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高中数学 1.1.2集合间的基本关系 (40)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 15:17
tags:高中数学集合

高中数学向量知识备课-高中数学答题技巧书


ruize
1.1.2 集合间的基本关系

课标要点
课标要点
1.子集、真子集的概念
2.空集的概念

知识导图,
学考要求
b
b
a
高考要求
b
b
a
学法指导,
1.注意辨析两大关系:
(1)元素与集合的关系;
(2)集合与集合的关系.

2.本节的学习重点是子集、真子集、空集的概念;难点是集合
之间关系的应用.
3.学习中要注意集合之间的关系的几种表述方法:自然语言、
符号语言、图形语言.

知识点一 子集

文字语言 符号语言
对于两个集合A,B, 如果
集合A中任意一个元素都
对任意元素x∈A,必有
是集合B中的元素,我们
x∈B,则A?B(或B?A),
就说这两个集合有包含
读作A包含于B或B包含
关 系,称集合A为集合B
A
的子集


图形语言


ruize
“A是B的子集”的含义是:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即任意x∈A都能推出x∈B.




知识点二 集合相等
1.自然语言:如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,
因此,集合A与集合B相等.
2.符号语言:若A?B,又B?A,则A=B.

(1)若A?B,又B?A,则A=B;反之,如果A=B,则A?B,
且B?A.
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺
序无关.


知识点三 空集
不含任何元素的集合叫做空集,记为?.
规定:空集是任何集合的子集.
知识点四 真子集
文字语言 符号语言 图形语言
对于两个集合A,B,如果
集合A是集合B的子集,若集合A?B,但x∈B,
且在集 合B中存在一个元且x?A,则AB(或
素不是集合A的元素,我BA)(读作“A真包含于

们称集合A是集合B的真B”或“B真包含A”)
子集

在真子集的定义中,AB首先要满足A?B,其次至少有一个
x∈B,但x?A.


知识点五 子集的性质
1.任何一个集合都是它本身的子集,即A?A.
2.对于集合A,B,C,
(1)若A?B,B?C,则A?C;
(2)若AB,BC,则AC.


ruize
[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0,而无其余元素.( )
(2)任何一个集合都有子集.( )
(3)若A=B,则A?B.( )
(4)空集是任何集合的真子集.( )
-=答案=-:(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.集合{0,1}的子集有( )
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
解析:集合{0,1}的子集为?,{0},{1},{0,1}.
-=答案=-:D
3.已知集合A={x|-1-x<0},则下列各式正确的是( )
A.0?A B.{0}∈A C.?∈A D.{0}?A
解析:集合A={x|-1-x<0}={x|x >-1},所以0∈A,{0}?A,
D正确.
-=答案=-:D
4.能正确表示 集合M={x|x∈R且0≤x≤1}和集合N={x∈R|x
2
=x}关系的Venn图是( )

解析:N={x∈R|x
2
=x}={0,1},M={x|x∈R且 0≤x≤1},
∴NM.
-=答案=-:B
类型一 集合间关系的判断

例1 (1)下列各式中,正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2};②{0,1, 2}?{2,1,0};③??{0,1,2};④?={0};
⑤{0,1}={(0,1)};⑥0 ={0}.
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)指出下列各组集合之间的关系:
①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};


ruize
②A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
③M={x|x=2n-1 ,n∈N
*
},N={x|x=2n+1,n∈N
*
}.
【解析】 (1)对于①,是集合与集合的关系,应为{0}{0,1,2};
对于②,实际为同一集合,任何一个 集合是它本身的子集;对于③,
空集是任何集合的子集;对于④,{0}是含有单元素0的集合,空集< br>不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以?{0};对
于⑤,{0,1}是含有两 个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序数组(0,1)
为元素的单元素集合,所以{0,1} 与{(0,1)}不相等;对于⑥,0与{0}
是“属于与否”的关系,所以0∈{0}.故②③是正确 的,应选B.
(2)①集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,
故A与B之间无包含关系.
②等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三
角形,故AB.
③方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N
*

因此集合M 含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM.
方法二 由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所
以NM.
【-=答案=-】 (1)B (2)见解析

根据元素与集合、集合与集合之间的 关系直接判断①②③④⑥,
对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数.


方法归纳
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先,判断一个集合 A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,
则A?B,否则A不是B的子集;
其次,判断另 一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,
若是,则B?A,否则B不是A的子集;
若既有A?B,又有B?A,则A=B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进


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行判断,但要注意端点值的取舍.

跟踪训练1 (1)若集合M={x|x
2
-1=0},T={-1,0,1},则M
与T的关系是( )
A.MT B.MT C.M=T D.M?T
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系:A={x|x 是平行四边形},
B={x|x是菱形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.
解析:(1)因为M={x|x
2
-1=0}={-1,1},又T={-1,0,1},所
以MT.
(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系,
再画Venn图.如图
-=答案=-:(1)A (2)见解析
学习完知识点后,我们可以得到B?A,C?A,D?A,D?B,
D?C.

类型二 子集、真子集的个数问题
例2 (1)已知集合A={x∈R|x
2
-3x+2=0},B={x∈N|0则满足条件ACB的集合C的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知集合A={x∈R|x
2
=a},使集合A的子集个数为2个的a
的值为( )
A.-2 B.4 C.0 D.以上-=答案=-都不是
【解析】 (1)由x
2
-3x+ 2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}.由
题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的 C可为{1,2,3},{1,2,4}.
(2)由题意知,集合A中只有1个元素,必有x
2
=a只有一个解;
若方程x
2
=a只有一个解,必有a=0.
【-=答案=-】 (1)B (2)C

(1)先用列举法表示集合A,B,然后根据ACB确定集合C.
(2)先确定关于x的方程x
2
=a解的个数,然后求a的值.

方法归纳


ruize
求集合子集、真子集个数的三个步骤


跟踪训练2 (1)已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4
个子集,则实数m=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)若集合A{1,2,3},且A中至少含有一 个奇数,则这样的集合
有________个.
解析:(1)根据题意,集合M有4个子集, 则M中有2个元素,
又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等于m的全
部整数,则m=2.
(2)若A中含有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{3,2 };
若A中含有两个奇数,则A={1,3}.
-=答案=-:(1)B (2)5
由A中含有奇数的个数分类:A中含1个奇数,2个奇数.
类型三 根据集合的包含关系求参数
例3 已知集合A={x|1的实数a的取值范围.
【解析】 (1)当a=0时,①
A=?,满足A?B.
?
?
1 2
?
(2)当a>0时,A=
?
x
?
a
a
?
.
?
?
?

1
?
?< br>a
≥-1,
又∵B={x|-1?
2
?
?
a
≤1.
∴a≥2.
?
?
21
?
(3) 当a<0时,A=
?
x
?
a
a
?
.③
?
?
?



ruize
2
?
?
a≥-1,
∵A?B,∴
?
1
?
?
a
≤1.
∴a≤-2.
综上所述,a的取值范围是{a|a=0,或a≥2,或a≤-2}.

①欲解不等式1时,不等号的 方向不同,因此需对a分a=0,a>0,a<0进行讨论.

②A?B用数轴表示如图所示:
1212
由图易知,
a

a
需在-1与1之间.当
a
=-1,或
a
=1时,说明
2< br>A与B的某一端点重合,并不是说其中的元素能够取到端点,如
a
=1
?
?
1
?
?
时,A=x
?
2
?< br>,x取不到1.
?
?
?
③a<0时,不等式两端除以a,不等号的方向改变.


方法归纳


(1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合.
(2)此类问题通常借助数轴,利用数 轴分析法,将各个集合在数
轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一
般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱” ,尤其是集合中含
有字母参数时,初学者会想当然认为非空集合而丢解,因此分类讨论
思想是必 需的.

跟踪训练3 设集合A={x|x
2
-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.
1
(1)若a=
5
,试判定集合A与B的关系;
(2)若B?A,求实数a的取值集合.
解析:(1)由x
2
-8x+15 =0得x=3或x=5,故A={3,5},当a


ruize
1

5
时,由ax-1=0得x=5.所以B={5},所以BA.
(2)当B=?时,满足B?A,此时a=0;当B≠?,a≠0时,集合
?
1
?< br>1111
??
B=
a
,由B?A得
a
=3或
a
=5,所以a=
3
或a=
5
.
??
11
??
综上所述,实数a的取值集合为
?
0,
3

5
?
,
??




(1)解方程x
2
-8x+15=0,
1
求出A,当a=
5
时,求出B,由此能判定集合A与B的关系.
(2)分以下两种情况讨论,求实数a的取值集合.
①B=?,此时a=0;
②B≠?,此时a≠0.


[基础巩固](25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知集合P={x|x
2
=1} ,Q={x|ax=1},若Q?P,则a的值
是( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.0,1或-1
解析:由题意,当Q为空集时,a=0;当Q不是空集时,由Q
?P,a=1或a=-1.
-=答案=-:D
2.已知集合M={y|y=x
2
-2x-1,x∈R} ,集合N={x|-
2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是( )
A.M>N B.MN
C.NM D.M?N
解析:因为y=(x-1)
2
-2≥-2,
所以M={y|y≥-2},所以NM.
-=答案=-:C


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3.已知集合A={1,2,3},B={3,x
2,
2},若A=B,则x的值是( )
A.1 B.-1
C.±1 D.0
解析:由A=B得x
2
=1,所以x=±1,故选C.
-=答案=-:C
4.已知集合A={-1,0,1},则含有元素0的A的子集的个数为
( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:根据题意,含有元素0的A的子集为{ 0},{0,1},{0,-
1},{-1,0,1},共4个.
-=答案=-:B
5.设A={x|2是( )
A.m>3 B.m≥3
C.m<3 D.m≤3
解析:因为A={x|2将集合A,B表示在数轴上,如图所示,所以m≥3.

-=答案=-:B
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知集合A={x|x-3>0},B={x|2 x-5≥0},则这两个集合的
关系是________.
?
?
5
?
?
解析:A={x|x-3>0}={x|x>3},B={x|2x-5≥0}=x
?
x≥
2
?
.
?
?
?

结合数轴知AB.
-=答案=-:AB
7.设集合A={1,3,a},B={1 ,a
2
-a+1},且B?A,则a的
值为________.
解析:∵A={1,3,a},B={1,a
2
-a+1},且B?A,
∴ a
2
-a+1∈A,∴a
2
-a+1=3或a
2
-a+1= a.
由a
2
-a+1=3,得a=2或a=-1;
由a
2
-a+1=a,得a=1.
经检验,a=1时集合A,B不满足集合中元素的互异性,舍去.


ruize
故a=-1或a=2.
-=答案=-:-1或2
8.已知A={x|-3a},A?B,则实数a的取值
范围是________.
解析:在数轴上画出集合A.
又因为A?B,所以a<-3,
当a=-3时也满足题意,
所以a≤-3.
-=答案=-:{a|a≤-3}
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知M={2,a,b},N={2a,2,b
2
},且M=N,试求a与b
的值.
解析:方法一 根据集合中元素的互异性,

?
a=2a,

?
?
b=b
2

1
?
?
a=
4

?
1
?
?
b=
2
.

?
a=b
2


?
?
b=2a,

?
a=0
解得
?
?
b=1

?
a=0,

?
?
b=0,




1
?
a=
?
4


?
1
?
b=
?
2
.
?
a=0,
再根据集合 中元素的互异性,得
?
?
b=1,
?
a+b=2a+b
2< br>,

?
b=2a·b
2

?




方法二 ∵两个集合相同,则其中的对应元素相同.




?
a+b?b-1?=0,

?
?
ab?2b-1?=0.


∵集合中的元素互异,


ruize
∴a,b不能同时为零.
1
当b≠0时,由②得a=0或b=
2
.
当a=0时,由①得b=1或b=0(舍去).
11
当b=
2
时,由①得a=
4
.
当b=0时,a=0(舍去).
1
?
a=
?
4


?
1
?
b=
?
2
.
?
a=0,

?
?
b=1,



10.已 知A={x|x
2
-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且B?A,求
由实 数a的值组成的集合C.
解析:由x
2
-3x+2=0,得x=1或x=2.
所以A={1,2}.
因为B?A,
所以对B分类讨论如下:①若B=?,即方程ax-2=0无解,此
时a=0;
②若B≠?,则B={1}或B={2}.
当B={1}时,有a-2=0,即a=2;
当B={2}时,有2a-2=0,即a=1.
综上可知,符合题意的实数a所组成的集合C={0,1,2}.

[能力提升](20分钟,40分)
11.世界羽毛球锦标赛于2018年7月30日至8月 5日在中国南
京举行,若集合A={参加羽毛球锦标赛的运动员},集合B={参加羽
毛球锦标 赛的男运动员},集合C={参加羽毛球锦标赛的女运动员},
则下列关系正确的是( )
A.A?B B.B?C
C.C?A D.BA
解析:易知集合B,C是集合A的子集,且是真子集,而B,C


ruize
之间没有关系,因此只有D选项正确,
-=答案=-:D
12.已知集合A={1,3,5},则集合A的所有子集的元素之和为
________.
解析:集合A的子集分别是:?,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},
{3, 5},{1,3,5}.注意到A中的每个元素出现在A的4个子集,即在
其和中出现4次.故所求之和 为(1+3+5)×4=36.
-=答案=-:36
13.已知集合A={1,3,x2
},B={x+2,1}.是否存在实数x,使
得B?A?若存在,求出集合A,B;若 不存在,说明理由.
解析:假设存在实数x,使B?A,
则x+2=3或x+2=x
2
.
(1)当x+2=3时,x=1,此时A= {1,3,1},不满足集合元素的互
异性.故x≠1.
(2)当x+2=x
2时,即x
2
-x-2=0,故x=-1或x=2.
①当x=-1时,A={1,3,1},与集合元素的互异性矛盾,故x≠
-1.
②当x=2时,A={1,3,4},B={4,1},显然有B?A.
综上所述,存在x=2,使A={1,3,4},B={4,1}满足B?A.
14.已知集 合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1?A.求实数m的取值范围.
解析:∵B?A,
(1)当B=?时,m+1≤2m-1,
解得m≥2.
(2)当B≠?时,
-3≤2m-1,
?
?

?
m+1≤4,
?
?
2m-1解得-1≤m<2.
综上得m≥-1.


ruize
即实数m的取值范围为{m|m≥-1}.

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