高中数学：1.1.1集合的含义与表示 (20)

ruize
第一章 1．1 1．1.1 第1课时 集合的含义

提能达标过关

一、选择题
1．下列各组对象不能构成集合的是( )
A．拥有手机的人
B．某校高一(3)班成绩优秀的学生
C．所有有理数
D．小于π的正整数
解析：选B B选项中“成绩优秀”的标准不明确，不符合确定性，故选B．
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14
3
C．
7

B．－5
D．7
解析：选D 由题意知a应为无理数，故a可以为7.故选D．
3．有下列说法：
①集合N中最小的数为 1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则
a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个 集合．
其中正确命题的个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：选A N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2?N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明
确的标准，所以 ④错，故选A．
3
4．由实数x，－x，|x|，x
2
及－x
3< br>所组成的集合，最多含有( )
A．2个元素 B．3个元素

ruize
C．4个元素 D．5个元素
3
解析：选A 解法一：因为|x|＝±x，x
2
＝|x|，－
x
3
＝－x，所以不 论x取
何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
解法二：令x ＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知
集合最多含有2个元素．故选A．
5．已知集合A中的元素都是自然数，满足a∈A且4－a∈A的有且只有2
个元素的集合A的 个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：选C 若a＝0∈N，则4－a＝4∈N，符合题意；
若a＝1∈N，则4－a＝3∈N，符合题意；
若a＝2∈N，则4－a＝2∈N，不符合题意；
若a＝3∈N，则4－a＝1∈N，符合题意；
若a＝4∈N，则4－a＝0∈N，符合题意；
当a>4且a∈N时，均不符合题意．
综上，集合A的个数是2，故选C．
二、填空题
6．用符号“∈”或“?”填空．
设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则
p________M ，q________M.
解析：矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q?M.
-=答案=-：∈ ?
7．以方程x
2
－5x＋6＝0和方程x
2
－x－2＝0的根为元素的集合中共有
________个元素．
解析：方程x2
－5x＋6＝0的根是2,3，方程x
2
－x－2＝0的根是－1,2.根据集

ruize
合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．
-=答案=-：3 8．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x
2
＋1，若t∈A，则t的值为______ __．
解析：由题意，知t∈N且t＝－x
2
＋1≤1，故t＝0或1.
-=答案=-：0或1
三、解答题
9．已知集合A是由a－2,2a
2< br>＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a
的值．
解：由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a
2
＋5a，
3
∴a＝－1或a＝－
2
.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a< br>2
＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a
＝－1舍去．
37
当a＝－
2
时，a－2＝－
2
，2a
2
＋5a＝－3，满 足题意．
3
∴实数a的值为－
2
.
1
10．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
1－a
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道
理”．
解：(1)2∈A，则
即－1∈A，则
1
∈A，
1－2
111
∈A，即
2
∈A，则
1
∈A， 1＋1
1－
2
1
即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，
2< br>.
12
(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－
2
，
3
(-=答案=-不唯一)．

ruize
1
a－1
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，，
1－a
a
且三个数的乘积为－1.
证明如下：
若a∈A，a≠1，则有
所以又有
1
11
∈A且≠1，
1－a1－a
a－1a－1
＝∈A且
1aa
≠1，
1－
1－a
进而有
1
＝a∈A
．

a－1
1－
a
1
1
?
?
因为若a＝
1－a
，则a
2
－a＋1＝0，
又因为a≠
1－a
?


而方程a－a＋1＝0无解
?
?
，
2
a－1a －1
11
且≠
a
，所以A中只能有3个元素，它们分别是a，，
a< br>，且
1－a1－a
三个数的乘积为－1.