高中数学 必修一 集合间的基本关系 教案

集合间的基本关系

【学习目标】

了解子集、真子集、空 集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集
合相等的意义。
1．一般地 ，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，
我们就说这两个集合有包含关 系，称集合A为集合B的子集，记作
A?B
(或
B?A
)，读
作“A 含于B”(或“B包含A”)。
2．如果集合A是集合B的子集(
A?B
)，且集合 B是集合A的子集(
B?A
)，此时，
集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A 与集合B相等，记作
A?B
．
3．如果集合
A?B
，但存在元素< br>x?B
，且
x?A
，我们称集合A是集合B的真子集，
记作
A ?B
(或
B?A
)。
4．不含任何元素的集合叫做空集，记作
?
。
5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
【学习过程】
写出给定集合的子集
【例1】（1）写出集合
{01，，2}
的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；
（2）填写下表，并回答问题。
原集合
?

子集




子集的个数




?
a
?

{a,b}

?
a,b,c
?

由此猜想：含n个元素的集合
?
a
1
,a
2
,L,a
n
?
的所有子集的个数是多少 ？真子集的个数
1 7

及非空真子集的个数呢？
解 （1）不含任何元素的集合：
?
；
含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；
含有两个元素的集合：{0，1}，{0，2}，{1，2}；
含有三个元素的集合：{0，1，2}。
故集合{0，1，2}的所有子集为
?，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，
1，2}。
其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集。
（2）
原集合
?
{a}
{a，b}
{a，b，c}
子集
?
?，{a}
?，{a}，{b}，{a，b}
?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，
b，c}
子集的
个数
1
2
4
8
这样，含n个元素 的集合{a
1
，a
2
，…，a
n
}的所有子集的个数是2n ，真子集的个数是
2n－1，非空真子集的个数是2n－2
规律方法 （1）分类讨论是写出 所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少
来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏。 < br>（2）集合A中有n个元素，则集合A有
2n
个子集，有
(2n?1)
个真子集，
(2n?1)
个非
空子集，
(2n?2)
个非空真子集。
变式迁移1 已知集合
M
满足
{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，写出集合
M
。
解 由已知条件知所求
M
为：{1，2}，{ 1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，
3，4}，{1，2，3，5}，{1， 2，4，5}，{1，2，3，4，5}。
集合基本关系的应用
【例2】（1）已知集合< br>A?{x|?3?x?4}
，
B?{x|2m?1＜x＜m＋1}
，且
B?A
．求实数
m
的取值范围；（2）本例（1）中，若将“
B?A
”改为“
A?B
”，其他条件不变，则实数
2 7

m
的取值范围是什么？
解 （1）∵
B?A
，
①当
B??
时，
m＋1?2m?1
，解得
m?2
．
?
?3
?
2m?1
?
②当
B??
时，有< br>?
m?1
?
4
，
?
2m?1＜m?1
?
解得
-1?m＜2
，
综上得
m?-1
．
（2）显然
A??
，又
A?B
，∴
B??
，
如图所示，

?
2m?1＜m?1
?
∴
?
2m?1＜?3
，解得
m??
。
?
m?1＞4
?
规律方法 （1）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合。
（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法 ，将各个集合在数轴上表示出来，以形
定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心 点表示，不含“=”用空
心点表示。
（3）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是 集合中含有字母参数时，初学
者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的。
变式迁移2 已知
A?{x|x
2
－5x＋6?0}
，
B? {x|mx?1}
，若
B?A
，求实数
m
所构成的集
合M
。
解 由
x
2
?5x＋6?0
得
x?2< br>或
x?3
．
∴
A?{2，3}

由
B?A
知
B??
或
B?{2}
或
B?{3}

若
B??
，则
m?0
；
若
B?{2}
，则
m?
；
1
2
3 7

若
B?{3}
，则
m?
。
∴
M?
?
0,,
?
。
集合相等关系的应用 【例3】已知集合
A?{2，x，y}
，
B?{2x，2，y
2
}
且
A?B
，求x，y的值。
解 方法一 ∵
A?B
，
∴集合A与集合B中的元素相同，
?
x?2x
?
x?y
2
∴
?
或
?
，
y?y
y?2x
?
2
?
?
11
?
?
23
?
1
31
?
x?
?
x?0
?
x?0
?
?解得x，y的值为
?
或
?
或
?
4

?
y?0
?
y?1
?
y?
1
?
2
?
验证得，当
x?0
，
y?0
时，
A={2，0，0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去。
1
?
x?
?
x?0
?
?
∴x，y的取值为
?
或
?
4

?
y?1
?
y?
1
?
2
?< br>规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解。
0}
，求a，变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为
?
a,,1
?
，也可表示为
{a
2
，a＋b，
?
b
?
?
a
?
b．
解 由集合相等得：
0?
?
a,,1
?
，易知
a?0
，
∴
b
?0
，即
b?0
，∴
a
2
? 1
且
a
2
?a
，∴
a??1
．
a
?
b
?
?
a
?
综上所述：
a??1
，< br>b?0
.
【课堂小结】
1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“
?
”表示，集合、集合间的关系用“?”、
“=”等表示。
4 7

2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合
B?{?，{0}{，1}， ，{01}}
，则此时
{1}?B
，
而不能是
{1}?B
．
3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：
（1）判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论。
（2）解数集问题学会运用数轴表示集合。
（3）集合与集合间的关系可用Venn图直观表示。
【课时作业】
一、选择题
1．下列命题
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④ 若
??A
时，则
A??
。其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 仅④是正确的。 2．已知集合
A?{x|a-1?x?a＋2}
，
B?{x|3＜x＜5}
，则能使
A?B
成立的实数
a
的取值
范围是( )
A．
{a|3＜a?4}

B．
{a|3?a?4}

C．
{a|3＜a＜4}

D．
?

答案 B
解析 ∵
A?B
，∴
?
?
a?1
?
3

a?2
…
5
?

5 7

∴
3?a?4
．
3．设
B?{1，2}
，
A?{x|x?B}
，则A与B的关系是( )
A．
A?B

B．
B?A

C．
A?B

D．
B?A

答案 D
解析 ∵B的子集为{1}，{2}，{1，2}，
?
，
∴
A?{x|x?B}?{{1}，{2}{，1，，2}?}
，
∴
B?A
．
4．若集合
A?{x|x?n，n?N}
，集 合
B?
?
x
|
x?
,
n?Z
?
， 则A与B的关系是( )
A．
A?
B

B．A
?
B
C．
A?B

D．
A?B

答案 A
5．在以下六个写法中：①
{0} ?{01，}
；②
??
，}?{?1，01，}
；④
0??
；⑤
?
0
?
；③
{0，-11
Z?{正整数}
；⑥
{(0，0)}?{0}
，其中错误写法的个数是( )
?
?
n
2
?
?
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
答案 B
二、填空题
6．满足
{ 01，，2}
?
A
?
{0,1,2,3,4,5}
的集合A的个数是 ________。
答案 7
6 7

解析 本题即求集合
{3，4，5}
的非空子集个数，共
23-1?7
个。
7．设
M?{x|x
2
－1?0}，N?{x|ax－1?0}
，若
N?M
，则
a
的值为________。
答案
?1
或0
8．若
{x|2x-a?0，a?N}?{x|-1＜x＜3}< br>，则
a
的所有取值组成的集合为
________________。
答案：
{01，，2，3，4，5}

三、解答题
9．设集合A?{1,a,b}
，
B?
?
a,a
2
,ab
?
，且
A?B
，求实数A、B的值。
解：∵
A?B
且
1?A
，∴
1?B
．
若
a?1
，则
a
2
?1
，这与元素互异性矛盾，∴
a ?1
．
若
a
2
?1
，则
a?-1
或a?1
(舍)。
∴
A?{1,?1,b}
，∴
b?ab?-b
，即
b?0
.
若
ab=1
，则
a
2?b
，得
a
3
=1
，即
a?1
(舍去)。
故
a?-1
，
b?0
即为所求。

7 7