高中数学第一章集合与逻辑

高中数学第一章-集合与逻辑
考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
考试要求：
（1）理解集合、子 集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包
含、相等关系的意义；掌握有关的 术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的 含义理解四种命题及其相互关系；掌握充
分条件、必要条件及充要条件的意义．
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为
A?A
；
②空集是任何集合的子集，记为
?
?A
；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果
A?B
，同时
B?A
，那么A = B.
如果
A?B，B?C，那么A?C
.
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=
N
?
，
则C
s
A= {0}）
③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则C
B
A =
?
， C
A
B =
?
C
S
（C
A
B）= D （ 注 ：C
A
B =
?
）.
3. ①{（x
，
y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x
，
y）|xy＜0，x∈R，y∈R
?
二、四象限的点集.
③{（x
，
y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
例：
?
?
x?y?3
解的集合{(2，1)}.
2x?3y?1
?
②点集与数集的交集是
?
. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x
2
+1} 则A∩B =
?
）
4. ①n个元素的子集有2
n
个. ②n个元素的真子集有2
n
－1个. ③n个元素的非空真子
集有2
n
－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题
?
逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题
?
逆否命题.
例：①若
a?b?5，则a?2或b?3
应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
②
x?1且y?2，

x?y?3
.
解：逆否：x + y =3
?x?1且y?2
x = 1或y = 2.
x?y?3
,故
x?y?3
是
x?1且y?2
的既不是充分，又不是 必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
3. 例：若
x?5，?x?5或x?2
.
4. 集合运算：交、并、补.
交：AB?{x|x?A,且x?B}
并：AB?{x|x?A或x?B}

补：C
U
A?{x?U,且x?A}
5. 主要性质和运算律
（1） 包含关系：
A?A,??A,A?U,C
U
A?U,
A?B ,B?C?A?C;AB?A,AB?B;AB?A,AB?B.
（2） 等价关系：
A?B?A
（3） 集合的运算律：
交换律：
A?B?B?A;A?B?B?A.


B?A?AB?B?CB?U

U
A
结合律:
(A?B)? C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)

分配律:.
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)

0-1律：
?A??,?A?A,UA?A,UA?U

等幂律：
A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩C
U
A=φ A∪C
U
A=U C
U
U=φ C
U
φ=U
反演律：C
U
(A∩B)= (C
U
A)∪(C
U
B) C
U
(A∪B)= (C
U
A)∩(C
U
B)
6. 有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(1)card(AB)?card(A)?card(B)?card(AB)
(2)card(ABC)?card(A)?card(B)?card(C)
?card( AB)?card(BC)?card(C
?card(ABC)
(3) card(?
U
A)= card(U)- card(A)
A)


(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a
0
(x- x
1
)(x-x
2
)…(x-x
m
)>0(<0)形式，并 将各因式x的系数化“+”；(为
了统一方便)


②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等
式是“ <0”,则找“线”在x轴下方的区间.
x
1
x
2
x
3< br>x
m-3
-
x
m-2
x
m-1
+
-
x
m
+
x

（自右向左正负相间）
则 不等式
a
0
x
n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
?
?
?a
n
?0(?0) (a
0
?0)
的解可以根据各区间的符号
确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论.


??0

??0

二次函数

??0

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

一元二次方程
有两相异实根

有两相等实根



无实根
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的根
x
1< br>,x
2
(x
1
?x
2
)

b
x
1
?x
2
??

2a

ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
? bx?c?0
(a?0)的解集

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
?
xx??
?

2a
??

?


R


?


?
xx
1
?x?x
2
?


2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
g(x)g(x)g(x)g(x)
（2）转化为整式不等式（组）
3.含绝对值不等式的解法
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0
?0?f(x)g(x)?0;?0?
?
?
g(x)?0
?
g( x)g(x)
（1）公式法：
ax?b?c
,与
ax?b?c(c?0)型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
2
一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单
命题；由简单 命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记
作“┑q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
互
逆
原命题逆命题
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相
若p则 q若q则p
互
否
反；
为
逆
互
互
（2）“ p且q”形式复合命题当P与q同为真时
否否
逆
为
为真，其他情况时为假；
否
互
逆否命题
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时
否命 题
若┐q则┐p
若┐p则┐q
互
逆
为假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题
?
逆否命题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p
?
q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若p
?
q且q
?
p,则称p是q的充要条件，记为p?q.


7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛 盾，从而否
定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。