黄冈中学高中数学集合公式定理概念汇总

黄冈中学
必修1集合
概念公式定理汇总
黄冈中学高考数学知识
点
解集合题首先想到
Φ
方程无解

一，数学思想应用


1、数形结合思想 在解集合题中的具体应用:

数轴法, 文氏图法, 几何图形法 数几文



2、函数与方程思想 在解集合题中具体应用:

函数法 方程法 判别式法 构造法



3、分类讨论思想 在解集合题中具体应用:

=

列举法 补集法 空集的运用 数学结合



4、化归与转化思想 在解集合题中具体应用:

列方程 补集法 文氏图法


二,集合的含义与表示方法

1、一般地，我们把研究对象统称为元素
把一些元素组成的总体叫做集合

2、集合元素三特性
1.确定性； 2.互异性； 3.无序性

3、 a是集合A的元素，a∈A a不属于集合A 记作 a?A
立体几何中体现为 点与直线 点与面 的关系
元素与集合之间的关系


4、非负整数集（自然数集）记作：N 含0
正整数集N*或 N+ 不含0
整数集Z 有理数集Q 实数集R


3、集合表示方法： 列举法 描述法 韦恩图

4、列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括上。

描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，写在大括号内表
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：不等式x-3>2的解集是
{x?R| x-3>2}
?
{x| x-3>2}

集合的分类： 有限集 无限集 空集

三、集合间的基本关系
“包含”关系—子集
A?B
有两种可能
立体几何中体现为 直线与面关系
（a）A是B的一部分
?
B
?
B
?
?
A （b）A与B是同一集合。反之: A
?

（c）A∩B=A

（d）A∪B=B

?
A?B
?
C
U
B?C
U
A
B?C
U
A
?
A?B
?
C
U
（e）
B?A
C
U
A?C
U
B

2．“相等”关系(5≥5，且5≤55=5)
① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

?
?
②真子集:如果 A?B且A? B AB或BA

③A?B, B?C A?C

④ A?B 且B?A A=B
A?B?A?B?A?B


我们把不含任何元素的集合叫做空集，
Φ

?
?
?

规定: 空集是任何集合的子集，
Φ
?A

空集是空集的子集
Φ
?
Φ

空集是任何集合的子集该集合可为空集，必考虑
Φ


空集是任何非空集合的真子集
?

Φ
A∩B A∩B集合一定非空方程有解


四、集合的运算

1．A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、A∪B={x|x∈A，或x∈B}．且 与 或 是区分交与并的关键

3、交集与并集的性质：

A∩A = A A∩φ= φ A∩B = B∩A

A∪A = A A∪φ= A A∪B = B∪A

4、全集与补集
（1）补集： C
S
A ={x ? x?S且 x?A}
??
S

C
s
A
A


（2）全集：含各个集合的全部元素U


（3）性质： C
U
(C
U
A)=A C
U
U=
Φ
C
U
Φ
=U

(C
U
A)∩A=
Φ
(C
U
A)∪A=U

A?B
C
U
A∩B=
Φ
C
U
A∪B=U
B
? A


??

已知集合A、B，当
A?B??
时，你是否注意到“极端”情况：

A??
∪
B??
∪
A??
∩
B??
； 求集合的子集时不能忘记
?


1、对于含有n个元素的有限集合M, 其子集个数
2
n
，
真子集
2
n
?1，

非空子集
2
n
?1，
非空真子集为
2
n
?2.


① 交换律：
A?B?B?A
；
A?

② 结合律：
(A?B)?C?A?(B?C)
；
(A?

③ 分配律：
A?(B?

④
A?(A?B)

(A?B)?A

(A?B)?(A?B)

A?B?B?B?A

B?B?A
；
B)?C?A?(B?C)

C)?(A?B)?(A?C)
；
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)


(A?B)?B

B?(A?B)

(A?B)?(A?B)

A?B?A?A?B

A?B?A?B?A
；
(C
U
A)?B?U?A?B
；
(C
U
A)?B???B?A
；

⑤ 反演律：
C
I
(A?B)?C
I
A?C
I
B
， 并补补交

C
I
(A?B)?C
I
A?C
I
B
交补补并

(C
U
A)?


A?B
中元素的个数的计算公式为：
(C
U
B)?C
U
(A?B)
； 补交并补
B)
补并交补
(C
U
A)?(C
U
B)?C
U
(A?

Card(A?B)?CardA?CardB?Card(A?B)
二并和减交

Card(A?B)?CardA?CardB?Card(A?B)
二交和减并

card(AUBUC)?cardA?cardB?cardC?card( AIB)
?card(AIB)?card(BIC)?card(CIA)?card(AIBIC)
三并和减交加交

(1) 元素与集合的关系：
x?A?x? C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
AIB?A?AUB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A
? AIC
U
B???C
U
AUB?R

注意：讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情况.

3. ①{（
x，y
）|
xy
=0，
x
∈
R
，
y
∈
R
}坐标轴上的点集.
②{（
x，y
）|< br>xy
＜0，
x
∈
R
，
y
∈
R
?
二、四象限的点集.
③{（
x，y
）|
xy
＞0，
x
∈
R
，
y
∈
R
} 一、三象限的点集.

②点集与数集的交集是
?
.
例：A ={(
x
，
y
)|
y
=
x
+1} B={
y
|
y
=
x
+1} 则
A
∩
B
=
?

包含关系：
A?A,? ?A,A?U,
C
U
A?U,
A?B,B?C?A?C;AIB?A,AIB ?B;AUB?A,AUB?B.
2

等价关系：
A?B?AI



分配律:.
A?
B?A?AUB?B?C
U
AUB?U

(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)

?IA??,?UA?A,UIA?A,UUA?U

A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩C
U
A=φ A∪C
U
A=U

包含关系
AIB?A?AUB?B?A?B?C
U
B?C
U
A
?AIC
U
B?? ?C
U
AUB?R


定理1 集合的性质：对任意集合
A
，
B
，
C
，有：
（1）
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);
（2）
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
；
（3）
C
1< br>A?C
1
B?C
1
(A?

B);
（4）
C
1
A?C
1
B?C
1
(A?B).

【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若
x?A?
即
x?(A?
则
x?A
，且
x?B
或
x?C，所以
x?(A?B)
或
x?(A?C)
，
(B?C)
，
B)?(A?C)
；反之，
x?(A?B)?(A?C)
，则
x? (A?B)
或
x?(A?C)
，
(B?C).
即
x?A< br>且
x?B
或
x?C
，即
x?A
且
x?(B? C)
，即
x?A?
（3）若
x?C
1
A?C
1B
，则
x?C
1
A
或
x?C
1
B，所以
x?A
或
x?B
，所以
x?(A?B)
，又x?I
，所以
x?C
1
(A?B)
，即
C
1< br>A?C
1
B?C
1
(A?B)
，反之也有
C
1
(A?B)?C
1
A?C
1
B.

分配律
1 (A∩B)∪C = C∪(A∩B) = (A∪C)∩(B∪C)
(A∪C)∩(B∪C)= C∪(A∩B)= (A∩B)∪C
2 (A∪B)∩C = C∩(A∪B) = (A∩C)∪(B∩C)
(A∩C)∪(B∩C) = C∩(A∪B) = (A∪B)∩C

吸收律 A∪(A∩B) = A A∩(A∪B) = A

传递性：A?B且B?C ? A?C；

A?C，B?C ? A∪B?C A?A∪B

C?A，C?B ? C?A∩B A∩B?A

若
A
∪
B
= U 且
A
∩
B
= ? 则
B
=
A
。

? ?
A
?
S


C
A-B-C =A-(B+C)=A
∩C
U
(B∪C) 减交补