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【精品】高中数学必修一 集合及集合的表示(提高) 巩固练习(含答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 14:47
tags:高中数学集合

大数据下的高中数学试卷讲评-高中数学概率公式算法


巩固练习
要点一、集合的有关概念
1.集合理论创始人康托尔称集合为一些 确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些
东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称 集.
3.关于集合的元素的特征
(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对 象,则x或者是A的元素,或者
不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互 异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同
一集合中不应重复 出现同一元素.
(3)无序性:集合中的元素的次序无先后之分.如:由1,2,3组成的集合,也可 以写成由
1,3,2组成一个集合,它们都表示同一个集合.
4.元素与集合的关系:
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作a
?
A
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A,记作
a?A

5.集合的分类
(1)空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作:
?
.
(2)有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集.
6.常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集),记作N
正整数集,记作N
*
或N
+

整数集,记作Z
有理数集,记作Q
实数集,记作R
要点二、集合的表示方法
我们可以用 自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列
举法和描述法来表示集合.
1. 自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法.如:大于等于2且小于等于8的偶数

< p>
构成的集合.
2. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内.如:{1, 2,3,4,5},{x
2

3x+2,5y
3
-x,x
2
+y
2
},….
3.描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{ }内.具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后
写出这个 集合中元素所具有的共同特征.
4.图示法:图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象 直观,我们常常画一条封
闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,这种表示集合的方法称为韦恩(Ven n)图法. 如
下图,就表示集合
?
1,2,3,4
?
.
1,2,3,4


一、选择题
1.下列四个集合中,是空集的是( )
A.
{x|x?3?3}
B.
{(x,y)|y
2
??x
2
,x,y?R}

C.
{x|x
2
?0}
D.
{x|x
2
?x?1?0,x?R}

2.集合
?
x?Z|(3x?1)(x?4)?0
?
可化简为( )
?
1
??
1
??
1
?
A.
? ?
B.
?
4
?
C.
?
,4
?
D.
?
?,?4
?

?
3
??
3
??
3
?
3.集合
A ?
?
1,3,5,7,???
?
用描述法可表示为( )
A.
?
x|x?n,n?N
?
B.
?
x|x?2n?1,n?N
?
C.
?
x|x?2n?1,n?N
?
D.
?
x|x?n?2,n?N
?

4.若以集合
S??
a,b,c
?
中的三个元素为边长可构成一个三角形,则这个三角形一定不是< br>( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
5. 已知
x,y,z
为非零实数,代数式
xyz|xyz |
???
的值所组成的集合是
M
,则下
|x||y||z|xyz< /p>


列判断正确的是( )
A.
0?M
B.
2?M
C.
?4?M
D.
4?M
< br>6.设
a,b,c
为实数,
f(x)?(x?a)(x
2
?b x?c),g(x)?(ax?1)(ax
2
?bx?1)
.记集合
S??
x|f(x)?0,x?R
?
,T?
?
x|g(x)?0,x ?R
?
.若|
S
|、
|T|
分别为集合
S,T的元素个数,则
下列结论不可能的是( )
A.
|S|?1

|T|?0

C.
|S|?2

|T|?2


二、填空题
7.用符号“
?
”或“
?
”填空
(1)-3______
N

2
______
N

9
______
N

B.
|S|?1

|T|?1

D.
|S|?2

|T|?3

1
(2)
?______R,
?
_______R,e______C
R
Q
(
e
是个无理数).
2
?
x?y?2,
8. 方程组
?
的解集
用列举法表示为 .
?
x?y? 0
1
?
519
???
9.设
?
?
x|x< br>2
?ax??0
?
,则集合
?
x|x
2
?x ?a?0
?
中所有元素之积为 .
2
2
?< br>2
??
?
10.由
|a||b|
?(a,b?R)
所 确定的实数集合是 .
ab
11.用描述法表示的集合
?
y |y??x
2
?2x?1,x?R
?
可化简为 .
12.设
A
是整数集的一个非空子集,对于
k?A
,如果
k?1?A
,且
k?1?A
,那么称
k

A
的一个“孤立元” .给定
S?
?
1,2,3,4,5,6,7,8
?
,由
S< br>的3个元素构成的所有集合中,不含“孤
立元”的集合共有 个.
三、解答题
8
??
?N
?
,试用列举法表示集合
A
. 13. 已知集合
A?
?
x?N|
6?x
??
14.分别用列举法和 描述法表示下列集合:
(1)大于
?4
且小于6的整数所组成的集合;

< p>
(2)方程
x
3
?5x
2
?6x?0
的实数根 所组成的集合.
15.已知集合
A
={x
?R
|
ax2
?2x?1?0

a?R
}.
(1)若
A
中只有一个元素,实数
a
的取值范围.
(2)若
A
中至少有一个元素,实数
a
的取值范围.
(3)若
A
中元素至多只有一个,求实数
a
的取值范围.
16.设集合
M?
?
a|a?x
2
?y
2
,x,y ?z
?
.
求证:(1)一切奇数属于集合
M

(2)偶数
4k?2(k?z)
不属于
M

(3)属于
M
的两个整数,其乘积仍属于
M
.
答案与解析:
一、选择题
1.D 选项A所代表的集合是
?
0
?
并非 空集,选项B所代表的集合是
?
(0,0)
?
并非空集,选
项C所代 表的集合是
?
0
?
并非空集,选项D中的方程
x
2
?x?1?0
无实数根.
1
2. B 解方程得
x
1
?, x
2
?4
,因为
x?Z
,故选B.
3
3. C 集合A表示所有的正奇数,故C正确.
4.D 元素的互异性
a?b?c
.
5. D
M?
?
?4,0,4
?
,故选D.
6.D 当
a?b?c?0
时,
|S|?1

|T|?0< br>;当
a?0,b
2
?4ac?0
时,
|S|?1
且< br>|T|?1
;当
a?0,b
2
?4ac?0
时且
b? a?c
(比如
a?1,c?3,b?4
)时,
|S|?2

|T|?2
,故只有D不可
能.
二、填空题
7.
(1)?,?,?;(2)?,?,?
.
8.
?
?
1,1
?
?
加减消元法,解二元一次方程组,解集是点集.
1
?
5
9919
1 5
?
?
1
?
?
??
?a???0
,9.
Q
?
?
x|x
2
?ax??0
?
,解得< br>a??
,代入
x
2
?x?a?0

2
?2
222
22
?
?
2
?
2


x
2
?
1999
x??0
,由韦达定理,得所有元素 之积为
x
1
x
2
?
.
222
10.
?
?2,0,2
?

a,b
分类讨论可得.
11.
?
y|y?2
?

y??(x?1)
2
?2
Q?(x?1)
2
?0

?y?2
.
12.6 若
1?A
,因为1不是孤立元,所以
2?A
.设另一元 素为
k
,假设
k?3
,此时
A?
?
1,2,k?

k?1?A
,且
k?1?A
,不合题意,故
k?3
.据此分析满足条件的集合为
?
1,2,3
?
,
?
2,3,4
?
,
?
3,4,5
?
,
?
4, 5,6
?
,
?
5,6,7
?
,
?
6,7, 8
?
,共有6个.
三、解答题
13.解:由题意可知
6?x
8
的正约数,当
6?x?1,x?5
;当
6?x?2,x?4


6?x?4,x?2
;当
6?x?8,x??2
;而
x?0
,∴
x?2,4,5
,即
A?
?
2,4,5
?
.
14.解:(1)
?
?2,?1,0,1,2,3,4,5
?

?
x?Z|?4?x?6
?

(2)
?
?1,0,6
?

?
x?R|x
3
?5x
2
?6x?0
?
.
15. 解:(1)若
a?0
时,则
??4?4a?0
,解得
a?1
,此时
x??1
.
1

a?0
时,则
x??

2
?
a?0

a?1
时,
A
中只有一个元素.
(2)①
A
中只有一个元素时,同上
a?0

a?1
.
?
a?0,

A
中有两个元素时,
?
,解得
a?1

a?0
.综上
a?1
.
?
??0
1
( 3)①
a?0
时,原方程为
2x?1?0
,得
x??,
符合 题意;
2

a?0
时,方程
ax
2
?2x?1? 0
为一元二次方程,依题意
??4?4a?0
,解得
a?1
.
综上,实数
a
的取值范围是
a?1

a?0
. < br>16.证明:(1)设
a
为任意奇数,则
a?2k?1(k?z)
,因 为
2k?1?k
2
?(k?1)
2
,

k,k?1
均为
整数,
?
a?M
.由
a
的任意性知,一切奇数 属于
M
.
(2)首先我们证明如下命题:
设:
x,y?z
,则
x?y

x?y
具有相同的奇偶性.
以下用反证法证明.


假设
(4k?2)?M
,则存在
x,y?z
,使得< br>x
2
?y
2
?4k?2?(x?y)(x?y)?2(2k?1).若
x?y

则(
x?y
)(
x?y
)必定 为奇数,而
2(2k?1)
表示偶数,矛盾;若
x?y

x?yx? y
同为奇数,
同为偶数,则(
x?y
)(
x?y
)必定被 4整除,但
2(2k?1)
表示不能被4整除的偶数,也导
致矛盾.
综上所述,形如
4k?2
的偶数不属于
M
.
(3)设a,b?M
,则存在
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?z
,使得
a?x
1
2
?y
1< br>2
,b?x
2
2
?y
2
2
.
Qa b?(x
1
2
?y
1
2
)(x
2
2
?y
2
2
)

=
x
1
2x
2
2
?y
1
2
y
2
2
?2 x
1
x
2
y
1
y
2
?2x
1x
2
y
1
y
2
?x
1
2
y< br>2
2
?x
2
2
y
1
2

=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)2
?(x
1
y
2
?x
2
y
1
)
2

又因为
x
1
x
2
?y
1
y
2

x
1
y
2
?x
2
y
1
均为整数,
?
ab?M
.

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