高中数学：第一章 集合与函数的概念 1.2.1

1．2.1 集合之间的关系
学习目标
1.理解子集、真子集的 概念.2.理解集合相
等并能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的 方法．

知识点一 子集与真子集
思考1 如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
答案 所有的白马都是马，马不一定是白马．
思考2 我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？
答案 用真子集．
梳理 1.子集与真子集

定义 符号语言
图形语言
(Venn 图)
子集
如果集合A中的任意一个元素都是集合B
的元素，那么集合A叫做集合B的子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至
A?B(或B
?A)

真子集 少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集
合B的真子集
A?B或
(B?A)


2.子集的性质
(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有??A.
(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A.
(3)如果A?B，B?C，则A?C.
(4)如果A?B，B?C，则A?C.

知识点二 集合的相等
思考 “中国的直辖市”构成的集合记为A，由北京、上海、天津、重 庆四个城市构成的集

合记为B，请问集合A与集合B的元素有什么关系？你认为集合A与 集合B有什么关系？
答案 A中的元素与B中的元素完全相同，A与B相等．
梳理 集合的相等
定义 符号语言 图形语言(Venn 图)
如果集合A的每一个元素都是集合 B的元素，反过来，
集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集
合A等于集合B


知识点三 集合关系与其特征性质之间的关系
1．一般地，设A＝{x |p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，于是x具有性质p(x)
?x 具有性质q(x)，即p(x)?q(x)．
反之，如果p(x)?q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“?”是“推出”的意思．
2．如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命
题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“?”表示，于是，上述两个正确的互逆
命题 可表示为p(x)?q(x)，显然，如果p(x)?q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x)?q (x)．
A＝B

类型一 集合间关系的判断
命题角度1 概念间的包含关系
例1 设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形 }，则这些集合之
间的关系为( )
A．P?N?M?Q
B．Q?M?N?P

C．P?M?N?Q
D．Q?N?M?P
答案 B
解析 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
反思与感悟 一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定
义．
跟踪训练1 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R
表示，用符号表示N、Z 、Q、R的关系为________．
答案 N
＋
?Z?Q?R

命题角度2 数集间的包含关系
例2 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )
A．A∈B
C．A?B
答案 C
解析 ∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.
∴A?B.
反思与感悟 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元 素的特征，再利用集合元素的特
征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
跟踪训练2 已知集合A＝{x|－1A．A∈B
C．B?A
答案 B
解析 由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2?A，故有A?B.
B．A?B
D．B?A
B．B∈A
D．B?A

类型二 求集合的子集
例3 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
解 (1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c} ，{b，d}，{c，d}，{a，
b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{ a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2
n
个子集， 2
n
－1个真子集．如?，有一个子集，0
个真子集．
反思与感悟 为了罗 列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：
先是一位数，然后是两位数， 在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练3 适合条件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A．15
C．31
答案 A
解析 这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}， {1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，
{1 ,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4 ,5}共15个．
类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围)
例4 已知集合A＝{x|x
2
－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值．
解 A＝{x|x
2
－x＝0}＝{0,1}．
当a＝0时，B＝??A，符合题意；
1
当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝{}，
a
11
∵≠0，要使A?B，只有＝1，即a＝1.
aa
综上，a＝0或a＝1.
B．16
D．32

反思与感悟 集合A的子集可分三类：?、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略?.
跟踪训练4 已知集合A＝{x|1围．
解 当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝??A，符合题意；
?
a<1，
当a<1时，要使A?B，需满足
?
?
2a－3≥1，
?
?
a－2≤2，

这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．

1．下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x
2
－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1}
C．{(x，y)|x
2
＋y
2
＝0} D．{x|x＞6且x＜1}
答案 D
2．集合P＝{x|x
2
－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )
A．P?T B．P∈T
C．P＝T D．P?T
答案 A
3．下列关系错误的是( )
A．??? B．A?A
C．??A D．?∈A
答案 D
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x
2
＋ x＝0}关系的Venn图是()

答案 B
5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A?B，则实数a可以是(
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
)

1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元 素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A
?B的常用方法．
(2)不 能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A
中不含任何元素 ；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但xD∈A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的 子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2
n
个子集，有2
n
－1个 真子集，
有2
n
－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合 ，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常
采用数形结合的思想，借助数轴解答．
课时作业
一、选择题
1．在下列关系中错误的个数是( )
①1∈{0,1,2}；
②{1}∈{0,1,2}；
③{0,1,2}?{0,1,2}；

④{0,1,2}＝{2,0,1}；
⑤{0,1}?{(0,1)}；
A．1
C．3
答案 B
解析 ①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用属于来表示，所以②错误；< br>③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}
表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错
误 的个数是2.故选B.
141
2．已知集合A＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，B＝{ x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，B之间的关系
999
为( )
A．A?B
C．A＝B
答案 C
解析 A＝{x|x＝
B＝{x|x＝
2k ＋1
531135
，k∈Z}＝{…，－，－，－，，，，…}，
9999999
B．B?A
D．A≠B
B．2
D．4
4k±1531135
，k∈Z}＝{…，－，－，－，，，，…}，故A＝B.
9999999
3．已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )

①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.
A．①③
C．③④
答案 D
B．②③
D．③⑥

解析 元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．
4．已知集合A＝{ x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D
＝{x|x是 等边三角形}，则( )
A．A?B
C．D?C
答案 B
解析 ∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C?B.
5．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2
－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，则(a，b)不能是( )
A．(－1,1)
C．(0，－1)
答案 B
解析 当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x
2
＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；
当a＝b＝1时，B＝{x|x
2
－2x＋1＝0}＝{1}，符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x
2
－1＝0}＝{－1,1}，符合；
当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x
2
＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．
6．集合M＝{1,2,3}的子集个数为( )
A．5
C．7
答案 D
解析 ∵集合M共有3个元素，
∴集合M的子集的个数为2
3
＝8.
二、填空题
7．若M?P， M?Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是________．
答案 4
解析 P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M?C，这样的集合M共有2
2
＝4个．
8．已知{0,1}?A?{－1,0,1}，则集合A＝________.
答案 {－1,0,1}
解析 由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A ?{－1,0,1}，
所以A＝{－1,0,1}．
9．若集合A＝{x|2≤x≤3}，集 合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B?A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 当B＝?时，a＝0，满足B?A；
2
当B≠?时，B＝{}，
a
B．6
D．8
B．(－1,0)
D．(1,1)
B．C?B
D．A?D

2
又B?A，∴2≤≤3，
a
2
即≤a≤1，又a∈Z，
3
∴a＝1.综上知a的值为0或1.
10．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0 ，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
答案 M＝P
解析 ∵xy>0，∴x，y同号，
又x＋y<0，∴x<0，y<0，
即集合M表示第三象限内的点，
而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
三、解答题
11．已知集合A＝{x|x
2
－3x＋2＝0，x∈R}，B ＝{x|0B的集合C.
解 先用列举法表示集合A，B.
由x
2
－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4 }．
12．已知集合A＝{x|ax
2
－3x＋2＝0}的子集只有两个，求实数a的值．
解 ∵集合A的子集只有两个，
∴A中只有一个元素．
2
当a＝0时，x＝.
3
9
当a≠0时，Δ＝(－3)
2
－4a×2＝0，∴a＝.
8
9
综上，a的值为0或.
8
13．已知集合A＝{1,3，－x
3
}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，
求出集合 A，B；若不存在，请说明理由．
解 因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素，
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．
若x＋2＝－x
3
，则x
3
＋x＋2＝0，
所以(x＋1)(x
2
－x＋2)＝0.
因为x
2
－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，

此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．
四、探究与拓展
1 4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( )
A．P?M
C．M＝P
答案 C
?
?
?
x＋y<0，
?
x<0，
?
解析 ∵∴
?
∴M＝P.
?
?
xy>0，
?
y<0.
?
B．M?P
D．M?P


15．已知集合A＝{x|x
2
－4mx ＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A?B，求实数m的取值集合．
解 ∵A?B，
∴当A＝?时，即方程x
2
－4mx＋2m＋6＝0无实根，
3
故Δ＝16m
2
－8(m＋3)<0，解得－12
当A≠?时，方程x
2
－4mx＋2m＋6＝0的根为负，
?< br>?
?
则
?
x
1
＋x
2
<0，
?
?
4m<0，
?
?
x
1
x
2
>0
?
?
?
Δ≥0，

3
m≥或m≤－1，
2
2m＋6>0


?
?
?
?
m<0，
?
?
m>－3
3
m≥或 m≤－1，
2

?－33
综上，实数m的取值集合是{m|－32