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高中数学-集合与集合的表示方法同步练习

作者:高考题库网
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2020-09-16 15:18
tags:高中数学集合

2012云南高中数学会考试卷-2002年高中数学竞赛


高中数学-集合与集合的表示方法同步练习
同步测控
我夯基,我达标
1.下列各项中,不能组成集合的是( )
A.所有正三角形
B.《数学(人教B版)》(必修1)中的所有习题
C.所有数学难题
D.2008北京奥运会的所有比赛项目
解析:A、B、D均满足集合元素的确定性,C中的“难”无法确定难的界限.
答案:C < br>2.给出下列关系:①
2
∈R;②
5
?
Q;③4.5∈Q;④ 0∈N.其中正确命题的个数为( )
*
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:无限不循环小数均为无理数.有理数和无理数统称为实数,所以①②③正确.正整数集
*
N是指除了0以外的所有自然数组成的集合,所以④错.
答案:C
3.已知集合S={a,b,c}中三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析:判断三角形的形状,要考虑三角形的边和角满足的关系.一般先判断是否为等边 、等腰、
直角,再考虑钝角或锐角三角形.解决本题的关键是集合中元素互异性的应用,即a、b、c互
不相等.
答案:D
4.下列四个集合中,表示空集的是( )
22
A.{0} B.{(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R}
C.{x||x|=5,x∈Z,x
?
N} D.{x|2x+3x-2=0,x∈N}
2
解析:空集是不含任何元素的集合.B中元素是 (0,0),C中元素是-5,D中方程的解-2,
1
都不
2
属于N,所以D 为空集.
答案:D
22
5.a,a,b,b,a,b构成集合M,则M中元素的个数最多有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
22
解析:由集合元素的互异性,知 集合中的元素最多为a,b,a,b,且4个元素互不相等.
答案:C
*
6.集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
*
解析:本题的集合表示方法是特征性质描述法,选项为列举法,关键要掌握N表示的是正整数
集.
答案:B
2
7.在数集{2x,x-x}中,实数x的取值范围是_______.
2
解析:本题主要考查集合元素的互异性.实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x- x,
解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x≠0且x≠3}.
答案:{x|x≠0且x≠3}
1


8.在条件(1)x∈N;( 2)x∈Q;(3)x∈R下,分别写出方程x(x+1)·(x
?
的解集.
分析:本题只需先判断出方程在实数范围内的根便可迎刃而解.
解:在实数范围内,方程x(x+1)·(x
?
(1)当x∈N时,解集为{0};
1
22
)·(x-2)·(x+2)=0
2
11
22
)·(x-2)·(x+2)=0的根为0,-1,,±
2
.
22
1
};
2
1
(3)当x∈R时,解集为{0,-1, ,
2
,
?2
}.
2
6
9.(1)已知集合M={x∈N|∈Z},求M;
1?x
6
(2)已知集合C={∈Z|x∈N},求C.
1?x
6 6
分析:集合M中的元素是自然数x,满足条件是是整数;集合C中的元素是,满足条
1?x1 ?x
(2)当x∈Q时,解集为{0,-1,
件的x是自然数.
解:(1)∵
6
∈Z,∴1+x=±1,±2,±3,±6.
1?x
6
=6,3,2,1.
1?x
又∵x∈N,∴x=0,1,2,5.∴M={0,1,2,5}.
(2)结合(1),知
∴C={6,3,2,1}.
22
10.设集合A= {a|a=n+1,n∈N},集合B={b|b=m-2m+2,m∈N},若a∈A,试判断a与集合B的关
系.
分析:注意应用等价转化的方法,达到形式统一.
222
解:∵a∈ A,∴a=n+1=n-2n+2n+1=(n+2n+1)-2(n+1)+2
2
=(n+1)-2(n+1)+2.
∵n∈N,∴n+1∈N.
因此a∈B.
我综合,我发展
11.集合A={1,-3,5,-7,9,-11,…}用描述法表示正确的是( )
nnn
①{x|x=2±1,n∈N} ②{x|x=(-1)(2n-1),n∈N} ③{x|x=(-1)(2n+1),n∈N}
n+1
④{x|x=(-1)(2n-1),n∈N}
A.只有④ B.①④ C.②④ D.③④
解析:取n=0,1,2验证各选项,可知①②不符,③④正确.
答案:D
12. 设P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义P※Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P※Q中 元素的个数为
( )
A.3 B.4 C.7 D.12
解析:集合P※Q的元素是点集,P中的元 素构成a,Q中元素构成b,所以所求集合中的元素有
(3,4),(3,5),(3,6),(3,7 ),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,5),(5,6),(5,7).
答案:D
2


13.含有三个实数的某集合可表示为{a,
20072008
b
2
,1},也可表示为{a,a+b,0},则
aa+b=_________.
解析:根据两个相同集合元素所满足的相等关系,进行分类讨论, 注意检验所得集合中元素应
满足互异性.
?
b
?
b
??0,
?
?0,
由题意,知a≠0,所以①
?
a
或②< br>?
a

?
a
2
?1
?
?
a ?b?1.
?
由①得
?
?
b?0,

?
a ??1.
?
b?0,

?
不符合集合元素的互异性,
a?1
?
由②亦有
?
?
b?0,
舍去.
?
a?1
?
b?0,
故有
?

a?-1.
?
∴a+b=-1.
答案:-1
14.给出的下列5种说法中正确说法的序号是___________(填上所有正确说法的序号).
①任意一个集合的正确表示方法都是唯一的
②集合{0,-1,2,-2}与集合{-2,-1,0,2}是同一个集合
③若集合P是满足不等式0≤2x≤1的x的集合,则这一个集合是无限集
④已知a∈R,则a
?
Q
⑤集合{x|x=2k-1,x∈Z}与集合{y|y=2s+1,s∈Z}表示的是同一个集合 解析:本题涉及集合的概念、集合的分类、集合的表示方法和元素与集合的关系等一系列问
题,应注 意对照所学的相应概念对各种说法进行逐一判定.
由于集合{1}可以表示为{x|x-1=0},所 以①是错误的;当a为实数时,依然有可能是有理数,
所以④错误;从无限集、集合的无序性来分析,可 知②③是正确的;而⑤中的两个集合,它们都
表示全体奇数组成的集合.
答案:②③⑤ 2
15已知集合A={x|ax-2x-1=0,x∈R},若集合A中至多有一个元素,求实数a 的取值范围.
分析:本题主要考查元素与集合之间的关系,以及集合的表示法.由描述法可知集合A是 关于
2
x的方程ax-2x-1=0的实数解集,首先考虑方程是不是一元二次方程.
解:当a=0时,方程只有一个根
?
2
20072008
1
,则a =0符合题意;
2
当a≠0时,则关于x的方程ax-2x-1=0是一元二次方程,由于集 合A中至多有一个元素,则
2
一元二次方程ax-2x-1=0有两个相等的实数根或没有实数 根,所以Δ=4+4a≤0,解得a≤-1.
综上所得,实数a的取值范围是{a|a=0或a≤-1}.
16.用描述法表示下列集合:
3


(1)所有能被3整除的数组成的集合;
(2)使y=
2?x
有意义的实数x的集合;
x
(3)如图1-1-1中阴影部分的点(含边界上的点)的集合M.

图1-1-1
分析:符号语言、文字语言、自然语言之间的转化是特征性质描述法的难点,研 究问题时注意
观察元素的性质,掌握好其相应的特征性质是解题的关键.(1)(2)的元素是数,(3 )的元素是
点,一般用坐标来表示,另外,要注意观察图象特点,准确地确定不等式.
解:(1){x|x=3n,n∈Z};
(2){x|x≤2且x≠0,x∈R};
(3){(x,y)|-2≤x≤
我创新,我超越
17.集合A={x∈R|x=a +
2
b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x和集合A间的关系:
(1)x=0;
(2)x=
53
,-1≤y≤且xy≥0}.
22
1
2?1
;
(3)x=
1
3?2
;
(4)x=x
1
+x
2
(其中x
1
∈A,x
2
∈A);
(5)x=x
1
x
2
(其中x
1< br>∈A,x
2
∈A).
分析:先把x写成a+
2
b的形式,再 观察a、b是否为整数,便可判定x是否为A中的元素.
解:(1)中,∵x=0+0×2,∴x∈A.
(2)中,∵x=
∴x∈A.
(3)中,∵x=
∴x
?
A.
(4)中,∵x
1
∈A,x
2
∈A,可设x
1
=a
1
+b
1
2
,x
2
=a
2
+b
2
2
(a
1
、b
1
、a
2
、b
2
均为整数),则x=x
1
+x
2
=
1
2?1
=
2
+1=1+1×
2
,
1< br>3?2
=
3
+
2
,而
2
?
Z,
4


(a
1
+a
2
)+(b
1< br>+b
2
)
2
,而a
1
+a
2
∈Z, b
1
+b
2
∈Z,∴x∈A.
(5)同(4)所设,则x=x1
x
2
=(a
1
+b
1
2)(a
2< br>+b
2
2)=(a
1
a
2
+2b
1
b
2
)+(a
1
b
2
+a
2
b
1
)2,而a
1
a
2
+2b
1
b
2
∈Z,
a
1
b
2
+a
2
b
1
∈ Z,∴x∈A.
18.一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他请教数学家 :“尊敬的
先生,请你告诉我,集合是什么?”集合是不定义的概念,数学家很难回答这位渔民.
有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下鱼网,轻轻一拉,许多鱼虾在网中跳动.
数学家非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集合.”
你能理解数学家的话吗?你能有类似的现实生活中的感悟吗?
分析:通过实例了解集合含义, 在了解集合含义时,要考虑集合中元素的三个性质,即确定性
(给定的集合,它的元素必须是确定的)、 互异性(一个给定集合中的元素是互不相同的)、无
序性(集合中的元素无先后顺序之分).
解:由“许多鱼虾在网中跳动”,数学家高兴地说这就是集合,他生动地把鱼虾组成的总体称
之为“集合 ”;“许多鱼虾在网中跳动”又恰好把每一条跳动的对象——鱼(虾)看为元
素;“许多鱼虾在网中跳动 ”同时更重要的是符合了集合的三大特性:“许多鱼虾在网中跳
动”明确了确定性——“在网中”;“许 多鱼虾”但不可能有两条相同的“鱼(虾)”,满足
了互异性;“跳动”恰说明了它们没有固定的顺序之 分,吻合了“无序性”.数学家非常激动,
因为他为集合的定义做了一个最生动的解释.
数学来源于生活又实践于生活,从现实生活中感悟,试举一例如下:
看万山红遍,层林尽染, 漫江碧透,百舸争流……这是《沁园春·长沙》里的一段秋景描写,
当沉浸在这种景色中时,气势宏大的 景象是“山”“林”“江”“舸”等,“同一类对象汇
集在一起”造就了“万山”“层林”“漫江”“百 舸”的景观,在数学中我们把它们均称作
集合.
5

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