(完整)高中数学必修一集合的基本运算教案

第一章 集合与函数概念
1.1集合 1.1.3集合的基本运算
教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
【知识点】
1. 并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：



B

A







A∪B

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元 素
只看成一个元素）。
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
问题：在上 图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们
所关心的，我们称其 为集合A与B的交集。
2. 交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合 ，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”
即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
?

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集

A B
B
B
A(B) A A

B A

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集
3. 补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全< br>集（Universe），通常记作U。
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属 于集合A的所有元素组成的集合称为集合
A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，
记作：C
U
A
即：C
U
A={x|x∈U且x∈A}
补集的Venn图表示
U
A
C
U
A

说明：补集的概念必须要有全集的限制
4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算 结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”
与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从 这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合
Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思 想方法。
5. 集合基本运算的一些结论：
A∩B
?
A，A∩B
?
B，A∩A=A，A∩
?
=
?
,A∩B=B∩A
A?
A∪B，B
?
A∪B，A∪A=A，A∪
?
=A,A∪B=B ∪A
（C
U
A）∪A=U，（C
U
A）∩A=
?

若A∩B=A，则A
?
B，反之也成立
若A∪B=B，则A
?
B，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

¤例题精讲：
B
9 x
A
-1
A?B

3 5
【例1】设集合
U?R,A?{x|?1?x?5},B?{x|3?x?9 },求AIB,?
U
(AUB)
.
解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示：
AIB?{x|3?x?5}
，
C
U
(AUB)?{x|x??1,或x?9}
，

【例2 】设
A?{x?Z||x|?6}
，
B?
?
1,2,3
?< br>,C?
?
3,4,5,6
?
，求：
（1）
AI(BIC)
； （2）
AI?
A
(BUC)
.
解：
QA?
??6,?5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5,6
?
.
（1 ）又
QBIC?
?
3
?
，∴
AI(BIC)?
?< br>3
?
；
（2）又
QBUC?
?
1,2,3,4,5,6
?
， 得
C
A
(BUC)?
?
?6,?5,?4,?3,?2,?1, 0
?
. ∴
AIC
A
(BUC)
?
?< br>?6,?5,?4,?3,?2,?1,0
?
.

【例3】已知集合
A?{x|?2?x? 4}
，
B?{x|x?m}
，且
AIB?A
，求实数m的取值范围.
解：由
AIB?A
，可得
A?B
.
B A
在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示：
-2 4 m x
由图形可知，
m?4
.
点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集 合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要
注意是否含端点的问题.
【例4】已知全集< br>U?{x|x?10,且x?N
*
}
，
A?{2,4,5,8}
，
B?{1,3,5,8}
，求
C
U
(AUB)
，
C
U
(AIB)
，
(C
U
A)I(C
U
B)
，
(C
U
A)U(C
U
B)
，并比较它们的关系.
解：由
AUB?{1,2,3,4,5,8}
，则
C
U
(AUB) ?{6,7,9}
.
由
AIB?{5,8}
，则
C
U< br>(AIB)?{1,2,3,4,6,7,9}

由
C
U
A ?{1,3,6,7,9}
，
C
U
B?{2,4,6,7,9}
，
则
(C
U
A)I(C
U
B)?{6,7,9}
，
(C
U
A)U(C
U
B)?{1,2,3,4,6,7,9}
.
由计算结果可以知道，
(C
U
A)U(C
U
B)?C
U
(AIB)
，
(C
U
A)I(C
U
B )?C
U
(AUB)
.
点评：可用Venn图研究
(C
U
A)U(C
U
B)?C
U
(AIB)
与
(C
U
A)I(C
U
B)?C
U
(AUB)
，在理解的基础记住此
结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.
【自主尝试】
1 .设全集
U?
?
x|1?x?10,且x?N
?
,集合
A?
?
3,5,6,8
?
,B?
?
4,5,7,8
?< br>,求
A?B
,
A?B
,
C
U
(A?B).


2.设全集
U?
?
x|?2?x?5
?
,集合A?
?
x|?1?x?2
?
,B?
?
x| 1?x?3
?
,求
A?B
,
A?B
,
C
U
(A?B)
.


3.设全集
U?
?
x |?2?x?6且x?Z
?
,A?x|x
2
?4x?5?0,B?x|x2
?1
,求
A?B
,
A?B
,
C
U< br>(A?B)
.


【典型例题】
1.已知全集
? ???
U?
?
x|x是不大于30的素数
?
,A,B是U的两个子集 ,且满足
A?(C
U
B)?
?
5,13,23
?
, B?(C
U
A)?
?
11,19,29
?
,
(C< br>U
A)?(C
U
B)?
?
3,7
?
,求集合 A,B.

２.设集合
A?x|x
2
?3x?2?0,B?x|2x
2
?ax?2?0
,若
A?B?A
,求实数
a
的取值集合.




３. 已知
A?
?
x|?2?x?4
?
,B?
?
x|x?a
?

① 若
A?B?
?
,求实数
a
的取值范围；
② 若
A?B?A
,求实数
a
的取值范围；
③ 若
A?B?
?
且A?B?A
,求实数
a
的取值范围.







4.已知全集
U ?2,3,a
2
?2a?3,
若
A?
?
b,2
?< br>,C
U
A?
?
5
?
,求实数
a和b
的值.





【课堂练习】
１.已知全集
U?
?
0,1,2,4,6,8,10
?
,A?
?
2,4,6
?
,B?
?
1
?
,则
(C
U< br>A)?B?
( )
Ａ
????
??
?
0,1,8,10
?
Ｂ
?
1,2,4,6
?
Ｃ
?
0,8,10
?
Ｄ
?

２.集合A?
?
1,4,x
?
,B?x
2
,1且A?B?B,则满足条件的实数
x
的值为 ( )
Ａ １或０ Ｂ １,０,或２ Ｃ ０,２或－２ Ｄ １或２
3.若
A?
?
0, 1,2
?
,B?
?
1,2,3
?
,C?
?
2,3,4
?
则(A?B)?(B?C)
＝ ( )
Ａ
?
1,2,3
?
Ｂ
??
?
2,3
?
Ｃ
?
2,3,4
?
Ｄ
?
1,2,4
?

4.设集合
A?
?
x| ?9?x?1
?
,B?
?
x|?3?x?2
?
则A?B?< br> ( )
Ａ
?
x|?3?x?1
?
Ｂ
?
x|1?x?2
?
Ｃ
?
x|?9?x?2
?
Ｄ
?
x|x?1
?

【达标检测】
一、选择题
1.设集合
M?
?
x|x?2 n,n?Z
?
,N?
?
x|x?2n?1,n?N
?
则M?N
是 ( )
A
?
B M C Z D
?
0
?

２.下列关系中完全正确的是 ( )
Ａ
a?
?
a,b
?
Ｂ
?
a,b
?
?
?
a,c
?
?a

Ｃ
?
b,a
?
?
?
a,b
?
Ｄ
?
b,a
?
?
?
a,c
?
?
?
0
?

３.已知集合
M?
?
?1,1,?2,2
?
,N?
?
y|y?x,x?M
?
,则
M?N是 ( )
Ａ M Ｂ
?
1,4
?
Ｃ
?
1
?
Ｄ
?

４.若集合Ａ,Ｂ,Ｃ满足
A?B?A,B?C?C
,则Ａ与Ｃ之间的关系一定是( )
Ａ AC Ｂ CA Ｃ
A?C
Ｄ
C?A

５.设全集
U?
?
x|x?4,x?Z
?
,S?
?
?2,1,3
?
,若
C
u
P?S
,则这样的集合Ｐ共有( )
Ａ ５个 Ｂ ６个 Ｃ ７个 Ｄ８个
二、填空题
６.满足条件
?
1,2,3
?
?A?
?
1,2,3,4,5
?
的所有集合Ａ的个数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. < br>７.若集合
A?
?
x|x?2
?
,B?
?
x |x?a
?
,满足
A?B?
?
2
?
则实数
a
＝＿＿＿＿＿＿＿.
８.集合
A?
?
0,2,4,6
?
,C
U
A?
?
?1,?3,1,3
?
,C
U
B?
?
?1,0,2
?
,则集合Ｂ＝＿＿＿＿＿.
９. 已知
U?
?
1,2,3,4,5
?
,A?
?
1,3 ,5
?
,则
C
U
U?
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
10.对于集合Ａ,Ｂ,定义
A?B?
?
x|x?A且?B
?
,Ａ⊙Ｂ=
(A?B)?(B?A)
,
M?
?
1,2,3,4, 5,6
?
,N?
?
4,5,6,7,8,9,10
?
,则Ｍ ⊙Ｎ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
三、解答题
11.已知全集
U?
?
x?N|1?x?6
?
,集合
A?
?
x|x
2
? 6x?8?0
?
,
B?
?
3,4,5,6
?

(1)求
A?B,A?B
,
(2)写出集合
(C
U
A)?B
的所有子集.


设集合

12.已知全集Ｕ＝Ｒ,集合A?
?
x|x?a
?
,B?
?
x|1?x?2
?
,且
A?(C
U
B)?R
,求实数
a
的取值范围




13.设集合
A?x|3x
2
? px?5?0,B?x|3x
2
?10x?q?0
,且
A?B?
?< br>?
?
求
A?B
.







????
?
1
?
?
3?
1.1.3集合的基本运算(加强训练)
【典型例题】
1.已知集合
A?x|x
2
?15x?50?0,B?
?
x|ax?1?0
?< br>,若
A?B??
,求
a
的值.


2.已 知集合
A?
?
x|2a?x?a?3
?
,B?
?
x |x??1或x?5
?
,若
A?B??
,求
a
的取值范围.



3.已知集合
A?x|x
2
?3x?4?0 ,B?x|2x
2
?ax?2?0
若
A?B?A
,求
a的取值集合.


4.有５４名学生,其中会打篮球的有３６人,会打排球的人 数比会打篮球的多４人,另外这两种球都不会的人数是
都会的人数的四分之一还少１,问两种球都会打的 有多少人.



【课堂练习】
１.设集合
M?
?
x?Z|?3?x?2
?
,N?
?
n?Z|?1?n?3
?
,则
M?N?
( )
Ａ
??
????
?
0,1
?
Ｂ
?
?1,0,1
?
Ｃ
?
0,1,2
?


Ｄ
?
?1,0,1,2
?

２.设Ｕ为全集,集合
M?U,N?U且N?M
则 ( )
Ａ
C
U
N?C
U
M
Ｂ
M?C
U
N
Ｃ
C
U
N?C
U
M
Ｄ
C
U
M?
?
C
U
N
?

３.已知集合
M?
?
?
x|
x?3
?
x?1
?0
?
?
?
,N?
?
x|x??3
?
, 则集合
?
x|x?1
?
是 ( )
Ａ
N?M
Ｂ
N?M
Ｃ
C
U
(M?N)
Ｄ
C
U
(M?N)

4.设
A?
?
菱形?
,B?
?
矩形
?
,则
A?B?
＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿.
5.已知全集
U?
?
2,4,a
2
?a?1
?
,A?
?
a?1,2
?
,C
U
A??
7
?
则a?
＿＿＿＿＿＿＿.
【达标检测】
一、选择题
1.满足
?
1,3
?
?A?
?
1,3,5
?
的所有集合Ａ的个数 ( )
Ａ ３ Ｂ ４ Ｃ ５ Ｄ ６
2.已知集合
A?
?
x|? 2?x?3
?
,B?
?
x|x??1或x?4
?
,则
A?B?
( )
A
?
x|x?3或x?4
?
B
?
x|-1?
C
?
x|3?x?4
?
D
?
x|-2?x??1
?

3.设集合
S?
?x|x?2?3
?
,T?
?
x|a?x?a?8
?
,S ?T?R
,则
a
的取值范围是( )
A
?3?a??1
B
?3?a??1
C
a??3或a??1
D
a??3或a??1

4.第二十届 奥运会于２００８年８月８日在北京举行
A?
?
参加北京奥运会比赛的运动员
?
B?
?
参加北京奥运会比赛的男运动员
?
C?
?
参加北京奥运会比赛的女运动员
?
,则下列关系正确的是 ( )
Ａ
A?B
Ｂ
B?C
Ｃ
A?B?C
Ｄ
B?C?A

5.对于非空集合Ｍ和Ｎ,定义 Ｍ与Ｎ的差
M?N?
?
x|x?M且x?N
?
,那么
Ｍ－(Ｍ－Ｎ)总等于 ( )
Ａ Ｎ Ｂ Ｍ Ｃ
M?N
Ｄ
M?N

二.填空题
6.设集合
A?
?
(x,y)|x+2y=7
?
,B??
(x,y)|x?y??1
?
,则
A?B?
＿＿＿＿＿＿＿.
7.设
U?
?
x|x是不大于10的正整数
?
,A?
?
x|x
2
?20,x?N
?
?
,则
C
U
A?
＿＿＿＿.

,若集合
,

8.全集Ｕ＝Ｒ,集合
X?
?
x|x?0
?
,T?
?
y|y?1
?
,则
C
U
T与C
U
X的包含关系是＿＿.
）=
＿＿＿＿9.设全集
U?x|x是三角形,A?x|x 是锐角三角形
,
B?x|x是钝角三角形
,则
C（
U
A?B
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
10.已知集合
M?y|y=-2x+1，x?RN??
y|y?x?2,x?R
?
,则
M?N
＝＿＿＿.
三.解答题
11.已知
A?x|x
2
?ax?a
2
?19?0,B?x|x
2
?5x?6?0
,
C?x|x
2
?2x?8?0

①.若
A?B?A?B
,求
a
的值.
②.若
A?C?C
,求
a
的值.




12.
设U=R,M={
x|x?1
},N={
x|0? x?5
},求
C
U
M?C
U
N
.


13.设集合
A?
?
x|(x?2)(x?m)?0,m?R?
,B?x|x
2
?5x?6?0
,求
A?B
,
A?B
.



１．１．３集合的基本运算
【自主尝试】
1.
A?B?
?
3,4,5,6,7,8
?
,A?B?
?
5,8
?
,C
U
(A?B)??
1,2,9,10
?

2.
A?B?
?
x |?1?x?3
?
,A?B?
?
x|1?x?2
?
,CU
(A?B)?x|?2?x?1或2?x?5

3.
A?B?
?
?1,1,5
?
,A?B?
?
?1
?
,CU
(A?B)?
?
0,2,3,4
?

【典型例题】
由Venn图可得
A?
?
2,5,13,17,23
?
，< br>B?
?
2,11,17,19,29
?

提示：
A?
?
1,2
?
,∵
A?B?A
∴
B?A


?4?a?4


??
??
??
??
??????
??
??

3.①
a??2
; ②
a?4
; ③
?2?a?4

a
2
?2a?3?5
，
a??4
或
a?2
，
b?3

【课堂练习】 1-4:ACAA
【达标检测】
选择题 1-5:ACACD
填空题
6. 8 7. 2 8.
A?
?
?3,1,3,4,6
?
9.
?
10.
?
1,2,3,7,8,9,10
?

三．解答题∵ 11.(1)∵
A?
?
2,4
?
,B?
?
3, 4,5,6
?
∴
A?B?
?
2,3,4,5,6
?,A?B?
?
4
?

(2) ∵
U?
?< br>1,2,3,4,5,6
?
,A?
?
2,4
?
∴
C
U
A?
?
1,3,5,6
?
,
?
C
U
A
?
?B?
?
3,5,6
?
∴
?
C
U
A
?
?B
的所有子集是：
?
,
?
3
?
,
?
5
?
,
?
6
?
,
?
3,5
??
3,6
?
,
?
5,6
?
,
?
3,5,6
?

12.①当
a?1
时，
A?
?
C
U
B
?< br>?x|x?1或x?2?R
,∴
a?1
不合题意;
②当
1? a?2
时，
A?
?
C
U
B
?
?x|x?a 或x?2?R
，∴
1?a?2
不合题意;
③当
a?2
时，
A?
?
C
U
B
?
?
?
x|x?R
?
?R
符合题意
所以实数
a
取值范围是
a?2

13. ∵
A?B ?
?
?
?
，∴
?
是方程
3x?px?5?0
和
3x?10x?q?0
的解，
??
??
?
1
?
?
3
?
1
3
22
代入可得
p??14 ,q?3
，∴
A?x|3x?14x?5?0?
?
?,5
?

?
2
?
?
1
?
3
?
?
?
1
??
1
?
B?
?
x|3x
2
? 10x?3?0
?
?
?
?,?3
?
，
A?B??
?,?3,5
?

?
3
?
?
3?
１．１．３集合的基本运算（加强训练）
【课堂探究】
1.
A?
?
5,10
?
若
B?
?
，
a?0
，
A?B??
不合题意
111
?
1
?
1
B?
?
，
B?
??
，
?5,a?
或
?10,a?

5a10
?
a
?
a

2. ①若
A?
?
，
a?3?2a,a?3

?< br>a?3?2a
1
?
②若
A?
?
，
?
2a??1,??a?2

2
?
a?3?5
?
综上：
a?3
或
?
1
?a?2

2
3. 提示:
A?
?
?1,4
?
,因为
A?B?A
所以
B?A
,
?4?x?4

4. 设54名同学组成的集合为U,会打篮球的同学 组成的集合为A，会打排球的同学组成的集合为B，这两种球都会打
的同学的集合为X，设X中元素个数 为
x
，，由
Venn
图得：
?
36?x
?
?
?
40?x
?
?x?
?
?
1
?
x?1
?
?54
，解得
x?28
，所以两种球都会打的有28人。
?
4
?
【课堂练习】 1-3：BDD 4.
正方形
，5.
a?3

【达标检测】
一、选择题 1－5：BDADC
二．填空题
6.
?
?
,
?
?
7.
?
5,6,7,8,9,10
?
8.
C
U
X
三．解答题
??
?
?
58
?
?
?
?
33
?
?
C
U
T 9.
?
直角三角形
?
10. R
?
a?5
11. （1）因为
A?B=A?B
所以A=B=?
2,3
?
所以
?
2
得
a?5
?
a?19?6
（2）因为
A?C?C
,所以
C?A
, 又因为
C?
?
2,4
?
，
?
?
a??2
?
a?19??8
2
无解,所以不存在实数
a
使
A ?C?C
。
12.
C
U
M?
?
x|x?1?
,C
U
N?x|x?0或x?5
，
C
U
M? C
U
N?x|x?0或x?1

13.
B?
?
?1,6
?

当
m?2
时
A?
?
2
?
,
A?B?
?
?1,2,6
?
,
A?B?
?

当
m??1
时,
A?< br>?
?1,2
?
,
A?B?
?
?1,2,6
?
,
A?B?
?
?1
?

当
m?6
时,
A?
?
2,6
?
,
A?B?
?
?1,2,6
?
,
A?B?
?
6?
;
当
m?2,m??1,m?6
时，
A?
?
2,m
?
，
A?B?
?
?1,2,6,m
?
，< br>A?B?
?

????