高中数学：第1章 集合1.1.1

§1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念
学习标目

1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元
素的特征， 并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及
其记法．

知识点一 集合的概念
元素与集合的概念
(1)集合：把一些能够确定 的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构
成的集合(或集)．
集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．
(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)．
元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．
知识点二 元素与集合的关系
1
思考 1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？
2

1
答案 1是整数；不是整数．没有．
2
梳理 元素与集合的关系
关系
属于
不属于

知识点三 元素的三个特性
思考 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个
集合？
答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男
生 能构成一个集合，因为标准确定．
梳理 集合元素的三个特性
元素
确定性
互异性
无序性

知识点四 集合的分类及常用数集
1．集合的分类
意义
元素与集合的关系是确定的，即给定元素a和集合A，a∈A与a?A必居其一
集合中的元素互不相同，即a∈A且b∈A时，必有a≠b
集合中的元素是没有顺序的
语言描述
a是集合A的元素
a不是集合A的元素
记法
a∈A
a?A
读法
a属于集合A
a不属于集合A
?
?集合
?
?
有限集：含有有限个元素；
非空集合
?
??
?
无限集：含有无限个元素.
2．常用数集
名称
符号

自然数集
N
正整数集
N
＋
或N
*

空集：不含任何元素，记作?.



整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R

1．若y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.( √ )
2．0∈N但0?N
＋
.( √ )
3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1?A.( × )

类型一 判断给定的对象能否构成集合
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x
2
－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)3的近似值的全体．
解 (1)对任意一个实数都能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判 断，因此不能构成一个

集合；
(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度， 因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，
所以不能构成集合．
反思与感悟 判断给定 的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对
于任何一个对象，都能按此标准确定 它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
答案 B
解析 A中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中，“一些点”无
明确的标准，对于某 个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的
一些点”不能构成集合；D中，没 有明确的标准，所以不能构成集合．

类型二 元素与集合的关系
命题角度1 判定元素与集合的关系
例2 给出下列关系：
1
①∈R；②2?Q；③|－3|?N；
2
④|－3|∈Q；⑤0?N，其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
1
解析 是实数，①对；
2
2不是有理数，②对；
|－3|＝3是自然数，③错；
|－3|＝3为无理数，④错；
0是自然数，⑤错．
故选B.
反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，
R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．
跟踪训练2 用符号 “∈”或“?”填空．
－2________R；
－3________Q；

－1________N；
π________Z.
答案 ∈ ∈ ? ?
命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理
6
例3 集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
3－x
答案 0,1,2
6
解析 ∵x∈N，∈N，
3－x
∴0≤x≤2且x∈N.
66
当x＝0时，＝＝2∈N；
3－x
3
66
当x＝1时，＝＝3∈N；
3－x3－1
66
当x＝2时，＝＝6∈N.
3－x3－2
∴A中的元素有0,1,2.
反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确 已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素
所具有的特征．
跟踪训练3 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1?A,2∈A，则( )
A．a>－4
C．－4答案 D
解析 ∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，
∴－4类型三 元素的三个特性的应用
例4 已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a
2
＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x
2
∈B，求实数x的值；
B．a≤－2
D．－4

(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
解 (1)由－3∈A且a
2
＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x
2
∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a
2
＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．
155
若2a－1＝0，则a＝，A包含的元素为0，－，，与集合B中元素不相同．
224
故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．
反思与感悟 元素的无 序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任
一元素；②给出两集合元素相同，则 其中的元素不一定按顺序对应相等．
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．
跟踪训练4 已知集合A＝{a＋1，a
2
－1}，若0∈A，则实数a的值为________．
答案 1
解析 ∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a
2
－1.
当0＝a＋1时，a＝－1，此时a
2
－1＝0，A中元素重复，不符合题意．
当a
2
－1＝0时，a＝±1.
a＝－1(舍)，∴a＝1.
此时，A＝{2,0}，符合题意．

1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x
2
－1＝0的实数根
答案 D

2．下面说法正确的是( )
A．所有在N中的元素都在N
＋
中
B．所有不在N
＋
中的数都在Z中
C．所有不在Q中的实数都在R中
D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
答案 C
3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
4．下列结论不正确的是( )
A．0∈N B.5?Q C．0?Q D．－1∈Z
答案 C
5．已知集合A是由0，m，m
2
－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
答案 B
)

解析 由2∈A可知：若m＝ 2，则m
2
－3m＋2＝0，这与m
2
－3m＋2≠0相矛盾；
若m
2
－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或 标准)
能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
3．集合中元素的三个特性 (1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素是否
属于 这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常
被用来判断涉及的 总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的 任何两个元素
都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b ，c与由元素b，a，c组成的集
合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合是否相等．

课时对点练
一、选择题
1．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A
C．0∈A
B．1∈A
D．－1?A

答案 C
解析 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则( )
A．0∈A
C．a∈A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 ∵A中只有一个元素a且a≠0，
∴0?A，选项A错．
∵a为元素，A为集合，故B错误．
由已知选C.
3
3．由实数x，－x ，|x|，x
2
，－
x
3
所组成的集合，最多含( )
A．2个元素
C．4个元素
答案 A
3
解析 由于x
2
＝|x|，－
x
3
＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相 等，所以最多含2个元素．
xy
4．已知x，y为非零实数，代数式
＋所有可能的值 所组成的集合是M，则下列判断正确
|x||y|
的是( )
A．0?M
C．－2?M
答案 D
xyxy
解析 ①当x，y为正数时，代数式 ＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的
|x||y||x||y|
xy
值 为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－
|x||y|2,0,2，故选D.
5．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－1?A
C．3k
2
－1∈A
答案 C
解析 令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.
令3k－1＝－11，解得k＝－
10
?Z，∴－11?A；
3
B．－11∈A
D．－34?A
B．1∈M
D．2∈M
B．3个元素
D．5个元素
B．a＝A
D．a?A

∵k∈Z，∴k
2
∈Z，∴3k
2
－1∈A.
令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.
6．由不超过5的实数组成集合A，a＝2＋3，则( )
A．a∈A
1
C.
?A
a
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 A
解析 a＝2＋3<4＋4＝4<5，∴a∈A.
a＋1<4＋4＋1＝5，∴a＋1∈A.
a
2
＝(2)
2
＋22·3＋(3)
2
＝5＋26>5.∴a
2
?A.
3－2
11
＝＝＝3－2<5.
a
2＋3
?2＋3??3－2?
1
∴∈A.
a
故选A.
二、填空题
7．在方程x
2
－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．
答案 1
解析 易知方程x
2
－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集 合元素的互异性知，方程的解集中只
有1个元素．
8．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②3D∈Q；③0∈N
＋
；④|－4|
D
∈N
＋
.
答案 2
解析 ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正
确，正确的个 数为2.
B．a
2
∈A
D．a＋1?A

9．已 知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝
_______ _.
答案 6
解析 ∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝6.
10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x
2
－x，则实数x的取值范围是___ _________________．
1±5
答案 x≠0,1,2，
2
1±5
解析 由集合元素的互异性可得x≠1，x
2
－x≠1，x
2
－x≠x，解得x≠0,1,2，
.
2
b
11．已知a ，b∈R，集合A中含有a，
，1三个元素，集合B中含有a
2
，a＋b,0三个元素 ，
a
若集合A与集合B中的元素相同，则a＋b＝____.
答案 －1
解析 ∵若集合A与集合B中的元素相同，0∈B，
∴0∈A.
b
又a≠0，∴＝0，则b＝0.
a
∴B＝{a，a
2,
0}．
∵1∈B，∴a
2
＝1，a＝±1.
由元素的互异性知，a＝－1，
∴a＋b＝－1.
三、解答题
12．已知集合A是由a－2,2a
2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a
2
＋5a，
3
∴a＝－1或a＝－
.
2
当a＝－1时，a－2＝－3,2a< br>2
＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．
37
当a＝－时，a－2＝－，2a
2
＋5a＝－3，满足题意．
22
3
∴实数a的值为－
.
2
1
13．数集A满足条件：若a∈A，则
∈A(a≠1)．
1－a
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．
解 (1)2∈A，则
1
∈A，
1－2

111
即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，
21
1＋1
1－
2
1
即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，
.
2
12
(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－
，
. < br>23
a－1
1
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是 a，
，
(a≠1，且a≠0)，
1－a
a
且三个数的乘积为－1.
证明如下：
11
若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，
1－a1－a
a－1a－1
1
所以又有＝∈A且≠1，
1aa
1－
1－a
1
进而有＝a∈A.
a－1
1 －
a
又因为a≠
11
(因为若a＝
，则a
2
－a＋ 1＝0，而方程a
2
－a＋1＝0无解)．
1－a1－a
a－1a－1
1
同理≠，a≠，所以A中只能有3个元素， < br>aa
1－a
它们分别是a，
a－1
1
，，且三个数的乘积为－ 1.
a
1－a
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{a，b，c}中任意 2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个
不同元素的差的绝对值的集合是( )
A．{1,2,3}
C．{0,1}
答案 B
解析 由题意知：
a＋b＝1，
?
?
?
b＋c＝2，
?
?
c＋a＝3，
B．{1,2}
D．{0,1,2}

a＝1，
?
?
解得
?
b＝0，
?
?
c＝2，


∴集合A＝{0,1,2}，
则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.
故集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．故选B.

1 5．已知集合A中的元素x均满足x＝m
2
－n
2
(m，n∈Z)，求证：
(1)3∈A；
(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.
证明 (1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，
得x＝m
2
－n
2
＝4－1＝3，所以3∈A.
(2)假 设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，使4k－2＝m
2
－n
2
＝(m＋n) (m－n)成立．
①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，
所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．
②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，
所以(m＋n)(m－n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．
所以假设不成立．
综上，4k－2?A.