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高中数学:第1章 集合1.2.2 第2课时

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 15:19
tags:高中数学集合

高中数学二项式定理课本-武汉高中数学那几本书


第2课时 补集及综合应用
学习目标
1.理解全集、补集的概念.2.准确 翻译和使用
补集符号和Venn图.3.会求补集,并能解决一些集合综合运算的问题.



知识点一 全集
1.定义:在研究集合与集合之间的关系时,如果 所要研究的集合都是某一给定集合的子集,
那么称这个给定的集合为全集.
2.记法:全集通常记作U.
知识点二 补集
思考 实数集中,除掉大于1的数,剩下哪些数?
答案 剩下不大于1的数,用集合表示为{x∈R|x≤1}.
梳理 1.补集定义
文字语言
符号语言
如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的
集 合,叫做A在U中的补集,记作?
U
A
?
U
A={x|x∈U,且x?A}
图形语言


2.运算性质
A∪?
U
A=U;
A∩?
U
A=?;
?
U
(?
U
A)=A.

1.根据研究问题的不同,可以指定不同的全集.( √ )
2.存在x
0
∈U,x
0
?A,且x
0
??
U
A.( × )
3.设全集U=R,A=
?
?
1
?
x
?
?
x
>1

?
?
?
,则?
?
1
< br>?
U
A=
?
?
x
?
?
x
≤ 1
?
?
.( × )
4.设全集U=
{
?x,y?|x∈ R,y∈R
}
,A=
{
?x,y?|x>0且y>0
}

则?
U
A=
{
?x,y?|x≤0且y≤0
}
.( × )


类型一 求补集
例1 (1)若全集U={x∈R|-2≤x ≤2},A={x∈R|-2≤x≤0},则?
U
A等于( )


A.{x∈R|0C.{x∈R|0答案 C
解析 ∵U={x∈R|-2≤x≤2},
A={x∈R|-2≤x≤0},
∴?
U
A={x∈R|0B.{x∈R|0≤x<2}
D.{x∈R|0≤x≤2}
(2)设U={x|x 是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求?
U
A,?
U
B.
解 根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},
所以?< br>U
A={4,5,6,7,8},?
U
B={1,2,7,8}.
( 3)设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B,
?
U
(A∪B).
解 根据三角形的分类可知,A∩B=?,A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},
?
U
(A∪B)={x|x是直角三角形}.
反思与感悟 求集合的补集, 需关注两处:一是认准全集的范围;二是利用数形结合求其补
集,常借助Venn图、数轴、坐标系来求 解.
跟踪训练1 (1)设集合U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则?
U
A=________.
答案 {3,4,5}
(2)已知集合U=R,A={x |x
2
-x-2≥0},则?
U
A=________.
答案 {x|-1<x<2}
(3)已知全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},集合A={(x,y) |xy>0},则?
U
A=________.
答案 {(x,y)|xy≤0}
类型二 补集性质的应用
命题角度1 补集性质在集合运算中的应用
例2 已知A ={0,2,4,6},?
U
A={-1,-3,1,3},?
U
B={-1 ,0,2},用列举法写出集合B.
解 ∵A={0,2,4,6},?
U
A={-1,-3,1,3},
∴U={-3,-1,0,1,2,3,4,6}.
而?
U
B={-1,0,2},
∴B=?
U
(?
U
B)={-3,1,3,4,6}.
反思与感悟 从Venn图的角度讲,A与?
U
A就是圈内和圈外的问题,由于(?< br>U
A)∩A=?,
(?
U
A)∪A=U,所以可以借助圈内推知圈外,也可以反推.
跟踪训练2 如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义A*B表示阴影部分的集合.若
A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},则A*B=________________.



答案 {x|0≤x≤1或x>2}
解析 A∩B={x|1由图可得A*B=?
(A

B)
(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2}.
命题角度2 补集思想的应用
例3 关于x的方程:x
2
+ax+1=0,①
x
2
+2x-a=0,②
x
2
+2ax+2=0,③
若三个方程至少有一个有解,求实数a的取值范围.
解 假设三个方程均无实根,则有 Δ
1
=a
2
-4<0,
?
?
?
Δ2
=4+4a<0,
?
?
Δ
3
=4a
2
-8<0,
?
-2?

?
a<-1,
?
?
-2



解得-2∴当a≤-2或a≥-1时,三个方程至少有一个方程有实根,
即a的取值范围为{a|a≤-2或a≥-1}.
反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤(1)把已知的条件否定,考虑反面问题.
(2)求解反面问题对应的参数的取值范围.
(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集.
跟踪训练3 若集合A={x|ax
2
+3x+2=0}中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
解 假设集合A中含有2个元素,


即ax
2
+3x+2=0有两个不相等的实数根,
?
a≠0,
?
9

?
解得a<,且a≠0,
8
?
?
Δ=9-8a>0,

即当集合A中含有2个元素时,
??
9
a<
且a≠0
?
. 实数a的取值范围是
?
a
?
?
?
8
?
????
99
a<
且a≠0
?
的补集是
?
a
?
a≥
或a=0
?
, 在全集U=R中,集合
?
a
?
8
?
?
8
??
?
?
??
9
a≥
或a=0
?
. 所以满足题意的实数a的取值范围是
?
a
?
?
8< br>??



类型三 集合的综合运算
例4 (1)已知集 合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且?
U
(A∪B)={4},B={1,2 },则A∩(?
U
B)等于( )
B.{4}
D.?
A.{3}
C.{3,4}
答案 A
解析 ∵?
U
(A∪B)={4},
∴A∪B={1,2,3},
又∵B={1,2},∴?
U
B={3,4},
{3}?B?{1,2,3},∴A∩(?
U
B)={3}.
(2)已知集 合A={x|x≤a},B={x|1≤x≤2},且A∪(?
R
B)=R,则实数a的取值范 围是________.
答案 {a|a≥2}
解析 ∵?
R
B={x|x<1或x>2}且A∪(?
R
B)=R,
∴{x|1≤x≤2}?A,∴a≥2.
反思与感悟 解决集合的混合运算时,一般先计算括 号内的部分,再计算其他部分.有限集
混合运算可借助Venn图,与不等式有关的可借助数轴.
跟踪训练4 (1)已知集合U={x∈N|1≤x≤9},A∩B={2,6},(?
UA)∩(?
U
B)={1,3,7},A∩(?
U
B)={4,9},则 B等于( )
B.{2,5,6,8}
D.{2,4,5,6,8,9}
A.{1,2,3,6,7}
C.{2,4,6,9}
答案 B
解析 根据题意可以求得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},画出Venn图(如图所示) ,可得B={2,5,6,8},
故选B.



(2)已知集合U={ x|x≤4},集合A={x|-2U
A)∪B,A∩(?
U
B).
解 如图所示.

∵A={x|-2∴?
U
A={x|x≤-2或3≤x≤4},
?
U
B={x|x<-3或2A∩B={x|-2∴(?
U
A)∪B={x|x≤2或3≤x≤4},
A∩(?
U
B)={x|2



1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?
U
M等于( )
A.U B.{1,3,5}
C.{3,5,6} D.{2,4,6}
答案 C
2.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则 ?
U
(A∪B)等于(
A.{1,3,4} B.{3,4}
C.{3} D.{4}
答案 D
3.设集合S={x|x>-2},T={ x|-4≤x≤1},则(?
R
S)∪T等于( )
A.{x|-2C.{x|x≤1} D.{x|x≥1}
答案 C
4.设全集U=R,则下列集合运算结果为R的是( )
A.Z∪?
U
N B.N∩?
U
N
C.?
U
(?
U
?) D.?
U
Q
答案 A
5.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5}, M∩(?
U
N)={2,4},则N等于( )
A.{1,2,3} B.{1,3,5}
C.{1,4,5} D.{2,3,4}
答案 B
)



1.全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象,含有 任何元素的集合,它是对于研究问题而言的一个相对概念,它
仅含有所研究问题中涉及的所有元素,如研 究整数,Z就是全集,研究方程的实数解,R就
是全集.因此,全集因研究的问题而异.
(2 )补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全
集的不同,得到 的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念.
(3)?
U
A的 数学意义包括两个方面:首先必须具备A?U;其次是定义?
U
A={x|x∈U,且x?A} ,
补集是集合间的运算关系.
2.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集 思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,
可先求?
U
A,再由?
U
(?
U
A)=A求A.
课时对点练
一、选择题
1.已 知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(?
U
A )∪B为( )
A.{1,2,4}
C.{0,2,4}
答案 C
解析 因为?
U
A={0,4},所以(?
U
A)∪B={0,2,4}.
2.已知全集U=R,集合M={x|x
2
-4≤0},则?
U
M等于( )
A.{x|-2C.{x|x<-2或x>2}
B.{x|-2≤x≤2}
D.{x|x≤-2或x≥2}
B.{2,3,4}
D.{0,2,3,4}


答案 C
解析 ∵M={x|-2≤x≤2},
∴?
U
M={x|x<-2或x>2}.
3.已知全集U={1,2,a
2
-2a+3},A={1,a},?
U
A= {3},则实数a等于( )
A.0或2
C.1或2
答案 D
?
a=2,
?
解析 由题意,知
?
2
则a=2.
?
a
-2a+3=3,
?
B.0
D.2

4.图中的阴影部分表示的集合是( )

A.A∩(?
U
B)
C.?
U
(A∩B)
答案 B
解析 阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集.
因此,阴影部分所表示的集合为B∩(?
U
A).
5.已知S=
{
x|x是平行四边形或梯形
}
,A=
{
x|x是平行四边形
}
,B=
{
x|x是菱形
}
,C=
B.B∩(?
U
A)
D.?
U
(A∪B)
{
x|x是矩形
}
.下列式子不成立的是(
A.B∩C=
{
x|x是正方形
}

)
B.?
A
B=
{
x|x是邻边不相等的平行四边形
}

C.?
S
A=
{
x|x是梯形
}

D.A=B∪C
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算


答案 D
解析 平行四边形有邻边不相等也不垂直的,D错误.
6 .设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x
2
≥5},则?
U
A等于( )
A.? B.{2} C.{5} D.{2,5}
答案 B
解析 因为A={x∈N|x≤-5或x≥5},
所以?
U
A={x∈N|2≤x<5},故?
U
A={2}.
二、填空题
7.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U
(A∪B)=______,(?
U
A)∩(?
U
B)=________.
答案 {x|0解析 A∪B= {x|x≤0或x≥1},?
U
(A∪B)={x|0U
A= {x|x>0},?
U
B={x|x<1},∴(?
U
A)∩(?
U
B)={x|08.设U=R,集合A={x|x
2
+3x+ 2=0},B={x|x
2
+(m+1)x+m=0},若(?
U
A)∩B= ?,则m
的值是_______________________________________ _________________________________.
答案 1或2
解析 A={-2,-1},由(?
U
A)∩B=?,得B?A,
∵方程x
2
+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)
2
-4m=(m-1)< br>2
≥0,∴B≠?.
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2 )=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能
同时成立,
∴B≠{-2}; ③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)= 2,由这两
式得m=2.
经检验知,m=1和m=2符合条件.
∴m=1或2.
9.设U=R,已知集合A={x|x>1},B={x|x>a},且(?
U
A)∪ B=R,则实数a的取值范围是
________.
答案 {a|a≤1}
解析 ?
U
A={x|x≤1},
∵(?
U
A)∪B=R,
∴{x|x>1}?B,
∴a≤1.


10.某班共30人,其中1 5人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不
喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓 球运动的有________人.
答案 12
解析 设两项运动都喜欢的人数为x,喜爱篮 球的记为集合A,喜爱乒乓球的记为集合B,画
出Venn图得到方程

15-x+x+10-x+8=30?x=3,
∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12.
三、解答题
11. 已知U=R,集合A={x|x
2
-x-2=0},B={x|mx+1=0},B∩(?U
A)=?,求实数m的值.
解 A={-1,2},B∩(?
U
A)=?等价于B?A.
当m=0时,B=??A;
?
1
?
当m≠0时,B=
?

m
?
.
??
111
∴-=-1或-=2,即m=1或m=-
.
mm2
1
综上,m的值为0,1,-
.
2
?
?< br>?
y-3
=1
12.设全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},集合M=< br>?
?x,y?
?
?
x-2
?
?

?
?
?
,P={(x,y)|y≠x+1},
?
?
求?
U
(M∪P).
解 集合M表示的是直线y=x+1上除去点(2,3)的所有点,集合P 表示的是不在直线y=x
+1上的所有点,显然M∪P表示的是平面内除去点(2,3)的所有点,
故?
U
(M∪P)={(2,3)}.
四、探究与拓展
13.如图,已知I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )



A.(?
I
A∩B)∩C
C.(A∩B)∩(?
I
C)
答案 D
解析 由题图可知阴 影部分中的元素属于A,不属于B,属于C,则阴影部分表示的集合是(A∩
?
I
B) ∩C.
14.设全集为R,A={x|3(1)求?
R
(A∪B)及(?
R
A)∩B;
(2)若C={x|a-4≤x≤a+4},且A∩C=A,求a的取值范围.
解 (1)∵A∪B={x|3∴?
R
(A∪B)={x|x≤3或x≥10}.
又∵?
R
A={x|x≤3或x≥7},
∴(?
R
A)∩B={x|7≤x<10}.
(2)∵A∩C=A,∴A?C.
??
?
a+4≥7,
?
a≥3,
?
∴即
?
解得3≤a≤7.
??
?
a- 4≤3,
?
a≤7,
B.(?
I
B∪A)∩C
D.(A∩?
I
B)∩C

∴a的取值范围为{a|3≤a≤7}.

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