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高中数学集合考试题型大全,共17种题型(数学浪子制作)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 15:14
tags:高中数学集合

高中数学选修知识点填空-高中数学全国联赛分数


[集合的十七种题型]


集合重点考试题型大全

目录
集合基本知识点 ............................. .................................................. ................... 2
题型一:元素的互异性 ............. .................................................. ...................... 4
题型二:含参方程的解集 ......... .................................................. ..................... 5
题型三:二次方程解集个数问题 ....... .................................................. .......... 6
题型四:根据要求确定集合元素 .................. ................................................. 8
题型五:已知包含关系求参数值 ............................. ...................................... 9
题型六:一次不等式解集间的关系 .............................. .............................. 11
题型七:二次方程解集相等的条件 .............................. .............................. 12
题型八:二次方程解集间的包含关系 ............................. ........................... 13
题型九:二次方程解集间的包含关系 ............................. ........................... 14
题型十:集合相等 ...... .................................................. .................................... 16
题型十一:二次不等式的交集 ................................ ..................................... 17
题型十二:已知交并补集结果求参数值 ............................ ....................... 18
题型十三:已知交、并补集结果求参数范围 .......................................... 20
题型十四:集合的混合运算 ................................. ......................................... 22
题型十五:集合之间的关系 ................................. ......................................... 24
题型十六:点集运算问题 .................................. ............................................ 25
题型十七:用Venn图计算集合 .............................. .................................... 27




1 | 30


[集合的十七种题型]



一、集合的含义与表示
集合基本知识点
1.集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
2.元素与集合的关系
?
?
属于,记为a?A
?
不属于,记为a?A

3.
常用数集及其表示符号:

4.
集合常用的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.

二、集合间的基本关系
1.
集合间的基本关系

2.
空集的定义及性质
(1)我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记做
?

(2)空集是任何集合的子集,
??B

2 | 30


[集合的十七种题型]


(3)空集是任何非空集合的真子集,
??B

3.
子集的个数
A为有限集合,
card(A)?n(n?N
*
)
,则:
(1)A的子集个数是
2
n

(2)A的真子集个数是
2
n
?1

(3)A的非空子集个数是
2
n
?1

(4)A的非空真子集个数是
2
n
?2


三、集合的运算







3 | 30


[集合的十七种题型]


题型一:元素的互异性
A?{0,2m?1,m
2
},1?A
,求m的值.
解析:
1?A
,分两种情况讨论:


2m?1?1< br>,解得
m?1
,此时
A?{0,1,1}
,违反了集合元素的互异性, 舍去;

m
2
?1
,解得
m?1
(舍去)或m??1

m??1
时,
A?{0,?3,1}
,符合条件;
综上
m??1

A?{0,2m?1,m
2
},4m?4?A
,求m的值.
解析:
4m?4?A
,需分三种情况讨论:

4m?4?0
,解得
m?1
,此时
A?{0,1,1}
,违反了集合元素的互异性,舍去 ;
变式

4m?4?2m?1
,解得
m?
393
,此时
A?{0,2,}
,符合条件,即
m?
成立;
242
4m?4?m
2
,解得
m?2
,此时
A?{0,3, 4}
,符合条件,即
m?2
成立;
3
综上
m?或m?2


2
总结:按要求算出字母的值,一定要带回原集合验证是否满足互异性.
已知集合< br>A?{a?2,2a
2
?a},若3?A
,则a的值为_______.
解析:
3?A
,∴
a?2?3或2a
2
?a?3


a?2?3
时,
a?1
,此时
A?{a?2,2a
2
?a}?{3,3}
,违反了的互异性,
a?1
不合题意;
练习1
31
3

2a
2
?a?3
时,< br>a?1或a??

a?1
不合题意舍去,
a??
时,
A?{,3}
,符合题意.
22
2
3
综上
a??

2
3
答案:
?

2
已知集合
A?{a?2 ,(a?1)
2
,a
2
?3a?3},若1?A
,则实数a的值为_ _______.
练习2
解析:
1?A
,则
a?2?1或(a? 1)
2
?1或a
2
?3a?3?1
,分三种情况讨论:
① 当
a?2?1
时,
a??1

A?{1,0,1}
,违反互 异性,舍去;
4 | 30


[集合的十七种题型]


②当
(a?1)
2
?1
时,
a?0或?2

a?0
时,
A?{2,1,3}
,符合条件;
a??2
时,
A?{0,1,1}
,不符合条件,舍去;
③当a
2
?3a?3?1
时,
a??1或?2
,根据之前计算,舍去 ;
综上
a?0

答案:0


题型二:含参方程的解集
分别求
(x?2)(x?3)?0

(x ?3)(x?3)?0

(x?m)(x?3)?0
的解集.
解析:第一个方程解集为
{2,3}

第二个方程有两个相等的实根3,根据互异性,它的解集为
{3}


第三个方程,由于m的值不确定,考虑到互异性的特殊情况,需分情况讨论:
m?3
时,有重根,解集为
{3}

m?3
时,没有重根,解集为
{m,3}


方程
(x?m)(x?3)?0
的解集,元素总和恰好为3,求m.
解析:
变式

m?3
时,有重根,解集为
{3}

3? 3
符号条件,∴
m?3
时成立;

m?3
时,没有重根, 解集为
{m,3}
,令
m?3?3
,解得
m?0
,成立;
综上
m?0或m?3

总结:对于含有参数的方程,因为集合互异性的存在 ,需对方程中的参数做讨论,通常为有重根和没有重
根两种情况。
方程
(x?m)(x?1)(x?2)?0
的解集,元素总和恰好为3,求m.
解析:需讨论有重根和无重根的情况:
练习1

m?1
时,有重 根,解集为
{1,2}

1?2?3
符合条件,∴
m?1
成 立;

m?2
时,有重根,解集为
{1,2}

1?2? 3
符合条件,∴
m?2
成立;
5 | 30


[集合的十七种题型]



m?1且m?2
时,无重根,解集为
{m,1,2}
,令
m?1?2?3
,解得
m ?0
符合条件;
综上
m?0

m?1

m?2

若集合
A?{x|(x?a)(x?1 )?0}
中所有元素的和为1,则实数a的值是( )
A.0 B.1 C.0或1 D.
?1或1

解析:A集合中元素可能是a和1;
根据元素和为1,
练习2
当A中没有重根时,
a?0
,集合为
{0,1}
,符合要求;
当A中有重根时,
a?1
,集合为
{1}
,符合要求;
综上,a为0或1.
答案:C

题型三:二次方程解集个数问题
集合
{x|ax
2
?2x?1?0}
中有两个元素,求a的范围.
解析:集合中有两个元素,说明方程有两个不相等的实数根,需同时满足两个条件:

①保证方程式二次方程,即
a?0

②二次方程有两个不相等的根,即??4?4a?0
,解得
a??1

综上
a??1

a?0

集合
{x|ax
2
?2x?1?0}
中有一个元素,求a的范围.
解析:集合中只有一个元素,说明方程的解只有一个,a为二次项的系数,所以首先要对a进行
变式1
讨论,确定函数的性质,分为两种情况:

a?0
时,方程变为一 次方程
2x?1?0
,有且只有一个解
x?
1
,∴
a?0< br>符合题意;
2

a?0
时,方程变为二次方程,只有一解,则需满足
??4?4a?0
,解得
a??1
符合题意;
综上
a??1

a?0

变式2
集合
{x|ax
2
?2x?1?0}
中有没有元素,求a的范围.
6 | 30


[集合的十七种题型]

解析:集合中没有元素,即为空集,方程无根,a为二次项的系数,所以首先要对a进行讨论,
确定 函数的性质,分为两种情况:

a?0
时,方程变为一次方程
2x?1?0
,有且只有一个解
x?
1
,不符合题意,舍去;
2
a?0
时,方程变为二次方程,无解,则需满足
??4?4a?0
,解得
a??1
符合题意;
综上
a??1

总结:解决二次方程集合< br>{x|ax
2
?bx?c?0}
解集个数问题
?
a?0
两个元素
?
两根
?
?
同时成立
??0
?
一个元素
?
一根
?
?
?
①a?0确保有唯一解
?
②a?0且??0
两种情况分开讨论
没有元素
?
无解
?
?
?
①a?0确保无解
?
②a?0且??0
两种情况分开讨论
若集合
A?{x?R|ax
2
?ax?1?0}
其中只有一个元素,则a=( )
A.4 B.2 C.0 D.0或4
练习1
解析:①当
a?0
时, 方程为
1?0
无解,此时
A
为空集,不符合题意;
②当
a ?0
时,
??a
2
?4a?0
,解得
a?0
(舍去 )和
a?4

综上
a?4
符合题意.
答案:A
若集合
A?{x|ax
2
?2x?a?0,a?R}
中有且只有一个元素, 则a的取值集合是( )
A.
{1}
B.
{?1}
C.
{0,1}
D.
{?1,0,1}

练习2
解析:①当
a?0
时,方程只有一个解
x?0
,符合题意;
②当
a?0
时,
??4?4a
2
?0
,解得
a? ?1
,符合题意;
综上
a?0或?1

答案:D
若集 合
A?{x|(a?1)x
2
?3x?2?0}
有且仅有两个子集,则a=_ _______.
练习3
解析:因为A的子集只有两个,所以A中只有一个元素.
①当
a?1?0
时,方程只有一个解
x?
2
,符合题意;
3
7 | 30


[集合的十七种题型]


1
②当
a?1?0
时,
??9?8(a?1)?0
,解得
a??
,符合题意;
8
1
综上
a?1或?

8
1
答案:
1或?

8

题型四:根据要求确定集合元素
集合
A?{1,2,3},B?{4,5}

M?{x|x?a?b,a?A,b?B}
,那么M的元素有几个?
解析:把所有可能的情况列举出来:
x?a?b?1?4?5

x?a?b?1?5?6


x?a?b?2?4?6

x?a?b?2?5?7

x?a?b?3?4?7

x?a?b?3?5?8

共6个结果,根据集合元素的互异性,重复结果只保留一个 ,∴
M?{5,6,7,8}
,共4个元素.
设集合
A?{1,2,3}, B?{4,5}

C?{x|x?b?a,a?A,b?B}
,则C中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:根据题意,
b?a
的值所有情况为:
4?1?3

4?2?2

4?3?1

5?1?4

5?2?3

变式
5?3?2

根据互异性,集合中的元素只有:1,2,3,4,共4个.
答案:B
总结:计算完成后一定要记得检验互异性,相同的结果只能记入一次.
已 知集合
A?{1,2,3,4,5}

B?{(x,y)|x?A,y?A,x?y? A}
,则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
练习1
解析:根据题意,
x?y
的值所有情况为:

x?5
时,y分别取1,2,3,4,
x?y?A
成立;
8 | 30


[集合的十七种题型]



x?4
时,y分别取1,2,3,
x?y?A
成立;

x?3
时,y分别取1,2,
x?y?A
成立;

x?2
时,y取1,
x?y?A
成立;
综上可知,B中元素个数为10个.
答案:D
a
2
x?2x?3
已知集合
M?{x|?0}
,若
2?M
,则实数a的取值范围是( )
ax?1
111
1
A.
[,??)
B.
(,??)
C.
[?,5)
D.
(?,5)

222
2
解析:
2?M
,则带入不等式不成立,有两种情况:
练习2

x?2
时,分式无意义,即分母
ax?1?0

2a?1?0
,则
a?
2a
2
?1
a
2< br>x?2x?3
1

x?2
时,
?0
,解得
a ?

?0
,即
2a?1
ax?1
2
1
综 上
a?

2
答案:A
1

2
ax? 5
?0}
,若
3?M,5?M
,则实数a的取值范围是( )
x
2
?a
55
A.
?1?a?或9?a?25
B.
?1?a?或9?a?25

33
55
C.
1?a?或9?a?25
D.
1?a?或9?a?25

33
已知集合
M?{x|
练习3
解析:由题意可知
x?3
带入不等式成立,
x?5
带入不等式不成立,则:
?
3a?5
?0
?
?
9?a

?
5a?5
?
?0或25?a?0
?
?
25?a
5
解 得:
1?a?或9?a?25

3
答案:D

题型五:已知包含关系求参数值
{2,1}?{2,4,m}
,求m的值.
例1
解析:由包含关系,
{2,1}
中所有的元素都在
{2,4, m}
中,对比两个集合中的元素,可知
m?1

9 | 30


[集合的十七种题型]


{2,m
2
}?{2,4,m}
,求m的值.
解析:由包含关系,
{2,m
2
}
中元素都在
{2,4,m}
中,对比两个集合 中的元素,需分情况讨论:

m
2
?4
时,解得
m??2
,此时
{2,4,m}
变为
{2,4,2}

{2,4,? 2}
,前者违反了集合元素的互异
变式1
性,舍去,∴
m??2
符合题意;

m
2
?m< br>时,解得
m?0

m?1
,此时
{2,m
2
}
变为
{2,0}

{2,1}

{2,4,m}
变为
{2,4,0}

{2,4,1}
,均符合题意;
综上
m??2

m?0

m?1

总结 :按要求算出字母的值,一定要带回原集合验证是否满足互异性.互异性!互异性!!互异性!!!三
遍 !!!
{x|x?2m?0}?{x|x
2
?6x?8?0}
,求m的值.
解析:
{x|x?2m?0}?{2m}

{x|x
2
?6 x?8?0}?{2,4}

{2m}?{2,4}
,则:
例2

2m?2
,得
m?1


2m?4
,得
m?2

综上
m?1

m?2

{x|mx?2?0}?{x|x
2
?6x?8?0}
,求m的值.
22
解析:
{x|mx?2?0}?{}

{x|x
2
? 6x?8?0}?{2,4}

{}?{2,4}
,则:
mm
2

m?0
时,
{}???{2,4}
成立;
m
变式2
2

?2
时,
m?1
成立;
m
21

?4
时,
m?
成立;
m2
1
综上
m?0

m?1

m?

2
总结:当一次项或者二次项系数不确定时,应首先讨论系数为0时是否符合题意.
已知集合
A?{1,16,4x}

B?{1,x
2
}
,若
B?A
,则x=( )
练习1
A.0 B.
?4
C.
0或?4
D.
0或?4

解析:
B?A
,所以
x
2
?16

x
2
?4x
,解得
x??4,0,4

10 | 30


[集合的十七种题型]

< br>x?4
时,
A?{1,16,16}
,违反了集合的互异性,舍去.
x ?0或?4
时符合题意.
答案:C
已知集合
A?{?1,1}

B?{x|ax?1?0}
,若
B?A
,则实数a的所有可能取值的集合为( )
A.
{?1}
B.
{1}
C.
{?1,1}
D.
{?1,0,1}

解析:
B?A
,B是A的子集,B可能的情况为
B??,{?1},{1}

练习2

a?0
时,
B??


a? 0
时,
x??
1
分别等于
?1
和1,
a?1或?1

a
综上a所有可能取值集合为
{-1,0,1}

答案:D

题型六:一次不等式解集间的关系
已知集合
A?{x |?3?x?0}
,集合
B?{x|x?m}
,且
A?B
,求m的取 值范围.

解析:画出数轴,根据条件可得
m??3

已知集 合
A?{x|?3?x?0}
,集合
B?{x|m?x?4?m}
,且
A?B
,求m的取值范围.
变式1
?
m??3
解析:根据题意 画出数轴,可知
?
,解得
m??3

4?m?0
?
已知集合
A?{x|?3?x?0}
,集合
B?{x|m?x?4?m}
, 且
B?A
,求m的取值范围.
解析:由题意,可知B是A的子集,分两种情况讨论:
变式2

B??
,令
m?4?m
,解得
m?2< br>,
B?A
成立;·
?
?3?m
?m?4
,与
m?2
无交集,所以无解;
B??
,即
m?2
时,由数轴可知
?
0?4?m?
综上:
m?2

总结:画数轴分析是解决问题的好办法,不等式中x居于中间未必能取到数,忽略空集是常见的错误。
练习1
设集合
A?{x|?2?x?1}

B?{x|x?a?0 }
,若
A?B
,则a的取值范围为_______.
11 | 30


[集合的十七种题型]


解析:画出数轴,根据包含关系,可知
a?1

答案:
a?1

已知集合
A?{x|?2?x?7}
B?{x|m?1?x?2m?1}
,若
B?A
,实数m的取值范围是( )
A.
2?m?4
B.
m?2
C.
m?2
D.
m?4

解析:分两种情况讨论:

B??
时,
B?A
成立,此时
m?1?2m?1
,解得
m?2


B??
时,即
m?2
时,要使
B?A
成立,画出数轴
练习2
?
m?1??2
可知应满 足
?
,解得
?3?m?4
,又
m?2
,∴
2m?1 ?7
?
2?m?4

综合①②,
m?4

答案:
m?4


题型七:二次方程解集相等的条件
集合
A?{x|x
2
?2x?4?0}

B?{x|x
2
?ax?a
2
?8?0}
,若
A?B
,求a.

解析:两集合相等,说明两二次方程解相等,方程的根一样,可以用系数相等来求解:
?
?2?a

?
解得
a??2

2?4?a?8
?
集合
A?{x|x
2
?2x?4?0}

B?{x|2x
2
?ax?8?a
2
?0}
,若
A?B
,求a.
解析:两集合相等,说明两二次方程解相等,方程的根一样,可以用系数相等来求解:
aa< br>2
首先B中的
2x?ax?8?a?0
两边同除以2得到
x?x?4?
,保证两个方程二次项系数
22
变式1
22
2
a
?
?2?
?
?
2
相等,再令
?
保证一次项和常数项 相等,解得
a??4

2
a
?
?4?4?
?2
?
集合
A?{x|x
2
?2x?4?0}

B?{x|2x
2
?ax?8?a
2
?0}
,若
A?B,求a.
A中方程
??4?16?0
,即
A??
,若
A?B
,则
B??
,即B中方程
??a
2
?8(8?a2
)?0

变式2
解析:
88
解得
??a?

33
12 | 30


[集合的十七种题型]


总结:二次方程 解集相等时,先看方程是否有解,有解时,令对应系数相等求解;无解时,令
??0

已知集合
A?{x|x
2
?5x?6?0}

B?{x|x
2
?px?2q?0}
,若
A?B
,则
p
2
?q
2
?
______.
解析:
A?B
,则两个方程对应系数相等,
练习
?
?5 ?p
?
p??5

?
,解得
?
,所以
p< br>2
?q
2
?
34.
?
6?2q
?
q?3
答案:34

题型八:二次方程解集间的包含关系
集合
A?{x|x
2
?2x? 8?0}

B?{x|x
2
?ax?a
2
?12?0},若
B?A
,求a.
解析:
A?{?2,4}

B? A
,则B的可能集合为
?

{?2}

{4}


B??
时,
??a
2
?4(a
2
?12 )?0
,解得
a?4或a??4


②B中只有一个元素时,方 程
??a
2
?4(a
2
?12)?0
,解得
a?? 4
,分别代入
B
中方程,
2
?
?
a?4?x?4 x?4?0?x?2
,可得
a??4
时满足题意.
?
2
?
?
a??4?x?4x?4?0?x??2
综上:
a?4或a??4


A?{x|x
2
?4x?0}

B?{x|x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0}
,若
B?A
,则实数a 的取值范围是
_______.
解析:
A?{0,?4}

B?A
即B是A的子集,共有四种可能的情况;
①当
B??
时,方程无根,即??4(a?1)
2
?4(a
2
?1)?0
,解得
a? ?1

变式1
②当
B?{0}
时,方程有两个相等的实根0,由 韦达定理
?
?
0?0??2(a?1)
?
0?0?a?1
2
?a??1

?
?4?4??2(a?1)
?a无解
; ③当
B?{?4}
时,方程有两个相等的实根
?4
,由韦达定理
?< br>2
(?4)?(?4)?a?1
?
④当
B?{0,?4}
时, 方程有两个不相等的实根0和
?4
,
?
?
0?4??2(a?1)< br>?
0?(?4)?a?1
2
?a?1

13 | 30


[集合的十七种题型]


综上
a?1或a??1

答案:
{a|a?1或a??1}

设集合
A?{x|x
2
?3x?2?0}

B?{x|x
2
?ax?a?1?0}
,若
B?A
,则实数a=_______.
变式2
解析:
A? {x|(x?1)(x?2)?0}?{1,2}

B?{x|(x?1)(x?1?a)?0 }?{1,a?1}

B?A
,则
a?1?1或2
,∴
a? 2或3

答案:2或3
总结:处理二次方程解集包含关系,容易遗漏空集情况 ,要形成条件反射,把空集放在第一位来讨论,至于
求子集对应的字母或系数,上面一共列出了三种方法 ,分别是带入法、韦达定理法、以及因式分解法,根据
不同的题目选择合适的方法可提高解题速度,这里 面的奥妙就是多加练习.
设集合
A?{x|x
2
?2x?0}
,集 合
B?{x|x
2
?ax?a
2
?4?0}
,其中
x?R
,如果
B?A
,则实数
a的取值范围是( )
A.
{a|a?3或a??3或a??2}
B.
{a|?3?a?3}

C.
{a|a?
43434343
或a??或a??2}
D.
{a|??a?}

3333
解析:
A?{0,?2}

B?A
,则B可能的情况为
?,{0},{?2},{0,?2}

①当
B??
时,方程无根,即
??a
2
?4(a
2
?4)?0
,解得
a?
4343

或a??
33
练习
?
0?0?a
?a无解
; ②当
B?{0}
时,方程有两个相等的实根0,由韦达定理
?
2
0? 0?a?4
?
③当
B?{?2}
时,方程有两个相等的实根
?2,由韦达定理
?
?
?2?2?a
?
(?2)?(?2)?a?4
2
?a无解

④当
B?{0,?2}
时,方程有两个不相 等的实根0和
?2
,
?
?
0?2?a
2
?
0?(?2)?a?4
?a??2

综上
a??2或a?
答案:C
4343

或a??
33

题型九:二次方程解集间的包含关系
14 | 30


[集合的十七种题型]


集合
A?{x|x
2
?x?2?0}

B?{x|x
2
?2x?k?0}
, 若
B?A
,求k范围.
解析:
A?{x|?1?x?2}
,
B?A
,分两种情况讨论: < br>①
B??
,即
??4?4k?0
,得
k?1
符合条件 ;

B??
,即
k?1
时,B的解集在
[?1,2]之间,令

f(x)?x
2
?2x?k
,对称轴
x? 1

[?1,2]
之内,只需满足
?
f(?1)?3?k?0
解得
k?0
,又前提
k?1
,∴
0?k?1

?
?
f(2)?k?0
综上
k?0

总结:披着 羊皮的狼!名为考察不等式集合,实质是对二次函数性质的深入挖掘,属于集合中的较高难度
题型,结合 图像掌握二次方程根的分布策略是解题的关键.
已知集合
A?{x|x
2
? 5x?4?0}
,集合
B?{x|2x
2
?9x?k?0}
,若B?A
,则集合A与实数k
的取值范围分别是( )
A.
{x|?1?x?4};[7,??)
B.
{x|1?x?4};[7,10]

C.
{x|?1?x?4};[7,10]
D.
{x|1?x?4};[7,??)

解析:
A?{x|(x?1)(x?4)?0}?{x|1?x?4}


81
①当时,成立,此时满足,解得;
B?A
B????81?8k?0
k?
练习1
8
②当
B??
时,B中方程的两根应均在
[1,4]
内,
?
??81?8k?0
81
?

f(x)?2x
2
?9x?k
,则
?
f(1)?0
,解得
7?k?

8
?
f(4)?0
?
综上
k?7

答案:D
已知集合
A?{x|x
2
?5x?4?0}
,< br>B?{x|x
2
?2ax?a?2?0}
,若
B?A
,则实数 a的取值范围
是( )
练习2
A.
(?1,
1818
]
B.
[?1,]
C.
[?1,3]
D.
[?1,4]

77
解析:
A?{x|(x?1)(x?4)?0}?{x|1?x?4}

15 | 30


[集合的十七种题型]

< br>①当
B??
时,
B?A
成立,此时满足
??4a
2< br>?4(a?2)?0
,解得
?1?a?2

②当
B??时,B中方程的两根应均在
[1,4]
内,设
f(x)?x
2
? 2ax?a?2
,它的图像是一条开口向上的抛物线,结合二次
?
??4a
2
?4(a?2)?0
?
?2a
?
18
1???4
?
函数图像,得
?
,解得2?a?;
2
7
?
f(1 )??a?3?0
?
?
?
f(4)??7a?18?0
综上
?1?a?
答案:A
18

7

题型十:集合相等
b
集合
{a,,1}?{a
2
,a?b,0}

a ,b?R
,求a和b的值.
a

b
b
解析:两集合相等 ,说明集合中对应元素相同,经分析,若
a?0
,则无意义,∴只能
?0
,< br>a
a

b?0
,集合变为
{a,0,1}?{a
2< br>,a,0}
,令
a
2
?1
,得
a??1
,< br>a?1
时违反集合元素的互异性,舍
去,∴
a??1
,综上
a ??1

b?0

总结:解决此类问题时,首先要有敏锐的观察力找到集合 中可能相等元素,其次注意分式情况,分母不为0
可以省去一支的讨论,缩短判断和解题的时间,最后就 是一定要验证集合的互异性.
b

a,b?R
,集合
{1,a?b ,a}?{0,,b}
,则
b?a?
( )
a
A.1 B.
?1
C.2 D.
?2

bb
练习1
解析:由条件
{1,a?b,a}?{0,,b}
,且
a?0
,可知
a?b?0
,即
a??b
,∴
??1
,自然
b?1

aa
a??1
,则
b?a?2

答案:C
已知集合
A?{2,a,b}

B?{0,2,b
2
?2}
,若
A?B
,则a,b的值分为别( )
练习2
A.
a?0,b?1或a?2,b?0
B.
a?0,b??1或a?2,b?0

C.
a?0,b?1或a??2,b?0
D.
a?0,b??1或a??2,b?0

16 | 30


[集合的十七种题型]


?
a?0
?a?b
2
?2
解析,由题意可知①
?
或②
?

2
b?b?2b?0
??
?
a?0
?
a?0
由①解得
?

?
(不满足集合元素的互异性,舍去);
b??1
b?2
?
?
?
a??2
由②解得
?

b?0
?
综上
a?0,b??1或a?2,b?0

答案:D
已知集合
{a,b,c}?{0,1,2}
,且下列三个关系:< br>①a?2

②b?2

③c?0
有且只有一个正确,

100a?10b?c
等于_______.
解析:当
a?0
时 ,
b?1,c?2或b?2,c?1
都不满足条件;
练习3

a?1
时,
b?0,c?2或b?2,c?0
都不满足条件; < br>当
a?2
时,
b?1,c?0
不满足条件,
b?0,c?1< br> 满足条件;
综上知
a?2,b?0,c?1
带入
100a?10b ?c?201

答案:201

题型十一:二次不等式的交集
集合
A?{x|0?x?4}

B?{x|x
2
?2x?3?0}< br>,求
AIB

解析:
B?{x|(x?3)(x?1)?0}?{x |?1?x?3}
,由题意画出数轴,
AIB?{x|0?x?3}



总结:主要考察二次不等式解集的求法,结合集合的知识点出题,比较基础.
集合
A?{x|0?x?4}

B?{x|
练习1
x?1
?0}
,求
AIB

x?3
解析:
B?{x|(x?3)(x?1)?0}?{x|?1?x?3}
,由题意画出数轴,
AIB ?{x|0?x?3}

17 | 30


[集合的十七种题型]



已知集合
A? {x|(x?1)(x?2)?0}
,集合B为整数集,则
AIB
=( )
A.
{?1,0}
B.
{0,1}
C.
{?2,?1,0,1}
D.
{?1,0,1,2}

解 析:
A?{x|?1?x?2}
,B为整数集,则
AIB?{?1,0,1,2}
答案:D
练习2

题型十二:已知交并补集结果求参数值 已知
A?{0,2,a}

B?{1,2,a
2
}
,< br>AUB?{0,1,2,3,9}
,求实数a.
例1
解析:由题意可知a和a
2
是3个9当中的两个,很明显
a
2
?9,a?3

已知
A?{a?1,a?2}

B?{b?2,b?1}
,< br>AUB?{3,2,0}
,求
a?b
的值.
变式
?
a?2?3
?
b?2?0
解析:
a?1与a?2
差1,
b ?2与b?1
,差3,比对并集中的数字,可知
?

?

a?1?2b?1?3
??
合题意,解得
a?1,b?2

A?{ 1,3,5}

B?{?1,5,a}

AIB?{3,5}
,求a 的取值.
例2
解析:由条件可知B中含有元素3,则
a?3

A?{1,3,a
2
?3a?1}

B?{?1,5,a}

AIB?{5}
,求a的取值.
解析:由条件知5是两个集合的公共元素,所以
a
2
?3a?1?5
,解得
a?4或?1

变式
a?4
时,
B?{?1,5,4}
符合题意;
a??1
时,
B?{?1,5,?1}
,违反了集合元素的互异性,舍去;
综上
a?4


U?{1,2,3,4}

M? {x?U|x
2
?5x?p?0}
,若
?1,4}
,那p=____ ____.
U
M?{
例3
解析:由题意可知
M?{2,3},设
x
2
?5x?p?0
两根为
x
1
,x2
,令
x
1
?2,x
2
?3
,则
p? x
1
x
2
?6

变式
1
不等式
3ax?1
解集为Q,
P?{x|x?0}
,若
QI?
R
P?{x|0?x?}
,那a=________.
6
18 | 30


[集合的十七种题型]


解析:
?
RP?{x|x?0}

a?0

3ax?1
恒成立,此时
Q?R
,不符合条件舍去,
a?0
时,
Q?{x|x?
111}
,根据题意画出数轴,可得
?
,解得
a?2

3a3a6

总结:由交并补集的结果以及相应的运算性质去推导原来两个集合中的元 素值,比较简单的题目可以直接
观察出来,比较麻烦的题目需要多做几次尝试,但一定要注意元素的互异 性.
已知集合
A?{x|x
2
?mx?2?0}

B?{ x|x
2
?6x?n?0}
,且
AUB?{2,1,4}
,求m
n的值.
解析:
AUB?{2,1,4}
,则两个方程的根只能从这 三个数中取,设A中方程
x
2
?mx?2?0
两根
练习1
?
x
1
x
2
?2

x
1
,x2
,设B中方程
x
2
?6x?n?0
两根为
x
3
,x
4
,根据韦达定理
?
,根据对应关系,
x?x?6< br>4
?
3
?
x
1
x
2
?2?1?2< br>可知
?
,即
A?{1,2},B?{2,4}
,分别代入一个根到原方 程,解得
m?3,n?8

x?x?6?2?4
4
?
3< br>设集合
A?{?1,2,3}

B?{a?2,a
2
?2}< br>,
AIB?{3}
,则实数a=_______.
解析:由
AIB?{3}
知,
3
在B中,则:
练习2 < br>①
a?2?3
时,
a?1
,此时
B?{3,3}
,不 满足元素的互异性,舍去;

a
2
?2?3
时,
a?1( 舍去)或?1
,此时,
B?{1,3}

AIB?{3}
符合条件;
综上
a??1

答案:
?1


U? {0,1,2,3}

A?{x?U|x
2
?mx?0}
,若
?
U
A?{1,2}
,则实数m=_______.
练习3
解 析:由题意可知
A?{0,3}
,即0,3是方程
x
2
?mx?0< br>的两个根,∴
9?3m?0
,解得
m??3

答案:
?3


19 | 30


[集合的十七种题型]


题型十三:已知交、并补集结果求参数范围
已知集合
A?{x|x?2}

B?{x|x?m}
,且
AUB?R
,求m的取值范围.
例1
解析:根据条件画出数轴,可知m需在2的右侧,即
m?2


已 知集合
A?{x|?2?x?a}

B?{x|2?x?6}

AU B?{x|?2?x?6}
,求a的取值范围.
解析:由题目条件,画出数轴,可知a应在2 和6中间,研究端点处的取值,如果
a?2
,则A与
变式1
B集合均取不到 2,不符合题意,∴
a?2
,如果
a?6
,则符合题意,综上
2?a ?6


已知集合
A?{x|a?3?x?a?3}

B ?{x|x
2
?2x?3?0}
,若
AUB?R
,求a的取值范围.
解析:
B?{x|x?3或x??1}
,根据题意画出数轴,欲使
AUB?R
,则A集合需把B集合取不
到的中间区域覆盖,则
a?3

?1左侧,
a?3
在3右侧;
变式2
再讨论端点处,
a?3?? 1
时,两集合都取不到
?1
,∴
a?3严格??1
,即
a? 2

a?3?3
时,
A集合可取到3,符合条件,∴
a?3?3,即
a?0

综上
0?a?2


已知集 合
A?{x|x?7}

B?{x|x?a}
,若
AIB??
,求a的取值范围.
例2
解析:由条件,画出数轴,可知a在7的右侧,则
a?7


已知 集合
A?{x|2?x?7}

B?{x|a?x?2a?1}
,若
AIB?{x|4?x?7}
,求a的取值范围.
变式1
解析:由题意,画出数轴 ,可知要满足
AIB?{x|4?x?7}

a?4
即可.
20 | 30


[集合的十七种题型]



已知集合
A?{x|2?x?7}

B?{x|a?x?2a?1}
,若AIB??
,求a的取值范围.
解析由题意知,两个集合没有交集,可分两种情况讨论:

B??
,令
a?2a?1
,解得
a??1
,满足 条件;

B??
,此时
a??1
,要使
AIB??
,画出数轴,可知B整体在A的左侧或者右侧;
变式2
在左侧时,
2a?1?2
,解得
a?
,又
a??1
,得
?1?a?

在右侧时,
a?7
,又
a??1
,得
a?7
; < br>综上
a?
1
2
1
2
1

a?7
2

总结:根据不同的情况灵活处理,核心思想是画数轴,通过尝试来满足题 目的要求.关键点有两个:第一是
端点处的讨论,能不能取到一定要仔细看好;第二是交集为空集的情况 ,有可能其中一个集合本身可知制造
为空集.
设常数
a?R
,集合
A?{x|(x?1)(x?a)?0}

B?{x|x?a?1}
,若
AU B?R
,则a的取值范
围为( )
A.
(??,2)
B.
(??,2]
C.
(2,??)
D.
[2,??)

解析:A中不等式的解集不确定,需要对a进行讨论;

a?1
时,
(x?1)(x?a)?(x?1)
2
?0
恒 成立,此时
A?R

AUB?R
,∴
a?1
成立,;
练习1

a?1
时,
A?{x|x?1或x?a}
,要满 足
AUB?R
,则
a?1?1
,即
a?2
,结合前提可得< br>1?a?2


a?1
时,
A?{x|x?a或x?1}< br>,要满足
AUB?R
,则应满足
a?1?a

a?1?a是恒成立的,所以可得
a?1
符合条件.
综上
a?2

答案:B
21 | 30


[集合的十七种题型]


已知
A?{x|2a?x ?a?3}

B?{x|x??1或x?5}
,若
AIB??
,则a 的取值范围是( )
11
A.
a??3或?a?2
B.
a?3或?a?2

22
C.
a??3或?
1
1
?a?2
D.
a?3或??a?2

2
2
练习2
解析:分两种情况讨论:

A??
,即
2a?a?3
时,
a?3
,此时
AIB??
符合题意;
1

A??
,此时
a?3
,要
AIB??
,通过数轴可知需满足
2a? ?1且a?3?5
,解得
??a?2

2
1
综上
a?3

??a?2

2
答案:D

题型十四:集合的混合运算
U?{1,2,3,4 ,5,6,7}

A?{2,4,6}

B?{1,4,5}
,求< br>(?
U
A)IB

例1
解析:
?1,3,5,7}
,则
(?1,5}

U
A?{
U
A)IB?{
U?{1,2,3,4,5,6,7}

A? {2,4,6}

B?{1,4,5}
,求
(痧
U
A)I(
U
B)

变式
解法一:
?1,3,5,7}

?
U
A={
U
B={2,3,6,7}
,则
(痧< br>U
A)I(
U
B)?{3,7}

解法二:
AUB ?{1,2,4,5,6}

(痧
U
A)I(
U
B)??< br>U
(AUB)?{3,7}

已知集合
A?{x|x
2?5x?4?0}
,集合
B?{x|x
2
?ax?4?0}
,其 中
AIB?AUB
,求a的值.
解析:
AIB?AUB?A?B
, A集合有解,所以令两集合中方程系数相等,得
a??5

已知集合
A?{ x|x
2
?5x?4?0}
,集合
B?{x|x
2
?ax? 4?0}
,其中
AIB??

AUB?A
,求
a的值. < br>解析:
A?{x|(x?1)(x?4)?0}?{1,4}

AIB???B ??
,且满足
AUB?A
,∴令B中方程
例2
变式1
??a
2
?16?0
,解得
?4?a?4

已知 集合
A?{x|x
2
?5x?4?0}
,集合
B?{x|a?x?a ?2}
,其中
BI(?
U
A)??
,求a的值.
变式2
解析:
A?{x|(x?1)(x?4)?0}?{x|1?x?4}

BI (?
U
A)???B?A
,根据题意画出数轴,
22 | 30


[集合的十七种题型]


?
a?1
可得
?
,解得
1?a?2

a?2?4
?

总结:关于集合的混合运算,只需要按部就班的求交并补集即 可,对于能用快速公式简化计算的,可以用
一下
(痧
U
A)I(
U< br>B)??
U
(AUB)

(痧
U
A)U(
U
B)??
U
(AIB)
这两个公式.
由混合运算的结果分析,可以得到原始两个集合的关系,例如:
①AIB?AUB?A?B

②AIB??且AUB?A?A?B

③BI(?
U
A)???B?A

已知集合A、B,全集
U ?{1,2,3,4}
,且
?
1,2}
,则
AI?
U
(AUB)?{4}

B?{
U
B?
( )
A.
{3}
B.
{4}
C.
{3,4}
D.
?

练习1
解析:由
?
U
(AUB)?{4}

U?{1,2,3,4}
可知
A UB?{1,2,3}

B?{1,2}
,则
A?{3}

{1,3}

{2,3}

{1,2,3}

?
U
B?{3,4}
,则
AI?
U
B?{3}

答案:A
已知
A?{x|x
2
?3x?2?0}

B?{x|mx
2
?4x?m?1?0}
,若
AIB??
,且AUB?A
,则m
的取值范围是( )
A.
{m|m?
1?171?151?31?7
}
B.
{m|m?}
C.
{m|m?}
D.
{m|m?}

2222
练习2
解析:
A?{x|( x?1)(x?2)?0}?{x|x??1或x??2}

AUB?A?B?A
,又
AIB??
,B在
A中但它们的交集为空集,只有
B??
这一种情况 ;
所以当
B??
时,此时应满足
m?0

??16?4m (m?1)?0
,解得
m?
答案:A
已知集合
A?{x|x??2 或x??1}

B?{x|2m?x?m?1}
,若
AIB??
,且
AUB?A
,则m的
1?17

2
练习3
取值范围是( )
A.
m??1
B.
m?2
C.
m?2
D.
m??5

23 | 30


[集合的十七种题型]


解析:
AUB?A?B? A
,又
AIB??
,B在A中但它们的交集为空集,只有
B??
这一 种情
况;

B??
时,应满足
2m?m?1
,即
m??1

答案:A

题型十五:集合之间的关系
已知集合
A?{0,2, x}

B?{2,x
2
}

AUB?A
,求x.
解析:
AUB?A?B?A
,分两种情况讨论:
例1

x
2
?0
时,
x?0
,此时
A?{0,2,0}
违 反集合中元素的互异性,舍去;

x
2
?x
时,
x?0( 舍去)或x?1

x?1
时,
A?{0,2,1},B?{2,1}
,符合题意;
综上:
x?1

M?{1,2,3,4}

N?{2,4}
,则M和N的关系是( )
例2
A.
M?N
B.
N?M
C.
MIN?N
D.
MUN?N

解析:N中元素都在M中,则满足
N?M
,C选项符合条件.
答案:C < br>M?{x|x
2
?3x?2?0}

N?{x|?3?x?3}

M?{x|x?1或x?2}

A.
M?N
B.
N?M
C.
MIN??
D.
MUN?R

解析:
M?{x|(x?1)(x?2)?0}?{x|x?2或x?1}
,画出数轴 看一下关系,可知D正确.
例3

答案:D
A?{x|x?a
2
?2,a?N
?
}

B?{y|y?b
2
?2b ?3,b?N
?
}
,A、B的关系?
例4
解析:B中
y ?b
2
?2b?3=(b?1)
2
?2
,A中
x?a
2
?2

a,b?N
?
,都是平方加2的形式,则
b?1
比a多取到一个0,由此可知B集合比A多一个元素,其余的都相同,则
A?B

24 | 30


[集合的十七种题型]


总结:通过集合的相关性质,把题目中的条件转化为集合的包含关系,属于简单题型.
判断集 合之间的关系,从列举、不等式以及表达式三个方面来看,列举主要通过观察元素来确定关系,不
等式可 以借助数轴来观察,表达式需要一定的化简基础,尽量两个式子变成同样的构造.
若集合
A? {x|x
2
?2x?3?0}

B?{x|ax?2?0}
,满足< br>AIB?B
,则实数a组成的集合为
_______.
解析:由
AI B?B
可知
B?A

A?{?1,3}
,B中方程至多有1解,∴< br>B?{?1,3}


B??
时,
a?0

练习1

B?{?1}
时,
a??2


B?{3}
时,
a?
2

3
2
故a的取值为
?2,0,

3
2
答案:
{?2,0,}

3

A?{ x|x
2
?x?6?0}

B?{x|
1
x?1?0},且
AUB?A
,则实数m=_______.
m
解析:
AU B?A
可知
B?A

A?{?3,2}
,B中方程至多有1解,∴< br>B?{?3,2}

B??

练习2

B??3
时,解得
m?3


B?2
时,解得
m??2

综上
m??2或m?3

答案:
?2或3

已知 集合
A?{x|x
2
?2x?0}

B?{x|?5?x?5},则( )
练习3
A.
AIB??
B.
AUB?R
C.
B?A
D.
A?B
解析:
A?{x|x
2
?2x?0}?{x|x?2或x?0}
,由集合 关系可判断出
AUB?R
,故B正确.
答案:B

题型十六:点集运算问题
例1
A?{(x,y)|x?y?1}

B?{(x,y)|x?y?3}
,求
AIB

25 | 30


[集合的十七种题型]



解析:两个 集合中的元素均为对应函数上的点,所以两个集合的交集
变为两个函数的交点问题,解方程组可得
AIB?{(2,1)}

A?{(x,y)|y?x?1}

B?{(x ,y)|
y
?1}
,求
?
A
B

x?1
解析:A集合是函数
y?x?1
上所有点的集合,B集合是
y
?1< br>上所有点的集合,B集合可变
x?1
形为
y?x?1(x??1)
,即 B中取不到点
(?1,0)
,其余与A一样,则
?
A
B?{(?1, 0)}

例2

总结:点集的交集即为函数的交点,注意数集和点集的区 分,如
AIB?{(2,1)}?{2,1}
.在处理点集问题时,
一定要小心函数解 析式相同但定义域不同的情况,尤其是分式存在的情况,分母不为0这个小学生都明白
的道理现在可不能 翻车.
设集合
A?{(x,y)|x?y?0}

B?{(x,y)|x? y?4?0}
,则
AIB
=______.
x?y?0
练习1 < br>解析:
A
I
B?{(x,y)|
?
?
答案:
{(?2,?2)}

}?{(?2,?2,)}

x?y?4?0?

A?{(x,y)|x?1?(y?2)
2
?0}

B?{?1,0,1,2}
,则A、B两个集合的关系是( )
A.
A?B
B.
A?B
C.
A?B
D.以上都不对
练习2
解析:满足
|x?1|?(y?2)
2
? 0
的条件为
|x?1|?0且(y?2)
2
?0
,解得
x? ?1,y?2
,∴
A?{(?1,2)}
,A是点集,B是数集,它们之间不存在相互 包含关系,所以选D.
答案:D
26 | 30


[集合的十七种题型]


x
3
?x
}
,求
?
A
C
A?{(x,y)|y?x?1}

C?{(x,y)|y?
2
x?x< br>x
3
?x
解析:A集合是函数
y?x?1
上所有点的集合,C 集合是
y?
2
上所有点的集合,C中分母
x?x
不为0,即
x
2
?x?0
,解得
x?0且x?1
,C集合可变形为
y? x?1(x?0且x?1)
,即C中取不到

(0,1)和(1,2)
,其余 与A一样,则
?
A
C?{(0,1),(1,2)}

练习3

B?{(x,y)|
y
?1}

M?{(x,y)|y? kx?1}

BIM??
,求k.
x?1
解析:B集合是
y
?1
上所有点的集合,B集合可变形为
x?1
y?x?1(x??1),即B是取不到点
(?1,0)
的函数,要使
练习4
BIM??
说明两直线没有交点,可分两种情况:
①两直线平行时,满足斜率相等,即
k?1
时,成立;
②直线
y? kx?1

(?1,0)
,带入可得
k??1
,成立;
综上:
k??1


题型十七:用Venn图计算集合
某次考试,数学及格28人,物理及格30人,数学物理都不及格12人,学生总数50人,问数学
和物 理都及格的多少人?
例1
解析,设数学和物理都及格的x人,画出Venn图,则总人数< br>50?(28?x)?x?(30?x)?12
,解

x?20
,∴都 及格的有20人.
27 | 30


[集合的十七种题型]



1,7}
,求 A、B集
U?{x|x?7,x?N}

AI(?
U
B)?{2,3 }

BI(?
U
A)?{0,6}

(痧
U
A)I(
U
B)?{
合.
解析:
U?{0,1,2,3,4,5 ,6,7}
,画出Venn图,可知
A?{2,3,4,5}B?{4,5,0,6}

例2

总结:对于比较复杂的数字问题,可以画出Venn图来辅助解题,通常 需要设一个未知数x,根据条件精确的
标出交并补集中各个部分的数据,最后解出x的值.
注 意Venn图和公式
(痧
U
A)I(
U
B)??
U
(AUB)
以及
(痧
U
A)U(
U
B)??
U(AIB)
的综合运用,对于有大量交并补集条件的题目,首先画Venn图,然后考虑
有 没有可以用公式的地方,最后把条件标在相应的位置,问题迎刃而解.
(痧
U
A)I (
U
B)??
U
(AUB)
先补后交等于先并后补,反之亦然.
某次考试,数学及格28人,物理及格30人,化学及格25人,数学物理都及格20人,
数 学化学都及格15人,物理化学都及格18人,数理化都不及格10人,学生总数50人,问数理
练习1
化都及格多少人?
解析,设数理化都及格的的x人,画出Venn图,则总人数
50 ?(x?7)?2(x?8)?(15?x)?(18?x)?(20?x)?x
,解得
x?1 0

28 | 30


[集合的十七种题型]



50名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有3 0名,参加乙项
的学生有25名,则仅参加了一项活动的学生人数为( )
A.50 B.45 C.40 D.35
解析:设两项都参加的人数为x,则只参加甲的人数为
30?x
,只参加乙的人数为
25?x
,总人数
练习2

(30?x)+x?(25?x)?50
,解得
x?5
,所以仅参加了一项活动的人 数为
50?5?45
人.

答案:B
1,7}
,求A、 B集
U?{x|x?7,x?N}

AI(?
U
B)?{2,3}< br>,
BI(?
U
A)?{0,6}

(痧
U
A )I(
U
B)?{
合.
解析:
U?{0,1,2,3,4,5,6 ,7}
,画出Venn图,可知
A?{2,3,4,5}B?{4,5,0,6}

练习3

已知全集
U?AUB
中有m个元素,
(痧

AIB
非空,则
AIB
的元素
U
A)U(
U< br>B)
中有n个元素,
个数为( )
练习4
A.mn B.m+n C.n-m D.m-n
解析:
(痧
U
A)U(U
B)??
U
(AIB)
,由Venn图可知
?
U(AIB)
为图中阴影部分,有n个元素,总数
有m个元素,则中间白色部分
AI B
的个数即为m-n个.
29 | 30






数学浪子整理制作,侵权必究
30 | 30
[集合的十七种题型]


答案:D





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