衡水中学高中数学-第1讲 集 合

第1讲 集 合
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最新考纲
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． 多以选择
常见题型
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 题出现于
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算.

第1或第
2题位置，
是高考必
考内容，
占5分左
右．

[知识梳理]
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性： 确定性 、 无序性 、 互异性 .
(2)元素与集合的两种元素：属于，记为 ∈ ；不属于，记为 ? .
(3)集合的三种表示方法： 列举法 、 描述法 、 图示法 .
(4)五个特定的集合：
集合
符号
自然数集
N
正整数集
N
*
或N
＋

整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
2．集合间的基本关系
表示
关系
子集
真子
基本
关系
集
相等
空集
文字语言
集合A的 元素 都是集合B的元素
符号语言
x∈A?x∈B
记法
A?B或 B?A
AB或
BA
A＝B
?
集合A是集合B的子集，且集合B中 A?B，且?x
0
∈B，x
0
至少 有一个元素不属于A
集合A，B的元素完全 相同
不含 任何元素的集合，空集是任
何集合A的子集
?A
A?B，B?A
?x，x??，??A
3．集合的基本运算

表示
运算
文字语言
属于集合A 且
符号语言 图形语言 记法
交集 属于集合B的元素
组成的集合
属于集合A 或
{x|x∈A，且x∈B}

A∩B
并集 属于集合B的元素
组成的集合
全集U中 不 属
{x|x∈A，或x∈B}

A∪B
补集 于集合A的元素组
成的集合
{x|x∈U，且x?A}

[知识感悟]
?
U
A
1．集合的运算性质
并集的性质：
A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
交集的性质：
A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
补集的性质：
A∪(?
U
A)＝U；A∩(?
U
A)＝?；?
U
(?U
A)＝A.
2．判断集合关系的三种方法
(1)一一列举观察；
(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合
元素的特征判断 集合关系；
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
3．数形结合思想
数轴 和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方
法，解题时要先把集 合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标
系或Venn图等工具，将抽象的 代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思
想方法解题．
[知识自测]
1．(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )
A．{1,3}
C．{5,7}
B．{3,5}
D．{1,7}
[解析] 集合A与集合B的公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，选B.

[答案] B
2．(2018·江西重点中学联考)已知集合A＝{x|x
2
－6x＋5≤0}，B ＝{x|y＝x－3}，则A∩B
等于( )
A．[1,3]
C．[3,5]
B．[1,5]
D．[1，＋∞)
[解析] 根据题意，得A＝{x|x
2
－6x＋5≤0}＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|y＝x－3}＝{x|x≥3}，
所以A∩B＝{x|3≤x≤5}＝[3,5]．
[答案] C
3．已知集合M＝ {1，m}，N＝{n，log
2
n}，若M＝N，则(m－n)
2 017
＝______.
??
?
n＝1，
?
n＝m，
[解析] 由M＝N知
?
或
?

?
log
2
n＝m< br>?
??
log
2
n＝1，
?
m＝0，
?m＝2，
??
∴
?
或
?

??
n＝1n＝2.
??


[答案] －1或0

题型一 集合的基本概念(基础拿分题——自主练透)
(1)(2018·山东 省枣庄十六中4月模拟试卷)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x
＝a＋b，a ∈A，b∈B}，集合M真子集的个数为( )
A．32
C．16
B．31
D．15
[解析] 由题意集合A＝{1,2,3}，B＝{4, 5}，a∈A，b∈B，那么：a、b的组合有：(1、
4)，(1、5)，(2、4)，(2、5)， (3、4)，(3、5)，∵M＝{x|x＝a＋b}，∴M＝{5,6,7,8}，集合M
中有4个元 素，有2
4
－1＝15个真子集．故选：D.
[答案] D
b
? ?
(2)已知a，b∈R，若
?
a，
a
，1
?
＝{ a
2
，a＋b,0}，则a
2018
＋b
2018
为( )
??
A．1
C．－1
B．0
D．±1
b
[解析] 由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a
2
＝1，即a＝ 1或a＝－1，又根据
a
集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a
2018
＋b
2018
＝(－1)
2018
＋0
2018< br>＝1.
[答案] A
方法感悟
1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元 素应满足的属性，对于含有字母的集合，在

求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否 满足互异性．
2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列< br>出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．
【针对补偿】
1
??
x
1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)已知集合A＝
?
x∈Z |
27
＜3≤9
?
，B＝{x∈N|
??
－2＜x＜3}， 则集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的元素个数为( )
A．6
C．8
B．7
D．9
1
－
[解析] 由＜3
x
≤9 ，即3
3
＜3
x
≤3
2
，解得－3＜x≤2，∴A＝{－2 ，－1,0,1,2}．
27
B＝{0,1,2}．∴集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B }＝{－2，－1，0,1,2，－4,4}的元素个数为7.
故选：B.
[答案] B
2．已知集合A＝{m＋2,2m
2
＋m}，若3∈A，则m的值为 ________ .
3
[解析] 由题意得m＋2＝3或2m
2
＋m＝3 ，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3
2
且2m
2
＋m＝3，根据集 合中元素的互异性可知不满足题意；
313
当m＝－时，m＋2＝，而2m
2
＋m＝3，故m＝－.
222
3
[答案] －
2
3．已知P＝{x|2[解析] 因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5[答案] 5题型二 集合的基本关系(重点保命题，共同探讨)
(1)已知集合A＝{x |x
2
－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A ?C?B的集合C的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
[解析] (1)由x
2
－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以 A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}．
所以满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
[答案] D
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1 }，若B?A，则实数m的取值
范围为______．
[解析] 因为B?A，所以①若B＝?，则2m－1

2m－1≥m＋1 ，
?
?
②若B≠?，则
?
m＋1≥－2，
?
?2m－1≤5.

解得2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
[答案] m≤3
方法感悟
1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造
成漏解．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，
进而转化 为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
[注意] 题目中若有条件B?A，则应分B＝?和B≠?两种情况进行讨论．
【针对补偿】
4．已知 集合A＝{x∈R|x
2
＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，则实数 a的值
为( )
11
A.或－
32
11
C.或－或0
32
11
B．－或
32
11
D．－或或0
32
[解析] 由题意知A＝{2，－3}，当a＝0时，B＝?，满足B?A；
111
当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝，由B?A，可得＝－3或＝2，
aaa
1111
∴a＝－或a＝.综上，a的值为－或或0.
3232
[答案] D
5．已知集合A＝{x|log
2
x≤2} ，B＝(－∞，a)，若A?B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，
则c＝______.
[解析] 由log
2
x≤2，得0即A＝{x|04，即c＝4.
[答案] 4
题型三 集合的基本运算(高频考点题，多角突破)
集合的基本运算 是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、
值域相结合命题，主要以选择题 的形式出现．试题难度不大，多为低档题．
高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求集合间的交、并、补运算；
(2)已知集合的运算结果求集合；

(3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)．
考向一 求交集
1．(2017·课标Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x
2
＋y
2
＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素
的个数为( )
A．3
C．1
B．2
D．0
[解析] 集合中的元素为点集，由题意，结 合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆
上所有点组成的集合，集合B表示直线y＝x上所有的 点组成的集合，圆x
2
＋y
2
＝1与直线y
＝x相交于两点(1,1 )，(－1，－1)，则A∩B中有两个元素．故选B.
[答案] B
考向二 求并集 < br>2．(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2
x
，x∈R}，B＝{x|x
2
－1<0}，则A∪B＝( )
A．(－1,1)
C．(－1，＋∞)
B．(0,1)
D．(0，＋∞)
[解析] A＝{y|y>0}，B＝{x|－1－1}，选C.
[答案] C
考向三 集合的交、并、补的综合运算
3．(2018·山东省德州市四月二模) 设全 集U＝R，集合M＝{x|x
2
＋x－2＞0}，N＝
?
?
1
?
x
－
1
?
?
x|
?
，则(?
U
M)∩N＝( ) ≥2
?
?
2
?
?
A．[－2,0]
C．[0,1]
B．[－2,1]
D．[0,2]
[解析] M ＝{x|x＞1或x＜－2}，?
U
M＝{x|－2≤x≤1}，N＝{x|x－1≤－1}＝ {x|x≤0}，
所以(?
U
M)∩N＝{x|－2≤x≤0}，故选A.
[答案] A
考向四 利用集合运算求参数
4．已知集合A＝{x|x
2
－x－12≤0}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且A∩B＝B，则实数m
的取值范围 为( )
A．[－1,2)
C．[2，＋∞)
B．[－1,3]
D．[－1，＋∞)
[解析] 由x
2
－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，
即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}，又A∩B＝B，
所以B?A.
①当B＝?时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.

－3≤2m－1，
?
?
②当B≠?时，有
?
m＋1≤4，
?
?
2m －1＜m＋1，

解得－1≤m＜2.
综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．
[答案] D
考向五 集合的斜定义问题
5．已知集合A＝{(x，y)|x2
＋y
2
≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x ，y∈Z}，
定义集合A⊕B＝{(x
1
＋x
2
，y
1＋y
2
)|(x
1
，y
1
)∈A，(x
2，y
2
)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( )
A．77
C．45
B．49
D．30
[解析] 如图，集合A表示如图所示 的所有圆点“○”，集合B表示如图所示的所有圆
点“○”＋所有圆点“·”，集合A⊕B显然是集合{ (x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四
个点{(－3，－3)，(－3,3)， (3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的
点)，即集合A⊕B表示如 图所示的所有圆点“○”＋所有圆点“·”＋所有圆点“⊙”，共
45个，故A⊕B中元素的个数为45 .故选C.

[答案] C
方法感悟
集合基本运算的常见题型与破解策略：
重点题型
求并集、交集或补集
破解策略
一般是先解方程或不等式化简集合，再由并集、交集或补集的定义求解
交、并、补的混合运算 先算括号里面的，再按运算的顺序求解
利用集合的基本运算
求参数的取值(范围)
数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等．
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住 两点：(1)紧扣新定义，首先分析定义的
集合的定义问题
特点，把新定义所叙述的问题的本 质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，
这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好 集合的性质，解题时要善于
从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性 质.
【针对补偿】
6．(2017·山东)设函数y＝4－x
2
的定义域 A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B

＝( )
A．(1,2)
C．(－2,1)
B．(1,2]
D．[－2,1)
[解析] 由4－x
2
≥0得－2≤x≤2，由1－x＞ 0得x＜1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x
＜1}＝{x|－2≤x＜1}，选D.
[答案] D
7．(2018·山东省青岛市数学一模试卷)已知集合A＝{x||x＋1| ≥1}，B＝{x|x≥－1}，则(?
R
A)∩B＝( )
B．[－1,0)
D．(－2，－1]
A．[－1,0]
C．(－2，－1)
[解析] ∵A＝{x||x＋1|≥1}＝{x|x≤－2或x≥0}，
∴?
R
A＝{x|－2＜x＜0}，又B＝{x|x≥－1}，
∴(?
R
A)∩B＝[－1,0)．故选：B.
[答案] B
8 ．定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x?B}，若集合A＝{x|x
2
－4 x＋3＜0}，
B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于( )
A．{x|3＜x≤4}
C．{x|3＜x＜4}
B．{x|3≤x≤4}
D．{x|2≤x≤4}
[解析] A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤4}，
由题意知B△A＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4}．
[答案] B
◆牛刀小试·成功靠岸◆
课堂达标(一)
[A基础巩固练]
1．(20 17·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3
x
＜1}，则( )
A．A∩B＝{x|x＜0}
C．A∪B＝{x|x＞1}
[解析] 由3
x
＜1可得3
x
＜3
0
，则x＜0，
即B＝{x|x＜0}，
所以A∩B＝{x|x＜1}∩{x|x＜0}＝{x|x＜0}，
A∪B＝{x|x＜1}∪{x|x＜0}＝{x|x＜1}．故选A.
[答案] A 2．(2017·天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则 (A∪B)∩C＝
( )
B．A∪B＝R
D．A∩B＝?

A．{2}
C．{1,2,4,6}
B．{1,2,4}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
[解析] (A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩[－1,5]＝{1,2,4}，选B.
[答案] B
3．(2018·哈尔滨九中二模)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A．?x∈Q，有x∈P
C．?x
0
?Q，使得x
0
∈P
B．?x?Q，有x?P
D．?x
0
∈P，使得x
0
?P

[解析] ∵P∩Q＝P，∴P?Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.
[答案] B
4．(2018·刑台摸底考试)已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{ y|y＝x，0≤x≤4}，则下列
关系正确的是( )
A．A??
R
B
C．?
R
A??
R
B
B．B??
R
A
D．A∪B＝R
[解析] 依题意得B＝{y|0≤y≤2}，因此B?A，
?
R
A??
R
B.
[答案] C
5．(201 8·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N
*
，k≤50}， Q＝{2,3,5}，
则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )
A．147
C．130
B．140
D．117
[解析] 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝
5时有相同的元素， 当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同
的元素 ，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.
[答案] B
6．(2 018·山东临沂期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|x
2
－3x＋2>0}，B＝{x| x－a≤0}，
若?
U
B?A，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1)
C．[1，＋∞)
[解析] ∵x
2
－3x＋2>0，∴x>2或x<1.
∴A＝{x|x>2或x<1}，∵B＝{x|x≤a}，
B．(－∞，2]
D．[2，＋∞)

∴?
U
B＝{x|x>a}．
?
U
B?A，借助数轴可知a≥2，故选D.
[答案] D
?< br>1
x
?
<2<4
?
，则(?
R
A)∩B等于 ______． 7．已知集合A＝{x|y＝x}，B＝
?
x
?
?
2
??
?
1
x
?
<2<4
?
＝{x|－[ 解析] 因为A＝{x|y＝x}＝{x|x≥0}，所以?
R
A＝{x|x<0}．又B＝< br>?
x
?
?
2
??


1R
A)∩B＝{x|－1[答案] {x|－18．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m＜x＜m}，若B?A，则m的取值范围为
________ .
[解析] 当m≤0时，B＝?，显然B?A.当m＞0时，∵A＝{x|－1＜x＜3}．
当B?A时，在数轴上标出两集合，如图，

－m≥－1，
?
?< br>∴
?
m≤3，
?
?
－m＜m.

∴0＜m≤1.
综上所述m的取值范围为(－∞，1]．
[答案] (－∞，1]
9．(2018·南阳月考)设全集U＝R，集合A＝{x|y＝x
2
－2x－3}， B＝{y|y＝e
x
＋1}，则A
∪B＝ ________ .
[解析] 因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y＞1}，所以A∪B＝{x|x＞1或x≤－1}．
[答案] (－∞，－1]∪(1，＋∞)
10．已知集合A＝{x|x
2
－2x－3≤0}，B＝{x|x
2
－2mx＋m
2
－4≤0，x∈R，m∈ R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A??
R
B，求实数m的取值范围．
[解] 由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
?
?
m－ 2＝0，
(1)∵A∩B＝[0,3]，∴
?
∴m＝2.
?
m＋2≥3，
?

(2)?
R
B＝{x|xm＋2}，∵A??
R
B，∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－
3.
因此实数m的取值范围是{m|m＞5或m<－3}．
[B能力提升练]
1．(2018·湖南衡阳第三次联考)集合M＝{(x，y)|x＋y≤1，y≤x，y≥－1}，N＝{(x ，y)|(x

－2)
2
＋y
2
＝r
2
，r＞0}，若M∩N≠?，则r的取值范围为( )
A.
?
2
?

?
2
，3
?B.
[
1，10
]
C.
?
2
?
，10

?
2
?
D.
?
1，
?
10
?

2
?
[解析] 由条件可得M的可行域：如图阴影部分，N 则是以P(2,0)为圆心，

半径为r的圆，由M∩N＝?，则当圆与x＋y＝1相切时半 径最小，如图D处，则d＝r
＝
2
，当过y＝x，y＝－1的交点时最大，此时r＝1 0，故选C.
2
[答案] C
2．(2018·开封模拟)设集合U＝R，A＝{x|2
x(x
分表示的集合为( )
－
2)
<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部

A．{x|x≥1}
C．{x|0[解析] 易知A＝{x|2
x(x
－
2)
B．{x|1≤x<2}
D．{x|x≤1}
<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0x>0}＝{x|x<1}，则?
U
B＝{x|x ≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(?
U
B}＝{x|1≤x<2}．
[答案] B
3．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0} ，且A∩B＝(－1，
n)，则m＝ ________ ，n＝ ________ .
[解析] A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}，
由A∩B＝(－ 1，n)，可知m＜1，则B＝{x|m＜x＜2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.

[答案] －1；1
4．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A、B为集合M的非空子集 ，若?x∈A、y∈B，x恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集 对”共有
__________________个．
[解析] 当A＝{1}时，B有2< br>3
－1＝7种情况，当A＝{2}时，B有2
2
－1＝3种情况，当