高一数学集合经典题型归纳总结

高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值 的时候必须代回集合
察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。
元素与集合之间的关系：属于-- 不属于--
常有集合 N Z R Q 加星号或者+号表示对应集合
的正的集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,
印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内
表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合
之间的关系的时候，我 们常常考虑用venn图来表示。
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合，空集在集合这个章节中非常重
要，特别是在集合之间的关系的题中经常出现，很容 易考
2
虑掉空集。例：{x|x=－5｝

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分， ；（2）A与B是同
一集合。
?
B或反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
?
A B
?
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
2
实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记
作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为
Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

? 有n个元素的集合，含有2
个子集，2个真子集，非空真子集个数2
三、集合的运算
运算交 集
类型
定
由所有属于A且属
义
于B的元素所组成
的集合,叫做A,B的
交集．记作A
?
B（读
作‘ A交B’），即
A
?
B=｛x|x
?
A，且
x
?< br>B｝．
韦
恩
图
示
nn-1n-1

并 集
由所有属于集合A或
属于集合B的元素所
组成的集合，叫做A, B
的并集．记作：A
?
B
（读作‘A并B’），即
A
?B ={x|x
?
A，或
x
?
B})．
补 集
设S是一个集合，A是
S的一个子集，由S中
所有不属于A的元素组
成的集合 ，叫做S中子
集A的补集（或余集）
记作
C
S
A
，即
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

S

(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ．
A
B
A
B
A

图1

图2
A
?
A=A
性
A
?
Φ=Φ

A
?
B=B
?
A

A
?
B
?
A

质
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
Ａ
A
?
B
?
B

例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若 集合M={y|y=x-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
2
4.设集合A=
x1?x?2
，B=
xx?a
，若A
?
B，则
a
的取值范围是
?
?
?
?
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化
学 实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合
M= .
7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若
B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

2222

第一节集合
一 元素互异性的考察
1由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．



2集合{3，x，x
2
－2x}中，x应满足的条件是______．


3、已知集合S=
?
a,b,c
?
中的三个元 素分别是
?ABC
的三边长，那么
?ABC
一定不
是（ ）
A. 锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

4由实数x,-x,|x|,
x
2
,-
3< br>x
3
所组成的集合，最多含有元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5、设a、b、c为非零实数，则x=
a
b
c
abc
???
的所有值组成的集合为（ ）
abcabc
A.
?
4
?
B.
?
?4
?
C.
?
0
?
D.
?
0,4,?4
?


二元素与集合之间的关系的考察
1对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______


2．设A表示集合{2，3，a
2
＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2 }，若已知5∈A，且5
?
B，求实
数a的值．





3设
a
、
b
∈Z，E＝{(
x
,
y
)|(
x
－
a
)
2
＋3
b
≤6
y
}，点(2，1)∈E，但(1，0)
?
E，(3，
2)
?
E。求
a
、
b
的值。

4给出下列关系：
（１）
1
?R;

2
（２）
2?Q;






（３）
?3?N
?
;

（４）
?3?Q.

其中正确的个数为
Ａ．１个 Ｂ．２个
（ ）
Ｃ．３个 Ｄ．４个
5若

，求实数的值。

三一元二次方程与集合
1已知集合A＝{x｜ax
2
－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R
①若A是空集，求a的范围；
②若A中只有一个元素，求a的值；
③若A中至多只有一个元素，求a的范围．






2已知集合A＝{p｜x
2
＋2(p－1)x＋1＝0，x∈R}，求集合 B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}．


3若方程x
2
＋mx＋ n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则m＝______，n＝______．

4、集合
?
x|x
2
?2x?m?0
?
含有两个元素，则 实数m满足的条件为＿＿



5若集合A＝{x｜x
2
＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______．
6设一元 二次方程ax
2
+bx+c=0(a<0)的根的判别式
??b
2
? 4ac?0
，则不等式
ax
2
+bx+c
?
0的解集为（ ）
A、R B、
?

C、{
xx??
b
?b
} D、{}
2a
2a
7、若方程8x
2
+(k+1)x+k-7=0 有两个负根，则k的取值范围是
8、已知方程x
2
-(k
2
-9)+k
2
-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k的取
值范围。



9已知集合A=
x?Rax
2
?3x?2?0,a?R.

1）若A是空集，求a的取值范围；
2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围
??

10若集合

只有一个元素，则实数的值为
11M={x|x
2
＋2x－a=0，x∈R}≠φ，则实数a的取值范围是 ……………………………………
（ ）
(A)a≤－1 (B) a≤1 (C) a≥－1 (D) a≥1.

12已知集合A={x|x
2
－px＋15=0}，B={x|x
2
－5x＋q=0}，如果A∩B={3}，那么p＋q= .


四提示元素的考察，我们看集合的时候注意提示元素，提示元素决定了集合的元素
1用列举法把下列集合表示出来：
①A=
{x?N|
②B=
{
9
?N};

9?x
9
?N|x?N};

9?x
③C＝{y｜y＝－x
2
＋6，x∈N，y∈N}；
④D＝{(x，y)｜y＝－x
2
＋6，x∈N，y∈N}；
⑤E＝
{x|

p
?x,p?q?5,p?N,q?N*}?

q

?
6
?
?Z|x?Z
?
2 A =
?
?
x,y
?
|x?y?4,x?N
*
,y?N
*
?
;B=
?
?
1?x
?

6
??
?N
?
3设集合B=
?
x?N|
2?x
??
（1）试判断实数1、实数2与集合B的关系；
（2）用列举法表示集合B。




2、方程组
﹛
x?y?1
x?y?3
的解集是（ ）
A.
?
x?2,y??1
?
B.
?
2,?1
?
C.
??
2,?1
??
D.
?
?1,2
?




3方程组﹛
x?y?1?0
2x?y?2?0
1,0
?
; ②
?
x?1或y?0
?
; ③
??
1,0
??
的解集是①
?
④
?
?
x，y
?
|x?1且y?0
?
.其中正确表示的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④




4方程x
2
-5x+6=0的解集可表示为
?
2x?3y?13
方程组
?
的解集可表示为

3x?2y?0
?
6
??
5已知全集
M?
?
a|?N且a?Z
?
,则M=( )
?
5?a
?
A、{2，3} B、{1，2，3，4} C、{1，2，3，6} D、{-1，2，3，4}




五对应下列的类型题最好取对应的一系列的值
1．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝ {x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，

则( )
A
．
x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋y
?
M
2集合A={xx?2k,k?Z} B={xx?2k?1,k?Z} C={xx?4k?1,k?Z}
又
a?A,b?B,
则有（ ）
A、（a+b）
?
A B、 (a+b)
?
B C、(a+b)
?
C D、 (a+b)
?
A、B、
C任一个
一、子集、真子集、非空真子集个数的考察
1集合{1，2，3}的真子集共有（ ）
A、5个 B、6个 C、7个 D、8个
2集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是

?
3满足条件{1,2,3}
?
?
M
?
{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是 （ ）
A、8 B、7 C、6 D、5
4若｛1，2，3｝A
?
｛1，2，3，4｝，则A＝______


二、集合与集合的关系，特殊的条件：
1设集合A={
x?3?x?2< br>},B={x
2k?1?x?2k?1
},且A
?
B，则实数k的取值 范
围是
。
2已知集合
M,P
满足
M?P?M
，则一定有（ ）
A、
M?P
B、
M?P
C、
M?P?M
D 、
M?P

3已知A＝｛x｜x＜3
}
，B＝｛x｜x＜a
}

(1)若B
?
A，则a的取值范围是______
(2)若AB，则a的取值范围是______
4设A＝｛x｜x
2
－8x ＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，若B
?
A，求实数a组成的
集合
5已知M={x | x-2x-3=0},N={x | x+ax+1=0,a∈R},且N
?
M,求a 的取值范围、
6
集合< br>M?{xx
2
?2x?a?0,x?R}
，且
?
M
，则实数a的范围是（ ）
22
?

A、
a??1
B、
a?1

C、
a??1


7（本小题满分12
，且
D、
a?1

分）已知集合
，求实数的取值范围。
，
8已知集合A＝｛x∈R｜x
2
+2ax+2a
2
-4a+4＝0｝，若
?
9设
（A）
，
（B）
，若
A，则实数a的取值是
，则实数的取值范围是（ ）
（C） （D）

10集合A= {x|x≤1}，B={x|x＞a
}
，如果A∩B=
?
，那么a的取值范围 是 ……………………
（ ）
(A)a＞1 (B) a≥1 (C) a＜1 (D) a≤1


三、空集
1下列四个命题：
（１）空集没有了集；
（２）空集是任何一个集合的真子集；
（３）空集的元素个数为零；
（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确的有 （ ）
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
2
下列八个关系式①{0}=
?
②
?
=0 ③
?
{
?
} ④
?
?
{
?
} ⑤{0}
?
?
⑥0
?
?

⑦
?
?
{0} ⑧
?
?
{
?
}其中正确的个数（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
3给出下列关系：
（１）｛０｝是空集；
（２）
若a?N,则?a?N;

（３）集合
A?x?Rx?2x?1?0

（４）集合
B?
?
x?Q
?
2
?



?
?
6?
?N
?

x
?
（ ）
Ｃ．３个 Ｄ．０个
其中正确的个数为
Ａ．１个 Ｂ．２个

4若集合
A?
?
x|x2
?0
?
，则下列结论中正确的是（ ）
A、A=0 B、
0?A
C、
A??
D、
??A

5下列表示①


②③ ④中,正确的个数为( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第三节 集合的运算
交集
并集
补集
方法:1集合中为不等式的时候，学会用数标轴求解
2 Venn图
一利用数标轴求解集合运算
1设全集U=R，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C
U
M）∪（C
U
N）为（ ）
A、{x|x.≥0} B、{x|x<1 或x≥5}
C、{x|x≤1或x≥5} D、{x| x〈0或x≥5 }
2若集合
M?{y|y?2
?x
},P?{y|y?x?1}
，则
M?P等于_____
A、
{y|y?1}
B、
{y|y?1}
C、
{y|y?0}
D、
{y|y?0}

2
?
?
x?1?0
3不等式 组
?
2
的解集是_____
?
?
x?3x?0
A、
{x|?1?x?1}
B、
{x|0?x?3}
C、
{x|0?x?1}
D、
{x|?1?x?3}

4
已知集合M={y|y= x
2
＋1，x∈R}，N={ x∈R|y= x＋1}，则M∩N=__________

?
x?1
?
?0
?
，5已知全集U={x|x
2< br>-3x+2≥0}，A={x||x-2|>1}，B=
?
x
求C
U< br>A，C
U
B，
?
x?2
?
A∩B，A∩（C
U
B），（C
U
A）∩B

6设全集合
，
7已知集合
（A）

，

，
（B）
，，求，，
，那么（ ）
（D）

（C）
8设集合
（A）
（C）
9
，
（B）
（D）
，则（ ）


集合A={y|y=x
2
+1}，B={y|y=x+1
}
，则 A∩B= ………………………………………………
（ ）
(A){(1,2),(0,1)} (B){0,1} (C){1,2} (D)
[1,??)


二利用Venn图求解
1集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个 元素，则集
合A∪B的元素个数为（ ）
A、10个 B、8个 C、18个 D、15个
2调查某班50名学生，音乐爱好者40名，体育爱好者24名，则两方面都爱好
的人数最少是 ，最多是

3已知全集U={ x | x＜6，x∈N
*
}，集合A，B
?
?
U，且A∩B={2}，
痧B?{4}，U
A?
U
B?{1，5}
，那么下列结论正确的是
U
A
（A）3∈A，3∈B （B）3∈B，3
?
A （C）3
?
A ，3
?
B （D）3
∈A，3
?
B
4已知集合M、P，满足M∪P=M，则一定有
（A）M=P （B）M
?
?
P （C）M∩P=P （D）M
?
P

5已知全集U={1，2，3，4，5}，若A∪B= U，A∩B≠?，
A(?
U
B)?{1,2}
，试写出
满足条件的A 、B集合。
已知U=
?
1,8
?
,
?
C
U
A
?
?B?
?
2,6
?
,

1 ,2,3,4,5,6,7,8
?
,
A?
?
C
U
B
?
?
?
6
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
?
?
4,7
?
,
则集合A=
7若集合
（A）

、、，满足
（B）
，
（C）
，则与之间的关系为（ ）
（D）
8三个集合A、B、C满足A∩B=C，B∩C=A，那么有 …………………………………………（ ）
(A)A=B=C (B) A
?
B (C)A=C，A≠B (D) A=C
?
B


三题中定义的新的集合运算
1定义A－ B={x∣x∈A，且x
?
B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则< br>N－M=
（A）M （B）N （C）{1，4，5} （D）{6}
2定义A－B={x|x
?
A且x
?
B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，
则A－（A－B）等于（ ）
1,4,5
?
D 、
?
6
?
A、{2，3，6} B、
?
2,3
?
C 、
?
3
已知非空集合M，N，定义M－N={x|x∈M，x
?
N} ，那么M－（M－N）= ……………………（ ）
(A)M∪N (B) M∩N (C)M (D) N


四集合运算中的含参问题
1已知集合M＝{ x|－1＜x＜2}，N＝{ x| x≤a}，若M∩N≠?，那么实数a的取值范
围是
A{

x|x＜2} B{x|x＞－1} C{ x|－1≤x≤1} D{x|x≥－1}
2A＝{ x | a≤x≤a＋3}，B＝{ x | x＜－2或x≥4}，若A∩B＝A，则a的取值范围

为__________。 3关于实数x的不等式
x?
1
?
a?1
?
2
?
1
?
a?1
?
2
与x
2
-3(a+1)x +2(3a+1)≤0
22
(a∈R)的解集依次为A，B求使
A?B
成立的实数a的取值范围 < br>4已知全集U=R，集合A=
xx
2
?px?2?0,B?xx
2?5x?q?0,

若C
U
A?B?
?
2
?
，试用列举法表示集合A
????
5（本小题满分12分）已知集合
，

6已知集合
求实数的取值范围
，，若
，求实数的取值范围
，
，
7设全集，集合与集合
，且

，求，

8
、、已知集合A={x|－1≤x≤2}，B={x|x＜a
}
，如果A∩B=A ，那么a的取值范围是 .
9已知集合A={x|x≤2}，B={x| x＞a
}
，如果A∪B=R，那么a的取值范围是 .

10已知A={x|x
2
+px+q=0},B={x|x
2－3x+2=0}，且A∪B=B，求p、q的关系或p、q的值。


11已 知集合
M?{x||x?a|?1},N?{x|x
2
?(a?3)x?3a?0,a ?R},若M?N?R,
求
实数
a
的取值范围。
12已知集合A?{x|x
2
?(p?2)x?1?0,x?R},A?R
?
?
?
，求实数p的取值范围。
（04湖南，其中R
+
=（0，+?））


13集合A={x|x
2
－3x＋2=0}， B={x|x
2
－ax＋a－1=0} ，C={x|x
2
－mx＋2=0}，
若A∪B=A，A∩C=C，求实数a、m之值.

五其他
1集合P=
?
?
x,y
?
x?y?0
?
，Q=
?
?
x,y
?
x?y?2
?
，则A∩B=
1,x
2
?
，且
A?B?
?
1,4,x
?
，
B?
?
1,4,x
?
，则满足条件的实数
x的个数2设集合
A?
?
是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3
集合A={3－2x，1，3}，B={1，x2}，并且A∪B=A，那么满足 条件的实数x个数
有 ………（ ）
(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4