|3x-7 ≥8-2x}.
(1)求A∪B;
(2)求?
R
(A∩B);
(3)若C={x|a-4≤x≤a+4},且A??
R
C,求a的取值范围.
24．已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x-a≥0}.
(1)若A∩B=A,求a的取值范围;
(2)若全集U=R,且A??
U
B,求a的取值范围.
25．已知全集U =R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(?
R
A)=R,B∩(?
R
A )={x|0试卷第4页，总4页

参考答案
1．A
【解析】将x
2
＋2x－3>0化为(x－1) (x＋3)>0，所以命题p：x>1或x<－3.因为非q的一个充
分不必要条件是非p，所以p的一 个充分不必要条件是q，所以(a，＋∞)是
(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集，所以a≥1.故 选A.
2．D
【解析】求解不等式
x
2
?x?2?0
可得：
?1?x?2
，
即
?1?x?2
是
?2?x?a
的充分不必要条件，
据此可知：
a
的取值范围是
a?2
.
本题选择D选项.
3．A
【解析】由已知得
A??3,3
，由
A?B?A
， 则
A?B
，又
B?a,??
?
，所以
a??3
.< br>故选A.
4．C
【解析】因为
???
f
?
x?
?x
2
?ax
是偶函数，所以
f
?
?x?
?x
2
?ax?f
?
x
?
?x
2< br>?ax?2ax?0

所以
a?0
.所以“
a?0
” 是“
f
?
x
?
?x?ax
是偶函数”的充要条件.故选C.
2
5．D
【解析】集合
B?xx
2
?1?0
< br>?
?
x|x??1
?
，阴影部分所表示的集合为
C
u
?
A?B
?

??
A?B?
?
x|?1,?2
?
，
C
u
?
A?B
?
?
?
x|x?0
?

故答案为：D.
6．B
【解析】分析：根据全称命题与存在性命题关系，可得到命题的否定.
详解：根据命题的否定知：“
?x?R
，
x
3
?x
2
?1?0
”的否定为“
?x?R
，
x
3
?x
2
?1?0
”，
故选B．
点睛：本题考查了含有量词的否定，其中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键.
7．D
答案第1页，总7页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【解析】分析：先 判断命题
p
与命题
q
的真假，再得到
?p
与
?q< br>的真假，结合选项即可得
结果.
详解：若
?

P

?
，
a

P

?
，则
a

P

?
或
?
?
?
，故
p
假，
?p
真；
a

P

?
，
a

P

?
，
?
?
?
?b
，则
a

P

b
，正确，故
q
为真，
?q
为假，
?
?
?p
?
?q
为真命题，故选D．
点睛：本题 主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及的判定，非、且、或的定义，
属于中档题.空间直线 、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是
画长方体）、现实实物判断法（如墙 角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易
判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆 否命题真假，原命题与逆否命题等价.
8．B
【解析】分析：直接根据交集的定义求解即可.
详解：因为
A?
?
0,1,2,3
?
,B?
?
x|?1?x?3
?
，
所以，根据交集的定义可得
A?B?
?
0,1,2
?
，故选B.
点睛：本题主要考查集合的交集的基本概念，意在考查基础知识掌握的熟练程度.
9．D
【解析】A中，因为函数y＝ln x(x＞0)是增函数，所以若a＞b＞0，则ln a＞ln b，故A错；
B中，若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错；
C中， 命题“?n∈N
*,
3
n
＞(n＋2)·2
n
1
” 的否定是“?n
0
∈N
*
，3n
0
≤(n
0
＋2)·2n
0
－1”，故C错；
D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间( a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)＜0”，是假命
题，如函数f(x)＝x
2
－2x－3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个
零点， 但f(－2)·f(4)＞0，故D正确．
故答案为;D .
点睛：本题考查命题的否定， 充要条件及四种命题，解题的关键是掌握并理解命题否定的书
写方法规则，全称命题的否定是特称命题， 特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的
变化.在判断命题的充要条件时，可以先找命题的逆否命 题，判断逆否命题的充要条件即可.
10．B
【解析】p:A,B的体积相等，?q:A, B在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在
同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另 一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条
答案第2页，总7页
－

件是必要的，因此q是?p的必要不充分条件.选B.
11．(2，＋∞)
【解析 】A＝
?
x|
?
?
1
?
?2
x
? 8,x?R
?
＝{x|－12
?
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，即m>2.
故答案：(2，＋∞)
12． {6} 32
【解析】(1)若集合A中只有1个元素，则集合B中有6个元素，6?B，故A＝{6}． < br>(2)当集合A中有1个元素时，A＝{6}，B＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A， B)有1个；
当集合A中有2个元素时，5?B,2?A，此时有序集合对(A，B)有5个；
当集合A中有3个元素时，4?B,3?A，此时有序集合对(A，B)有10个；
当集合A中有4个元素时，3?B,4?A，此时有序集合对(A，B)有10个；
当集合A中有5个元素时，2?B,5?A，此时有序集合对(A，B)有5个；
当集合A中 有6个元素时，A＝{1,2,3,4,5,7}，B＝{6}，此时有序集合对(A，B)有1个．
综上可知，有序集合对(A，B)的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.
答案：(1){6} (2)32
13．②④
【解析】由1a＜1，得a＜0或a ＞1，反之，由a＞1，得1a＜1，∴“1a＜1”是“a＞1”的必要
不充分条件，故①正确； < br>由p∧q为真命题，知p，q均为真命题，所以p∨q为真命题，反之，由p∨q为真命题，得
p ，q至少有一个为真命题，所以p∧q不一定为真命题，所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真
命题” 的充分不必要条件，故②不正确；
∵sin x＋cos x＝2sinx+π4≤2，∴命题p为真命题，③正确；
命题“?x
0
∈R，x0 2＋2x
0
＋3＜0”的否定是“?x∈R，x
2
＋2x＋3≥0”，故④不 正确．
故答案：②④
点睛：本题考查命题的否定，充要条件及四种命题，解题的关键是掌握 并理解命题否定的书
写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意 量词的
变化.
14．?
x
∈R，cos2
x
>cos
x

答案第3页，总7页
2

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【解析 】特称命题的否定为全称命题，则命题：“?x∈R，cos2x≤cos
2
x”的否定是?x∈R，cos2x>cos
2
x.
15．①④
【解析】由全称命题的否定是特称命题知①为真命题．
在同一直角坐标系内作出y＝3－x< br>2
，y＝a
x
(0 个交点，则函数f(x)＝x
2
＋a
x
－3有两个零点，故②为假命题．

由y＝2
2
sinxcosx＝
2
sin2x，
又
x?
?
?
?
??
??
??
?
,
?
时，
2x?
?
?,
?
，
?
44
??
22
?
?
??
?
,
?
上是增函数，因此③为假命题．
?
44
?
故y＝2
2
si nxcosx在
?
?
④中由lga＋lgb＝lg(a＋b)知，
ab＝a＋b且a>0，b>0.
?
a?b
?
又
ab?
??
，
?
2
?
所以令a＋b＝t(t>0)，
则4t≤t
2
，即t≥4，因此④为真命题．
故答案为：①④．
点睛：确定函数的零点，可以画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有
几个不同的零 点．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正
——各项均为正；二定—— 积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，
就会出现错误．
16．(－∞，2]
【解析】要使A∪B＝R，则
a?A
，即实数a满足a≤2. 实数a的取值范围是(－∞，2].
17．无解或至少两解
2
答案第4页，总7页

【解析】否命题是对原命题的条件和结论都否定，“方程
ax?b< br>?
a?0
?
的解是唯一的”的
结论的否定是“无解或至少两解”
故答案为无解或至少两解.
18．②④
【解析】①不一定成立，如
a?i,a?
1
?i?i?0
；③不一定成立，如
a?1?i,b?1?i,

a
所以对于任意非零复数
a,b
，上述命题仍然成立的序号是②④
19．充要
【解析】∵q＜0，∴Δ＝p
2
－4q＞0.
∴“方程x
2
＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”成立.
∵“方程x
2
＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”成立，∴q＜0
所以“ q<0 ”是“方程 x+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”的充要条件.
20．
②③④

【解析】①错误．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已 知两边及一边的对角，既可以
用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
②正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
③正确．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
④正确．余弦定理可以看作勾股定理的推广．
故答案为：②③④
21．P＝{4，10}.
【解析】试题分析:由P∩{4，6}＝{4}可得4∈P，6? P，由P∩{8，10}＝{10}可得10∈P，
8?P，又P?{4，6，8，10}，则P＝{4 ，10}.
试题解析:
由条件知4∈P，6?P，10∈P，8?P，∴P＝{4，10}.
22．(1) a＞－3;(2) a≤－3.
【解析】试题分析:(1)分别化简集合A,B, A∪B＝B即A?B，可求出a的取值范围;(2) A∩B
＝B即B?A,比较端点值得出a的范围.
试题解析:
(1)∵A∪B＝B，∴A?B，∴a＞－3.
(2)∵A∩B＝B，∴B?A，∴a≤－3.
答案第5页，总7页
2

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
点睛: 本题考查集合的交并补运算以及集合间的基本关系,考查了转化思想,属于基础题.当集
合是无限集时, 经常把已知集合表示在数轴上,然后根据交并补的定义求解,画数轴或者韦恩
图的方法,比较形象直观, 但解答时注意端点值是否取到的问题,也就是需要检验等号是否成
立.
23．（1）
A?B?{x|x?2}
；（2）
?
R
?
A?B
?
?{x|x3,或x6}
；（3）
a?2或a10

【解析】解:(1)
∵
B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},
∴
A∪B={x|x≥2}.
(2)
∵
A∩B={x|3≤x≤6},
∴
?
R
(A∩B)={x|x<3,或x>6}.
(3)由题意知C≠?,
则?
R
C={x|xa+4}.
∵
A={x|2≤x≤6},A??
R
C,
∴
a-4>6或a+4<2,解得a>10或a<-2.
故a的取值范围为a<-2或a>10.
24．（1）
a??4
；（2）
a??2.

【解析】试题分析：根据已知及集合间的关系在数轴上表示个 集合
A,B,痧
U
A,
观的显示出元素间的数量关系，再将显示的结果用数学 式表示出来即可.
试题解析：
解:(1)
∵
B={x|x≥a},
又A∩B=A,
U
B
，就能直
∴
A?B.
如图所示.

∴
a≤-4.
(2)?
U
B={x|x
∵
A??
U
B,
∴
a>-2.
答案第6页，总7页

【点睛】
根据集合间的关系求参数 ，关键是将其转化为元素间的关系，对于以不等式形式给出的集合
通常借助数轴进行求解会更直观，求解 后一定要进行检验.
25．
B?
?
x|0?x?3
?
< br>【解析】试题分析：根据已知及集合间的关系在数轴上表示个集合
A,B,痧
U
A,
观的显示出所示结果，再将结果用数学式表示出来即可.
试题解析：
U
B
，就能直
∵
A={x|1≤x≤2},
∴
?
R
A={x|x<1,或x>2}.
又B∪(?
R
A)=R,A∪(?
R
A)=R,可得A?B.
而B∩(?
R
A)={x|0∴
{x|0借助于数轴

可得
B?A?{x|0?x?1,或2?x?3}?
?
x|0?x?3
?
.
答案第7页，总7页

P
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答案第8页，总1页