高中数学数列中项公式证明-百度文库高中数学必修一答案
第一课时 集合的含义与表示
一.教学目标
1.了解集合的含义,掌握常用数集及其记法。
2.体会元素与集合之间的关系,能准确判断一个元素“属于“或“不属于”某一个集合。
3.理解集合常用的表示方法,能选择不同的表示方法描述不同的具体问题。
二.教学内容
1.元素:一般地,我们把研究的对象称为元素(element)。元素通常用小写字母a,b,c…
表示。
2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)。集合通常用大写字母A,
B,C…表示。
“我们一般用花括号‘{}’表示集合”,也就是赋予了符号“{}”新的含义:表示
“所有的”、“全部的”,
具有共同特征的研究对象都在大括号内。
注意:{正数}表示所有大于0的实数组成的集合,这种表示是正确的。
但是{所有的正数}
这种表示方法是错误的。因为“{}”已经包含“所有的”含义。
[来源:Z_xx_]
3.
元素与集合的关系(重点):元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种。元素a属于集合A,记
作
a
?
A;元素a不属于集合A,记作a
?
A。
(1)符号
?
和
?
是表示元素与集合之间的关系的,不能用来表示集合与集合之间的关系。 (2)a
?
A与a
?
A取决于a是不是集合A中的元素。两种情况有且只
有一种成立。
(3)空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,通常记为
?
。
【例1】用符号
?
或
?
填空:
{
xx?n
2
?
1
,n?N
*
}
;
{xx?11},
23 {xx?3}
; (2)
3
(1)
23
1)
{
yy?x
2
}
,
(
?
1
,
1)
{(
x,y)y?x
2
}
。
(3)
(
?
1
,
2
【例2】已知集合
A?
{
xax?
3
x?
2
?
0}
,其中
a
为常数且
a
?<
br>R。
(1) 若集合A是空集,求
a
的范围;
(2)
若集合A只有一个元素,求
a
的值;
(3)
若集合A中至多有一个元素,求
a
的范围。
4.集合中元素的特征(重难点):
①确定性:给定一个集合的标准可以准确判断一个对象是否属于这个集合
②互异性:集合中的元素一定是互不相同的,或者说同一个元素在集合中只能出现一次
③无序性:集合中元素排列次序不分先后。
【例3】考查下列每组对象能否构成一个集合:
(1)著名数学家;
(2)优达辅导学校所有高个子同学;
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点;
(4)所有
?
的近似值;
(5)不超过10的非负数。
?x,x,x,?
3
x
所组成的集合,最多含有元素的个数为( )
【例4】由实数
x,
A.2
B.3 C.4 D.5
23【例5】已知集合M={-2,
3
x
2
?
3
x?
4
,
x
2
?x?
4}
,若2
?
M,求x。
【例6】设集合A={1,
a
,
b
},B={
a
,
a
,
ab
},且A=B,求实数
a,b
。 2
【例7】已知集合S={a,b,c}中三个元素分别是△ABC的三边长,则△ABC一定不是
()
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【例8】.设方程ax
2
+2x+1=0(a∈R)的根构成集合A,若A中只有一个
元素,则a的值为________.
答案 0或1
1
解析 当a=0时,x=-,当a≠0时,Δ=4-4a=0,a=1,故a为0或1.
2
5.集合的分类:①有限集;②无限集。
6.集合的表示方法(重点):
(1)自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法时注意叙述清楚。
如:大于1且小于10的偶数构成的集合
注意:用自然语言描述集合不要出现花括号{}。
(2)列举法:将集合中的元素一一列举出来,写在花括号内表示集合的方法。
如:所有正奇数的集合为{1,3,5,7,9,…}
注意元素不能重复且元素之间用分隔号“,”;注意元素必须满足“确定性”和“互异性”。
(3)描述法:把集合中元素的共同特征描述出来,写在花括号内表示集合的方法,它的一般形式是
{x
?
I |P(x)},其中“x
”是集合中元素的代表形式,它的范围是I;“P(x)”是集合中元素x的共同特征,
竖线不可省略。
如不等式2x-5>1的解集可表示为{x|x >
3}或{x
?
R|2 x -5>1}或{x|2 x -5>1}
(4)韦恩(V
enn)图法:为了形象地表示集合,常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合的整体。
(5)区间法:(将会在后面的“1.2函数的概念及其表示法”中学习到。)
7.常见数集的表示方法:
对于一些常用的数集,我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合:
①非负整数集(或自然数集)记作N;②正整数集记作N
+
或者N*;③整数集记作Z
;④有理数集记
作Q;⑤实数集记作R。
【例9】按要求分别表示下面的集合:
(1)用自然语言描述集合{0,2,4,6,8,…};
(2)用列举法表示集合{30的正约数};
(3)用描述法表示集合“正偶数集”;
(4)用描述法表示集合{2,-4,6,-8,…,98,-100};
[来源:]
(5)用列举法表示集合{(x,y)|x+y=3,x
?
N,y
?
N}
。
思考1:集合{1,2}与集合{2,1}是否表示同一集合?________;
集合{(1,2)}与集合{(2,1)}是否表示同一集合?______.(填“是”或“不是”)
答案 是,不是
2
思考2:下面三个集合:①
{
xy?x
2
?
1}
;②
{yy?x?1}
;③
{(x,y)y?x<
br>2
?1}
。
(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?
补充:识别集合含义的方法(1)看代表元素;(2)看条件
三.课堂练习
夯实基础
1.考查下列对象能否构成集合:
(1)高一数学必修1上的所有难题;
(2)参加北京奥运会的所有年轻运动员;
(3)不超过20的非负数;
(4)方程x
2
-9=0在实数范围内的解;
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点;
(6)3的近似值的全体.
答案:(1)(2)(5)(6)不能组成集合,(3)(4)能组成集合.
2.用适当的符号填空:
(1)0__________N,5__________N,16__________N;
1
(2)-__________Q,π__________Q,e________
__?
R
Q(e是个无理数);
2
(3)2-3+2+3=__________{x|x=a+6b,a∈Q,b∈Q}.
答案:(1)∈
?
∈ (2)∈
?
∈ (3)∈ 3.已知集合A是由0,m,m
2
-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,求实数m的
值.
解:∵2∈A,
∴m=2或m
2
-3m+2=2.
若m=2,则m
2
-3m+2=0,不符合集合中元素的互异性,舍去.
若m
2
-3m+2=2,求得m=0或3.
m=0不合题意,舍去.
∴m只能取3.
4.用适当方法表示下列集合:
(1)函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象上所有点的集合;
(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合;
(3)不等式x-3>2的解集;
(4)自然数中不大于10的质数集.
答案:(1)描述法:{(x,y)|y=ax
2
+bx+c,x∈R,a≠0}.
[来源
?
??
?
?
y=x+3
?
?
?
?
(2)描述法:
?
(x,y)
?
?
y=-2
x+6
?
?
???
?
?
列举法:{(1,4)}.
(3)描述法:{x|x>5}
(4)列举法:{2,3,5,7}.
拓展研究
??
?
?
?
x=1
?
=?
(x,y)
?
?
y=4
?
?
?
??
?
?
?
?
?
.
思考1:设
集合P={x-y,x+y,xy},Q={x
2
+y
2
,x
2-
y
,0},若P=Q,求x,y的值及集合P,Q.
活动探究:首先,应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等;然后,再引导
学生讨论:本题中集合P,Q对应相等时,其元素可能出现的几种情况,并根据讨论的结果进行计算;
最后,应当指导学生自主探究,应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求.
解:∵P=Q且0∈Q,∴0∈P.
若x+y=0或x-y=0,则x
2
-y
2
=0,从而Q={x
2
+y
2,
0,0},与集合中元素的互异
性矛盾,∴x+y
≠0且x-y≠0;
若xy=0,则x=0或y=0.
2
当y=0时,P={x,x,0},与集合中元素的互异性矛盾,
∴y≠0;
当x=0时,P={-y,y,0},Q={y
2
,-y
2,
0},
?
?
由P=Q得
?
y=-y,
?
?
y≠0
,
2
-y=y
2
,
①
?
?或
?
y=y,
?
?
y≠0.
2
-y=-y2
,
②
由①得y=-1,由②得y=1,
??
?
x=0,
?
x=0,
∴
?
或
?
??
?
y=-1
?
y=1,
此时P=Q={1,-1,0}.
点评:本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力.
思考2:已知集合A={x|ax
2
-3x+2=0},若A中的元素至多只有一个,求a的
取值范围.
活动探究:讨论关于x的方程ax
2
-3x+2=0实数根的情况,
从中确定a的取值范围,依题意,方程有
一个实数根或两个相等的实数根或无实数根.
2
解:(1)a=0时,原方程为-3x+2=0,x=,符合题意.
3
(2)a≠0时,方程ax
2
-3x+2=0为一元二次方程.
9
由Δ=9-8a≤0,得a≥.
8
9
∴当a≥时,方程ax2
-3x+2=0无实数根或有两个相等的实数根.
8
9
综合(1)(2),知a=0或a≥.
8
点评:“a=
0”这种情况最容易被忽视,只有在“a≠0”的条件下,方程ax
2
-3x+2=0才是一元
二
次方程,才能用判别式Δ解决问题.
思考3:设S={x|x=m+2n,m,n∈Z}.
(1)若a∈Z,则a是否是集合S中的元素?
(2)对S中的任意两个x
1
,x
2
,则x
1
+x
2
,x
1
·x
2
是否属于S?
活动探究:针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式;然后,再
引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m+2n的形式;如果能,m和n分别是多少,如果不
能,请说明理由;最后小结,判断一个元素是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素
的特征即可.
针对问题(2)——首先引导学生将x
1
,x
2分别表示出来,再引导大家根据正确的表示结果,推断x
1
+
x
2,x
1
·x
2
是否是集合S中的元素.
[来源:Z§xx§]<
br>
2×0∈S. 解:(1)a是集合S中的元素,a=a+
(2)不妨设x
1
=m+
则x
1
+x
2
=(m+
2n,x
2
=p+2q,m,n,p,q∈Z.
2(n+q),m,n,p,q∈Z.
2(mq+np),m,n,p,q∈Z.
2n)+(p+2q)=(m+p)+
∴
x
1
+x
2
∈S;x
1
·x
2
=(m+2
n)·(p+2q)=(mp+2nq)+
∴x
1
·x
2
∈S.综上
,x
1
+x
2
,x
1
·x
2
都属于S.
点评:本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系.
第二课时 集合间的基本关系
一.教学目标
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识
别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比
发现新结论的能力.
2.在具体
情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的
思维能力
,树立数形结合的思想.
二.教学内容
1.子集:(重难点)对于两个集合A与B,如果集
合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说集合A
包含于集合B,或说集合B包含集合A,记作:A
?
B(或B
?
A)。这时我们也说集合A是集合B的子
集。
注意:①当A不是B的子集是记作AB(或BA);②任何一个集合是它本身的子集,即A
?
A;④空
集是任何集合的子集,即
?
?
A;⑤子集具有“传递性”,即:如果
A
?
B,B
?
C,那么A
?
C。
【例1】下面的
Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关
系,问集合A,B,C,D,E分别是哪种图形的集合?
图6
思路分析:结合Venn图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.
解:梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A={四边形};梯形不是平行四边形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形,故B={梯形},C={平行四边形};正方形是菱形,故D={菱形}
,E=
{正方形},即A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正
方形}.
2
【例2】已知集合A=
{
-1,3,2
m
-1
}
, B=
{
3,
m
}
。若
B?A
,求实数
m
的值。
2
【例3】已知集合
P
?
{
xx?
1}
,集合
Q?{xax?1}
,若Q
?
P,求
a
的值。
【例4】已知集合
A?x
|x
2
?x?6?0
,
B?
?
x|mx?1?0
?
,且
B?A
,求
m
取值范围。
2.
集合相等:如果集合A中的任何一个元素,都是集合B中的元素,同时集合B中的任何一个元素都是
集合
A中的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B。
根据集合相等的定义可知:要证明A=B,只
要证明A
?
B且B
?
A成立即可。
【例5】下列各组中的两个集合相等的有( )
①
P?{xx?2n,n?Z}, Q?{xx?2(n?1),n?Z}
; ②
P?
{
xx?
2
n?
1
,n?N
?
}
,
Q?
{
xx?
2
n?
1
,n?N
?
}
;
??
1?(?1)
n
Q?{xx?,n?Z
}
③
P?{xx?x?0},
2
2
A. ①②③
B. ①③ C. ②③ D. ①②
[来源学科网]
3.真子集:如果A
?
B,且A≠B,就说集合A是集合B的真子集,记作AB
注意:空集是任何非空集合的真子集。
【例6】已知集合M={x
|2-x<0},集合N={x |ax=1},若NM,求实数a的取值范围.
M,则N=
?
或N≠
?
,分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}
≠
?
,由于N
要对集合N是否为空集分类讨论.
解:由题意得M={x|x
>2}≠
?
,则N=
?
或N≠
?
.当N=
?
时,关于x的方程ax=1无解,则有a=
1
0;当N≠
?
时,关于x的方
程ax=1有解,则a≠0,此时x=,又∵N
a
111
M,∴∈M.∴>2.∴0<
a<.
aa2
?
1
1
0≤a<
?
综上所得,实数a
的取值范围是a=0或0<a<,即实数a的取值范围是a
2
2
?
【例7】设
集合A={x ||x |
2
-3|x |+2=0},B={x
|(a-2)x=2},则满足B
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
?
?
?
?
?
.
?
A的a的值共有( )
解析:由已知得A={x||x|=1,或|x|=2}
={-2,-1,1,2},集合B是关于x的方程(a-2)x=2的解集,∵
BA,∴B=
?
或B≠
?
.当B=
?
时,关于x的方程(a-2)x=2无解,∴
a-2=0.∴a=2.当B≠
?
时,
22222
关于x的方程(a-2)x
=2的解x=∈A,∴=-2或=-1或=1或=2.解得a=1
a-2a-2a-2a-2a-2或0或4或3,综上所得,a的值共有5个.
答案:D
4.有限集合的子集个数问题:
①
n
个元素的集合有
2
个子集;
n
n
②
n
个元素的集合有
2?1
个真子集;
n
③
n
个元素的集合有
2?1
个非空子集。
④
n个元素的集合有
2
?
2
个非空真子集
n
【例7】已知集合M满足{1,2}
?
M
?
{1,2,3,4,5}
,满足条件的集合M有多少个?写出所有的满
足条件的集合M。
【例8】设集合M={
x
A.M=N
x?3
?
0
},集合N={
x(x?4)(x?1)?0
},则M与N的关系是()
x?2
C. M
?
N
D.M
?
N B.M
?
N
【例9】已知A={<
br>xk?1?x?2k
},B={
x1?x?3
},且A
?
B,
求实数k的取值范围。
三.课堂练习
夯实基础
1.判断正误:
(1)空集没有子集.( )
(2)空集是任何一个集合的真子集.( )
(3)任一集合必有两个或两个以上的子集.( )
(4)若B?A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.( )
分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.
解:该题的4个命题,只有(4)是正确的,其余全错.
对于(1),(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.
对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲,当x∈
B时必有x∈A,则x
?
A时也必有x
?
B.
2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.
[来源学科网]
<
br>分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的集合的子集有2n
个,真子集有2
n
-1个,则该题先找该集合的元素,后找真子集.
解:因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,
即A={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.
真子集:
?
,{
1},{2},{0},{0,1},{0,2},{1,2},共7个.
3.(1)下列命题正确的是( )
A.无限集的真子集是有限集
B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中,错误的个数为( )
①{1}∈{0,1,2}
②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}?{1,0,2} ④
?
∈{0,1,2}
⑤
?
∈{0}
A.5 B.2 C.3 D.4
(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是( )
A.aM
B.a
?
M
M C.{a}∈M D.{a}
解析:(1)该题要
在四个选择项中找到符合条件的选择项,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是
无限集,如N是
R的真子集,排除A;由于
?
只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排
除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系.
①应是{1}?{0,1,
2},④应是
?
?{0,1,2},⑤应是
?
?{0}.
故错误的有①④⑤.
(3)M={x|3<x<4},a=π.
因3<a<4,故a是M的一个元素,
因此{a}是{x|3<x<4}的真子集,那么{a}
答案:(1)C (2)C (3)D
4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:
(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};
(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.
解:(1)因A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},
故A,B都是由奇数构成的,即A=B.
(2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},又x=4n=2·2n,
在x=2m中,m可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n中,2n只能是偶数.
故集合A
,B的元素都是偶数,但B中元素是由A中部分元素构成,则有B
点评:此题是集合中较抽象的题目.要
注意其元素的合理寻求.
5.已知集合P={x|x
2
+x-6=0},Q={x|
ax+1=0}满足QP,求a所取的一切值.
P成立.又当a≠0时,
A.
M.
解:因P={x|x
2
+x-6=0}={2,-3},当a=0时,Q={x|ax
+1=0}=
?
,Q
?
1
?
Q={x|ax+1=0}=
?
-
?
,要Q
?
a
?
11
a=-或a=.
23
111
1
P成立,则有-=2或-=-3,a=-或a=.综上所述,a=0或
aa23
点评
:这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q为空集
的情况,而当Q=
?
时,满足QP.
P?B,求满足条件的6.已知集合A={x∈
R|x
2
-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x
2
+3x-4)
=0},要使A
集合P.
解:A={x∈R|x
2
-3x+4=0}=
?
,
B={x∈R|(x+1)(x
2
+3x-4)=0}={-1,1,-4},
由AP?B知集合P非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为
[来源:]
{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.
点评:要解决该题,必须确定满足条件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A,B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.
7.设A={0,1},B={x
|x ?A},则A与B应具有何种关系?
解:因A={0,1},B={x |x ?A},
故x为
?
,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B中一元素.故A∈B.
点评:注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.
8.集合A={x
|-2≤x≤5},B={x |m+1≤x≤2m-1},
(1)若B?A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;
(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=
?
满足B?A.
?
?
m+1≥-2,
当m+1≤2m-1即m≥2时,要使B?A成立,需
?
可得2≤m≤3.
?
?
2m-1≤5,
综上所得实数m的取值范围为m≤3.
(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
∴A的非空真子集的个数为2
8
-2=254.
(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素x使
x∈A与x∈B同时成立.
则①若B=
?
即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;
??
?
m+1≤2m-1,
?
m+1≤2m-1,
②若B≠
?
,则
要满足条件:
?
或
?
解之,得m>4.
m+1>52m-1<-2,
??
??
综上有m<2或m>4.
点评:此问题解决要注意:不应忽略
?
;找A中的元素;分类讨论思想的运用.
拓展研究
思考:已知A?B,且A?C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,
8},则满足上述条件的集合A共有多少个?
活动:学生思考A?B,且A?C所表达的含义.A?B
说明集合A是集合B的子集,即集合A中元素属于
集合B,同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A
中的元素是集合B和集合C的公共元素.
思路1:写出由集合B和集合C的公共元素组成的集合,得满足条件的集合A;
思路2:分析
题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的
子集个数.
解法1:因A?B,A?C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足A?
B,有:
?
,{0},{1},{2},{3},
{4},{0,1},{0,2},
{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0
,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},
{1,2,3},{1,2,4},
{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2
,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},
{0,1,2,3,4},共2
5
=32(个).
又满足A?C的集合A有:
?
,{0},{2}
,{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},{4,8},{0,2,
4},
{0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共2
4=16(个).
其中同时满足A?B,A?C的有8个:
?
,{0},{2},
{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上到此就可
看出,上述解法太繁
.
解法2:题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为求B,C的公共
元素
组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0,2,4,组成集合的子集有2
3
=
8(个).
点评:有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要
熟练掌握,其
应用非常广泛.
第三课时
集合的基本运算
一.教学目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
3.能使用Venn图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
二.教学内容
1.并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集。
记作A∪B
。读作:A并B。其含义用符号表示为:
A?B?{x|x?A,或x?B}
用Venn图表示并集如下:
A
2
【例1】 设集合A={x
?Zx?
px?
15
?
0
},集合B={x
?Zx
2
?5x
?q?0
},若已知A
?
B={2,3,5},则集
B
合A、B分别为( )
A.{3,5}、{2,3}
B.{2,3}、{3,5} C.{2,5}、{3,5}
D.{3,5}、{2,5}
2.交集:由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集。
记作:A
∩B。读作:A交B。其含义用符号表示为:
A?B?{xx?A,且x?B}
。
用Venn图表示交集如下:
A
【例2】已知
A?
【例3】
若M={
xn?
B
?
yy?x
2
?4x?6,
y?N,B?yy??x
2
?2x?18,y?N,求A?B
???
xx?1
,
n
?
Z
},N={
xn?,n
?Z},则M
?
N等于( )
22
D.Z
A.
?
B.{
?
} C.{0}
【例4】 集合A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C
,A∩B∩C分别是什么?
活动:学生先思考集合中元素的特征,明确集合中的元素.将集合中元素利
用数形结合在数轴上找到,
那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的
并集和交集的关键是找出它
们的公共元素和所有元素.
解:因为A={x|x<5},B={
x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图3所示,所以A∩B={x|0
<x<5}
,B∪C={x|x>0},A∩B∩C=
?
.
图3
点评:本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合
中的元素;②依据并集
和交集的含义,直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.
跟踪练习:
1.设集合A={x|x=2
n
,n∈N
*
}
,B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A∪B.
解:对任意m∈A,则有m=2
n<
br>=2·2
n-1
,n∈N
*
,因n∈N
*
,故n-1
∈N,有2
n-1
∈N,那么m∈B,
即对任意m∈A有m∈B,所以A?B.
而10∈B但10
?
A,即AB,那么A∩B=A,A∪B=B.
2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.
解:满足{1,2}∪B={
1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.
3.设集合A={-4,2
,a-1,a
2
},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.
解:∵A∩B={9},则9∈A,a-1=9或a
2
=9.
∴a=10或a=±3.
当a=10时,a-5=5,1-a=-9;
当a=3时,a-1=2不合题意;
当a=-3时,a-1=-4不合题意.
故a=10.此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.
4.设集合A={x |2x+1<3},B={x |-3<x<2},则A∩B等于( )
A.{x|-3<x<1} B.{x|1<x<2}
C.{x|x>-3}
D.{x|x<1}
解析:集合A={x|2x+1<3}={x|x<1},
观察或由数轴得A∩B={x|-3<x<1}.
答案:A
3.交集与并集的运算性质:
①
A?A?A,A?A?A
;
②
A?
?
?
?
,A?
?
?A
;
③
A?B?B?A,A?B?B?A
;
④
(A?B)?C?A?(B?C),(A?B)?C?A?(B?C)
;
⑤
A?B?A?A?B,A?B?A?B?A
。
[来源:
【例5】
设集合
A
={
x
|
x
2
+4
x
=
0},
B
={
x
|
x
2
+2(
a
+1)
x
+
a
2
-1=0,
a
∈R},若
A
∩
B
=
B
,求
a
的值.
活动:明确集
合
A
,
B
中的元素,教师和学生共同探讨满足
A
∩
B
=
B
的集合
A
,
B
的关系.集合
A是
方程
x
2
+4
x
=0的解组成的集合,可以发现,<
br>B
?
A
,通过分类讨论集合
B
是否为空集来求
a的值.利用
集合的表示法来认识集合
A
,
B
均是方程的解集,通
过画Venn图发现集合
A
,
B
的关系,从数轴上分析
求得
a
的值.
解:由题意得
A
={-4,0}.
∵
A
∩
B
=
B
,∴
B
?
A
.
∴
B
=
?
或
B
≠
?
.
当
B
=
?
时,即关于
x
的方程
x
2
+2(
a
+1)
x
+
a
2
-1=0无实数解,
则Δ=4(
a
+1)
2
-4(
a
2
-1)
<0,解得
a
<-1.
当
B
≠
?
时,若集合B
仅含有一个元素,则Δ=4(
a
+1)
2
-4(
a<
br>2
-1)=0,解得
a
=-1,
此时,
B
={x
|
x
2
=0}={0}?
A
,即
a
=-1符合题意.
若集合
B
含有两个元素,则这两个元素是-4,0,
即
关于
x
的方程
x
2
+2(
a
+1)
x+
a
2
-1=0的解是-4,0.
?
?
-4+0=-2(
a
+1),
则有
?
2
-1.-4×0=
a
?
?
解得
a
=1,
则
a
=1符合题意.
综上所得,
a
=1或
a
≤-1.
跟踪练习:
1
.已知非空集合
A
={
x
|2
a
+1≤
x
≤3
a
-5},
B
={
x
|3≤
x
≤22
},则能使
A
?(
A
∩
B
)成立的所有
a
值的集合
是什么?
?
2a?1?3a?5,
?
解:由题意知
A
?(
A
∩
B
),即
A
?
B
,
A
非空,利
用数轴得
?
2a?1?3,
解得6≤
a
≤9,即所有
a值的
?
3a?5?22.
?
集合是{
a
|6≤
a
≤9}.
2.已知集合
A
={
x
|-2≤
x<
br>≤5},集合
B
={
x
|
m
+1≤
x
≤2
m
-1},且
A
∪
B
=
A
,试求实
数
m
的取值范围.
分析:由
A
∪
B
=
A
得
B
?
A
,则有
B
=
?
或
B
≠
?
,因此对集合
B
分类讨论.
解:∵
A<
br>∪
B
=
A
,∴
B
?
A
.
又∵
A
={
x
|-2≤
x
≤5}≠
?
,∴
B
=
?
,或
B
≠
?
.
当
B
=
?
时,有
m
+1>2
m
-1,∴
m
<2.
当
B
≠
?
时,观察图4:
图4
?
m?1?2m?1,
?
由数轴可得
?
?2
?m?1,
解得2≤
m
≤3.
?
2m?1?5.
?
综上所述,实数
m
的取值范围是
m
<2或2≤
m
≤3,即
m
≤3.
4.全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,
那么就称这个集合为全集,通常
记作U。
5.补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合
A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的
补集,简称为集合A的补集。
其含义用符
号表示为:
C
U
A
?
{xx
?
U
,且x
?
A}
用Venn图表示交集如下:
【例6】设
U
={
x
|
x
是小于9的正
整数},
A
={1,2,3},
B
={3,4,5,6},求?
U<
br>A
,?
U
B
.
U
A
C
U
A
活动:让学生明确全集
U
中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集
U<
br>,依据补集的定义写出?
U
A
,
?
U
B
.
解:根据题意,可知
U
={1,2,3,4,5,6,7,8},
所以?<
br>U
A
={4,5,6,7,8},?
U
B
={1,2,7,8
}.
点评:本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合,依据补集的含义,直接观察写出集
合
运算的结果.
跟踪练习:
1.已知集合
U
={1,2,3,4
,5,6,7},
A
={2,4,5,7},
B
={3,4,5},则(?<
br>U
A
)∩(?
U
B
)等于( )
A.{1,6}
B.{4,5}
C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}
解
析:思路一:观察得(?
U
A
)∩(?
U
B
)={1,3,
6}∩{1,2,6,7}={1,6}.思路二:
A
∪
B
={2,3,4,
5,7},则(?
U
A
)∩
(?
U
B
)=?
U
(
A
∪
B
)={1,6}.
答案:A
2.
设集合
U
={1,2,3,4,5},
A
={1,2,4},
B={2},则
A
∩(?
U
B
)等于( )
A.{1,2,3,4,5} B.{1,4}
C.{1,2,4}
D.{3,5}
答案:B
3.设全集
U
={1,2,3,4,5,6,7
},
P
={1,2,3,4,5},
Q
={3,4,5,6,7},则
P
∩(?
U
Q
)等于( )
A.{1,2}
B.{3,4,5}
C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5}
答案:A
6.补集与交集、并集的性质——反演律:
①
C
U(A
?
B)
?
(C
U
A)
?
(CU
B)
;②
C
U
(A?B)?(C
U
A)?(
C
U
B)
。
【例7】设全集
U
={
x
|
x
是三角形},
A
={
x
|
x
是锐角三角形},
B
={
x
|
x
是钝角三角形}.求
A
∩
B
,
?
U
(
A
∪
B
).
活动:学生思考三角
形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出
结果.
A
∩
B
是由集合
A
,
B
中公共元素组成的集合,?
U
(
A
∪
B
)是全集中除去集合
A
∪
B<
br>中剩下的元素组
成的集合.
解:根据三角形的分类可知
A
∩
B
=
?
,
A
∪
B
={
x
|
x
是锐角三角形或钝角三角形}
,
?
U
(
A
∪
B
)={
x
|<
br>x
是直角三角形}.
跟踪练习:
1.已知集合
A
={x
|3≤
x
<8},求?
R
A
.
解:?R
A
={
x
|
x
<3,或
x
≥8}.
2.设
S
={
x
|
x
是至少有一组对边平行的四边
形},
A
={
x
|
x
是平行四边形},
B
={
x
|
x
是菱形},
C
={
x
|
x
是矩
形},求
B
∩
C
,?
A
B
,?
S
A
.
解:
B
∩
C
={
x
|
x
是正方形},?
A
B
={
x
|x
是邻边不相等的平行四边形},?
S
A
={
x
|x
是梯形}.
3.已知全集
I
=R,集合
A
={x
|
x
2
+
ax
+12
b
=0},<
br>B
={
x
|
x
2
-
ax
+
b
=0},满足(?
I
A
)∩
B
={2},(?
I
B
)∩
A
={4},求实数
a
,
b
的值.
812
解:
a
=,
b
=-.
77
4.设
全集
U
=R,
A
={
x
|
x
≤2+3},
B
={3,4,5,6},则(?
U
A
)∩
B
等于
( )
A.{4} B.{4,5,6} C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
解析:∵
U
=R,
A
={
x|
x
≤2+
答案:B
例2 设全集
U
={
x
|
x
≤20,
x
∈N,
x
是质数},
A<
br>∩(?
U
B
)={3,5},(?
U
A
)∩
B
={7,19},(?
U
A
)∩(?
U
B
)={2,17},求集合
A
,
B
.
活动:学生回顾集合的运算
的含义,明确全集中的元素.利用列举法表示全集
U
,根据题中所给的条
件,把集合中
的元素填入相应的Venn图中即可.求集合
A
,
B
的关键是确定它们的元素
,由于全集是
U
,
则集合
A
,
B
中的元素均属于全
集
U
,由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多,可借助于Venn
图来解决
.
解:
U
={2,3,5,7,11,13,17,19},
由题意借助于Venn图,如图8所示,
3},∴?
U
A
={x
|
x
>2+3}.而4,5,6都大于2+3,∴(?
U
A<
br>)∩
B
={4,5,6}.
图8
∴
A
={3,5,11,13},
B
={7,11,13,19}.
点评:本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运算问题,使
问题简捷地获得解决,将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来,这正体现了数形结合思想的优越性.
跟踪练习:
1.设
I
为全集,
M
,
N
,
P
都是它的子集,则图9中阴影部分表示的集合是( )
图9
A.
M
∩[(?
I
N
)∩
P
]
B.
M
∩(
N
∪
P
)
C.[(?
I
M
)∩(?
I
N
)]∩
P
D.
M
∩
N
∪(
N
∩
P
) 解析:思路一:阴影部分在集合
M
内部,排除C;阴影部分不在集合
N
内
,排除B,D.
思路二:阴影部分在集合
M
内部,即是
M
的子集,
又阴影部分在
P
内不在集合
N
内,即在(?
I
N
)
∩
P
内,
所以阴影部分表示的集合是
M
∩[(?
I
N
)∩
P
].
答案:A
2.设
U
={1,2,
3,4,5,6,7,8,9},(?
U
A
)∩
B
={3,7},(
?
U
B
)∩
A
={2,8},(?
U
A
)
∩(?
U
B
)={1,5,6},则集合
A
=
______
__,
B
=________.
解析:借助Venn图,如图10,把相关运算的结
果表示出来,自然地就得出集合
A
,
B
了.
图10
答案:{2,4,8,9} {3,4,7,9}
三.课堂练习
夯实基础
1.设集合
A
={3,5,6,8},
B
={4,5,7,8},
(1)求
A
∩
B
,
A
∪
B
.
(2)用适当的符号(?,?)填空:
A
∩
B
________<
br>A
,
B
________
A
∩
B
,
A
∪
B
________
A
,
A
∪
B________
B
,
A
∩
B
________
A
∪
B
.
解:(1)因
A
,
B
的公共
元素为5,8,故两集合的公共部分为5,8,
则
A
∩
B
={3,
5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.
又
A
,
B
两集
合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8,故
A
∪
B
={3,4,5,6
,7,8}.
(2)由Venn图可知
A
∩
B
?
A,
B
?
A
∩
B
,
A
∪
B?
A
,
A
∪
B
?
B
,
A∩
B
?
A
∪
B
.
2.设
A
={
x
|
x
<5},
B
={
x
|
x
≥0},求
A
∩
B
.
解:因
x
<5及
x
≥0的公共部分为0≤
x
<5,
故
A
∩
B
={
x
|
x
<5}∩{
x
|
x
≥0}={
x
|0≤
x
<5}.
3.设
A
={<
br>x
|
x
是锐角三角形},
B
={
x
|
x
是直角三角形},求
A
∩
B
.
解:因三角形按角分类
时,锐角三角形和直角三角形彼此孤立,故
A
,
B
两集合没有公共部分. <
br>所以
A
∩
B
={
x
|
x
是锐角三角
形}∩{
x
|
x
是钝角三角形}=
?
.
4.设<
br>A
={
x
|
x
>-2},
B
={
x
|
x
≥3},求
A
∪
B
.
解:在数轴上
将
A
,
B
分别表示出来,得
A
∪
B
={<
br>x
|
x
>-2}.
5.设
A
={
x
|
x
是平行四边形},
B
={
x
|
x
是
矩形},求
A
∪
B
.
解:因矩形是平行四边形,故由
A<
br>及
B
的元素组成的集合为
A
∪
B
,
A
∪
B
={
x
|
x
是平行四边形}.
6.已知<
br>M
={1},
N
={1,2},设
A
={(
x
,
y
)|
x
∈
M
,
y
∈
N},
B
={(
x
,
y
)|
x
∈
N
,
y
∈
M
},求
A
∩
B
,<
br>A
∪
B
.
[来源学_科_网]
分析:
M
,
N
中的元素是数,
A
,
B中的元素是平面内的点集,关键是找其元素.
解:∵
M
={1},
N<
br>={1,2},∴
A
={(1,1),(1,2)},
B
={(1,1
),(2,1)},故
A
∩
B
={(1,1)},
A
∪B
={(1,1),
(1,2),(2,1)}.
7.若
A
,
B
,
C
为三个集合,
A
∪
B
=
B
∩
C
,则一定有( )
A.
A
?
C
B.
C
?
A
C.
A
≠
C
D.
A
=
?
解析:思路一:∵(
B
∩
C
)?
B
,(
B
∩
C
)?
C
,A
∪
B
=
B
∩
C
,
∴
A∪
B
?
B
,
A
∪
B
?
C.∴
A
?
B
?
C
.∴
A
?
C
.
思路二:取满足条件的
A
={1},
B
={1,2},
C
={1,2,3},排除B,D,
令
A
={1,2},
B
={1,2},
C
={1,2},则此时也满足条件
A
∪
B
=
B
∩
C
,
而此时
A
=
C
,排除C.
答案:A
8.设全集
U
=R,
A
={
x
|2
x
+1>0},试
用文字语言表述?
U
A
的意义.
解:
A
={
x<
br>|2
x
+1>0},即不等式2
x
+1>0的解集,?
UA
中元素均不能使2
x
+1>0成立,即?
U
A
中元素
应当满足2
x
+1≤0.∴?
U
A
即不等式2
x
+
1≤0的解集.
9.如图11所示,
U
是全集,
M
,
P<
br>,
S
是
U
的三个子集,则阴影部分表示的集合是________.
[来源:]
图11
解析:观察图可以看出,阴影部分满足两个
条件:一是不在集合
S
内;二是在集合
M
,
P
的公共部分<
br>内,因此阴影部分表示的集合是集合
S
的补集与集合
M
,
P<
br>的交集的交集,即(?
U
S
)∩(
M
∩
P
)
.
答案:(?
U
S
)∩(
M
∩
P
) <
br>10.设集合
A
,
B
都是
U
={1,2,3,4}的
子集,已知(?
U
A
)∩(?
U
B
)={2},(?
U
A
)∩
B
={1},则
A
等于( )
A.{1,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{1,4}
解析:如图12所示.
图12
由于(?
U
A
)∩(?
U
B<
br>)={2},(?
U
A
)∩
B
={1},则有?
U<
br>A
={1,2}.∴
A
={3,4}.
答案:C
11.设
全集
U
={1,2,3,4,5,6,7,8},集合
S
={1,3,5},
T
={3,6},则?
U
(
S
∪
T
)等于
( )
A.
?
B.{2,4,7,8}
C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}
解析:直接观察(或画出Venn图),
得
S
∪
T
={1,3,5,6},则?
U
(
S∪
T
)={2,4,7,8}.
答案:B
12.已知集合
I
={1,2,3,4},
A
={1},
B
={2,4},则
A
∪(?
I
B
)等于( )
A.{1}
B.{1,3} C.{3} D.{1,2,3}
解析:∵?
I
B
={1,3},∴
A
∪(?
I
B
)={1}∪{1,3}
={1,3}.
答案:B
拓展探究
思考1:(1)集合
A
={
1,2},
B
={1,2,3,4}时,
A
∩
B
,
A
∪
B
这两个运算结果与集合
A
,
B
的关系; <
br>(2)当
A
=
?
时,
A
∩
B
,A
∪
B
这两个运算结果与集合
A
,
B
的关系;
(3)当
A
=
B
={1,2}时,
A
∩
B
,
A
∪
B
这两个运算结果与集合
A
,
B<
br>的关系.
由(1)(2)(3)你发现了什么结论?
图5
活动
:依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合
A
,
B
的关系.
用Venn图来发现运算
结果与集合
A
,
B
的关系.(1)(2)(
3)中的集合
A
,
B
均满足
A
?
B
,用V
enn图表示,如图5所示,就可以
发现
A
∩
B
,
A
∪
B
与集合
A
,
B
的关系.
解:
A
∩
B
=
A
?
A
?
B
?
A
∪
B
=
B
.
用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下:
A
∪
B
=B
∪
A
,
A
?(
A
∪
B
),
B
?(
A
∪
B
);
A
∪
A
=
A
,
A
∪
?
=
A
,
A
?
B
?
A
∪
B
=
B
;
A∩
B
=
B
∩
A
;(
A
∩
B<
br>)?
A
,(
A
∩
B
)?
B
;
A
∩
A
=
A
;
A
∩
?
=
?
;
A
?
B
?
A
∩
B
=
A
.
思考2:某班有学生50人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34人,解对乙
题者有28人,两题
均解对者有20人,问:
(1)至少解对其中一题者有多少人?
(2)两题均未解对者有多少人?
分析:先
利用集合表示解对甲、乙两道数学题的各种类型,然后根据题意写出它们的运算,问题便得到解
决. <
br>解:设全集为
U
,
A
={只解对甲题的学生},
B
=
{只解对乙题的学生},
C
={甲、乙两题都解对的学生},则
A
∪
C
={解对甲题的学生},
B
∪
C
={解对乙题的学生},
A
∪
B
∪
C
={至少解对一题的学生},?
U
(
A
∪
B
∪
C
)={两题均未解对的学生}.
由已知,
A
∪
C
有34个人,
C
有20个人, <
br>从而知
A
有14个人;
B
∪
C
有28个人,
C
有20个人,所以
B
有8个人.因此
A
∪
B
∪<
br>C
有
N
1
=14
+8+20=42(人),?
U(
A
∪
B
∪
C
)有
N
2
=5
0-42=8(人).
∴至少解对其中一题者有42个人,两题均未解对者有8个人.
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