高中数学教案——集合-集合的概念 第一课时

课 题：
1.1集合－集合的概念（1）

教学目的：
（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法
（2）使学生初步了解“属于”关系的意义
（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学重点：集合的基本概念及表示方法
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示
一些简单的集合
授课类型：新授课
课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在
教 具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪
内容分析：当时的数学家S．K．泊松为了理
1．集合是中学数已证明的一个结果可以 表明伽罗华学的一个重要的基本概念
在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1 832年5
月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有
数集、 解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集至于
逻辑，可以说，从开始学习数学就 离不开对造福人类1832年5月31日离开了
逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学 习、工作中，也是认
识，他死后14年，法国数学家刘维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以
帮助学生认识学习本章的意义，也是于刘维尔主编的《数学杂志》上本章学习
的基础
把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中
数学中，这些知识与其他内容 有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语
言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集 合与逻辑
本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的
概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，
包括列举法、描述法，还 给出了画图表示集合的例子
这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生 的学习
兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念
集合 是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要
还是通过实例，对概念有一个初步认 识教科书给出的“一般地，某些指定的对象
集在一起就成为一个集合，也简称集
”这句话，只是 对集合概念的描述性说明

教学过程：
一、复习引入：
1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；
2．教材中的章头引言；
3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；
三人行，必有我师

4．“物以类聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P
4
）
二、讲解新课：
阅读教材第一部分，问题如下：
（1）有那些概念？是如何定义的？
（2）有那些符号？是如何表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的 .
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在
一起就成为一个集合 ，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
2、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，
N?
?
0,1,2, ?
?

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N
*
或N
+

N
*
?
?
1,2,3,?
?

?1，?2，?
?
（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,
Z?
?
0，
（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,
?

Q?
?
整数与分数
（5）实数集：全体实数的集合记作R

R?数轴上所有点所对数

应的
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括
数0
（2）非负整数集内排除0的集记作N
*
或N
+
Q、Z、R等其它
数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0
的集，表示成Z
*

3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
a?A

??
三人行，必有我师

4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q??
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q??
⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
三、练习题：
1、教材P
5
练习1、2
2、下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数 （不确定）
（2）好心的人 （不确定）
（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）
3、设a,b是非零实数，那么
aa
?
b
b
可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__
4 、由实数x,－x,｜x｜,
x
2
,?
3
x
3
所组 成的集合，最多含（ A ）
（A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素
5、设集合G中的元素是所有形如a＋b
2
（a∈Z, b∈Z）的数，求证：
(1) 当x∈N时, x∈G;
(2) 若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而
1
不一定属于集合G
x
证明(1)：在a＋b
2
（a∈Z, b∈Z）中，令a=x∈N,b=0,
则x= x＋0*
2
= a＋b
2
∈G,即x∈G
证明(2)：∵x∈G，y∈G，
∴x= a＋b
2
（a∈Z, b∈Z）,y= c＋d
2
（c∈Z, d∈Z）
∴x+y=( a＋b
2
)+( c＋d
2
)=(a+c)+(b+d)
2

∵a∈Z, b∈Z,c∈Z, d∈Z
∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z
∴x+y =(a+c)+(b+d)
2
∈G，
三人行，必有我师

又∵
a?b
11
?
＝
2
?
x
a?b2a?2b
2
a
2
?2b
2
2

且
a?b
,
不一定都是整数，
2222
a?2ba?2b
a?b
11
?
＝
2
?
x
a?b2
a?2b
2
a
2
?2b
2
2
不一定属于集合G ∴
四、小结：本节课学习了以下内容：
1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）罗华的手
稿1831年1月伽罗华在
2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性个结论，他写成
论文提交给法国科
3．常用数集的定义及记法当时的数学家S．K．泊松为了理
五、课后作业：已证明的一个结果可以表明伽罗华
六、板书设计（略）罗华的手稿1831年1月伽罗华在议科学院否定它1832
年5月30日
七、课后记：个结论，他写成论文提交给法国科忙写成后，委托他的朋友薛
伐里叶
八、附录：康托尔简当时的数学家S．K．泊松为了理介造福人类1832年5
月31日离开了
发疯了的数学家康已证明的一个结果可以，他
死后14年，法国数学家刘维表明伽罗 华托尔（
Georg
Cantor
，1845－1918）是德于刘维尔主编的《数 学杂
志》上国数学家，议科学院否定它1832年5月30
日集合论的创始者1845年3月3 日生于圣彼得堡，
忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶1918年1月6日
病逝于哈雷造福人类1 832年5月31日离开了
康托尔11岁时移居，他死后14年，法国数学家
刘维德国 ，在德国读中学1862年17岁时入瑞士苏黎世大于刘维尔主编的《数
学杂志》上学，翌年入柏林大学 ，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期1867
年以数论方面的论文获博士学位1869年在哈 雷大学通过讲师资格考试，后在该
大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许
多大数学家唯恐陷进去而 采取退避三舍的态度在1874—1876年期间，不到30
岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣 战他靠着辛勤的汗水，成功地证明
了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点 一一对
三人行，必有我师

应这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上 的点，以及整个地球内部
的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文 章，
通过严格证明得出了许多惊人的结论
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖 锐冲突，遭到一些人的反
对、攻击甚至谩骂有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“ 雾
中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康
托尔，使他 心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院
真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩189 7年举行的第一次国际数学
家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作 “可
能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作
”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从
人 们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世
集合论是现代数学 的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷
数的兴趣康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷 问题进行了哲学的讨论，最终
建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础
康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础从而
解决17世纪牛顿（，1642 －1727）与莱布尼茨（z，1646
－1716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里， 微积分理论所缺乏
的逻辑基础和从19世纪开始，柯西（，1789－1857）、魏尔斯特拉
斯（trass，1815－1897）等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理
论克隆尼克（ke r，1823－1891），康托尔的老师，对康托尔表现了无
微不至的关怀他用各种用得上的尖刻语言 ，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达
十年之久他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔横加阻挠康托 尔在柏
林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位而改
善其地位的 任何努力都遭到挫折法国数学家彭加勒（-ncare，1854－1912）：
我个人，而且还不只我 一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个
文字去完全定义好的东西集合论是一个有趣的“病 理学的情形”，后一代将把
（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了
德国数学家魏尔（-mann Wey1，1885－1955）认为，康托尔关于基数的
等级 观点是雾上之雾菲利克斯．克莱因（，1849－1925）不赞成集合论
的思想数学家H．A．施瓦兹 ，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断
交从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度 沮丧，神态不安，精神
病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位
健康状况逐渐恶化，19 18年，他在哈勒大学附属精神病院去世
流星埃．伽罗华（，1811－1832），法国数学家伽罗 华17岁时，就着
手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题许多数学家为之耗去许
多精力，但都失败了直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研
三人行，必有我师

究才算迈出重要的一步伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的
方法从系统结构的 整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗日那
里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置 换群联系
起
来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或
者归结为置换群及其子群结构的分析上同时创立了具有划时代意义的数学分
支——群论，数学发展史上 作出了重大贡献1829年，他把关于群论研究所初步
结果的第一批论文提交给法国科学院科学院委托当 时法国最杰出的数学家柯
西作为这些论文的鉴定人在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成 果
在科学院举行一次全面的意见听取会然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己
的一篇论文时， 并未介绍伽罗华的著作1830年2月，伽罗华将他的研究成果比
较详细地写成论文交上去了以参加科学 院的数学大奖评选，论文寄给当时科学
院终身秘书J．B．傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他 的遗物中未能
发现伽罗华的手稿1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又
得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院这篇论文是伽罗华关于群论的重
要著作当时的数学家S．K ．泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁尽管借助于拉
格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论 断是正确的，但最后他
还是建议科学院否定它1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研
成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传
后世，造福人类1 832年5月31日离开了人间死因参加无意义的决斗受重伤
1846年，他死后14年，法国数学家刘 维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首
次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上
三人行，必有我师