2016福州高中数学质检-全国高中数学竞赛题四川决赛
高中数学集合与函数的概念
知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
知识点:
第一章
集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1集合的含义与表示
【知识要点】
1、集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性
(1)元素的确定性; (2)元素的互异性;
(3)元素的无序性
2、“属于”的概念
我们通常用大写的拉丁字母A,B,C,
……表示集合,用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素
如:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A,如果a不属于集合A 记作
a
?
A
3、常用数集及其记法
非负整数集(即自然数集)记作:N;正整数集记作:N*或 N+
;整数集记作:Z;有理
数集记作:Q;实数集记作:R
4、集合的表示法
(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
(2)描述法:用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
(3)图示法(Venn图)
1.1.2 集合间的基本关系
【知识要点】
1、“包含”关系——子集
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集
合B的元素,我们就说
这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A
?
B
2、“相等”关系
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元
素都是集合A
的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
?
3、真子集
如果A
?
B,且A
?
B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
?
B(或B
?
A)
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
1.1.3
集合的基本运算
A?B且B?A
【知识要点】
1、交集的定义
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记
作A∩B(读作“A
交B”),即A∩B={x| x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:
A∪
B(读作“A并B”),即A∪B={x | x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质
A∩A = A,A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A , A∪B
= B∪A.
4、全集与补集
(1)全集
如果集合U含有我们所要研究的各个集
合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通
常用U来表示。
(2)补集
设U
是一个集合,A是U的一个子集(即A
?
U),由U中所有不属于A的元素组成的集
合
,叫做U中子集A的补集(或余集)。记作: C
U
A ,即 C
S
A
={x | x
?
U且 x
?
A}
(3)性质
C
U
(C
U
A)=A,(C
U
A)∩A=Φ,(C
U
A)∪A=U;
(C
U
A)∩(C
U
B)=C
U
(A∪B),(C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B).
1.2 函数及其表示
1.2.1函数的概念
【知识要点】
1、函数的概念
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的
任意一个数x,
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合
B的一个函
数.记作: y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做
函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数
值,函数值的集合{f(x)| x∈A
}叫做函数的值域.
【注意】
(1)如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义
域,则函数的定义域即是指能使这个
式子有意义的实数的集合;
(2)函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
【定义域补充】
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
(5)如果函
数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都
有意义的x的值组成的集
合.
(6)指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域.)
2、构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域
【注意】
(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和
值域.由于值域是由定义域和对应关系决定
的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称
这两个函数相等(或为同一函数)。
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,
而与表示自变量和函数值
的字母无关。
3、相同函数的判断方法
(1)定义域一致;
(2)表达式相同 (两点必须同时具备)
【值域补充】 <
br>(1)函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其
定义域
.
(2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
4、区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示.
1.2.2函数的表示法
【知识要点】
1、常用的函数表示法及各自的优点
(1)函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折
线、离散的点等等,注意判断一个
图形是否是函数图象的依据:作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交
点。
(2)函数的表示法
解析法:必须注明函数的定义域;
图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;
列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
【注意】
解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
2、分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自
变量代
入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不
同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意:(1)分
段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,
值域是
各段值域的并集.
3、复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f是g的复合函数.
4、函数图象知识归纳
(1)定义
在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) ,
(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,
y)的集合C,叫做函数
y=f(x),(x ∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反
过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数
对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续
曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只
有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
(2)画法
A、描点法
根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表
,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相
应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换
(Ⅰ)对称变换
①将y=
f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:书上P21例5
②y=
f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如
y?a
x
与y?a
?x
?
1
?
?
??
?
a
?
a
x
③y= f(x)和y= -f(x)的图象关
于x轴对称。如
y?log
a
x与y??log
a
x?log
1
x
(Ⅱ)平移变换
由f(x)得到f(x
?
a)
左加右减;
由f(x)得到f(x)
?
a 上加下减
(3)作用
A、直观的看出函数的性质;
B、利用数形结合的方法分析解题的思路;
C、提高解题的速度;发现解题中的错误。
5、映射
定义:一般地,设A、B是两
个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合
A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯
一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A
?
B
为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:A
?
B”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和
元素b对应,那么,我们把元素
b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
【说明】
函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应
(1)集合A、B及对应法则f是确定的;
(2)对应法则有“方向性”,即强调从集合A到
集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般
是不同的;
(3)对于映射f:A→B来说,则应满足:
(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6、函数的解析式
(1
)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出
它们之间的对应法
则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等
A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;
B、已知复合函数f[g(x)]的表
达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表
达式较简单时,也可用凑配法;
C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
1.3函数的基本性质
1.3.1函数单调性与最大(小)值
【知识要点】
1、函数的单调性定义 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1,x
2
,
当x
1
时,都有f(x
1
)
),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x
)的单调增
区间;
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)>f(
x
2
),那么就
说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减
区间.
【注意】
(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
(2)必须是对
于区间D内的任意两个自变量x
1
,x
2
;当x
1
时,总有f(x
1
)
)
(或f(x
1
)>f(x
2
))。
2、图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法
①任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
②作差f(x
1
)-f(x
2
);
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);
⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调
性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性
密切相关,其规律如下:同增异减
【注意】
函数的单调区间只能是其定义域的子区间
,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
4、判断函数的单调性常用的结论
①函数
y??f(x)
与
y?f(x)
的单调性相反;
②
当函数
y?f(x)
恒为正或恒有负时,
y?
1
f(x)
与
函数
y?f(x)
的单调性相反;
③函数
y?f(x)
与函数y?f(x)?C
(C为常数)的单调性相同;
④当C >
0(C为常数)时,
y?f(x)
与
y?Cf(x)
的单调性相同;
当C <
0(C为常数)时,
y?f(x)
与
y?Cf(x)
的单调性相反;
⑤函数
f(x)
、
g(x)
都是增(减)函数,则
f(x)?g(
x)
仍是增(减)函数;
⑥若
f(x)?0,g(x)?0
且
f(
x)
与
g(x)
都是增(减)函数,则
f(x)g(x)
也是增(减
)函数;
若
f(x)?0,g(x)?0
且
f(x)
与
g
(x)
都是增(减)函数,则
f(x)g(x)
也是减(增)函数;
⑦设<
br>f(x)?0
n
,若
1
f(x)
在定义域上是增函数,则n
f(x)
、
kf(x)(k?0)
、
f(x)(n?1) 都
是增函数,而
f(x)
是减函数.
5、函数的最大(小)值定义
(ⅰ)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x
0
∈I,使得f(x
0
) = M
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
(ⅱ)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥ M;
(2)存在x
0
∈I,使得f(x
0
) = M
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
【注意】
1
函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x
0
∈I,使得f(x
0
)
= M;
○
2
函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x
∈I,都有f(x)≤M
○
(f(x)≥M).
6、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法
1
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○
2
利用图象求函数的最大(小)值 ○
3
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 ○
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=
b处有
最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]
上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处
有最小值f(b);
1.3.2 函数的奇偶性
【知识要点】
1、偶函数定义
一
般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
2、奇函数定义
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-
x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函
数.
【注意】
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
③由函数的奇偶性定义可知,函数具
有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一
个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定
义域关于原点对称).
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
②确定f(-x)与f(x)的关系;
③作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或
f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或
f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
5、函数奇偶性的性质
①奇函数在
关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点
对称的区间上若有单调性,
则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于
y
轴对称.
③若
f(x)
为偶函数,则
f(?x)?f(x)?f(|x|)
.
④若奇函数
f(x)
定义域中含有0,则必有
f(0)?0
. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数
F(x)
与一个偶
函
数
G(x)
的和(或差)”.如设
f(x)
是定义域为R的任一函
数, 则
F(x)?
G(x)?
f(x)?f(?x)
2
f(x)?
f(?x)
2
,
.
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个(
f(x)?0
,定义域是关于原点对称的任意一个数集)
.
常考题:
一.选择题(共18小题)
1.已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m的值为( )
A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或3
2.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
3.已知函数f(x)的定义域为(﹣1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( )
A.(﹣1,1) B. C.(﹣1,0) D.
4.设集合A={1,2,3}
,B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素
的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q=
{x∈R|x
2
≥4},则P∪(?
R
Q)=( )
A.[2,3] B.(﹣2,3] C.[1,2) D.(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞)
6.设集合M={x|0≤x<2},集合N={x|x
2
﹣2x﹣3<0},集合M
∩N=( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x<2}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}
7.设x取实数,则f(x)与g(x)表示同一个函数的是( )
A.
B.
D.
C.f(x)=1,g(x)=(x﹣1)
0
8.若函数y=f(x)的定义域为M={x|﹣2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函
数
y=f(x)的图象可能是( )
A. B. C.
D.
9.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是(
)
A.﹣3∈A B.3?B C.A∩B=B D.A∪B=B
10.
设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k﹣1?A且k+1?A,那么
k是A的一个“孤立元
”,给定A={1,2,3,4,5},则A的所有子集中,只有一
个“孤立元”的集合共有(
)
A.10个 B.11个 C.12个 D.13个
11.已知集合P
={x|x
2
﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?
R
P)∩Q=
( )
A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]
<
br>12.函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=﹣1,则满
足﹣1≤
f(x﹣2)≤1的x的取值范围是( )
A.[﹣2,2] B.[﹣1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
13.函数的定义域为(
)
C.[1,2)∪(2,+∞)
A.(﹣∞,1] B.[﹣1,1]
D.
14.下列各组函数中是同一函数的是( )
A. B.
C. D.y=|x|+|x﹣1|与y=2x﹣1
15.函数f(x)=ax3
+bx
2
+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0
C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0
16
.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)
32
=
x+x+1,则f(1)+g(1)=( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1
D.3
17.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=x+2,则f(x)=(
)
A.x+1 B.2x﹣1 C.﹣x+1 D.x+1或﹣x﹣1
18.已知函数f(x)=则f(f(5))=( )
A.0 B.﹣2
C.﹣1 D.1
二.填空题(共11小题)
19
.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x
的取值范围
是 .
20.已知函数f(x)=,则f(f(﹣2))=
,f(x)的最
小值是 .
21.直线y=1与曲线y=x
2
﹣|x|+a有四个交点,则a的取值范围是
.
22.设函数f(x)=若f[f(a)],则a的取值范
围是 .
23.如果集合A={x|ax
2
+2x+1=0}只有一个元素,则实数a的值为
.
24.已知集合A={0,1,2},则A的子集的个数为 .
25.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时.f(x)=x
(1﹣x),则当﹣1≤x≤0时,f(x)= .
26.已知集合A={x|x<
br>2
﹣2x﹣3=0},B={x|ax﹣1=0},若B?A,则由a的值构成
的集合为
.
27.函数的定义域是 .
28.a为实数,函数f(x)=
|x
2
﹣ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=
时,g(a)的值最小.
29.设函数f(x)=,若f(f(a))=2,则a=
.
三.解答题(共21小题)
30.设A={x|
x
2
+4x=0},B={x|x
2
+2(a+1)x+a
2
﹣1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,
求实数a的取值范围.
31.已知函数f(x)=x
2
+2ax+2,x∈[﹣5,5],
(1)当a=1时,求f(x)的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数.
3
2.已知集合A={x|x
2
﹣3x﹣10≤0}B={x|m+1≤x≤2m﹣1}.
(Ⅰ)当m=3时,求集合A∩B,A∪B;
(Ⅱ)若满足A∩B=B,求实数m的取值范围.
33.设函数f(x)=.
(Ⅰ)当a=﹣5时,求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.
34.设全集是实数集R
,A={x|2x
2
﹣7x+3≤0},B={x|x
2
+a<0}.
(1)当a=﹣4时,求A∩B和A∪B;
(2)若(?
R
A)∩B=B,求实数a的取值范围.
35.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明;
(2)如果
关于x的方程f(x)=kx
2
有四个不同的实数解,求实数k的取值范围.
36.设函数f(x)=x
2
+ax+b(a,b∈R).
(Ⅰ)当b=+1时,求函数f(x)在[﹣1,1]上的最小值g(a)的表达式.
(Ⅱ)已知函数f(x)在[﹣1,1]上存在零点,0≤b﹣2a≤1,求b的取值范围.
37.设A={x|x
2
﹣8x+15=0},B={x|ax﹣1=0}.
(1)若a=,试判定集合A与B的关系;
(2)若B?A,求实数a组成的集合C.
38.已知定义域为R的函数f(x)满
足f(f(x)﹣x
2
+x)=f(x)﹣x
2
+x.
(I)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(Ⅱ)设有
且仅有一个实数x
0
,使得f(x
0
)=x
0
,求函数f(
x)的解析表达式.
39.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|.
(1)画出函数y=f(x)的图象;
(2)若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|
a|f(x),(a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数x的范围.
40.已知函数f(x)=
(Ⅰ)求f[f(﹣2)]的值;
(Ⅱ)求f(a
2
+1)(a∈R)的值;
(Ⅲ)当﹣4≤x<3时,求函数f(x)的值域.
41.函数f(x)和g(x)
的图象关于原点对称,且f(x)=x
2
+2x
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)﹣|x﹣1|.
(Ⅲ)若h(x)=g(x)﹣
λf(x)+1在[﹣1,1]上是增函数,求实数λ的取值范
围.
42.已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求f(x);
(2)求f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值和最小值.
43.已知函数f(x)=2+的图象经过点(2,3),a为常数.
(1)求a的值和函数f(x)的定义域;
(2)用函数单调性定义证明f(x)在(a,+∞)上是减函数.
44.已知a,
b,c∈R,二次函数f(x)=ax
2
+bx+c,集合A={x|f(x)=ax+b},
B={x|f(x)=cx+a}.
(Ⅰ)若a=b=2c,求集合B;
(Ⅱ)若A∪B={0,m,n}(m<n),求实数m,n的值.
45.已知函数是奇函数(a,b,c为常数)
(1)求实数c的值;
<
br>(2)若a,b∈N
*
,且f(1)=2,f(2)<3,求f(x)的解析式;
(3)对于(2)中的f(x),若f(x)=m有正数解,求实数m的取值范围.
46.记关于x的不等式的解集为P,不等式|x﹣1|≤1的解集为Q.
(Ⅰ)若a=3,求P;
(Ⅱ)若Q?P,求正数a的取值范围.
47.已知集合M={x|x
2
﹣3x≤10},N={x|a+1≤x≤2a+1}.
(1)若a=2,求M∩(?
R
N);
(2)若M∪N=M,求实数a的取值范围.
48.定义
在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)是
区间(0,+∞)
上的递增函数
(1)求f(1),f(﹣1)的值;
(2)求证:f(﹣x)=f(x);
(3)解关于x的不等式:.
49.已知函数f(x)=x
2
+bx+c有两个零点0和﹣2,且g(x)和f(x)的
图象
关于原点对称.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)解不等式f(x)≥g(x)+6x﹣4;
(3)如果f(x)定义在[m,
m+1],f(x)的最大值为g(m),求g(m)的解
析式.
50.若f(x)
是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f()
=f(x)﹣f(y)
(1)求f(1)的值,
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)﹣f()<2.
必修一第一章集合与函数概念常考题(附解析)
参考答案与试题解析
一.选择题(共18小题)
1.已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m的值为( )
A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或3
【解答】解:由题意A∪B=A,即B?A,又,B={1,m},
∴m=3或m=,解得m=3或m=0及m=1,
验证知,m=1不满足集合的互异性,故m=0或m=3即为所求,
故选:B.
2.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
,
【解答】解:根据题意,集合
又∵a≠0,
∴a+b=0,即a=﹣b,
∴,
b=1;
故a=﹣1,b=1,
则b﹣a=2,
故选:C.
3.已知函数f(x)的定义域为(﹣1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( )
A.(﹣1,1) B. C.(﹣1,0) D.
【解答】解:∵原函数的定义域为(﹣1,0),
∴﹣1<2x+1<0,解得﹣1<x<﹣.
∴则函数f(2x+1)的定义域为.
故选:B.
4.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中
元素
的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答
】解:因为集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},
所以a+b的值可能为:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8
,
所以M中元素只有:5,6,7,8.共4个.
故选:B.
5.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q=
{x∈R|x
2
≥4},则P∪(?
R
Q)=( )
A.[2,3] B.(﹣2,3] C.[1,2) D.(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞)
2
【解答】解:Q={x∈R|x
≥4}={x∈R|x≥2或x≤﹣2},
即有?
R
Q={x∈R|﹣2<x<2},
则P∪(?
R
Q)=(﹣2,3].
故选:B.
6.设集合M={x|0≤x<2},集合N={x|x
2
﹣2
x﹣3<0},集合M∩N=( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x<2}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}
【解答】解:集合M={x|0≤x<2},
N={x|x
2
﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},
∴M∩N={x|0≤x<2},
故选:B.
7.设x取实数,则f(x)与g(x)表示同一个函数的是( )
A.
B.
D.
C.f(x)=1,g(x)=(x﹣1)
0
【解答】解:对于A,f(x)=x
2
(x∈R),与g(x)=
关系不同,
所以不是同一函数;
对于B,f(x)==1(x>0),与g(x)=
=|x|(
x∈R)的对应
=1(x>0)的定义域相
同,对应关系也相同,
所以是同一函数;
对于C,f(x)=1(x∈R),与g(x)=(x﹣1)0
=1(x≠1)的定义域不同,所
以不是同一函数;
对于D,f(x
)==x﹣3(x≠﹣3),与g(x)=x﹣3(x∈R)的定义域不同,
所以不是同一函数.
故选:B.
8.若函数y=f(x)的定义域为M={x
|﹣2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数
y=f(x)的图象可能是(
)
A. B. C.
D.
【解答】解:对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除;
对B满足函数定义,故符合;
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个
元素的情况,不符合函
数的定义,从而可以否定;
对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.
故选:B.
9.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是(
)
A.﹣3∈A B.3?B C.A∩B=B D.A∪B=B
【解答】解:∵|x|≥0,∴|x|﹣1≥﹣1;
∴A={y|y≥﹣1},又B={x|x≥2}
∴A∩B={x|x≥2}=B.
故选:C.
10.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k﹣1?A且k+1?A,那么
k是A的一
个“孤立元”,给定A={1,2,3,4,5},则A的所有子集中,只有一
个“孤立元”的集合共有
( )
A.10个 B.11个 C.12个 D.13个
【解答】解
:“孤立元“是1的集合:{1};{1,3,4};{1,4,5};{1,3,4,
5};
“孤立元“是2的集合:{2};{2,4,5};
“孤立元“是3的集合:{3};
“孤立元“是4的集合:{4};{1,2,4};
“孤立元“是5的集合:{5};{1,2,5};{2,3,5};{1,2,3,5}.
共有13个;
故选:D.
11.已知集合
P={x|x
2
﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?
R
P)∩Q
=( )
A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]
【解答】解:由P中不等式变形得:x(x﹣2)≥0,
解得:x≤0或x≥2,即P=(﹣∞,0]∪[2,+∞),
∴?
R
P=(0,2),
∵Q=(1,2],
∴(?
R
P)∩Q=(1,2),
故选:C.
12.函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=﹣1,则满足﹣1≤f(x﹣2)≤1的x的取值范围是( )
A.[﹣2,2]
B.[﹣1,1] C.[0,4] D.[1,3]
【解答】解:∵函数f(x)为奇函数.
若f(1)=﹣1,则f(﹣1)=1,
又∵函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,﹣1≤f(x﹣2)≤1,
∴f(1)≤f(x﹣2)≤f(﹣1),
∴﹣1≤x﹣2≤1,
解得:x∈[1,3],
故选:D.
13.函数的定义域为( )
C.[1,2)∪(2,+∞)
A.(﹣∞,1] B.[﹣1,1]
D.
【解答】解:由函数,
得,
解得,
即﹣1≤x≤1且x≠﹣;
所以函数y的定义域为[﹣1,﹣)∪(﹣,1].
故选:D.
14.下列各组函数中是同一函数的是( )
A. B.
C. D.y=|x|+|x﹣1|与y=2x﹣1
【解答】解:∵B中,y=又∵C中,y=|x﹣1|=
,定义域与对应法则都不同,∴排除B.
,定义域不同,∴排除C.
∵D中,y=|x|+|x﹣1|=对应法则不同,∴排除D.
A中、y===x,与y=x定义域和对应法则均相同,为同一函
数;
故选:A.
15.函数f(x)=ax
3
+
bx
2
+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0
C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0
【解答】解:f(0)=d>0,排除D,
当x→+∞时,y→+∞,∴a>0,排除C,
函数的导数f′(x)=3ax
2
+2bx+c,
则f′(x)=0有两个不同的正实根,
则x
1
+x
2<
br>=﹣>0且x
1
x
2
=>0,(a>0),
∴b<0,c>0,
方法2:f′(x)=3ax
2
+2bx+c,
由图象知当当x<
x
1
时函数递增,当x
1
<x<x
2
时函数递减,则f′(
x)对应的图
象开口向上,
则a>0,且x
1
+x
2=﹣>0且x
1
x
2
=>0,(a>0),
∴b<0,c>0,
故选:A.
16.已
知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)
32
=x+
x+1,则f(1)+g(1)=( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
【解答】解:由f(x)﹣g(x)=x
3
+x
2
+1,将所有x替
换成﹣x,得
f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣x
3
+x
2
+1,
根据f(x)=f(﹣x),g(﹣x)=﹣g(x),得
f(x)+g(x)=﹣
x
3
+x
2
+1,再令x=1,计算得,
f(1)+g(1)=1.
故选:C.
17.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=x+2,则f(x)=( )
A.x+1 B.2x﹣1 C.﹣x+1 D.x+1或﹣x﹣1
【解答】解:f(x)是一次函数,设f(x)=kx+b,
f[f(x)]=x+2,
可得:k(kx+b)+b=x+2.
即k
2
x+kb+b=x+2,
k
2
=1,kb+b=2.
解得k=1,b=1.
则f(x)=x+1.
故选:A.
18.已知函数f(x)=
A.0 B.﹣2 C.﹣1 D.1
得f(5)=3
则f(f(5))=( )
【解答】解:因为5>0,代入函数解析式f(x)=
﹣5=﹣2,
所以f
(f(5))=f(﹣2),因为﹣2<0,代入函数解析式f(x)=
得f(﹣2)=(﹣2)
2
+4×(﹣2)+3=﹣1
故选:C.
二.填空题(共11小题)
19.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f
(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x
的取值范围是 (﹣1,3) .
【解答】解:∵偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,
∴不等式f(x﹣1)>0等价为f(x﹣1)>f(2),
即f(|x﹣1|)>f(2),
∴|x﹣1|<2,
解得﹣1<x<3,
故答案为:(﹣1,3)
20.已知函数f(x)=,则f(f(﹣2))= ,f(x)的最小
值是 2﹣6
.
【解答】解:由题意可得f(﹣2)=(﹣2)
2
=4,
∴f(f(﹣2))=f(4)=4+﹣6=﹣;
∵当x≤1时,f(x)=x
2
,
由二次函数可知当x=0时,函数取最小值0;
当x>1时,f(x)=x+﹣6,
由基本不等式可得f
(x)=x+﹣6≥2
当且仅当x=即x=
∵2
﹣6=2﹣6,
﹣6;
时取到等号,即此时函数取最小值2
﹣6
﹣6<0,∴f(x)的最小值为2
﹣6
故答案为:﹣;2
21.直线y=1与曲线y=x
2
﹣|x|+a有四个交点,则a的取值范围是
(1,) .
【解答】解:如图,在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x
2
﹣|x|+a,
观图可知,a的取值必须满足
解得.
,
故答案为:(1,)
22.设函数f(x)=若f[f(a)],则a的取值范
围是
【解答】解:当
∵
当
或a=1 .
时,.
,解得:,所以;
,由
,f(a)=2(1﹣a),
∵0≤2(1﹣a)≤1,若
分析可得a=1.
,则,
若
由
综上得:
故答案为:
,即
,
得:
或a=1.
或a=1.
,因为2[1﹣2(1﹣a)]=4a﹣2,
.
23.如果集合A={x|ax
2
+2x+1=0}只有一个元素,则实数a的值为
0或1 .
【解答】解:若集合A={x|ax
2
+2x+1=0,a∈R
}只有一个元素,
则方程ax
2
+2x+1=0有且只有一个解
当a=0时,方程可化为2x+1=0,满足条件;
当a≠0时,二次方程ax
2
+2x+1=0有且只有一个解
则△=4﹣4a=0,解得a=1
故满足条件的a的值为0或1
故答案为:0或1
24.已知集合A={0,1,2},则A的子集的个数为 8 .
【解答】解:由
集合A中的元素有0,1,2共3个,代入公式得:2
3
=8,
则集合A的
子集有:{0,1,2},{0},{1},{2},{0,1},{1,2},{0,2},?
共8个
.
故答案为:8.
25.定义在R上的函数f(x
)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时.f(x)=x
(1﹣x),则当﹣1≤x≤0时
,f(x)= ﹣x(x+1) .
【解答】解:当﹣1≤x≤0时,0≤x+1≤1,
由题意f(x)=f(x+1)=(x+1)[1﹣(x+1)]=﹣x(x+1),
故答案为:﹣x(x+1).
26.已知集合A={x|x<
br>2
﹣2x﹣3=0},B={x|ax﹣1=0},若B?A,则由a的值构成
的集合为
{﹣1,0,} .
【解答】解:∵A={x|x
2
﹣2x﹣3=0}={﹣1,3},
∴若B?A,
则若a=0,即B=?时,满足条件B?A.
若a≠0,则B={x|ax﹣1=0}={},
要使B?A,则=﹣1或=3,
解得a=﹣1,或a=.
综上a=0或a=﹣1或a=,
∴由a的值构成的集合为{﹣1,0,}.
故答案为:{﹣1,0,}.
27.函数
【解答】解:由
的定义域是
[4,5)∪(5,+∞) .
,
解可得 x≥4
且,x≠±5,
故函数的定义域为[4,5)∪(5,+∞),
故答案为[4,5)∪(5,+∞).
28.a为实数,函数
f(x)=|x
2
﹣ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=
2﹣2 时,g(a)的值最小.
|分下面几种情况讨论:
【解
答】解:对函数f(x)=|x
2
﹣ax|=|(x﹣)
2
﹣
①当a
≤0时,f(x)=x
2
﹣ax在区间[0,1]上单调递增,
∴f(x)
max
=g(1)=1﹣a;
②当0<a≤2
∵
﹣2时,=
﹣2<0,
=,f(1)=1﹣a,
﹣(1﹣a)=
∴f(x)
max
=g(1)=1﹣a;
③当2﹣2<a≤1时,f(x)
max
=g(a)=;
综上所述
,g(a)=
∴g(a)在(﹣∞,
∴g(a)
min
=g(
,
]上单调递减,在[
);
;
,
,+∞)上单调递增,
④当1<a<2时,g(a)=f()=
⑤当a≥2
时,g(a)=f(1)=a﹣1;
综上,当a=时,g(a)
min
=3﹣2
故答案为:.
29.设函数f(x)=,若f(f(a))=2,则a=
.
【解答】解:设t=f(a),则f(t)=2,
2
若t>0,则f(t)=﹣t=2,此时不成立,
若t≤0,由f(t)=2得,t
2
+2t+2=2,
即t
2
+2t=0,解得t=0或t=﹣2,
即f(a)=0或f(a)=﹣2,
若a>0,则f(a)=﹣a
2
=0,此时不成立;或f(a)=﹣a
2
=﹣2,即a
2
=2,解得
a=.
若a≤0,由f(a)=0得,a
2
+2a+2=0,此时无解;
或f(a)=﹣2,即a
2
+2a+4=0,
此时无解,
综上:a=,
故答案为:.
三.解答题(共21小题)
30.设A={x|x
2
+4x=0}
,B={x|x
2
+2(a+1)x+a
2
﹣1=0},其中x∈R,如果A
∩B=B,
求实数a的取值范围.
【解答】解:A={x|x
2
+4x=0}={0,﹣4},
∵A∩B=B知,B?A,
∴B={0}或B={﹣4}或B={0,﹣4}或B=?,
若B={0}时,x<
br>2
+2(a+1)x+a
2
﹣1=0有两个相等的根0,则
﹣1,
若B={﹣4}时,x
2
+2(a+1)x+a
2
﹣1=0有
两个相等的根﹣4,则,
,∴a=
∴a无解,
若B={0,﹣4}时,x<
br>2
+2(a+1)x+a
2
﹣1=0有两个不相等的根0和﹣4,则
,
∴a=1,
当B=?时,x
2
+2(a+1)x+a
2
﹣
1=0无实数根,△=[2(a+1)]
2
﹣4(a
2
﹣1)=8a+8<0,得a<﹣1,
综上:a=1,a≤﹣1.
31.已知函数f(x)=x
2
+2ax+2,x∈[﹣5,5],
(1)当a=1时,求f(x)的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数.
【
解答】解:(1)f(x)=x
2
+2ax+2=(x+a)
2
+2﹣a2
,
其对称轴为x=﹣a,当a=1时,f(x)=x
2
+2x+2,
所以当x=﹣1时,f(x)
min
=f(﹣1)=1﹣2+2=1;
当x=5时,即当a=1时,f(x)的最大值是37,最小值是1.(6分)
(2)当区间[﹣5,5]在对称轴的一侧时,
函数y=f(x)是单调函数.所以﹣a≤﹣5或﹣a≥5,
即a≥5或a≤﹣5,即实数a的取值范围是(﹣∞,﹣5]∪[5,+∞)时,
函数在区间[﹣5,5]上为单调函数.(12分)
32.已
知集合A={x|x
2
﹣3x﹣10≤0}B={x|m+1≤x≤2m﹣1}.
(Ⅰ)当m=3时,求集合A∩B,A∪B;
(Ⅱ)若满足A∩B=B,求实数m的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当m=3时,B={x|4≤x≤5},
由A中不等式变形得:(x+2)(x﹣5)≤0,
解得:﹣2≤x≤5,即A={x|﹣2≤x≤5},
则A∩B={x|4≤x≤5},A∪B={x|﹣2≤x≤5};
(Ⅱ)∵A∩B=B,∴B?A,
分B=?与B≠?两种情况考虑:
当B=?时,则有2m﹣1<m+1,即m<2;
当B≠?时,则有,即2≤m≤3,
综上,m的取值范围为{m|m≤3}.
33.设函数f(x)=.
(Ⅰ)当a=﹣5时,求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.
【解答】解:(I)由题设知:|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0
如图,在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|
和y=5的图象,得定义域为(﹣∞,﹣2]∪[3,+∞)
(II)由题设知,当x∈R时,
恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a,
又由(I)|x+1|+|x﹣2|≥3,
∴﹣a≤3,
∴a≥﹣3.
34.设全集是实数集R,A={x
|2x
2
﹣7x+3≤0},B={x|x
2
+a<0}.
(1)当a=﹣4时,求A∩B和A∪B;
(2)若(?
R
A)∩B=B,求实数a的取值范围.
【解答】解:(1)∵A={x|≤x≤3},
当a=﹣4时,B={x|﹣2<x<2},
∴A∩B={x|≤x<2},
A∪B={x|﹣2<x≤3}.…(6分)
(2)?
R
A={x|x<或x>3},
当(?
R
A)∩B=B时,B??
R
A,
①当B=?,即a≥0时,满足B??
R
A;
②当B≠?,即a<
0时,B={x|﹣<x<
要使B??
R
A,需≤,解得﹣≤a<0.
},
综上可得,实数a的取值范围是a≥﹣.…(12分)
35.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明;
(2)如果
关于x的方程f(x)=kx
2
有四个不同的实数解,求实数k的取值范围.
【解答】解:(1)函数f (x)在区间(0,+∞)上,证明如下:
∵f(x)=,
∴当x>0时,f(x)=
∵上是减函数
∴f
(x)在区间(0,+∞)上是增函数.(4分)
(2)原方程即:=kx
2
①
①由方程的形式可以看出,x=0恒为方程①的一个解.(5分)
②当x<0且x≠
﹣2时方程①有解,则=kx
2
即kx
2
+2kx+1=0
当k=0时,方程kx
2
+2kx+1=0无解;
当k≠0时,△
=4k
2
﹣4k≥0即k<0或k≥1时,方程kx
2
+2kx+1=0有解
.
设方程kx
2
+2kx+1=0的两个根分别是x
1
,
x
2
则x
1
+x
2
=﹣2,x
1
x
2
=.
当k>1时,方程kx
2
+2kx+1=0有两个不等的负根;
当k=1时,方程kx
2
+2kx+1=0有两个相等的负根;
当k<0时,方程kx
2
+2kx+1=0有一个负根(8分)
③
当x>0时,方程①有解,则=kx
2
,kx
2
+2kx﹣1=0
当k=0时,方程kx
2
+2kx﹣1=0无解;
当k≠0时,△=4k
2
+4k≥0即k>0或k≤﹣1时,方程kx
2+2kx﹣1=0有解.
设方程kx
2
+2kx﹣1=0的两个根分别
是x
3
,x
4
∴x
3
+x
4
=
﹣2,x
3
x
4
=﹣
∴当k>0时,方程kx
2
+2kx﹣1=0有一个正根,
当k≤﹣1时,方程kx
2
+2kx+1=0没有正根.(11分).
综上可得,当k∈(1,+∞)时,方程f
(x)=kx
2
有四个不同的实数解.(13分).
36.设函数f(x)=x
2
+ax+b(a,b∈R).
(Ⅰ)当b=+1时,求函数f(x)在[﹣1,1]上的最小值g(a)的表达式.
(Ⅱ)已知函数f(x)在[﹣1,1]上存在零点,0≤b﹣2a≤1,求b的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当b=+1时,f(x)=(x+)
2
+1,对称轴为x=﹣,<
br>
+a+2;
当a≤﹣2时,函数f(x)在[﹣1,1]上递减,则g(a
)=f(1)=
当﹣2<a≤2时,即有﹣1≤﹣<1,则g(a)=f(﹣)=1;
当a>2时,函数f(x)在[﹣1,1]上递增,则g(a)=f(﹣1)=﹣a+2.
综上可得,g(a)=;
(Ⅱ)设s,t是方程f(x)=0的解,且﹣1≤t≤1,
则,
由于0≤b﹣2a≤1,
由此≤s≤(﹣1≤t≤1),
≤st≤,
=9﹣[(2(t+2)+
,
]≤9﹣2,
当0≤t≤1时,
由﹣≤
得﹣≤
≤0,由<
br>≤9﹣4
;
≤st≤
所以﹣≤b≤9﹣4
当﹣1≤t<0时,,
由于﹣2≤<0和﹣3≤<0,所以﹣3≤b<0,
故b的取值范围是[﹣3,9﹣4].
37.设A={x|x
2
﹣8x+15=0},B={x|ax﹣1=0}.
(1)若a=,试判定集合A与B的关系;
(2)若B?A,求实数a组成的集合C.
【解答】解:(1)∵B={5}的元素5是集合A={5,3}中的元素,
集合A={5,3}中除元素5外,还有元素3,3在集合B中没有,
∴B?A.
故答案为:B?A.
(2)当a=0时,由题意B=?,又A={3,5},B?A,
当a≠0,B={},又A={3,5},B?A,
此时或5,则有
a=或a=
.
故答案为:
38.已知定义
域为R的函数f(x)满足f(f(x)﹣x
2
+x)=f(x)﹣x
2
+x
.
(I)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(Ⅱ)设有且仅有一个实数x
0
,使得f(x
0
)=x
0
,求函数f(x)的解析表达式.
22
【解答】解:(I)因为对任意x∈R,有f
(f(x)﹣x+x)=f(x)﹣x+x
所以f(f(2)﹣2
2
+2)=f(2)﹣2
2
+2
<
br>又由f(2)=3,得f(3﹣2
2
+2)=3﹣2
2
+2,即f(1
)=1
若f(0)=a,则f(a﹣0
2
+0)=a﹣0
2
+0,即f(a)=a.
(II)因为对任意x∈R,有f(f(x)﹣x
2+x)=f(x)﹣x
2
+x.
又因为有且只有一个实数x
0
,使得f(x
0
)=x
0
所以对任意x∈R,有f(x)﹣x
2
+x=x
0
在上式
中令x=x
0
,有f(x
0
)﹣x
0
2
+x
0
=x
0
又因为f(x
0
)=x
0
,
所以x
0
﹣x
0
2
=0,故x
0
=0或x
0
=1
若x
0
=0,则f(x)﹣x
2
+x=0
,即f(x)=x
2
﹣x
但方程x
2
﹣x=x有两个不相
同实根,与题设条件矛盾.故x
0
≠0
若x
0
=1,则有
f(x)﹣x
2
+x=1,即f(x)=x
2
﹣x+1,此时f(x)=x有
且仅有一
个实数1.
综上,所求函数为f(x)=x
2
﹣x+1(x∈R)
39.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|.
(1)画出函数y=f(x)的图象;
(2)若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|
a|f(x),(a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数x的范围.
【解答】解:(1)
(2)由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x)
得
又因为
则有2≥f(x)
解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2|
得
40.已知函数f(x)=
(Ⅰ)求f[f(﹣2)]的值;
(Ⅱ)求f(a
2
+1)(a∈R)的值;
(Ⅲ)当﹣4≤x<3时,求函数f(x)的值域.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可得
f(﹣2)=1﹣(﹣4)=5,f[f(﹣2)]=f(5)=4
﹣25=﹣21.
(5分)
(Ⅱ)f(a
2
+1)=4﹣(a
2
+1)2
=﹣a
4
﹣2a
2
+3. (10分)
(Ⅲ)①当﹣4≤x<0 时,∵f(x)=1﹣2x,∴1<f(x)≤9. (11分)
②当x=0 时,f(0)=2. (12分)
③当0<x<3
时,∵f(x)=4﹣x
2
,∴﹣5<x<4. (14分)
故当﹣4≤x<3 时,函数f(x) 的值域是(﹣5,9]. (15分)
41.函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x
2
+
2x
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)﹣|x﹣1|.
(Ⅲ)若h(x)=g(x)﹣
λf(x)+1在[﹣1,1]上是增函数,求实数λ的取值范
围.
【解答】解:(
Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x
0
,y
0
)关于原点的对称点为P(x,y),
则即
∵点Q(x
0
,y
0
)在函数y=f(x)的图象上
∴﹣y=x
2
﹣2x,即y=﹣x
2
+2
x,故g(x)=﹣x
2
+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)﹣|x﹣1|,可得2x
2
﹣|x﹣1|≤0
当x≥1时,2x
2
﹣x+1≤0,此时不等式无解.
当x<1时,2x
2
+x﹣1≤0,解得
因此,原不等式的解集为.
.
(Ⅲ)h(x)=﹣(1+λ)x
2
+2(1﹣λ)x+1
①当λ=﹣1时,h(x)=4x+1在[﹣1,1]上是增函数,∴λ=﹣1
②当
λ≠﹣1时,对称轴的方程为x=
ⅰ)当λ<﹣1时,
ⅱ)当λ>﹣1时,
.
,解得λ<﹣1.
,解得﹣1<λ≤0.综上,λ≤0.
42.已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求f(x);
(2)求f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值和最小值.
【解答】解:(1)设f(x)=ax
2
+bx+c,
则f(x+
1)﹣f(x)=a(x+1)
2
+b(x+1)+c﹣(ax
2
+bx+c
)=2ax+a+b
∴由题
∴
∴f(x)=x
2
﹣x+1
(2)f(x)=x
2
﹣x+1=
∴
43.已知函数f(x)=2+的图象经过点(2,3),a为常数.
在[﹣1,]单调递减,在[,1]单调递增
恒成立
,f(x)
max
=f(﹣1)=3
(1)求a的值和函数f(x)的定义域;
(2)用函数单调性定义证明f(x)在(a,+∞)上是减函数.
【解答】解:(1)函数f(x)=2+
∴2+=3,解得a=1;
,且x﹣1≠0,则x≠1,
的图象经过点(2,3),
∴f(x)=2+
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠1};
(2)用函数单调性定义证明f(x)在(1,+∞)上是减函数如下;
设1<x
1
<x
2
,则
f(x
1
)﹣f(x
2
)=(2+)﹣(2+)=,
∵1<x
1
<x
2
,∴x
2
﹣x
1
>
0,x
1
﹣1>0,x
2
﹣1>0,
∴f(x
1
)>f(x
2
),
∴f(x)在(1,+∞)上是减函数.
44.已知a,b,
c∈R,二次函数f(x)=ax
2
+bx+c,集合A={x|f(x)=ax+b},B={x|f(x)=cx+a}.
(Ⅰ)若a=b=2c,求集合B;
(Ⅱ)若A∪B={0,m,n}(m<n),求实数m,n的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵a=b=2c≠0,
∴由f(x)=cx+a得ax
2
+bx+c=cx+a,
即2cx
2
+2cx+c=cx+2c,
得2cx
2
+cx﹣c=0,即2x
2
+x﹣1=0,
解得x=﹣1或x=,即B={﹣1,}
(Ⅱ)若A∪B={0,m,n}(m<n),
则①当0∈A,0∈B时,即a=b=c,
由ax
2
+bx+c=
ax+b,即ax
2
+ax+a=ax+a,即ax
2
=0,解得x=0,<
br>
即A={0},
由ax
2
+bx+c=cx+a,ax<
br>2
+ax+a=ax+a,即ax
2
=0,解得x=0,
即B={0},则A∪B={0},则不符合题意.
②当0∈A,0?B时,即a≠c,b=c,
则A={0,},B={},
则此时必有c=0,则m=﹣1,n=1.
③当0?A,0∈B时,即a=c,b≠
c,即B={0,
由cx
2
+bx+c=cx+b得cx
2
+(b﹣
c)x+c﹣b=0,
∵b≠c,∴方程的另外一个根≠0,则?A,
},
则判别式△=(b﹣c)
2
﹣4c(c﹣b)=0,
解得b=﹣3c,解得m=2,n=4,
综上m=﹣1,n=1.或m=2,n=4.
45.已知函数是奇函数(a,b,c为常数)
(1)求实数c的值;
<
br>(2)若a,b∈N
*
,且f(1)=2,f(2)<3,求f(x)的解析式;
(3)对于(2)中的f(x),若f(x)=m有正数解,求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)∵函数是奇函数,
∴f(﹣x)+f(x)=0,
即
+=0,
解得,c=0;
(2)由题意,f(1)=
又∵若a,b∈N
*
,
解得,a=1,b=1;
故f(x)=
=2,f(2)=<3;
;
(3)由题意,
而≥2,
=m有正数解,
故m≥2.
46.记关于x的不等式的解集为P,不等式|x﹣1|≤1的解集为Q.
(Ⅰ)若a=3,求P;
(Ⅱ)若Q?P,求正数a的取值范围.
【解答】解:(I)由,得P={x|﹣1<x<3}.
(II)Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}.
由a>0,得P={x|﹣1<x<a},又Q?P,结合图形
所以a>2,即a的取值范围是(2,+∞).
4
7.已知集合M={x|x
2
﹣3x≤10},N={x|a+1≤x≤2a+1}.
(1)若a=2,求M∩(?
R
N);
(2)若M∪N=M,求实数a的取值范围.
【解答】(本小题满分8分)
解:(Ⅰ)a=2时,M={x|﹣2≤x≤5},N={3≤x≤5},
C
R
N={x|x<3或x>5},
所以M∩(C
R
N)={x|﹣2≤x<3}.
(Ⅱ)∵M∪N=M,∴N?M,
①a+1>2a+1,解得a<0;
②
所以a≤2.
,解得0≤a≤2.
48.定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)
,且f(x)是
区间(0,+∞)上的递增函数
(1)求f(1),f(﹣1)的值;
(2)求证:f(﹣x)=f(x);
(3)解关于x的不等式:.
【解答】解:(1)令,则f(1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0(3分)
令x=y=﹣1,则f(1)=f(﹣1)+f(﹣1)
∴f(﹣1)=0(6分)
(2)令y=﹣1,则f(﹣x)=f(x)+f(﹣1)=f(x)
∴f(﹣x)=f(x)(10分)
(3)据题意可知,
f(2)+f(x﹣)=f(2x﹣1)≤0
∴﹣1≤2x﹣1<0或0<2x﹣1≤1(13分)
∴0≤x<或<x≤1(15分)
49.已知函数f(x)=
x
2
+bx+c有两个零点0和﹣2,且g(x)和f(x)的图象
关于原点对称.<
br>
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)解不等式f(x)≥g(x)+6x﹣4;
(3)如果f(x)定义在[m,
m+1],f(x)的最大值为g(m),求g(m)的解
析式.
【解答】解:(1)由f(x)=x
2
+bx+c有两个零点0和﹣2,
即有,
解得b=2,c=0,
即f(x)=x
2
+2x,
由f(x)和g(x)的图象关于原点对称,
所以g(x)=﹣x
2
+2x.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)
(2)f(x)≥g(x)+6x﹣4即x
2
+2x≥﹣x
2
+2x
+6x﹣4,
即x
2
﹣3x+2≥0得不等式的解为{x|x≥2或x≤1
}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣(5分)
(3)f(x)=x
2
+2x=(x+1)
2
﹣1,
当m+1≤﹣1,即m≤﹣2时,f(x)的最大值g(m)=m
2
+2m,
当m>﹣1时,f(x)的最大值g(m)=(m+1)
2
+2(m+1)=m
2
+4m+3,
当时,f(x)的最大值g(m)=m
2
+2m,
当时,f(x)的最大值g(m)=(m+1)
2
+2(m+1)=m
2+4m+3﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
50.若f(x
)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f()
=f(x)﹣f(y)
(1)求f(1)的值,
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)﹣f()<2.
【解答】解:(1)在f()=f(x)﹣f(y)中,
令x=y=1,则有f(1)=f(1)﹣f(1),
∴f(1)=0;
(2)∵f(6)=1,∴2=1+1=f(6)+f(6),
∴不等式f(x+3)﹣f()<2
等价为不等式f(x+3)﹣f()<f(6)+f(6),
∴f(3x+9)﹣f(6)<f(6),
即f()<f(6),
∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,
∴,解得﹣3<x<9,
即不等式的解集为(﹣3,9).