高中数学一轮复习-集合运算的解题技巧

集合运算的解题技巧
高考对集合运算的考查是一个热点，经常考 查具体的运算，多数情况下会与求函数定义
域、值域、解不等式、求范围等问题联系在一起。
解答集合题目，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确
求解的两个先决条 件。简言之为三步走：
第一步，对谁运算，即看清楚集合的代表元素是谁；
第二步，运算法则，即对集合进行化简；
第三步，运算结果，即进行集合的交并补运算。 < br>例：已知集合A＝{x|－x
2
＋2x＋3>0}，B＝{x|x－2<0}，则A∩B ＝_______.

例题1 设函数f(x)=lg(
1?x
)，集合 A={x|y=f(x)}，B={y|y=f(x)}，则图中阴影部分表
示的集合为（ ）
2

A. [-1,0] B. （-1,0）
C.
?
??,?1
?
?
0,1
?
D.
?
??,?1
?
?
0,1
?

解析： 要求阴影部分表示的集合，首先要知道集合A、B分别表示什么样的集合，然后
再进行集合的运算。
答案：对集合A
第一步——对谁运算：对实数x运算。
第二步——运算法则：x需满足
1?x
>0。
解得-1对集合B
第一步——对谁运算：对实数y运算。
第二步——运算法则：由0<
1?x
?
1得，lg(
1?x
)
?
0，即y
?
0。
故B={y| y
?
0}。
第三步——运算结果：阴影部分表示的是除了集合A与B交集的所有元素构成的集合。
22
2
由数轴可以看到，AB={x|-1?
0}。

所以阴影部分表示的是
?
R
?
A
故选D。
B
?
={x|x
?
-1，或0点拨：求集合 的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然是集合，区分交集与并
集的关键是“且”与“或”，在 处理有关交集与并集的问题是，常常从这两个字眼出发去揭
示、挖掘题设条件，并结合Venn图或数轴 进行直观表达，达到解题的目的。

例题
2
设全集是实数集
R
，
A={x|
2x
2
?7x?3?0
}
，
B={x|
x
2
?a?0
}
，若
?
?A
?
R
B?B
，则实数
a
的取值范围是

。

解析：解答本题要注意弄清楚集 合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集
合之间的间接关系转化为直接关系进行求解。
答案：对集合A
第一步——对谁运算：对实数x进行运算。
第二步——运算法则： 实数x满足
2x?7x?3?0
，解得
第三步——运算结果：A={x|
对集 合B
第一步——对谁运算：对实数x进行运算。
第二步——运算法则：实数x满足
x?a?0
。
第三步——运算结果：不知道。
根据
?
R
A
2
2
1
?x?3
。
2
1
?x?3
}。
2
??
B?B
，可知
B??
R
A
，即AB=
?
。
B=
?
； （1）当B=
?
，即a
?
0时，满足A
（2）当B
?
?
，即a<0时，B={x|
??a?x?
则 只需
?a?
?a
}，由数轴可知，要使AB=
?
，
11即可解得
??a?0
。
24
综上可知，实数a的取值范围是{a|a
??
1
}。
4

点拨：在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化 为最
简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会
运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简捷。


挖掘集合中的新定义问题
以集合为背景的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常 见的命题形式有新
概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决 问题
的能力。

满分训练 已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x, y)|x
?
A,y
?
A,x-y
?
A}，则B中所含元素的
个数为（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
解析：根据新定义确定出集合B中的元素.
答案：方法一（列表法）：因为x< br>?
A,y
?
A，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5。故x，y
及x-y的取值如下表所示：
x y
1
2
1
0
1
2
-1
0
3
-2
-1
4
-3
-2
5
-4
-3

3
4
5
2
3
4
1
2
3
0
1
2
-1
0
1
-2
-1
0
由题意得，x-y
?
A，故x-y只能取1,2,3,4，由表可知，实数对（x，y ）的取值满足条件
的共有10个，即B中的元素个数为10，故选D。
方法二（直接法）：因 为A={1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都为正数，若x-y
?
A则
必有 x-y>0，即x>y。
当y=1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；
当y=2时，x可取3,4,5，共有3个数；
当y=3时，x可取4,5，共有2个数；
当y=4时，x可取5，共有1个数；
当y=5时，x不能取任何值。
综上，满足 条件的实数对（x，y）的个数为4+3+2+1=10，即集合B中的元素共有10
个，故选D。 < br>点拨：求解集合中的新定义问题，主要抓亮点：（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特
点，把新 定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新
定义型集合问题难点的 关键所在；（2）用好集合的性质，集合问题的基础，也是突破口，在
解题时，要善于从试题中发现，可 以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质。


1. 已知集合M?{x|?3?x?1}
，
N?{?3,?2,?1,0,1}
，则
M N?
（ ）
A.
{?2,?1,0,1}
B.
{?3,?2,?1,0}
C.
{?2,?1,0}
D.
{?3,?2,?1}

2
2. 已知集合A＝｛x｜
x?2x ?3?0
｝，B＝｛x｜
?2?x?2
｝则AB＝（ ）
A. [－2，－1] B. [－1,1] C.
?
?1,2
?
D.
?
1,2
?

1
??
?x?n
?
，且M，N都是集合
3
???
x|0?x?1
?
的子集，如果把
b?a
叫做集合
?
x|a?x?b
?
的“长度”。那么集合
MN?
**3. 集合M=
?
x|m?x?m?
?
，N=
?
x|n?
?
?
3
?
4
?
的“长度”的最小值是（ ）
215
C. D.
31212
22
2
*4. 集合M＝｛（x,y）｜
x?y
＝1，x
?
R，y
?
R｝，N＝｛（x,y）｜
x?y?0
，x
?
R，
y
?
R｝，则集合MN中元素的个数为（ ）
A. B.
A. 1
5. 已知集合M＝｛x｜
B. 2 C. 3 D. 4
1

3
x?3
? 0
｝，N＝｛x｜
x??3
｝，则集合｛x｜
x?1
｝＝（ ）
x?1
A. MN B. MN C.
?
N
?
D.
?N
?

U
?
M
U
?
M
6. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）

A.
?
M
B.
?
M
C.
?
M
D.
?
M
P
?
S

P
?
S

P
?

?
?S
?

P
?
?
?
I
S
?

I
2
7. 集合A＝｛0，2，a｝，B＝｛1，
a
｝若
A
，则a的值为（ ）
B
＝｛0，1，2，4，16｝
B＝
A.0 B.1 C.2 D.4
*8.已知A＝｛x｜x＞3，或x＜－1｝，B＝｛x｜
a? x?b
｝，若
AB
＝R，A
?
x|3?x?4
?
， 则a，b的值分别为 。
A
?
B＝
?
x|x?x ?x
?
x?x
?
,x?A,x
12121
*9.设集合A＝ ｛－2,1｝，B＝｛－1,2｝，定义集合
2
?B
?
，则A
?B中所有元素之和为 。
10. 已知集合A＝｛4，5，7，9｝，B＝｛3，4，7，8，9｝，全集U＝
A
中的元素个数为 。
*11. 对于
a,b?N
，现规定：
则集合
?
B< br>，
B
?
U
?
A
)
?
a?b(a与b 的奇偶性相同
，
a*b?
?
)
?
a?b(a与b的奇偶性 不同
集合
M?
?
?
a,b
?
a*b?36,a,b ?N
?
?

（1）用列举法表示
a,b
奇偶性不同时的集合
M
；
（2 ）当
a
和
b
的奇偶性相同时，集合
M
中共有多少个元素？
**12. 定义“
?
”与“
?
”是两个运算符号，且满足如下运算 法则：对任意的a，b
?
R，
有
a?b?ab
，
a?b?
a?b
，设
U?
?
cc?(a?b)?(a?b),?2?a?b? 1,a,b?Z
?
，
2
(a?b)?1
?a?b?
A?< br>?
dd?2(a?b)?,?1?a?b?2,a,b?Z
?
，求
C< br>U
A
。
b
??

1. C 解析：因为
M?{x|?3?x ?1}
，
N?{?3,?2,?1,0,1}
，所以
M
选C。
2. A 解析：A＝｛x｜
x??1
，或
x?3
｝，故A
N?
{?2,?1,0}
，
3. C 解析：由“长度”定义知，当
m, n
分处
?
x|0?x?1
?
两端，即
m?0,n?1
时，集
B＝[－2，－1]，选A。
3
???
2
?
N< br>的“长度”最小，此时M=
?
x|0?x?
?
，N=
?
x|?x?1
?
，
4
???
3
?
3
?< br>321
?
2
M
N
=
?
x|?x?
?
，所以最小值是
??
。
4
?
4312
?
3
22
2
4. B 解 析：
x?y
＝1表示圆心在坐标原点的单位圆，
x?y?0
表示顶点在原点、 开
合M
口向上的抛物线，由数形结合可知，有两个交点，故选B。
5. D 解析 ：M＝｛x｜
x?3
＝｛x｜－3＜x＜1｝，
M
?0
｝
x ?1
｛x｜x＜1｝，
?
N
＝
N
?
U
?< br>M
＝｛x｜
x?1
｝，故选D。
6. C 解析：由题图可知选C。
7. D 解析：因为
A
2
，所以a＝4，
a
＝16，故选D。
B
＝｛0，1，2，4，16｝
8. －1,4 解析：画出数轴可知，a＝－1，b＝4。
9. 0 解析：由定义可得A
?
B＝｛－6,0，6｝，故所有元素之和为0。
10. 3 解析：U＝｛3,4,5,7,8,9｝，
A
集合
?
U
?
A
，则
?
，故
B
＝｛4，7，9｝
B
?
＝｛ 3，5，8｝
U
?
A
B
?
中共有3个元素。
11. 解析：（1）当
a,b
奇偶性不同时，
a*b?a?b?36
，则满足条件的
?
a,b
?
有
?
1,36
?，
故集合
M
可表示为：
M?
?
?
1,36?
,
?
3,12
?
,
?
4,9
?,

?
3,12
?
，
?
4,9
?，
?
9,4
?
，
?
12,3
?
，?
36,1
?
，
?
9,4
?
,
?12,3
?
,
?
36,1
1,36
?
,
?
3,12
?
,
?
4,9
?
,
?
9,4
?
,
?
12,3
?
,
?
36,1
?
?
。
（2）当
a,b
奇偶性相同时，
a*b? a?b?36
，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和
为偶数，故
36?1?35?2? 34?3?33?????17?9?18?18?19?17?????35?1

所以当
a,b
奇偶性相同时，这样的元素共有35个。
12. 解析：由< br>?2?a?b?1
，且
a,b?Z
，可知
a??1,b??1
或
b?0
；
a?0,b?0
。
根据题中对符号“
?
”与“
?
”及其运算法则的约定，有：
(?1)?(?1)
?1
。
2
(?1?1)?1
(?1)?01
??
（2）若
a??1 ,b?0
，则
c?(a?b)?(a?b)?(?1)?0?
。
(?1?0)
2
?12
0?0
?0
。 （3）若
a ?0,b?0
，则
c?(a?b)?(a?b)?0?0?
(0?0)
2?1
?
1
?
由（1）（2）（3）可知，
U?
?
?,0,1
?
，下面确定集合A。
?
2
?
由
? 1?a?b?2,a,b?Z
，可知
a?0,b?1
。
a?b0?11?
1
?
?2?0?1???
A?
此时
d?2(a?b) ?
，所以
?
?
?
。
2
b(0?1)?12
?
2
?
?
1
??
1
?
由
U?< br>?
?,0,1
?
，
A?
?
?
?
，可 得
C
U
A?
?
0,1
?
。
?
2
?
?
2
?
（1）若
a??1,b??1
，则
c?(a?b)?(a?b)?(?1)?(?1)?