高中数学第一轮复习《集合》

例1 判定以下关系是否正确
(1){a}?{a}

(2){1，2，3}＝{3，2，1}
?
{0}

(3)?
≠
(4)0∈{0}
(5)?∈{0}
(6)?＝{0}

分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个
都是错误的．
说明：含元素0的集合非空．
例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．
分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．
解 含有0个元素的子集有：?；

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；
含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；
含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．
说明：对于集合A，我们把?和A叫做它的平凡子集．

例3 已知{a，b}?A
?
≠
{a，b，c，d}，则满足条件集合A的个数为

________．
分析 A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}真子集，所 以满足条
件的A有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}．
答 共3个．
说明：必须考虑A中元素受到的所有约束．
?
U，且N?M，则

例4 设U为全集，集合M、N
≠
[ ]

分析 作出4图形．
答 选C．
说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．

点击思维

例5 设集 合A＝{x|x＝5－4a＋a
2
，a∈R}，B＝{y|y＝4b
2
＋4b ＋2，b∈
R}，则下列关系式中正确的是
[ ]
A．A＝B
C．A
?
≠
B
B．A?B
?
BD．A
≠

分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上
x＝5－4a＋a
2
＝(2－a)
2
＋1≥1，
y＝4b
2
＋4b＋2＝(2b＋1)
2
＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B．
答 选A．
说明：要注意集合中谁是元素．

M与P的关系是
[ ]
A．M＝
B．M＝P
U
P
?
C．M
≠
P
用补集的性质：M＝
U
N＝
U
(
D．M?P

U
P)＝P；三是利用画图的方法．
分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利

答 选B．
说明：一题多解可以锻炼发散思维．
例7 下列命题中正确的是
[ ]
A．
U
(
U
A)＝{A}
B．若 A∩B＝B，则A?B
C．若A＝{1，?，{2}}，则{2}
?
≠
A
D．若A＝{1，2，3}，B＝{x|x?A}，则A∈B

分析 D选择项中A∈B似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．
∵D选择支中，B中的元素，x?A，即x是集合A的子集，而A的子

集有?，{1 }，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，而B

是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素．
∴A∈B．
答 选D．
说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．
例8 已知集合A＝{2 ，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空
集合C是这样一个集合：其各元素都加2 后，就变为A的一个子集；若各元素
都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．
分析 逆 向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；
B中元素加2得3，4，5，7， 10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能
是4或7．
答 C＝{4}或{7}或{4，7}．
说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．
例9 设 S＝{1，2，3，4}，且M＝{x∈S|x
2
－5x＋p＝0}，若
4}，则p＝ ________．
分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于
S
M＝{1，4}，
S
M＝{1，
?
S，

且M
≠
∴M＝{2，3}则由韦达定理可解．
答 p＝2×3＝6．
说明：集合问题常常与方程问题相结合．
例10 已知集合S＝{2，3，a
2
＋2a－3}，A＝{|a＋1|，2}，
求a的值．
S
A＝{a＋3}，

S这个集合是集合A与集合
S
A的元素合在一起“补成”的，此外，对
这类字母的集合问题，需要注意元素的互异 性及分类讨论思想方法的应用．
解 由补集概念及集合中元素互异性知a应满足
?
a＋3＝3
?
2
?
|a＋1|＝a＋2a－3
(1)
?
2
?
a＋2a－3≠2
?
a
2
＋2a－3≠3
?
?
a＋3＝a
2
＋2a－3
?
?
|a＋1|＝3
或(2)
?
2
?
a＋2a－3≠2
?
a
2
＋2a－3≠3
?
①
②
③
④
①
②
③
④


在(1)中，由①得a＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．
在(2)中， 由①得a＝－3，a＝2，分别代入②③④检验，a＝－3不合②，
故舍去，a＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．
说明：分类要做到不重不漏．
例11 (1993年北京高考题)集合M＝{x|x＝
kππ
x|x＝＋，k∈Z}则

42
kππ
＋，k∈Z}，N＝{

24
[ ]
A．M＝N
?
NB．M
≠
C．M
?
≠
N

D．M与N没有相同元素
分析 分别令k＝…，－1，0，1，2，3，…得
π π3π5π7π
M＝{…，－，，，，，…}，
44444
ππ3π5π
< br>N＝{…，，，，π，，…}
4244
易见，M
?
N．
≠

答 选C．
说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性