高中数学必修一集合与集合的关系知识点总结与练习

1.2子集、全集、补集
一、课本扫描
二、基本概念
1、子集的概念
A
与
B

（1）如果集合
A
中的任何一个元素都是集合
B
的元素，我们就说集合
A
包含于集 合
B
，或说集合
B
包含集合
A
，记作
A?B
或
B?A
，这时，集合
A
叫做集合
B
的子集。
对于两个集合
（2）如果
A?B且A?B
，我们就说集合
A
是集合
B
的真子集，记作
A
?
B
。
（3）如果
A?B
同时
B?A
，那么
A?B
。
子集的概念是由讨论集合与集合间的关系引出的，两个集合
A
与
B
之间的关系 如下：
?
?
A?B?A?B且B?A
A?B
?
?

?
?
A?B?A?B
?
A
?
B
?
其中记号
A?
。
B
（或
B?A
）表示集合
A不包含于集合
B
（或者集合
B
不包含集合
A
）
2、子集具有以下性质：
①
A?A
，即任何一个集合都是它本身的子集。
B,B?A
，那么
A?B
。
B,B?C
，那么
A?C
。
C
，那么
A?C
。
②如果
A?
③如果
A?
④如果
A刎B,B
⑤空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、关于有限集合子集个数的讨论。
①
n
个元素的集合有
2
个子集。
②
n
个元素的集合有
2
③
n
个元素的集合有
2
④
n
个元素的集合有
2
4、全集与补集
设
S是一个集合，
A
是
S
的一个子集，由
S
中所有不属于集 合
集
n
n
?1
个真子集。
?1
个非空子集。
n
n
?2
个非空真子集。
A
的元素组成的集合，叫做S
中的子
A
的补集，记作
C
s
A
用数学式子表 示为：
C
S
A?
?
xx?S且x?A
?
。
如果集合
S
含有我们所要研究的各个集合的全部元素，我们称集合
S
为全集，记作
U
。
5、全集与补集的性质
（1）
C
U
(C
U
A)?A
，（2）
A?U,C
UA?U
，（3）
C
U
U??,C
U
??U

6、关于全集与补集的理解
（1）全集具有相对性，是相对于我们所 研究的问题而言的一个概念。如：小学数学研究的问题常在有
理数集内，则有理数集是全集。初中代数研 究的问题常在实数集内，则实数集就是全集。
补集是以全集为前提加以定义的，因此它们是相 互依存不可分离的两个概念。如：
U?
?
1,2,3,4
?
,A?< br>?
1
?
,B?
?
2
?
，则
C
U
A?
?
2,3,4
?
,C
U
B?
?< br>1,3,4
?
。
（2）用数学的三种语言互泽表示全集与补集：

三、基本题型
例1、判断下列关系是否正确
（1）（2）?
1,2,3
?
?
?
3,2,1
（3）
??< br>?
0
?
；（4）
0?
?
0
?
；（5 ）
??
?
0
?
；（6）
?
a
?
?
?
a
?
；
?
；
（7）
??
?0,1,2
?
；（8）
?
1
??
?
0
?
；
?
?
?
xx?5
?

解：（ 1）任何一个集合是它本身的子集，因此，
?
a
?
?
?
a< br>?
正确；
（2）两个集合中的元素相同，故用“=”号正确；
（3）空集是任何非空集合的真子集，正确；
（4）
?
0
?
中只有一个元素0，
0?
?
0
?
正确；
?
0
?
是两个集合，不能用
?
连接；
?
0
?
中有一个元素，二者不相等；
（5）
?
与
（6）
?
中没有任何元素，而
（7）空集是任何非空集合的真子集，正确；
（8）
Q1?5,?1?
?< br>xx?5
?
,?
?
1
?
?
?
xx? 5
?
正确。
由以上分析可知：（1）（2）（3）（4）（7）（8）正确，（5）（6）错误。
例2、已知集合
M
满足
?
1,2
?
?M?
?
1,2,3, 4,5
?
，则这样的集合
M
有多少个？
分析：由已知集合
M
中至少含有1，2两个元素，至多含有1，2，3，4，5五个元素，故满足条件的
集合
M
的个数是
解：因集合
?
3,4,5
?
的子集个数。
?
3,4,5< br>?
的子集有
?
，
?
3
?
,
?
4
?
,
?
5
?
,
?
3,4
?< br>,
?
3,5
?
,
?
4,5
?
,?
3,4,5
?
共8个，故满足
?
3,4,5
?
两个集合，若集合
P
中有
m
个元素，集合
Q
中有
n
个元素，且
条件的集合
M
共有8个。
评注：本题易丢掉
?
或
P?Q
，则满足
P?Z?Q
的集合Z共有
Z< br>n?m
个。

例3、设
A?
?
xx
2
?2x?3?0,B?
?
xax?1?0
?
，若
B?A，求实数
a
。
?
分析：
B?
解：< br>A?
A
，即
B
是
A
的子集，表明集合
B的元素都是
A
的元素。
2
?
xx?2x?3?0?
?
3,?1
?
，∵
B?A
，∴方程
ax?1?0
无解 或其解为3或
?1
。
?
?a?0
或
111
??1< br>或
?3
，
?a?0
或
a?
或
a??1
。
aa3
评注：因为
A
是二元素集，而
B
的元 素最多一个，所以由
B?A
可知，
B
是
A
的真子集，所以< br>B
有三种可能，在做题过程中很容易丢掉
B??
的情况。
例4、已知
M?
?
2,a,b
?
,N?
?
2a,2,b
2
?
，且
M?N
，求
a,b
的值。
分析：由
M?N
可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题。
?
a?2a,
?
a?b
2
,
解：根据集合中元素的无序性，有：
?

或
?
2
b?b;b ?2a.
??
1
?
a?,
?
a?0,
?
a ?0,
?
?
4
或
?
或
?
解方程组得
?

b?0;b?1;1
??
?
b?.
?
?2< br>1
?
a?
?
a?0
?
?
4
再根据集合中元素的互异性，得
?
或
?
。
?
b?1
?
b?
1
?
?2
评注：集合中元素的互异性在解决此类问题时至关重要，要引起足够的重视。
例5、设集合
U(U
是 。
分析：本题主要考查全集与补集的概念，可选用适当的方法解题。
解法1：利用补集的性质，
M
解法2：由图2-1可知。
??)
以 及集合
M,N,P
，且
M?C
U
N?C
U
(CU
P)
，则
M
与
P
的关系
?C
UN?C
U
(C
U
P)?P
，故
M?P
。

图2-1
评注：对于较抽象的集合之间的关系，一般用韦恩图比较简单，可达到变抽象为直观的目的。
例6、已 知全集
U?
?
2,0,3?a
2
?
，子集
P??
2,a
2
?a?2
?
，且
C
U
P?
?
?1
?
，求
a
。
?U
。 分 析：要注意到
(C
U
P)?U,P

2
?
?< br>3?a??1,
解：由补集定义知：
?
解得：
a?2
。
2
?
?
a?a?2?0
四、A级训练
1、列举集合
2、集合
?
1,2,3
?
的所有子集：
?
0
?
与空集
?
的关系为：
3、若
?< br>1
a,0,1?
??
?
c,,?1
?
?
，则
a?
，
b?
，
c?
。
?
b
?
4、下列集合中，只有一个子集的集合是（ ）
?
C、
C?
?
xx
A、
5、已知全集
U
A?xx
2
?0
2
?
B、
B?
?
xx?0
?

?0
?
D、
D?
?
xx?0
?

3
3
?
?
1,2,0
?
，且
C
U
Q?
?
2
?
，则集合
Q
的真子集共有 个。
?N
，则有（ ） 6、已知全集
U;M,N
是
U
的非空子集，若
C
UM
A、
M?C
U
N
B、
M?C
U
N
C、
C
U
M?C
U
N
D、
M?N

五、发散思维
例1、已知
A?
?
x x?12m?28n,m、n?Z
?
，
B?
?
xx?4k,k?Z< br>?
，求证
A?B
。
x?A
，则
x?12m?28n ?4(3m?7n)
,由
m、n?Z
知
3m?7n?Z
， 证明：（1）任取
?x?B
，即
A?B
。
（2）任取x?B
，则
x
由（1）（2）可知
例2、已知集合
?4k?12 (?2k)?28k
，由
k?Z
知
?2k?Z,?x?A
，即
B?A
。
A?B
。
A?xx
2
?3x?4?0,B?x (x?1)(x
2
?3x?4)?0,A?P?B
，求满足
????
条件的集合
P
。
解：对于方程
x
2
?3x?4? 0,Q??9?16??7?0,?x
2
?3x?4?0
无实根，
?A??< br>。
Q(x?1)(x
2
?3x?4)?0,?x??1,1,?4
，即
B?
?
?4,?1,1
?
。
QA?P?B
，∴集合
P
为
?
?4
?
,
?
?1
?
,
?
1
?
,
?
?4,?1
?
,
?
?4,1
?
,
?
?1,1
?
,
?
?4,?1,1
?
。
例3、已知集合
A?
?
xx??1 ,或x?2
?
,B?
?
x4x?p?0
?
，当
A? B
时，求
p
的范围。
p?p?
,?B?
?
xx? ?
?
44
??
，
解：
Q
4x?p?0,? x??
QA?B
，∴由图2-2得

?
p
??1,?p ?4
。
4

图2-2
评注：在本书内容中，常 使用数轴，韦恩图这两类图形，在与不等式有关问题中，必须画出数轴，有
利于快速解题。
例 4、已知全集
S?
?
1,3,x
3
?3x
2
?2x
?
,A?
?
1,2x?1
?
，如果
C
S< br>A?
?
0
?
，则这样的实数
x
是否
存在？若 存在，求出
x
；若不存在，说明理由。
解：
QC
S
A?
?
0
?
,?0?S
且
0?A
。
?x
3
?3x
2
?2x?0
，则
x(x
2
?3 x?2)?0
，即
x(x?1)(x?2)?0,?x?0
，或
x??1，或
x??2
。
当
x?0
时，
2x?1?1
，则
A
中有重复元素，故
x?0
；
当
x??1
时，
当
x??2
时，
2x?1?3,A ?
?
1,3
?
?S
；
2x?1?5,A?
?1,5
?
?S
，故
x??2
。
由以上可知，所求的实数
x
存在，此时，
x??1
。
六、B级训练
1、
A?xy?x
2
?2x?1,B?yy?x
2
?2x? 1,C?xx
2
?2x?1?0
???
D?xx
2
?2x? 1?0,E?(x,y)y?x
2
则下列结论正确的是（ ）
A、???
??
?2x?1
?
,F?
?
(x,y)x
?
，
2
?2x?1?0,y?R
?
，
A?B?C?D B、
D?C?B?A

C、
E?F
D、
A?B?E

2、设
U
是全集，
N?U
且M?N
，则下列各式成立的是（ ）
A、
C
U
M
C、
C
U
M
3、设
U
?C
U
N
B、
C
U
M?N

?C
U
N
D、
C
U
N?M

?R,A?
?
xa?x?b?
,C
U
A?
?
xx?4,或x?3
?
，则< br>a?
，
b?
。
A?xx
2
?ax?1?0,B?
?
1,2
?
，且
A?B
， 则实数
a
的取值范围是 。 4、若集合
??
七、综合应用与提高
例1、（1）设
A?
（2）设
A?
?
xx
2
?8x?15?0,B?
?
xax?1?0
?
，若
B?A
，求实数
a
组成的集合。 < br>?
?
x?2?x?5
?
B?
?
xm?1?x?2m? 1
?
，若
B?A
，求实数
m
的取值范围。

分析：以上两题，虽然一个是等式，一个是不等式，但殊途同归，解题方法一样 ，由于
B
可能为空集，
且
B??
时，仍然有
B?
解：（1）
Q
A
成立，因此，都要分
B??
，
B??
两种情况讨论。
x
2
?8x?15?0,?x?3
，或
x?5< br>，
?A?
?
3,5
?
,QB?A
，
?
①
B??
时，
②
B??
时，由
B?A
知，
3?B
或
5?B
。将
x?3
，或
x?5
代入ax?1?0
，得
a?
a?0
。
或
1
，
3
1
。
5
?
11
?
,
?
。
?
35
?
由①、②可知，由
a
组成的集合为
?
0,
?
m?1??2,
?
（2）当
B??时，如图2-3所示，由
B?A
得
?
2m?1?5,
解得
2?m?3
。
?
m?1?2m?1,
?

图2-3
当
B??
时，
m?1?2m?1
，解得
m?2
，由以上可得
m?3
。
评注：（1）
B?A
说明集合
B
的任何一个元素都属于
A
。
（2）集合
B
可能为
?
，这一点在解题时常常容易忽视，从 而致错，在解题时要特别注意这个“陷阱”。
例2、已知集合
A?
（1）写出
（2）求
?
1,2,3
?
。
A
的所有子集；
A
的所有子集的元素之和；
（3）若以 这些子集为元素组成集合
B
，判断
A
与
B
的关系。
分析：第（1）问可以按子集中元素的个数分别为0个、1个、2个、3个，进行分类讨论，写 出所有
子集。
第（2）问，观察所有子集的结构特点，求出所有元素的和。
第（3）问，用列举法写出集合
B
，则
解：（1）
A
、
B
的关系就会立即显露出来。
A
的所有子 集为
?,
?
1
?
,
?
2
?
,?
3
?
,
?
1,2
?
,
?
1 ,3
?
,
?
2,3
?
,
?
1,2,3?
。
（2）∵元素1出现在四个子集中，元素2也分别出现在四个子集中，元素3同样出现在四个子集中。
∴
A
的所有子集的元素之和为
(1?2?3)?4?24
。
（3）
B?
八、C级训练
1、已知
?
?,
?
1< br>?
,
?
2
?
,
?
3
?
,< br>?
1,2
?
,
?
1,3
?
,
?2,3
?
,
?
1,2,3
?
?
，
QA ?
?
1,2,3
?
,?A?B
。
A?
?
xk?1?x?2k
?
,B?
?
x1?x?3
?
,A?B< br>，求实数
k
的取值范围。
A?
?
x?1?x?2
?
,B?
?
yy?2x?a,a?R,x?A
?
，
C?zz? x
2
,x?A
2、已知集合
??
，
是否存在实数
a
，使
C
九、高考零距离
?B
？若存在，求出
a
的范围；若不存在，说明理由。

1、（2002·全国）设集合
A级训练答案及解析:
1、解：含有0个元素的子集有：
?
；
含有1个元素的子集有：
含有2个元素有子集有：
含有3个元素的子集有：< br>?
1
?
,
?
2
?
,
?
3< br>?
；
?
1,2
?
,
?
2,3
?< br>,
?
1,3
?
；
?
1,2,3
?
；∴共有8个子集。
?
0
?
。 2、解：由于空集是任何非空集事的真子集，因此
??< br>?
c?0
?
a??1
?
1
?
?
3、 解：由已知
?
?1
即
?
b?1

?
c?0
?
b
?
?
?
a??1
4、C，解：
A?< br>?
0
?
,B?
?
非正数
?
,C??,D?< br>?
负数
?

5、解：
Q?
6、解：若
N?
1,0
?
，因此有
?
1
?
,
?0
?
,?
共3个真子集。
?C
U
M
，则C
U
N?M
；若
N?C
U
M
，则
M? C
U
N
；所以：
M?C
U
N
，选A。
B级训练解析及答案：
1、解析：
A?
?
xy?x
2?2x?1
?
的含义是：符合关系
y?x
2
2
?2x? 1
的
x
的值的集合，显然，
x
可
取任意实数，所以

A?R
；
B?yy?x
2
?2x?1
??
的含义 是：符合
y?x
2
?2x?1?(x?1)
2
?0
的
y
的集合，则
B?
?
yy?0
?
?
?
非 负实数
?
；
?

D?
?
xx


C?xx
2
?2x?1?0
2

?
的含义是：方程
x?2x?1?0
的根的集合，解得
x?1
，所以
C?
?
1
?
；
?2x?1?0
?
的含义是：不等式
x?2x?1?0
的解集，而
2
x
2
?2x?1?(x?1 )
2
?0
，这样的
x
不存在，所以
D??
；
?

F?
?
(x,y)x
表示直线
x
答案：B
E?( x,y)y?x
2
?2x?1
2
?
的含义是：抛物线
y?x ?2x?1
上的所有点；
?2x?1?0,y?R
?
的含义是：
x ?2x?1?0
，即
(x?1)?0,?x?1
，
2
2
2< br>?1(y?R)
上的点。
2、解析：作韦恩图如图2-4所示，可知答案为A。

图2-4
答案：A
3、解析：
C
U
(C
U
A)?
答案：3，4 4、解析：
QB?
则
?
?
x3?x?4
?
，而
A?C
U
(C
U
A),?a?3,b?4
。
?< br>1,2
?
,A?B
，
?A
可以为
?,
?1
?
,
?
2
?
；当
A??
时，方程< br>x
2
?ax?1?0
无解，
?a
2
?4?0
，解得
?2?a?2
；当
A?
?
1
?
时，
x?1
是方程式
x
2
?ax?1?0
的根，代入，
得
a??2
；
当
A?
?
2
?
时，
x?2
是方程式
x
2
?ax?1?0
的根，代入，得
a? ?
2
5
。
2
5
舍去，仅
2
又∵ 方程
x?ax?1?0
有且仅有一个实根时，
??a
2
?4?0,? a??2,
?a??
取
a??2
，由以上可知
?2?a?2
。
评注：遇到一元二次方程的根的问题时，要注意明确判别式
??b
先看方程是否有实根。
答案：
?2?a?2

C级训练答案及解析
2
?4ac< br>的正负情况，即审清题意，
?
k?1?1,
?
1、解：
QA? B
，
?A??
时，如图2-5所示，有
1?k?1?2k?3
，即< br>?
2k?k?1,

?
2k?3,
?

图2-5
?
?
k?0,
?
化简得
?
k?1,

?
3
?
k?.
?2
由图2-6知，使得不等式组同时成立的
k
的范围是
1?k?
3
。
2

图2-6

当
A??
时，有
k?1?2k
，解得
k?1
。由以上可知，当
1?k?
?
3
。
2
3
，或
k?1
时，都有
A?B
。
2
由图2-7可见，这两部分在数轴上能连接起来，因此
k

图2-7
2、解：
Q
即
B?
?1?x?2,?? 2?a?2x?a?4?a,0?x
2
?4
。
?
yy?2x?a, a?R,x?A
?
?
?
y?2?a?y?4?a
?
； C?zz?x
2
,x?A?
?
z0?z?4
?
，
QC?B
，∴由图2-8得
??

图2-8
?< br>?2?a?0,
?
a??2,
即
?
??2?a?0
。 即存在实数
a
，当
a?
?
a?2?a?0
?
时，< br>C?B
。
?
?
4?a?4,
?
a?0.
评注：（1）明确集合
A、B、C
都是数集，是一定范围内的数组成的集合。
（2）集合
B、C
都与集合
A
有联系，都受集合
A
影响。
y
组成的，而
y?2x?a,y
就是一个整体，即视 （3）以整体的 观点来处理问题，集合
B
是由元素
2x?a
为一个整体
y
， 同理，视
x
2
为一个整体，就是z。
（4）由于集合
B、 C
中都有
x?A
，因此，就间接地给出了
2x?a
和
x的取值范围。
（5）集合
B、C
都是实数的范围问题，因此，可以画数 轴，在同一个数轴上找出二者的联系，列出
不等式组，取使得两个不等式同时成立的
a
的范围。
九、高考零距离
1、（2002·全国）设集合
M
A、
M
性质。
解：
M
数，故有
M
2??
k1
?
k1
?
?
?
xx??
?< br>,N?
?
xx??
?
，则（ ）
24
?
42
???
?N
B、
M?N
C、
M?N
D、
M?N??

分析：本题涉及集合的相等及集合之间的关系，解题的关键 是理解奇偶数的概念，整数的整除及运算
??
2k?1
?
k?2
?< br>?
?
xx?,N?xx?
???
，
2k?1
和
2k?2
分别表示所有奇数和所有整
4
?
4
???
?N< br>，选B。
2、（2005·黑龙江）设全集
U?
?
2,3,a
2
?2a?3
?
,A?
?
2a?1,2
?
,C? A?
?
5
?
，求实数
a
的值。
分析：解决本题的关键是理解全集、补集的概念，同时注意元素的互异性。
解：
?C ?A?
?
5
?
，故必有
a
2
?2a?3?5
且
2a?1?3
，解得
a?2
。

答案：
a?2