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高中数学辅导讲义(集合与函数定义域)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 15:16
tags:高中数学集合

高中数学必修一答案北师大版-全国高中数学联赛代数辅导书



一.集合的概念与性质.
1.把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.
2.用小写字母表示元素,用大写字母表示集合.
3.集合的性质.
①确定性:给定一个元素要不在集合里面要不不在集合里面,是确定的.
②互异性:任何两个元素都不能相同.
③无序性:集合与其中元素的排列顺序无关.
4.集合与元素的关系.
如果
a
是集合
A
的元素,就说< br>a
属于集合
A
,记作
a?A
;如果
a
不是集 合
A

的元素,就说
a
不属于集合
A
,记作
a?A
.根据集合的确定性这两种必有其中一种成
立.(切记属于
?,?
符 号是集合和元素之间的关系).
5.注意常用数集及其记法:
(1)非负整数集(即自然数集) 记作:N.(2)正整数集:
N
?
或N< br>?
.(3)整数集:
Z
.
(4).有理数集
Q
. 实数集
R
.
6.集合的表示
1.把 集合的元素一一列举出来,并用大括号
??
括起来表示集合的方法叫列举法.
(列举法表示集合注意:①元素间用,号 ;②元素不能重复;③元素无序性)
2.用集合所含元素的特征表示集合的方法叫集合的描述法.
具体方法:在花括号里面先写上 表示这个集合元素的一般符号和取值.再画一条竖
线,在其后面写上这个集合中元素的基本特征.
练一练
1.给出下列关系:①
??R
;②
2?Q
;③< br>?3?N
?
;④
?3?Q
.其中正确的个数( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下面四个语句:
①集合N*最小的数为0;②
?a?N则a?N
;③< br>a?N,b?N,则a+b的最小值为2

1

1
2



x
2
?1?2x,的解集中有两个元素。
其中正确的语 句个数( )
A.1 B.2 C.3 D.0
3.由
a
2
,2?a,4
组成一个集合A,A中含有三个元素,则a的取值范围为
4.已知集合A含有3个元素2,4,6且当
a?A,有6?a?A,则a为

5.若
a,b?R,且a?0,b?0,则
ab
?
的可能取值所组成 的集合元素个数为
ab
6.以方程
mx
2
?2x?3 ?0,m?R
的解组成的集合中只有一个元素,求m的值。
二.子集
(一)子集的概念
1.对于集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就 说这两个
集合是包含关系,集合A为集合B的子集。记作

A?B(或B?A)
读作A含于B
2、集合A与集合B中的元素完全相同,只是表示方法不同,我们就说集合A与集合B 相
等,即A=B
3、如果集合
B
是集合
A
的子集,并且集 合
A
中至少有一个元素不属于集合
B
,那么
把集合
B
叫做集合
A
的真子集.
表示 记作BA (或AB), 读作“
A
真包含
B
”(或“
B
真包含于
A
”).
[不包含本身的子集叫做真子集]
4、我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作?
5、记住一个很重要的规定:空集是任何集合的子集。
空集是任何非空集合的真子集
6、韦恩图:平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图叫做韦恩图

2


BA

练一练
1.设集合A={x|1<x<2},B= {x|x<
a
},且A
?
B,则实数
a
的范围
是( )
A.
a
≥2 B.
a
>2 C.
a
≤1 D.
a
>1
2.若A={x|x
2
-3x+2=0},B={x|x
2

a
x+
a
-1=0},且B
?
A,

a
的值为__________. 3.已知集合A={0,2,3},B={
x|x?ab,a,b?A
},则B的子集的个 数是
_______________.
4.下列各式中,正确的是( )
23?{x|x?4}
B.
23?{x|x?4}
C.
{23}
?
{23}?{x|x?4}
A.
?
{x|x?3}
D.
5.已知集合A={x|x
2
-2x-3=0},B={x|
a
x-1=0},若B
?
?
A,
a
的值所组成的集合M.

6.下列四个集合中,表示空集的是( )
A.{0} B.
{(x,y)|y
2
??x
2
,x?R,y?R}

C.
{x||x|?5,x?Z,x?N}
D.
{x|2x
2
?3x?2?0,x?N}

7.已知集合
(A)
8.设
(A)
(B)

(B)

(C)
,若
,那么( )
(D)
,则实数的取值范围是( )
(C) (D)

3


当集合的元素有n个那么它的子集为 个;真子集为 个
1、已知集合A={
a,b,c
},B={x| x∈A},则集合B的真子集个数最多( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
2、设集合M
?
{1,2,3,4,5},且
a
∈M时, 6-
a
∈M,则集合M
=___________________________ _______.
3、写出满足条件{0,1}
?

?
?
{0,1,2,3}的集合M
_________________________________ ________.
三、集合之间的基本运算
1.交集的定义
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A
?
B(读作‘A交B’),
即A
?
B={x|x< br>?
A,且x
?
B}是同时属于A,B的两个集合的所有元素组成的集
合 .
2.并集的定义
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并
集.
记作:A
?
B(读作‘A并B’),
3、全集:如果集合S含有我们所要研 究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看
作一个全集,全集通常用U表示
4、补集:一般 地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即
A?S
),由S中所有不
属于A的元素组 成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作
C
S
A
,即
S
A
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}


4


5、性质:C
S
(C
S
A)=A ,C
S
S=
?
,C
S
?
=S
6、五、交集并集的性质
1.交集的性质
(1)A
?
A=A A
?
Φ=Φ A
?
B=B
?
A (2)A
?
B
?
A, A
?
B
?
B.
2.并集的性质
(1)A
?
A=A (2)A
?
Φ=A (3)A
?
B=B
?
A (4)A
?
B
?
A,A
?
B
?
B
联系交集的性质有结论:Φ
?
A
?
B
?
A
?A
?
B.
3. 德摩根律:(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B),
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)(可以用韦恩图来理解).
结合补集,还有①A
?
(C
u
A)=U, ②A
?
(C
u
A)= Φ.
容斥原理
一般地把有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A,B,有
card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B).
练一练
1.设全集U=R,M={x|x.≥1}, N ={x|0≤x<5},则(C
U
M)∪(C
U
N)为( )
(A){x|x.≥0} (B){x|x<1 或x≥5} (C){x|x≤1或x≥5} (D){x|
x〈0或x≥5 }
2.已知全集U={非零整数},集合A={x||x+2|>4, x
?
U}, 则C
U
A=( )
(A){-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
(B){-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 }
(C){ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 }
(D){ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }

5


3、 已知U=
?
1,2,3,4,5,6,7,8?
,
A?
?
C
U
B
?
?
?< br>1,8
?
,
?
C
U
A
?
?B??
2,6
?
,
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
?
?
4,7
?
,
则集合A=
( )
4、设集合A={x∈Z|-10≤x≤- 1},B={x∈Z||x|≤5},则A∪B中的元素个
数是 ( )
A.11 B.10 C.16 D.15
5.(04年全 国Ⅰ)设A、B、I均为非空集合,且满足
A?B?I
,则下列各式中错误
的是( )
(A)
(C
I
A)?B?I
(B)
(C
I
A)?(C
I
B)?I
(C)
A?(C
I
B)??
(D)
(C
I
A)?(C
I
B)?C
I
B
6.(05全国卷Ⅰ)设
I
为全集,
S
1
、S
2
、S
3

I
的三个非空子集,且
S
1
?S
2
?S
3
?I

则下面论断正确的是( )
(C< br>I
S
2
?C
I
S
3

(S
2
?S
3
)??
(A)
C
I
S
1
?
(B)
S
1
?

(C
I
S
2
?C
I
S
3

??
(C)
C
I
S< br>1
?C
I
S
2
?C
I
S
3

(D)
S
1
?

7、 已知A={x|x
2
+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B∪A=A,求实数m的取值
范围.


8、已知集合A和集合B各含12个元素,A∩B含有4个元素,试求A∪B的元素个
数.
解:设A∪B=U,因为card (A)=12,card(B)=12,且card(A∩B)=4,
所以card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=12+12-4=20。
点评:符号card(A)表示集合A中元素的个数,类似card(A∩B)等含义相同,它们
之间有公式:

6


card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 9、设集合A={-4,2m-1,m
2
},B={9,m-5,1-m},又A
?
B={9},求实数m的值.
解:∵A
?
B={9},A={-4,2m -1,m
2
},B={9,m-5,1-m},
∴2m-1=9或m
2
=9,解得m=5或m=3或m=-3.
若m=5, 则A={-4,9,25},B={9,0,-4}与A
?
B={9}矛盾;
若m=3,则B中元素m-5=1-m=-2,与B中元素互异矛盾;
若m=-3,则A={ -4,-7,9},B={9,-8,4}满足A
?
B={9}.∴m=-3.
10 、设A={x|x
2
+ax+b=0},B={x|x
2
+cx+15=0} ,又A
?
B={3,5},A∩B={3},求实数a,b,c
的值.
解: ∵A∩B={3},∴3∈B,∴3
2
+3c+15=0,∴c=-8.由方程x
2< br>-8x+15=0解得x=3或x=5,
∴B={3,5}.由A
?
(A?
B={3,5}知,3∈A,5
?
A(否则5∈A∩B,与A∩B={3}矛盾)
故必有A={3},∴方程x
2
+ax+b=0有两相同的根3,由韦达 定理得3+3=-a,3
?
3=b,
即a=-6,b=9,c=-8。
四、函数定义域
1、基本函数定义域的求法
??分式中的分母不为零;
??偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
??零的0次幂没意义
【练一练】
1.求下列函数的定义域:
(1)
f(x)?
3
4x?8
3x?2
; (2)
y?
lg(2?x)
12?x?x
2

?(x?1)
0

7


2
{x|x?}
3
; 解:(1)
?
2?x ?0,
?
x?2,
?
?
2
?
12?x?x?0,< br>?
?
?3?x?4,
?
x?1?0,
?
x?1,?
?
??3

x

2
,且
x?1。 (2)
所以函数定义域为
{x|?3

x

2,且
x?1
}

22
2
f(x)?lg(x?ka)?lg(x?a)

y?16 ?x?lgsinx
2.求下列函数的定义域:(1)(2)
2
解:(1)由根式有意 义
?16?x?0
①,又由对数有意义
?sinx?0
②,
解①②不等式组分别得:-4≤x≤4,2kπ为:
x∈[-4,-π)∪(0,π)。
?
x?ka
?
22
x?a
?
(2)∵
①当
a?0
时,函数的定义域为
(0,??)

?
x?ka
?
a?0
?
?
x??a或x?a
②当
a ?0
时,得
?
, Ⅰ、当
?
k?1
时,函数的定义域为
(ka,??)

?
a?0
?
a?0
??
?1?k?1
(a,??)
Ⅱ 、当
?
时,函数的定义域为;Ⅲ、当
?
k??1
时,函数的定义域为
(ka,?a)?(a,??)

?
x?ka
?
a?0< br>?
?
x?a或x??a
③当
a?0
时,得
?
Ⅰ、当
?
k??1
时时,函数的定义域为
(ka,??)

?
a?0
?
a?0
??
?1?k?1
(?a,??)Ⅱ、当
?
时,函数的定义域为; Ⅲ、当
?
k?1
时,函数的 定义域为
(ka,a)?(?a,??)

二、抽象函数定义域
(一)、已知的定义域,求的定义域,其解法是:若的定义域为

8


,则
1、设函数
函数
2、设函数

的定义域为
,从 中解得的取值范围即为
,则(1)函数
的定义域。
的定义域为 。(2)
的定义域为 。
y?f(x)
的定义域为A?[4,??)
,给出下列函数:
A的有( )
D. 4个 x
2
y?f(2x?4),y?f()
4

y?f(2x),y ?f(?
16
)
x
,其定义域仍是
A. 1个 B. 2个 C. 3个
3、(江西卷3)若函数
y?f(x)
的定义域是
[0,2]< br>,则函数
( B )
g(x)?
f(2x)
x?1
的定义域是
A.
[0,1]
B.
[0,1)
C.
[0,1)U(1,4]
D.
(0,1)

(二)、已知
其解法是:若
定义域。
1、已知函数的定义域为,则的定义域为 。
的定义域,求
的定义域为
的定义域。
,则由确定的范围即为的
2< br>f(x?2)
的定义域为
?
?3,2
?
,则
f(x)
的定义域是 。
[?2,7]
2、已知
22
解 :∵
?3

x

2
,∴
0

x< br>≤
9
,从而
?2

x
?2

7,故
f(x)
的定义域是
[?2,7]

(三)、已知
其解法是:可先由
定义域。
1、函数
A. B.
的定义域,求
定义域求得
的定义域。
的定义域,再由的定义域求得的
定义域是
C. D.
,则

的定义域是( )

9


1函数f(2x-1)的定义域为[1,3],求函数f(x2+1)的定义域.

2已知f(2x-1)定义域为[0,1],求f(3x)的定义域

(四)、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是: 先求出各个函数
的定义域,再求交集。
1、已知函数

11
y?f(x?)?f(x?)
44
的定义域。 2、若函数
y?f(x)
的定义域为[?1,1],求函数
的定义域是,求的定义域。


五、巩固练习
【04湖北理】1、设集合
P?{m|?1?m ?0},Q?{m?R|mx
2
?4mx?4?0
对任意实数
x
恒< br>成立},则下列关系中成立的是 ( )
A.P Q B.Q P C.P=Q D.P
?
Q=
【06湖北文】2、集合P={
x
」< br>x
2
-16<0},Q={
x

x

2n, n
?
Z},则P
?
Q=( )
A.{-2,2} B.{-2,2,-4,4} C.{2,0,2} D.{-2,2,0,
-4,4}
2,3,4
?

B?
?
3,4,5,6
?
,那么A∩B【07湖北文】3、如果
U?
?x|x是小于9的正整数
?

A?
?
1,
( )
2
?
B.
?
3,4
?
C.
?
5,6
?
D.
?
7,8
?
A.
?
1,

10


【10湖北文】4、设集合M= {1,2,4,8},N={x|x是2的倍数},则M∩N=
A.{2,4} B.{1,2,4} C.{2,4,8} D{1,2,8}
5、设全集U={0,1 ,2,3,4},集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B
等于( )A.{1} B.{0,1} C.{0,1,2,3} D.{0,1,2,3,4} < br>6、给定集合A、B,定义一种新运算:A*B={x|x∈A或x∈B,但x
?
A∩B },又已知A={0,
1,2},B={1,2,3},则A*B等于( )
A.{0} B.{3} C.{0,3} D.{0,1,2,3}
7、下列各式:①2 006
?
{x|x≤2 007};②2 007∈{x|x≤2 007};③{2 007}{x|x
≤2 007};④
?
∈{x|x<2 007},其中正确的是 . 8、设全集U={x|02
-5x+q=0},B={ x|x
2
+px+12=0},(
B={1,3,4,5},则集合
A= B= .
9、已知集合A={-1,2},B={x|mx+1=0} ,若A∩B=B,则所有实数m的值组成的集合
是 .
10 、已知函数
f(x)
的定义域为(1,3),则函数
F(x)?f(x?1)?f(2 ?x)
的定义域。


A)∪

11

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