高中数学集合与函数试题

一、集合与函数
命题人：广东广雅中学 吴新华 付院花
1．（人教版第14页B组第1题）
已知集合
A?
?
1,2
?
，集合
B
满足
AUB?
?
1,2
?
， 则集合
B
有 个.
变式1：已知集合
A?
?
1, 2
?
，集合
B
满足
AUB?A
，集合
B
与 集合
A
之间满足的关
系是
解：
B?A

变式2：已知集合
A
有
n
个 元素，则集合
A
的子集个数有 个，真子集个数有 个
解：子集个数有
2
n
个，真子集个数有
2
n
?1
个
变式 3：满足条件
?
1,2
?
UA?
?
1,2,3
?< br>的所有集合
A
的个数是 个
解：3必须在集合
A
里面 ，
A
的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个.
设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系
2．（人教版第14页A组第10题）
已知集合
A?
?
x|3?x?7
?
，
B?
?x|2?x?10
?
，求
C
R
(AUB)
，
C
R
(AIB)
，
(C
R
A)IB
，
AU( C
R
B)

变式1：已知全集
U?R,
且
A?x| x?1?2,B?x|x
2
?6x?8?0,
则
(C
U
A) IB
等于 A.
[?1,4)
B
(2,3)
C
(2,3]
D
(?1,4)

解：答案为C，集合
A?
?
x||x?1|?2
?
?
?
x|x?3或x??1
?
，
所以
C
U
A?
?
x|?1?x?3
?
，集合
B?x|x
2
?6x?8?0?
?
x|2 ?x?4
?
，
所以
(C
U
A)IB
为
(2,3]

变式 2：设集合
A?xx?2?2,x?R
，则
C
R
?
AIB< br>?
B?y|y??x
2
,?1?x?2
，
等于（ ）
A．
R
B．
xx?R,x?0
C．
?
0
?
D．
?

解 ：
A?[0,4]
，
B?[?4,0]
，所以
C
R
?
AIB
?
?C
R
{0}
，故选B。
变式3．已 知集合
P?
?
x?N|1?x?10
?
,
集合
Q? x?R|x?x?6?0,
则
PIQ
2
??
??
??
??
??
??
??

等于
（A）
?
1,2,3
?
（B）
?
2,3
?
（C）
?
1,2
?
（D）
?
2
?

解：集合
Q?x?R|x
2
?x?6?0?
?
?3,2?
，所以答案为D.
设计意图：结合不等式考察集合的运算
3．（北师大 版第21页B组第2题）已知集合
A?1,3,?a
3
，
B?
?1,a?2
?
，是否存
在实数
a
，使得
B?A
，若存在，求集合
A
和
B
，若不存在，请说明理由.

变 式1：已知集合A＝
{
－1，3，2
m
－1
}
，集合B＝< br>{
3，
m
}
．若
B?A
，则实数
m
＝ ．
解：由已知
m?2m?1?m?2m?1?0?m?1

变式2：
A?x|x
2
?x?6?0
，
B?
?
x |mx?1?0
?
，且
AUB?A
，则
m
的取值范
围是______ .
解：
A?x?R|x
2
?x?6?0?< br>?
?3,2
?
，当
B??
时，当
m?0
时，
x??
m?0
，
所以
?
22
2
??
??
??
??
1
，
m
11
?
1111< br>?
?2
或
???3
，所以
m??
或
m??< br>，所以
m?
?
0,?,
?

23
?
mm23
?
变式3：设
A?x|x
2
?4x?0
，
B?x|x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
且
AIB? B
，
求实数
a
的值.
解：
A?
?
?4, 0
?
，因为
AIB?B
，所以
B?A
，所以
B??
或
B?
?
?4
?
或
B?
?
0?
或
????
B?
?
?4,0
?
，当
B??
时，
??4(a?1)
2
?4(a
2
?1)?0?a ??1
，当
B?
?
?4
?
或
B?
?
0
?
时，
??0?a??1
，
B?
?
0
?
符合题意，当
B?
?
?4,0
?
时，
?
?4?0??2(a?1)
?a?1

?
2
?
?4?0? a?1
所以
a??1
或
a?1

设计意图：结合参数讨论考察集合运算
4．（北师大版第38页B组第1题）设函数
f(x)?
3
3x?2
，
g(x)?
1
，求函数
2 x?3

f(x)gg(x)
的定义域.
变式1： 函数
f( x)?
3x
2
1?x
?lg(3x?1)
的定义域是
1
3
11
33
1
3
A.
(?,??)
B.
(?,1)
C.
(?,)
D.
(??,?)

1
3解：由
?
?
1?x?0
1
???x?1
，故选B. < br>3
?
3x?1?0
变式2：设
f
?
x
??lg
2?x
?
x
??
2
?
，则
f< br>??
?f
??
的定义域为
2?x
?
2
??
x
?
A.
?
?4,0
?
?
?
0,4
?
B.
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?

C.
?
?2,?1
?
?
?
1,2
?
D.
?
?4,?2
?
?
?
2,4
?
< br>?
?2?
?
2?x
?
解：选C.由
?0
得，
f(x)
的定义域为
?
x|?2?x?2
?
。故
?
2?x
?
?2?
?
?
x
?2,
2
，解得
2
?2.
x
?
x
??
2
?
x?
?
?4,?1
?
U
?
1,4
?
。故< br>f
??
?f
??
的定义域为
?
?4,?1
?
U
?
1,4
?

?
2
??
x
?
设计意图：考察函数的定义域
5．（人教版第84页B组第4题）
已知函数
f(x)?log
a
(x?1)
，
g(x)?log
a
(1?x)(a?0
，且
a?1)

（1） 求函数
f(x)?g(x)
定义域
（2） 判断函数
f(x)?g(x)
的奇偶性，并说明理由.
变式1：已知
f(x )?ax?bx?3a?b
是偶函数，定义域为
[a?1,2a]
.则
a?< br> ，
2
b?

解：函数是偶函数，所以定义域关于原点 对称.∴
a?1??2a?a?
1
，
b?0

3
9?x
2
变式2：函数
y?
的图象关于 （ ）
|x?4|?|x?3|
A．
x
轴对称 B．
y
轴对称 C．原点对称 D．直线
x?y?0
对称

9?x
2< br>9?x
2
?
解：函数定义域为
9?x?0??3?x?3
，所 以
y?
，所以函
4?x?3?x7
2
数为偶函数，图像关于
y
轴对称.
变式3：若函数
f(x)?log
a
(x?x
2
?2a
2
)
是奇函数，则
a?

解：由于
f(x)?log
a
(x?x
2
?2a
2
)
是奇函数，∴
f(?x)?f(x)?0
，
即
lo g
a
(x?x
2
?2a
2
)?log
a
( ?x?x
2
?2a
2
)?0
，
∴
log
a
2a?0?2a?1?a??
设计意图：考察定义域与奇偶性
6．（人教版83页B组第2题）
若
log
a
22
22
，又
a?0
，∴
a?

2
2
3?1(a?0
，且
a?1)
，求实数
a
的取值范围.
4

D．
(0,)


1?a
2
?0
，则
a
的取值范围是 （ ） 变式1：若
log
2a
1?a
A．
(,??)

1
2
B．
(1,??)
C．
(,1)

1
2
1
2
1?a
2
1?a
2
11
?0
，
?1
?0?a?1
，解：当
2a?1?a?
时，若< br>log
2a
则
0?
∴
?a?1

1?a1? a
22
1?a
2
1?a
2
1
?0
，则?1
?
a?1
，此时无解！ 当
1?2a?0?0?a?
时，若
log
2a
1?a1?a
2
所以选C
2xx
变式 2：设
0?a?1
，函数
f(x)?log
a
(a?2a?2)，则使
f(x)?0
的
x
的取值范围是
（A）
(??,0)
（B）
(0,??)

2x
（C）
(??,log
a
3)
（D）
(log
a
3,??)

解：要使
f(x)?0，且
0?a?1
，所以
a?2a
x
?2?1
?
a
2x
?2a
x
?3?0
?

(a
x?3)(a
x
?1)?0?a
x
?3
，又
0?a?1< br>，∴
x?log
a
3
，故选C.
设计意图:考察对数函数的单调性
7．（人教A版126页B组第1题）
经济学家 在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数
量（因变量），下列供 求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲

线？为什么？（图略 ）
变式1：某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10℃，令G（t）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间
的 函数关系用下列图象表示，则正确的应该是




?c 10
（ ）
G(t)
G(t)
10?c
10?c

G(t)


t
6
12
O
6
12
t
O 6 12
t O







10?c




答案：A
O
图（1）
A
B
G(t)
G(t)
10?c
12
6 t t
O 6 12
C
D
变式2：为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格
a
与其前三个月的市场收
购价格有关，且使
a
与其前三个月的市场收 购价格之差的平方和最小．若下表列出的是
该产品前6个月的市场收购价格：
月份
价格（元担）

1
68
2
78
3
67

C．71元
4
71
5
72

D．72元
6
70
7

（ ） 则7月份该产品的市场收购价格应为
B．70元 A．69元

答案：C
设计意图：考察学生读图、读表的能力
8．（人教版43页B组第3题）
已知函数
f(x)
是偶函数，而且在(0,??)
上是减函数，判断
f(x)
在
(??,0)
上是增 函数
还是减函数，并证明你的判断.
变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
3
A.
y??x,x?R
B.
y?sinx,x?R

C.
y?x,x?R
D.
y?(),x?R

解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是 奇函数又是增函数;D
在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
变式2：函数
y?f(x)
是R上的偶函数，且在
(??,0]
上是增函数，若
f(a)? f(2)
,则
实数
a
的取值范围是 （ ）
A.
a?2
B.
a??2
C.
?2?a?2
D.
a??2
或
a?2
解：当
a?0
时，∵函数
y?f(x)
是R上的偶函数，且在
( ??,0]
上是增函数，∴
y?f(x)
在
(0,??)
上是减函数 ，所以若
f(a)?f(2)
，则
a?2
，当
a?0
时，函 数
y?f(x)
是
R上的偶函数，且在
(??,0]
上是增函数，且
f(?2)?f(2)
，∴
a??2
，故选D
设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系
9．（人教版第49页B组第4题）
已 知函数
f(x)?
?
1
x
2
?
x(x?4),x? 0
，求
f(1)
，
f(?3)
，
(a?1)
的值
x(x?4),x?0
?
?
e
x
,x?0.
1变式1：设
g(x)?
?
则
g(g())?
_________ _
2
?
lnx,x?0.
1
ln
111
解：g(g())?g(ln)?e
2
?
.
222
?
(3 a?1)x?4a,x?1
f(x)?
变式2：已知是
(??,??)
上的减 函数，那么
a
的取值范围
?
?
log
a
x,x?1
是

A.
(0,1)

C.
[,)













B.
(0,)

D.
[,1)

1
3
11
73
1
7
解：分段函数的单调性需分段处理.答案选C
2
?
x?1
?(x?1)
变式3：设函数f（x）=
?
则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围
x?1
?
?
4?x?1
为
A.（－∞，－2］∪［0，10］
C.（－∞，－2］∪［1，10］






B.（－∞，－2］∪［0，1］
D.［－2，0］∪［1，10］
解：当x＜1时，f（x）≥1
?
（x+ 1）
2
≥1
?
x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.
当x ≥1时，f（x）≥1
?
4－
x?1
≥1
?
综上，知x≤－ 2或0≤x≤10.
答案：A
设计意图：考察分段函数的概念和性质
10．（北师大版54页A组第5题）
对于下列函数，试求它们在指定区间上的最大值或最小值，并指出这时的
x
值
（2）
y??2x?x?1
，
x?[?3,1]

变式1： 函数
y?a
在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则
a
的值为（ ）
A．
x
2
x?1
≤3
?
1≤x≤10.
11
B.2 C.4 D.
24
x
解：当
a?1
或
0?a?1
时，函数
y?a
都是 定义域上的单调函数，
∴
a?a?3?a?2
，故选C.
变式2：若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍，则
a
的值为（ ）
A．
01
2

4
B．
2

2
C．
1

4
D．
1

2
解：∵
0?a?1
，∴
f(x)
是定义域上的减函数，所以f(x)
max
?log
a
a?1
，

f (x)
min
?log
a
2a
，∴
1?3log
a
2a?a?(2a)
3
?8a
2
?1?a?
设计意图：考察 函数的最值
11.（人教版65页第8题）
已知下列等式，比较
m
，
n
的大小
（1）
2
m
?2
n
(2)
0.2?0.2

变式1：设
mn
2
，故选A
4
11
b
1
?()?()
a
?1
，那么 （ ）
222
A.a
a
＜a
b
＜b
a
B.a
a
＜ b
a
＜a
b

C.a
b
＜a
a
＜b
a
D.a
b
＜b
a
＜a
a

解：由
11b
1
?()?()
a
?1?1?b?a?0
，在A和B中，y?a
x
(0?a?1)
在定义域
222
n
ab
内是单调递减的，∴
a?a
，所以结论不成立.在C中，
y?x(n?0)
在
(0,??)
内是
单调递增的，又
a?b?a?b
，所以答案为C .
变式2：已知
log
1
b?log
1
a?log
1
c
，则 （ ）
222
aa
A．
2?2?2
B.
2?2?2

B.
2?2?2
D.
2?2?2

解：由已知
b?a?c
，因为
y?2在定义域内是单调递增的，所以
2?2?2

答案为A.
变式3：已知 函数
y?f(x)
的图象与函数
y?a
（
a?0
且
a?1
）的图象关于直线
y?x
对称，记
g(x)?f(x)[f(x)?2 f(2)?1]
．若
y?g(x)
在区间
[,2]
上是增函数，则实 数
a
的取值范围是（ ）
A．
[2,??)
B．
(0,1)?(1,2)
C．
[,1)
D．
(0,]

分析：本题根据反函数的定义求出
f(x)
的解析 式，再用换元法判断
g(x)
的单调性，结合条
件
y?g(x)
在区 间
[,2]
上是增函数，求出实数
a
的取值范围是，答案为D
设计意图：考察指、对数函数的单调性
12．（人教版48页A组第8题）
xx
bacabc
cbacab
bac
1
2
1
2
1
2
1
2

1?x
2
1
设< br>f(x)?
，求证：（1） （2）
f()??f(x)

f(? x)?f(x)
1?x
2
x
变式1：函数
f
?
x< br>?
对于任意实数
x
满足条件
f
?
x?2
?< br>?
1
，若
f
?
1
?
??5,
则f
?
x
?
f
?
f
?
5
??
?
__________.
解：
f(3)?f(1?2)?
111
??
，
f(5)?f(3?2)???5
，又
f(1)5f (3)
f
?
x?2
?
?
1
1
，∴
f(x)?
，
f
?
x
?
f(x?2)
∴
f(?5)?
1111
??f(?1)???

f(?5?2)f(?3)f (1)5
变式2：若奇函数
f
?
x
?
(x?R)
满 足
f(2)?1,f(x?2)?f(x)?f(2)
，则
f(5)?

解：由已知
f(5)?f(3)?f(2)?f(3)?1?f(1)?f(2)?1?f(1 )?2
，令
x??1
，则
f(1)?f(?1)?1
，又∵
f
?
x
?
是奇函数，所以
f(?1)??f(1)
， ∴
f(1)??f(1)?1?f(1)?
11
，∴
f(5)?2

22
1
，则
f(x)
等
x?1
变式3：函数< br>f(x)
是一个偶函数，
g(x)
是一个奇函数，且
f(x)?g(x )?
于
1
A.
2

x?1

2x
2
B.
2

x?1
C.
2

x
2
?1

D.
2x

x
2
?1
① 解析：由题知
f(x)?g(x)?
1

x?1

以
?x
代
x
，①式得
f(?x)?g(?x)?
①+②得
f(x)?
答案：A
11
，即
f(x)?g(x)?
②
?x?1?x?1
1

2
x?1
设计意图：考察函数的抽象运算与综合性质
13．（人教版第49页B组第5题）
证明：

x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)

)?
22
x?x
2
g(x
1
)?g(x
2
)< br>2
(2)若
g(x)?x?ax?b
，则
g(
1
< br>)?
22
(1)若
f(x)?ax?b
，则
f(
变式 1：如图所示，
f
i
(x)(i?1,2,3,4)
是定义在［0，1］上的 四个函数，其中满足性质：“对
［0，1］中任意的
x
1
和
x
2
，任意
?
?[0,1],f[
?
x
1
?(1?
?
)x
2
]?
?
f(x
1
)?(1??
)f(x
2
)
恒成
立”的只有 （ ）


f
1
(x)

f
2
(x)

f
3
(x)

f
4
(x)

A．
f
1
(x)
和
f
3
(x)
B．
f
2
(x)

解：当
?
?
C．
f
2
(x)
和
f
3
(x)
D．
f
4
(x)

1
时，符合条件的函数是凹函数，从图像 可看出有
f
1
(x)
和
f
3
(x)
，选择 A.
2
ax?b
的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是
2x?c
变式2：.设函数
f(x)
=
y
1
-1
O
1

x
-1
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b
解析：f（0）=
b
a
=0，∴b=0.f（1）=1，∴=1.
c
1?c
ax
＞0，
2
x?c
∴a=c+1.由 图象看出x＞0时，f（x）＞0，即x＞0时，有
∴a＞0.又f（x）=
a
c
x?
x
，
当x＞0时，要使f（x）在x=1时取最 大值1，需x+
当且仅当x=
c
=1时.∴c=1，此时应有f（x）=
答案 ：B
c
≥2
c
，
x
a
=1.∴a=2. 2

变式3：如图所示，单位圆中弧
AB
的长为
x,f(x )
表示弧
AB
与弦
AB
所围成的弓形面积的２倍，则函数
y?f(x)
的图象是


答案：( D )
设计意图：考察图象与式子运算的能力
14：（北师大版136页B组第1题）
判断下列方程在（0，10）内是否存在实数解，并说明理由.
(1)
1
x?lnx?0
（2）
x
2
?lgx?0

2
2
变式1：设二次函 数
f
?
x
?
?ax?bx?c
?
a?0
?
，方程
f
?
x
?
?x?0
的两个根
x1
,x
2
满足
0?x
1
?x
2
?1
. 当
x?
?
0,x
1
?
时，证明
x?f
?
x
?
?x
1
.
a
分析：在已 知方程
f
?
x
?
?x?0
两根的情况下，根据函数与方程根 的关系，可以写出
函数
f
?
x
?
?x
的表达式，从 而得到函数
f(x)
的表达式.
证明：由题意可知
f(x)?x?a(x ?x
1
)(x?x
2
)
.
?0?x?x
1
?x
2
?
1
,
a
∴
a(x?x
1
)(x?x
2
)?0
,
∴ 当
x?0,x
1
时，
f(x)?x
.
??

又
f(x)?x
1
?a(x?x
1
)(x?x
2< br>)?x?x
1
?(x?x
1
)(ax?ax
2
?1)
,

x?x
1
?0,
∴
f(x)?x
1
,
综上可知，所给问题获证.
变式2：已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
．
（1）若a>b>c， 且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=
－
a成立时，f（m+3）为正数，
若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；
（3 ）若对
x
1
,x
2
?R,且x
1
?x
2< br>,f(x
1
)?f(x
2
)
，方程
f(x)?
2个不等实根，
证明必有一个根属于(x
1
,x
2
)

解: （1）
2
且ax?ax
2
?1?1?ax
2
?0,
1
[f(x
1
)?f(x
2
)]
有
2
?f(1)?a?b?c?0且a?b?c,?a?0且c?0,???b
2
?4ac?0,? f(x)

的图象与x轴有两个交点.
（2）
Qf(1)?0，∴1是
f(x)?0
的一个根，由韦达定理知另一根为
∴
a?0且c? 0,??0?1,又a?b?c,b??a?c,


则a(m?
c
，
a
c
a
ccc
)(m? 1)??a?0??m?1?m?3??3??2?3?1

aaa

?f( x)
在（1，+∞）单调递增，
?f(m?3)?f(1)?0
，即存在这样的m使

f(m?3)?0

（3）令
g(x)?f(x)?
1
[f(x
1
)?f(x
2
)]
，则
g(x)是二次函数.
2
224

?g(x
1
)?g(x2
)?[f(x
1
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
][f(x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
]??
1
[f(x
1
)?f(x
2
) ]
2
?0


又Qf(x
1
)?f(x
2
),g(x
1
)?g(x
2
)?0,?g(x)?0
有两个 不等实根，且方程
g(x)?0
的
根必有一个属于
(x
1
, x
2
)
.
设计意图：考察函数的零点
15．（北师大版第66页B组第3题）

求二次函数
f(x)?x? 2(2a?1)x?5a?4a?2
在区间【0，1】上的最小值
g(a)
的表达式.
变式1：设a为实数，记函数
f(x)?a1?x
2
?1?x?1 ?x
的最大值为g(a).
（Ⅰ）设t＝
1?x?1?x
，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)
22
1
（Ⅲ）试求满足
g(a)?g()
的所有实数a
a
解：（I）∵
t?1?x?1?x
，
∴要使
t
有意义，必须
1?x?0
且
1?x?0
，即
?1?x?1

∵
t
2
?2?21?x
2
?[2,4]
，且
t?0
……① ∴
t
的取值范围是
[2,2]
。
1
2
11
t?1
，∴
m(t)?a(t
2
?1)? t?at
2
?t?a
，
t?[2,2]
。
222
1
2
（II）由题意知
g(a)
即为函数
m(t)
?at? t?a
，
t?[2,2]
的最大值，
2
11
2
∵ 直线
t??
是抛物线
m(t)
?at?t?a
的对称轴，∴可分以下 几种情况进行讨论：
a2
由①得：
1?x?
2
（1）当
a ?0
时，函数
y?m(t)
，
t?[2,2]
的图象是开口向上的抛 物线的一段，
由
t??
1
?0
知
m(t)
在t?[2,2]
上单调递增，故
g(a)?m(2)
?a?2
；
a
（2）当
a?0
时，
m(t)?t
，
t?[2,2]< br>，有
g(a)
=2；
（3）当
a?0
时，，函数
y ?m(t)
，
t?[2,2]
的图象是开口向下的抛物线的一段，
若
t??
2
1
?(0,2]
即
a??
时，
g(a)
?m(2)?2
，
2
a
21
111
?(2,2]
即
a?(?,?]
时，
g(a)
?m(?)??a?
， < br>22
aa2a
若
t??
若
t??
11
?(2 ,??)
即
a?(?,0)
时，
g(a)?m(2)
?a?2
。
a2

?
?
a?2
?
1
?综上所述，有
g(a)
=
?
?a?
2a
?
?< br>2
?
?
（III）当
a??
1
(a??)
2
21
,(??a??)
。
22
2
(a??)
2< br>13
时，
g(a)
?a?2
??2
；
22
当
?
211212
1
?a??
时，
?a?[,)
，
??(,1]
，∴
?a??
，
22222a2
2a
11
2
?2(?a)?(?)?2
，故当
a??
时，
g( a)
?2
；
2a2a
2
g(a)
??a?
当a?0
时，
111
?0
，由
g(a)
?g()
知：
a?2
??2
，故
a?1
；
aaa
111< br>当
a?0
时，
a??1
，故
a??1
或
?? 1
，从而有
g(a)?2
或
g()?2
，
aaa
要使
g(a)
?g()
，必须有
a??
此时，
g(a)?< br>1
a
2
1
2
2
，
??
，即
?2?a??
，
22
a2
1
2
?g()
。
a
2?a??
2
或
a?1
。
2
1
综上所述，满足
g(a)?g()
的所有实数a为：
?
a
设计意图 ：考察二次函数的最值与分类讨论的思想
16．（人教版84页B组第5题）
试着举几个满 足“对定义域内任意实数
a
，
b
，都有
f(a?b)?f(a)gf (b)
”的函数例
子.
变式1：设函数f（x）的定义域是N
*
， 且
f(x?y)?f(x)?f(y)?xy
，
f(1)?1
，则f（25）
= ___________________.
解析：由
f(x?y)?f(x) ?f(y)?xy
?
f(2)?f(1)?f(1)?1?3

∴
f(2)?f(1)?2

同理，f（3）－f（2）=3.
……

f（25）－f（24）=25.
∴f（25）=1+2+3+…+25=325.
答案：325
变式2：设
f(x)
是定义在R上的偶函数，其图象关于直线
x?1
对称，对任意
x< br>1
,x
2
?[0,]
，
都有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)f(x
2
)

（1）设
f(1)?2
，求
f(),f()

（2）证明
f(x)
是周期函数.
2
（1）解：由
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)f(x
2
)知
f(x)?f()f()?f()?0
， x∈［0，1］.
1
2< br>1
2
1
4
x
2
x
2
x
2< br>1111
因为f（1）=f（）·f（）=［f（）］
2
，及f（1）=2，所 以f（）=2
2
.
2222
111111
因为f（）=f（）·f （）=［f（）］
2
，及f（）=2
2
，所以f（）=2
4
.
244424
（2）证明：依题设
y?f(x)
关于直线x=1对称，故 f（x）=f（1+1－x）
?
f（x）=f（2
－x），x∈R.
又由f （x）是偶函数知f（－x）=f（x），x∈R，所以f（－x）=f（2－x），x∈R.将上式
中 －x以x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.
这表明
f(x)
是R上的周期函数，且2是它的一个周期.
变式3：设函数
y?f(x)
定义在R上，对任意实数m、n，恒有
f(m?n)?f(m)f(n)
且当
11
1
x?0,0?f(x)?1

（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）求证：f（x）在R上递减；
（3）设集合A={（x，y）|f（x
2）·f（y
2
）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax－y+2）=1，
a∈R}，若A∩B=
?
，求a的取值范围.
（1）证明：在f（m+n）=f（m）f（n）中，
令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）.
∵0＜f（1）＜1，∴f（0）=1.
设x＜0，则－x＞0.令m=x，n=－x，代入 条件式有f（0）=f（x）·f（－x），而f（0）=1，

∴f（x）=
1
＞1.
f(?x)
（2）证明：设 x
1
＜x
2
，则x
2
－x
1
＞0，∴0＜ f（x
2
－x
1
）＜1.
令m=x
1
，m+n= x
2
，则n=x
2
－x
1
，代入条件式，得f（x
2
）=f（x
1
）·f（x
2
－x
1
），
即0＜
f(x
2
)
＜1.∴f（x
2
）＜f（x
1
）.
f(x
1
)
∴f（x）在R上单调递减.
（3） 解：由
f(x)f(y)?f(1)?f(x?y)?f(1)

又由（2）知f（x ）为R上的减函数，∴
x?y?1
?
点集A表示圆
x?y?1
的内< br>部.由f（ax－y+2）=1得ax－y+2=0
?
点集B表示直线ax－y+2=0 .
∵A∩B=
?
，∴直线ax－y+2=0与圆
x?y?1
相离或 相切。
于是
22
2222
2222
2
a?1
2< br>?1
?
?3?a?3

设计意图：考察抽象函数的性质及抽象运算的能力和数形结合的思想。