高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义
必修一第一章复习


知识点一 集合的概念
1．集合
一般地，把一些能够_____________ ___对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集
合(或集)，通常用大 写拉丁字母
A
，
B
，
C
，…来表示．
2．元素
构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母
a
，
b
，
c
，…来表示．
3．空集

不含任何元素的集合叫做空集，记为?.
知识点二 集合与元素的关系
1．属于
如果
a
是集合
A
的元素，就说
a
________集合
A
，记作
a
________
A
.
2．不属于
如果
a
不是集合
A
中的元素，就说
a
________集合
A
，记作
a
________
A.
知识点三 集合的特性及分类
1．集合元素的特性
________、________、________.
2．集合的分类
(1)有限集：含有________元素的集合．
(2)无限集：含有________元素的集合．
3．常用数集及符号表示
非负整数集(自然数
名称
集)
符号
知识点四 集合的表示方法
1．列举法
把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表 示集合的方法叫做列举法．

2．描述法
用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．
知识点五 集合与集合的关系
1．子集与真子集

图形语言

定义 符号语言
(Venn图)
N
*

N或N
＋

整数集
Z

Q
实数集
R

如果集合
A
中的________元素
都是集合
B
中的元素，我们就
子集
说这两个集合有包含关系，称
集合
A
为集合
B
的子集

________)
________(或
如果集合
A
?
B
，但存在元素
________(或
真子集 ________，且________，我们
________)
称集合
A
是集合
B
的真子集


2.子集的性质
(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集 合
A
，都有________．
(2)任何一个集合
A
都是它本身的子集，即________．
(3)如 果
A
?
B
，
B
?
C
，则________ ．
(4)如果
A
?
B
，
B
?
C
，则________．
3．集合相等

图形图言

定义 < br>如果集合
A
是集合
B
的子集
(
A
?
B
)，且
________________，此时，
集合相等
集合
A
与集合
B
中的元素是
一样的，因此，集合
A
与集
合
B
相等
4.集合相等的性质
如果
A
?
B< br>，
B
?
A
，则
A
＝
B
；反之，__ ______________________.

符号语言
(Venn图)
A
＝
B

知识点六 集合的运算
1．交集
自然语言
由___________________
_____________________
符号语言 图形语言
A
∩
B
＝_________
组成的集合，称为
A
与
B
的交集

2．并集
自然语言
由_________________
_________________组
符号语言 图形语言
A
∪
B
＝_______________
成的集合，称为
A
与
B
的并集

3.交集与并集的性质
交集的运算性质 并集的运算性质

A
∩
B
＝________
A
∩
A
＝________
A
∩?＝________
A
?
B
?
A
∩
B
＝________

4.全集
A
∪
B
＝________
A
∪
A
＝________
A
∪?＝________
A
?
B
?
A
∪
B
＝________ < br>在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称 这个集
合为全集，通常记作________．
5．补集
对于一个集合
A
，由全集
U
中__________的所有元素组成的集
文字语言
合称为集合
A
相对于全集
U
的补集，记作________

符号语言 ?
U
A
＝________________
图形语言





典例精讲
题型一 判断能否构成集合
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程
x
－2 ＝0的实数解”中，能够构成集合的是 。

2
题型二 验证元素是否是集合的元素
1、已知集合
A?xx?m
2
?n
2< br>,m?Z,n?Z
.
求证：（1）3
?
A；
（2）偶数4k-2(k
?
Z)不属于A.








2、集合A是由形如
m?3n
?
m?Z,n?Z
?
的数构成的，判断
??
1
是不是集合A中的元素.
2?3

题型三 求集合
?
?
3
x
＋
y
＝2
1．方程组< br>?
?
2
x
－3
y
＝27
?

的解集是( )
B．{
x
，
y
|
x
＝3且
y
＝－7}
C．{3，－7} D．{(
x
，
y
)|
x
＝3且
y
＝－7}
2．下列六种表示法：①{
x
＝－1，
y
＝2}；②{(
x
，
y
)|
x
＝－1，
y
＝2}；③{－1,2}； ④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；
⑥{(
x
，
y
)|
x
＝－1或
y
＝2}．
?
2
x
＋
y< br>＝0，
?
能表示方程组
?
?
?
x
－
y
＋3＝0

的解集的是( )
B．②③④⑤
D．②⑤⑥
A．①②③④⑤⑥
C．②⑤
1＋
a
1
3.数集
A
满足条件：若
a
∈
A
，则∈
A
(
a≠1)．若∈
A
，求集合中的其他元素.
1－
a
3




xyz
|
xyz
|
4．已知
x
，
y
，
z
为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是
M
，用列举法表示集合M
|
x
||
y
||
z|
xyz
为 。

题型四 利用集合中元素的性质求参数
1．已知集合
S
＝{
a
，
b
，
c
}中的三个元素是△
ABC
的三边长，那么△
ABC< br>一定不是( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形
?
?
B．直角三角形
D．等腰三角形
2.设
a
，
b
∈R，集合{1，
a
＋
b
，
a
}＝< br>?
0，，
b
?
，则
b
－
a
＝___ _____.
?
b
a
?
3.已知
P
＝{
x
|2＜
x
＜
k
，
x
∈N，
k
∈ R}，若集合
P
中恰有3个元素，则实数
k
的取值范围是________.
4.已知集合
A
＝{
x
|
ax
－3
x＋2＝0}.
2

(1)若
A
是单元素集合，求集合
A
；
(2)若
A
中至少有一个元素，求
a
的取值范围．




5.已知集合
A
是由0，
m
，m
－3
m
＋2三个元素组成的集合，且2∈
A
，则实数
m
的值为( )
A．2
C．0或3
B．3
D．0或2或3
2
2
6．(2016·浙江镇海检测)已知集合
A
是由0，
m
，
m
－3
m
＋2三个元素构成的集合，且2∈
A
，则实数
m
＝
________.

题型五 判断集合间的关系
1、设
M?
?
xx?
?
?
???
k1k1
?,k?Z
?
,
N?
?
xx??,k?Z
?
，则M与N的关系正确的是（ ）
2442
???
?
A. M=N B.
M?N

C.
M?N
D.以上都不对
?


2．判断下列集合间的关系：
(1)A
＝{
x
|
x
－3＞2}，
B
＝{
x
|2
x
－5≥0}；
(2)
A
＝{
x
∈ Z|－1≤
x
<3}，
B
＝{
x
|
x
＝|
y
|，
y
∈
A
}．


1
n
1
p
1
3．已知集合
M
＝{
x< br>|
x
＝
m
＋，
m
∈Z}，
N
＝{< br>x
|
x
＝－，
n
∈Z}，
P
＝{
x
|
x
＝＋，
p
∈Z}，试确定
M
，
N，
62326
P
之间的关系.

题型六 求子集个数
1．已知集合
A
＝{x
|
ax
＋2
x
＋
a
＝0，
a
∈R}，若集合
A
有且仅有2个子集，则
a
的取值构成的集合为_____ ___．



2
题型七 利用两个集合之间的关系求参数 < br>1.已知集合
A
＝{1,2，
m
}，
B
＝{1，m
}，
B
?
A
，则
m
＝________.
2．已知集合
A
＝{1,2}，
B
＝{
x
|
ax
－2＝0}，若
B
?
A
，则
a
的值不可能是 ( )
A．0
C．2
B．1
D．3
3
3．设集 合
A
＝{
x
|－2≤
x
≤5}，
B
＝{< br>x
|
m
＋1≤
x
≤2
m
－1}.
(1)若
B
?
A
，求实数
m
的取值范围；
(2)当
x
∈Z时，求
A
的非空真子集个数；
(3)当< br>x
∈R时，不存在元素
x
使
x
∈
A
与
x
∈
B
同时成立，求实数
m
的取值范围．








题型八 集合间的基本运算 1．下面四个结论：①若
a
∈(
A
∪
B
)，则
a
∈
A
；②若
a
∈(
A
∩
B
)， 则
a
∈(
A
∪
B
)；③若
a
∈
A
，且
a
∈
B
，
则
a
∈(
A
∩
B
)；④若
A
∪
B
＝
A
，则
A
∩
B
＝
B
.其中正确的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
2．已知集合
M
＝{
x
|－3<
x
≤5}，
N
＝{
x
|
x
>3}，则
M
∪
N
＝( )
A．{
x
|
x
>－3}
C．{
x
|3<
x
≤5}
B．{
x
|－3<
x
≤5}
D．{
x
|
x
≤5}
3．已知集合
A
＝ {2，－3}，集合
B
满足
B
∩
A
＝
B
， 那么符合条件的集合
B
的个数是( )
A．1 B．2

C．3 D．4
4．(2016·全国卷Ⅲ理，1)设集合
S
＝{
x
|(
x
－2)(
x
－3)≥0}，
T＝{
x
|
x
>0}，则
S
∩
T
＝( )
A．[2,3]
C．[3，＋∞)
5．下列关系式中，正确的个数为( )
①(
M
∩
N
)?
N
；②(
M
∩< br>N
)?(
M
∪
N
)；
③(
M
∪< br>N
)?
N
；④若
M
?
N
，则
M∩
N
＝
M
.
A．4
C．2
2
B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
D．(0,2]∪[3，＋∞)
B．3
D．1
6．设
U
＝{0,1,2,3}，
A＝{
x
∈
U
|
x
＋
mx
＝0}，若?
U
A
＝{1,2}，则实数
m
＝________.
7． (2016·唐山一中月考试题)已知全集
U
＝{
x
|
x
≤ 4}，集合
A
＝{
x
|－2<
x
<3}，
B
＝{
x
|－3≤
x
≤2}，求
A
∩
B
，
(?
U
A
)∪
B
，
A
∩(?
U< br>B
).



8．设全集
U
＝{1,2, 3,4,5}，集合
S
与
T
都是
U
的子集，满足
S
∩
T
＝{2}，(?
U
S
)∩
T
＝{4} ，(?
U
S
)∩(?
U
T
)
＝{1,5}则有( )
A．3∈
S,
3∈
T

C．3∈?
U
S,
3∈
T



B．3∈
S,
3∈?
U
T

D．3∈?
U
S,
3∈?
U
T

题型九 根据集合运算的结果求参数
1．若集合
A
＝{2,4，
x
}，B
＝{2，
x
}，且
A
∪
B
＝{2,4，x
}，则
x
＝________.

2．已知集合
A
＝{
x
|－1≤
x
＜3}，
B
＝{
x|2
x
－4≥
x
－2}.
(1)求
A
∩
B
；
(2)若集合
C
＝{
x
|2
x
＋
a
＞0}，满足
B
∪
C
＝
C
，求实数
a
的取值范围．



3．设
A
＝{
x
|
x
＋8
x
＝0 }，
B
＝{
x
|
x
＋2(
a
＋2)
x
＋
a
－4＝0}，其中
a
∈R.如果
A
∩B
＝
B
，求实数
a
的取值范
围.
222
2

4．已知集合< br>A
＝{
x
|
x
＋
ax
＋12
b＝0}和
B
＝{
x
|
x
－
ax
＋b
＝0}，满足(?
U
A
)∩
B
＝{2}，
A
∩(?
U
B
)＝{4}，
U
＝
R，求实数
a
，
b
的值.




5．
U
＝{1,2}，
A
＝{
x
|
x
＋
px＋
q
＝0}，?
U
A
＝{1}，则
p
＋
q
＝________.
4．设全集
U
＝R，集合
A
＝ {
x
|
x
≤1或
x
≥3}，集合
B
＝{< br>x
|
k
＜
x
＜
k
＋1，
k
＜2}，且
B
∩(?
U
A
)≠?，则( )
A．
k
＜0
C．0＜
k
＜2
22
2
22
B．
k
＜2
D．－1＜
k
＜2
22
6．已知集合
A
＝{x
|
x
－
ax
＋
a
－19＝0}，
B
＝{
x
|
x
－5
x
＋6＝0}，
C
＝{
x
|
x
＋2
x
－8＝0}，试探求
a
取何实数
时，(
A
∩
B
)
?
?与
A∩
C
＝?同时成立.






题型十 交集、并集、补集思想的应用
1．若三个方程
x
2
＋4
ax
－4
a
＋3＝0，
x
2
＋(
a
－1)
x
＋
a
2
＝0，
x
2
＋2
ax
－2
a
＝0至少有一个方程有
实数解，试求实数
a
的 取值范围．




题型十一 集合中的新定义问题
1．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.
(1)判断集合
A
＝{－1,1,2}是否为可倒数集；
(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．

2．集合
P
＝{3,4,5}，
Q
＝{6,7}，定义
P
*
Q
＝{(
a
，
b
)|
a
∈
P，
b
∈
Q
}，则
P
*
Q
的子集个数为 ( )
A．7
C．32
B．12
D．64
3．当
x
∈
A
时，若
x
－1?
A
，且
x
＋1?
A
，则称
x
为
A
的一个“孤立元素”，由
A
的所有孤立元素组成
的集合称为
A
的“孤星集”，若集合
M
＝{0,1,3}的孤星集为
M
′，集合
N
＝{0,3,4}的孤星集为< br>N
′，则
M
′
∪
N
′＝( )
A．{0,1,3,4}
C．{1,3}
B．{1,4}
D．{0,3}
4．设
U
为全集，对集合
X
，
Y
定义运算“*”，
X
*
Y
＝?
U
(
X∩
Y
)，对于任意集合
X
，
Y
，
Z
， 则(
X
*
Y
)*
Z
＝
( )
A．(
X
∪
Y
)∩?
U
Z

C．(?
U
X
∪?
U
Y
)∩
Z

B．(
X
∩
Y
)∪?
U
Z

D．(?
U
X
∩?
U
Y
)∪
Z

31
5．设数集
M
＝{
x
|
m
≤
x
≤
m
＋}，
N
＝{
x
|
n
－≤
x
≤
n
}，且
M
，
N
都是集合{
x
|0≤
x
≤1}的子集，如果把
b
－
a
43叫做集合{
x
|
a
≤
x
≤
b
}的“长 度”，那么集合
M
∩
N
的“长度”的最小值是________.
6．设
A
，
B
是两个非空集合，定义
A
与
B
的差集
A
－
B
＝{
x
|
x
∈
A
，且
x
?
B
}.
(1)试举出两个数集，求它们的差集；
(2)差集
A
－
B
与
B
－
A
是否 一定相等说明理由；
(3)已知
A
＝{
x
|
x
> 4}，
B
＝{
x
|－6<
x
<6}，求
A
－(
A
－
B
)和
B
－(
B
－
A< br>)．

知识点一



函数的有关概念

知识点二 两个函数相等的条件
1．定义域________．
2．________完全一致．
知识点三 区间的概念及表示
1．一般区间的表示
设
a
，
b
∈R， 且
a
<
b
，规定如下：

定义 名称 符号 数轴表示
{
x
|
a
≤
x
≤
b
} 闭区间


{
x
|
a
<
x
<
b
} 开区间

{
x
|
a
≤
x
<
b
} 半开半闭区间


{
x
|
a
<
x
≤
b
} 半开半闭区间

2.特殊区间的表示

定义
符号

知识点四 函数的表示方法
函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．
知识点五 分段函数
如果函数y
＝
f
(
x
)，
x
∈
A
，根 据自变量
x
在
A
中不同的取值范围，有着不同的________，那么称这 样的函数
为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的________，值域 是各段值域的
________．
知识点六 映射的概念
设
A
，
B
是两个________________，如果按某一个确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中的________________，
在集合
B
中都有________确定的元素
y
与之对应，那么就称对应
f
：
A
→
B
为从集合
A
到集合
B
的一个映射．
知识点七 函数的单调性
1．增函数、减函数：设函数
f
(
x)的定义域为
I
，如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的 任意两个自变量的值
R
(－∞，＋∞)
{
x
|
x
≥
a
} {
x
|
x
>
a
}
(
a
，＋∞)
{
x
|
x
≤
a
}
(－∞，
a
]
{
x
|
x
<
a
}
(－∞，
a
)
a
，＋∞)
x
1
，x
2
，当
x
1
<
x
2
时，都有
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)，那 么就说函数
f
(
x
)在区间
D
上是增函数；当
x< br>1
<
x
2
时，都有
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)，
那么就说函数
f
(< br>x
)在区间
D
上是减函数．
2．函数的单调性：若函数
f< br>(
x
)在区间
D
上是增(减)函数，则称函数
f
(< br>x
)在这一区间上具有(严格的)单调
性，区间
D
叫做
f(
x
)的单调区间．
3．单调性的常见结论：若函数
f
(x
)，
g
(
x
)均为增(减)函数，则
f
(< br>x
)＋
g
(
x
)仍为增(减)函数；若函数
f
(
x
)
为增(减)函数，则－
f
(
x
)为减(增 )函数；若函数
f
(
x
)为增(减)函数，且
f
(
x
)>0，则
知识点八 函数的最大值、最小值
最值
最大值
类别
设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为< br>I
，如果存在实数
M
满足
条件
(1)对于任意的
x
∈
I
，都有__________ (1)对于任意的
x
∈
I
，都有________
(2)存在
x
0
∈
I
，使得______________
结论

(2)存在
x
0
∈
I
，使得________
最小值
1
为减(增)函数．
f
(
x
)
M
是函数
y
＝
f
(
x
)的最大值
M
是函数
y
＝
f
(
x
)的最小值

性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．
知识点九 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的概念


偶函数 奇函数
对于函数
f
(
x
)的定义域内任意一个
x
，都有
条件
f
(－
x
)＝
f
(
x
)
结论

2.性质
(1)偶函数的图象关于
y
轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
函数
f
(
x
)是偶函数
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)
函数
f
(
x
)是奇函数
(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．
(3)在定义 域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶
函数的 和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．

例1 (2016 年10月学考)函数
f
(
x
)＝ln(
x
－3)的定义域为 ( )
A．{
x
|
x
>－3}
C．{
x
|
x
>3}
B．{
x
|
x
>0}
D．{
x
|
x
≥3}
例2 (2016年4月学考)下列 图象中，不可能成为函数
y
＝
f
(
x
)图象的是( )

1
?
?
log
x
，
x
>1，
例3 已知函数
f
(
x
)＝
?
3
?
?
－
x
2
－2
x
＋4，
x
≤1，
例4 (2015年10月学考)已知函数
f
(
x
)＝

则
f
(
f
(3))＝________，
f
(
x
) 的单调递减区间是________．
x
＋
a
＋|
x
－< br>a
|
2
，
g
(
x
)＝
ax
＋1，其中
a
>0，若
f
(
x
)与
g
(< br>x
)的图象
有两个不同的交点，则
a
的取值范围是________．
?
?
a
(
x
<0)，
例5 已知函数
f< br>(
x
)＝
?
?
?
(
a
－3)
x
＋4
a
(
x
≥0)
x

满足对任意的
x
1
<
x
2
都有
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)，求
a
的取值范围．

例6 (2016年4月学考改编)已知函数
f
(
x
)＝
11
－.
x
－1
x
－3
(1)设
g
(
x
) ＝
f
(
x
＋2)，判断函数
g
(
x
)的奇 偶性，并说明理由；
(2)求证：函数
f
(
x
)在2,3)上是增函数．










例7 (2015年10月学考)已知函数
f
(
x
)＝
ax
＋
(1)判断函数
f
(
x
)的奇偶性，并说明理由； (2)当
a
<2时，证明：函数
f
(
x
)在(0,1) 上单调递减．










1
例8 (2016年10月学考)设函数
f
(x
)＝
2
的定义域为
D
，其中
a
<1. (|
x
－1|－
a
)
(1)当
a
＝－3时，写 出函数
f
(
x
)的单调区间(不要求证明)；
(2)若对于任意的
x
∈0,2]∩
D
，均有
f
(
x
)≥kx
成立，求实数
k
的取值范围．




2
11
＋，
a
∈R.
x
＋1
x
－1

一、选择题
1．函数
f
(
x
)＝1－2＋
A．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]
x
1
x
＋3
的定义域为( )
B．(－3,1]
D．(－∞，－3)∪(－3,1]
2．下列四组函数中，表示同一个函数的是( ) < br>A．
y
＝－2
x
与
y
＝
x
－2x

B．
y
＝(
x
)与
y
＝|
x
|
C．
y
＝
x
＋1·
x
－1与
y
＝ (
x
＋1)(
x
－1)
D．
f
(
x)＝
x
－2
x
－1与
g
(
t
)＝t
－2
t
－1
3．若函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
M
＝{
x
|－2≤
x
≤2 }，值域为
N
＝{
y
|0≤
y
≤2}，则函数
y< br>＝
f
(
x
)的图象可能是
( )
22
2
3

4．已知
f
(
x
)是一次函数，且
ff
(
x
)]＝
x
＋2，则
f
(
x
)等于( )
A．
x
＋1 B．2
x
－1
C．－
x
＋1 D．
x
＋1或－
x
－1
5．设集合
A
＝{
x
|0≤
x
≤6}，
B
＝{
y
|0≤
y
≤2}，从
A
到
B
的对应法则
f
不是映射的是( )
A．
f
：
x
→
y
＝
1
2x
B．
f
：
x
→
y
＝
1
3
x

C．
f
：
x
→
y
＝
1
4
x
D．
f
：
x
→
y
＝1
6
x

6．已知
f
(
x
)是奇函数 ，
g
(
x
)是偶函数，且
f
(－1)＋
g
(1)＝2，
f
(1)＋
g
(－1)＝4，则
g
(1)等于 (
A．4B．3C．2D．1
7．若函数
y
＝
ax
＋1 在1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数
a
的值为( )
A．2B．－2C．2或－2D．0
)

8．偶函数
f< br>(
x
)(
x
∈R)满足：
f
(4)＝
f(1)＝0，且在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式
x
·
f
(
x
)<0的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－∞，－4)∪(－1,0)
C．(－4，－1)∪(1,4)
D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)
二、填空题
1
1－x
，
x
≥0，
?
?
2
9．已知函数
f
(
x
)＝
?
1
?
?
x
，
x
<0，
2

若
f
(
a
)＝
a< br>，则实数
a
＝________.
10．设
f
(
x
)＝
ax
＋
bx
＋2是定义在1＋
a,
1]上的偶 函数，则
f
(
x
)>0的解集为________．
11．若关于
x
的不等式
x
－4
x
－
a
≥0在1,3] 上恒成立，则实数
a
的取值范围为________．
三、解答题
1＋< br>ax
12．已知函数
f
(
x
)＝的图象经过点(1,3)，并 且
g
(
x
)＝
xf
(
x
)是偶函数．
x
＋
b
(1)求函数中
a
、
b
的值； < br>(2)判断函数
g
(
x
)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性 定义证明．









13．已知二次函数
f
(
x
)＝
ax
－ 2
ax
＋2＋
b
在区间2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求
f
(
x
)的解析式；
(2)若
b
>1，
g
(
x
)＝
f
(
x
)＋
mx
在2,4]上为单调函数，求实数
m
的取值范围．




2
2
2

答案精析
知识条目排查
知识点一
1．确定的不同的 全体
2．每个对象
知识点二
1．属于 ∈
2．不属于 ?
知识点三
1．确定性 互异性 无序性
2．(1)有限个 (2)无限个
3．正整数集 有理数集
知识点四
1．一一列举出来
2．共同特征
知识点五
1．任意一个
A
?
B

B
?
A

x
∈
B

x
?
A

AB

BA

2．(1)任何集合 ??
A
(2)
A
?
A

(3)
A
?
C
(4)
AC

3．集合
B
是集合
A
的子集(
B
?
A
)
4．如果
A
＝
B,
则
A
?
B
，且
B
?
A

知识点六
1．属于集合
A
且属于集合
B
的所有元素 {< br>x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}
2．所有属于集合
A
或属于集合
B
的元素 {
x
|
x
∈
A
，或
x
∈
B
}
3．
B
∩
A

B
∪
A

A

A
?
A

A

B

4．所有元素
U

5．不属于集合
A
?
U
A
{
x
|x
∈
U
，且
x
?
A
}
题型分类示例
例1 D

例2 A ∵
A
＝
B
，∴2∈
B
，则
a
＝2.]
例3 {4}
解析 ∵全集
U
＝{2,3,4}，集合
A
＝{2,3}，∴?
U
A
＝{4}．
例4 A ∵
A
∩< br>B
＝
A
，∴
A
?
B
.
∵
A
＝{1,2}，
B
＝{1，
m,
3}，
∴
m
＝2，故选A.]
例5 B 由
B
中不等式变形得
(
x
－2)(
x
＋4)>0，
解得
x
<－4或
x
>2，
即
B
＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
∵
A
＝－2,3]，
∴
A
∪
B
＝(－∞，－4)∪－2，＋∞)．
故选B.]
例6 C 图中的阴影部分是
M
∩
P
的子集，
不属于集合
S
，属于集合
S
的补集，即是?
I
S
的子集，则阴 影部分所表示的集合是(
M
∩
P
)∩?
I
S
，故选 C.]
例7 A
A
＝{
x
|1≤3≤81}
＝{
x
|0≤
x
≤4}，
x
B
＝{x
|log
2
(
x
2
－
x
)>1}＝ {
x
|
x
2
－
x
>2}
＝{
x
|
x
<－1或
x
>2}，
∴A
∩
B
＝{
x
|2<
x
≤4}＝(2,4]． ]
考点专项训练
1．B ∵集合
A
＝{
x
|1≤
x
≤5}，Z为整数集，
则集合
A
∩Z＝{1,2,3,4,5}．
∴集合
A
∩Z中元素的个数是5，
故选B.]
2．C 由
x
－5
x
＋6≥0，解得
x
≥3或
x
≤2. < br>又集合
A
＝{
x
|－1≤
x
≤1}，∴
A< br>?
B
，
故选C.]
3．D
5．A ?
UB
＝{2,4,5,7}，
A
∩(?
U
B
)＝{3,4 ,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5}，故选A.]
6．A 因为全集
U
＝{－1,1,3}，
2

集合
A
＝{
a
＋2，
a
＋2}，且?
U
A
＝{－1}，
所以1,3是集合
A
中的元素，
?
?
a
＋2＝1 ，
所以
?
2
?
a
＋2＝3
?
?
?
a
＋2＝1，
由
?
2
?
a
＋2＝3，?
?
a
＋2＝3，
?
2
2
由
?
?
?
a
＋2＝1，



2
?
?
a
＋2＝3，
或
?
2
?
a
＋2＝1，< br>?


得
a
＝－1.
得
a
无解，
所以
a
＝－1，故选A.]
7．D
A
＝{
x< br>|
x
－8
x
＋15＝0}＝{3,5}，
∵
B
?
A
，∴
B
＝?或{3}或{5}，
若
B
＝?时，
a
＝0；
1
若
B
＝{3}，则
a
＝；
3
1
若
B
＝{5}，则
a
＝.
5
11
故
a
＝或或0，故选D.]
35
8．D ∵集合
A
＝{
x
|
x
≥16}＝{
x
|< br>x
≤－4或
x
≥4}，
2
B
＝{
m
}，且
A
∪
B
＝
A
，∴
B
?
A
，
∴
m
≤－4或
m
≥4，
∴实数
m
的取值范围是
(－∞，－4]∪4，＋∞)，故选D.]
9．{1,2}
10．0 1
解析
A
＝{1，
a}，∵
x
(
x
－
a
)(
x
－
b
)＝0，
解得
x
＝0或
a
或
b
，
若
A
＝
B
，则
a
＝0，
b
＝1.
11．4
解析 全集
U
＝{
x
∈Z|－2≤
x< br>≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，
A
＝{－1,0,1,2,3}，?< br>U
A
＝{－2,4}，
∵
B
??
U
A，则集合
B
＝?，{－2}，{4}，{－2,4}，
因此满足条件的集合
B
的个数是4.

12．1，＋∞)
解析 由
x
－
x
<0，解得0<
x
<1，
∴
A
＝(0,1)．
∵
B
＝(0，
a
) (
a
>0)，
A
?
B
，
∴
a
≥1.
13．3，＋∞)
解析 由|
x
－ 2|<
a
，可得2－
a
<
x
<2＋
a
(< br>a
>0)，
∴
A
＝(2－
a,
2＋
a)(
a
>0)．
由
x
－2
x
－3<0，解得－1<
x
<3.
2
2
B
＝(－1,3)．
?
?
2－
a< br>≤－1，
∵
B
?
A
，则
?
?
2＋< br>a
≥3
?

解得
a
≥3.

答案精析
知识条目排查
知识点一
非空数集 唯一确定 从集合
A
到集合
B
{
f
(
x
)|
x
∈
A
}
知识点二
1．相同
2．对应关系
知识点三
1．
a
，
b
] (
a
，
b
)
a
，
b
) (
a
，
b
]
知识点五
对应关系 并集 并集
知识点六
非空的集合 任意一个元素
x
唯一
知识点八
f
(
x
)≤
M

f
(
x
0
)＝
M

f
(
x
)≥
M

f
(
x
0
)＝
M

题型分类示例
例1 C
例2 A 当
x
＝0时，有两个
y
值对应，故A 不可能是函数
y
＝
f
(
x
)的图象．]
例3 5 －1，＋∞)
1
解析
f
(3)＝log3＝－1，
3
∴
f
(
f
(3))＝
f
(－1)＝－1＋2＋4＝5， < br>当
x
≤1时，
f
(
x
)＝－
x
－2
x
＋4
＝－(
x
＋1)＋5，
对称轴
x
＝－1，
2
2
f
(
x
)在－1，1]上递减，当
x
>1时，
f
(
x
)递减，
∴
f
(
x
)在－1，＋∞)上递减．
例4 (0,1)

?
?
x
，
x
>
a
，
解析 由题意得
f
(
x
)＝
?
?
a
，< br>x
≤
a
，
?

在平面直角坐标系内分别画出0<a
<1，
a
＝1，
a
>1时，函数
f
(
x
)，
g
(
x
)
的图象，
由图易得当
f
(
x
)，
g
(
x
)的图象有两个交点时， ?
?
0<
a
<1，
有
?
?
g
(
a
)>
a
，
?

解得0<
a
<1，
a
的取值范围为0<
a
<1.

例5 解 由题意知，
f
(
x
)为减函数，
∴0<
a
<1且
a
－3<0且
a
≥(
a
－3)×0＋4
a
，
1
∴0<
a
≤.
4
例6 (1)解 ∵
f< br>(
x
)＝
∴
g
(
x
)＝
f
(
x
＋2)＝
11
－，
x
－1
x
－3
0
11
－，
x
＋ 1
x
－1
11
∵
g
(－
x
)＝－
－
x
＋1－
x
－1
＝
11
－＝
g
(
x
)，
x
＋1
x
－1
又∵
g
(
x
)的定义域为{
x
|
x
≠－1且
x
≠1}，
∴
y
＝
g
(
x
)是偶函数．
(2)证明 设
x
1
，
x
2
∈2,3)且
x
1
<
x
2
，
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＝(
＝
1111
－)－ (－)
x
1
－1
x
1
－3
x
2
－1
x
2
－3
2(
x
1
－
x
2< br>)(
x
1
＋
x
2
－4)
，
(x
1
－1)(
x
1
－3)(
x
2
－1 )(
x
2
－3)
∵
x
1
，
x
2< br>∈2,3)且
x
1
<
x
2
，
∴
x
1
－
x
2
<0，
x
1
＋
x
2
－4>0，
(
x
1
－1)(
x
1
－ 3)(
x
2
－1)(
x
2
－3)>0，
综上得< br>f
(
x
1
)－
f
(
x
2
) <0，

即
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)，
∴函数
f
(
x
)在2,3)上是增函数．
11
例7 (1)解 因为
f
(－
x
)＝－
ax
＋＋
－
x＋1－
x
－1
＝－(
ax
＋
11
＋)
x
－1
x
＋1
＝－
f
(
x
)，
又因为
f
(
x
)的定义域为{
x
∈R|
x
≠－1且
x
≠1}，
所以函数
f
(
x
)为奇函数．
(2)证明 任取
x
1
，
x
2
∈(0,1)，设
x
1
<x
2
，
x
2
－
x
1
x
2< br>－
x
1
则
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＝
a
(
x
1
－
x
2
)＋＋
(
x
1
－1)(
x
2
－1)(
x
1
＋1)(
x
2
＋1)
11
＝(
x
1
－
x
2
)
a
－－]
(
x
1
－1)(
x
2
－1)(
x
1
＋1)(
x
2
＋1)
2(
x
1
x
2
＋1)
＝(
x
1
－
x
2
)
a
－
2
]．
2
(
x
1
－1)(
x
2
－1)
因为0<
x
1
<
x
2
<1， 所以2(
x
1
x
2
＋1)>2,0<(
x
1< br>－1)(
x
2
－1)<1，
2(
x
1
x< br>2
＋1)
所以
2
>2>
a
，
2
(
x
1
－1)(
x
2
－1)
2(
x
1
x
2
＋1)
所以
a
－
2
<0.
2
(
x
1
－1)(
x
2
－1)
又因为< br>x
1
－
x
2
<0，所以
f
(
x1
)>
f
(
x
2
)，
所以函数
f
(
x
)在(0,1)上单调递减．
例8 解 (1)单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是1，＋∞)．
(2)当
x
＝0 时，不等式
f
(
x
)≥
kx
成立；
当
x
≠0时，
f
(
x
)≥
kx
等价于
2
2
22
k
≤
1
2
.
[
x
(|
x
－1|－
a
)]
设
h
(
x
)＝
x
(|
x
－1|－
a
)
??
－
x
[
x
－(1－
a
)]，0＜
x
≤1，
＝
?
?
x
[
x
－(1＋
a
)]，1＜
x
≤2.
?


①当
a
≤－1时，
h
(
x
)在(0,2]上单调递增，
所以0<
h
(
x
)≤
h
(2)，

即0<
h
(
x
)≤2(1－
a
)．
故
k
≤
1
2
.
4(1－
a
)< br>1－
a
1－
a
②当－1<
a
<0时，
h(
x
)在(0，]上单调递增，在，1]上单调递减，在1，2]上单调递增，
22
(1－
a
)1－
a
因为
h
(2)＝2－2a
≥＝
h
()．
42
即0<
h
(
x
)≤2(1－
a
)．
故
k
≤
1
2
.
4(1－
a
)< br>2
1－
a
③当0≤
a
＜1时，
h
(
x
)在(0，]上单调递增，
2
在
1－
a
，1－
a
)上单调递减，在(1－
a,
1]上单调递减，
2
在1,1＋< br>a
)上单调递增，在(1＋
a,
2]上单调递增，
1－
a< br>所以
h
(1)≤
h
(
x
)≤max{
h(2)，
h
()}且
h
(
x
)≠0.
2(1－
a
)1－
a
因为
h
(2)＝2－2
a< br>>＝
h
()，
42
所以－
a
≤
h
(
x
)≤2－2
a
且
h
(
x
)≠0. < br>2
当0≤
a
＜时，因为|2－2
a
|＞|－
a
|，
3
1
所以
k
≤
2
；
4(1－< br>a
)
2
当≤
a
＜1时，因为|2－2
a
|≤ |－
a
|，
3
1
所以
k
≤
2
，
2
a
21
综上所述，当
a
<时，
k
≤2
；
34(1－
a
)
21
当≤
a
< 1时，
k
≤
2
.
3
a
考点专项训练
1．A 要使函数有意义，
?
?
1－2≥0，
则
?
?
x
＋3>0，
?
x

?
?
x
≤0，
即
?
?
x
>－3.
?

故－3<
x
≤0.
即函数的定义域为(－3,0]，故选A.]
2．D 在A选项中，前者的
y
属于非负数，后者的
y
≤0，两个函数的值域不同；
在B选项中，前者的定义域
x
≥0，后者的
x
∈R，定义域不同；
在C选项中，前者定义域为
x
>1，后者为
x
>1或
x<－1，定义域不同；
在D选项中，两个函数是同一个函数，故选D.]
3．B
4．A
f
(
x
)是一次函数，设
f
(
x
)＝
kx
＋
b
，
ff
(
x
)] ＝
x
＋2，可得
k
(
kx
＋
b
)＋
b
＝
x
＋2，
即
kx
＋
kb
＋
b
＝
x
＋2，
k
＝1，
22
kb
＋< br>b
＝2，解得
k
＝1，
b
＝1.
则
f
(
x
)＝
x
＋1，故选A.]
5．A
8．D 求
x
·
f
(
x
)< 0即等价于求函数在第二、四象限图象
x
的取值范围．

∵偶函数
f
(
x
)(
x
∈R)满足
f
(4)＝
f< br>(1)＝0，
∴
f
(4)＝
f
(－1)
＝
f
(－4)＝
f
(1)＝0，
且
f
(
x
)在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减与递增，
如图可知：即
x
∈(1,4)时，函数图象位于第四象限，
x
∈(－∞，－4)∪(－1,0)时，函数图象位于第二象限，
综上所述，
x
·
f
(
x
)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1 ,4)，

故选D.]
2
9．－1或
3
1
解析 当
a
≥0时，
f
(
a
)＝1－
a
＝
a
，
2
2
得
a
＝；
3
1
当
a
<0时，＝
a
，解得
a
＝－1或1(舍去)．
a
2
∴
a
＝－1或.
3
10．(－1,1)
解析 ∵
f
(
x
)为定义在1＋
a,
1]上的偶函数，
∴1＋
a
＝－1，∴
a
＝－2，
又
f
( －
x
)＝
f
(
x
)，即
ax
－
b x
＋2＝
ax
＋
bx
＋2，
∴2
bx
＝ 0，∴
b
＝0，∴
f
(
x
)＝－2
x
＋2 .
∴由
f
(
x
)>0得，－2
x
＋2>0， < br>解得－1<
x
<1，∴
f
(
x
)>0的解集为(－1 ,1)．
11．(－∞，－4]
解析 若关于
x
的不等式
x－4
x
－
a
≥0在1,3]上恒成立，
则
a
≤
x
－4
x
在1,3]上恒成立，
令
f
(
x
)＝
x
－4
x
＝(
x< br>－2)－4，
x
∈1,3]，
对称轴
x
＝2，开口向上，
22
2
2
2
2
22
f
(
x
)在1,2)递减，在(2,3]递增，
∴
f
(
x
)
m in
＝
f
(2)＝－4，∴
a
≤－4.
x
＋
ax
3
12．解 (1)∵函数
g
(
x
)＝
xf
(
x
)＝是偶函数，
x
＋
b
则
g
(－
x
)＝
g
(
x
)．
－
x
－
axx
＋
ax
∴＝恒成立，
－< br>x
＋
bx
＋
b
即
x
－
b
＝
x
＋
b
恒成立，∴
b
＝0.
又函数
f
(
x
)的图象经过点(1,3)，
∴
f
(1)＝3，即1＋
a
＝3，
33

∴
a
＝2.
(2)由(1)知
g(
x
)＝
xf
(
x
)＝2
x
＋1，
2
g
(
x
)在(1，＋∞)上单调递增，
设
x
2
>
x
1
>1，
则
g(
x
2
)－
g
(
x
1
)＝2
x
2
＋1－2
x
1
－1
＝2(
x
2－
x
1
)(
x
2
＋
x
1
)．
∵
x
2
>
x
1
>1，∴(
x
2< br>－
x
1
)(
x
2
＋
x
1
) >0，
∴
g
(
x
2
)>
g
(
x
1
)，
∴函数
g
(
x
)在区间(1，＋∞)上是增函数．
13．解 (1)
f
(
x
)＝
a
(
x－1)＋2＋
b
－
a
.
①当
a
>0时，
f
(
x
)在2,3]上单调递增，
故
?
?
?
f
(2)＝2，
2
22
?
?
f
(3)＝5，
?
?
a
＝1，
所以< br>?
?
?
b
＝0.



?
?
2＋
b
＝2，
即
?
?
?
3
a< br>＋2＋
b
＝5，


②当
a
<0时，
f
(
x
)在2,3]上单调递减，
?
?
f
(2)＝5，
故
?
?
?
f
(3)＝2，
所以
?
?
a
＝－1，
?
?< br>?
b
＝3.


2
?
?
2＋
b
＝5，
即
?
?
?
3
a
＋2＋
b
＝2，

2


所以
f
(
x< br>)＝
x
－2
x
＋2或
f
(
x
)＝－
x
＋2
x
＋5.
(2)因为
b
>1，所以
f
(
x
)＝－
x
＋2
x
＋5，
所以< br>g
(
x
)＝－
x
＋(
m
＋2)
x< br>＋5在2,4]上为单调函数，
故
2
2
m
＋2
2< br>≤2或
m
＋2
2
≥4，
所以
m
≤2或
m
≥6.