高中数学《集合与简易逻辑》常用公式

高中数学《集合与简易逻辑》常用公式
1. 元素与集合的关系
x?A?x ?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(AB)?C
U
AC
U< br>B;C
U
(AB)?C
U
AC
U
B
.
3.包含关系
AB?A?AB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AC
U
B??
?C
U
AB?R

4.容斥原理
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)
.
nnn
5．集合
{a
1
,a
2
,,an
}
的子集个数共有
2
个；真子集有
2
–1个；非空子集有
2
–1
个；非空的真子集有
2
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)零点式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
7.解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式
2
2
n
N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0

f(x)?N
M?NM?N
?0

|?
?
|f(x )?
?
M?f(x)
22
11
?
.
?
f (x)?NM?N
8.方程
f(x)?0
在
(k
1
,k2
)
上有且只有一个实根,与
f(k
1
)f(k
2)?0
不等价,前者是后
者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程
ax?b x?c?0(a?0)
有且只有一个实根在
2
(k
1
,k
2
)
内,等价于
f(k
1
)f(k
2
)?0
,或
f(k
1
)?0
且
k
1
??
k
1
?k
2
b
???k
2
.
22a
9.闭区间上的二次函数的最值
k?k
2
b
?< br>1
,或
f(k
2
)?0
且
2a2
二次 函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?上的最值只能在
x??
2
b
处及区
2a
间的两端点处取 得，具体如下：
(1)当a>0时，若
x??

x??
b
b
则
f(x)
min
?f(?),f(x)
max
?max
?
f(p),f(q)
?
；
?
?
p, q
?
，
2a
2a
b
?
?
p,q
?
，
f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
min
?
min
?
f(p) ,f(q)
?
.
2a
b
?
?
p,q
?< br>，则
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
， (2)当a<0时，若
x??
2a
b
?
?
p ,q
?
，则
f(x)
max
?max
?
f(p), f(q)
?
，
f(x)
min
?min
?
f(p) ,f(q)
?
.
x??
2a


10.一元二次方程的实根分布

依据：若
f(m)f(n)?0，则方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内至少有一个实根 .
设
f(x)?x
2
?px?q
，则
?
p2
?4q?0
（1）方程
f(x)?0
在区间
(m,??)内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
；
?
p
?
??m
?2

?
f(m)?0
?
f(n)?0< br>（2）方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内有根的充要条件为
f(m)f(n)?0
或
?
或
?
2
?
p?4q? 0
?
?
m??
p
?n
?
?2
?
f (m)?0
?
f(n)?0
或
?
；
?
f(n)? 0f(m)?0
??
?
p
2
?4q?0
?
（3）方 程
f(x)?0
在区间
(??,n)
内有根的充要条件为
f(m)? 0
或
?
p
.
?
??m
?2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间
(??,??)
的子区间
L
（形如
?
?
,
?
?
，
?
??,
?
?
，
?
?
,??
?
不同）上含参
数的二次不等式
f(x,t) ?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
min
?0(x?L)
.
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二 次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成
立的充要条件是
f(x,t)
man
?0(x?L)
.
?
a?0
?a?0
?
42
(3)
f(x)?ax?bx?c?0
恒成立的充 要条件是
?
b?0
或
?
2
.
b?4ac?0
?
c?0
?
?
12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词
是 不是
都是 不都是
大于 不大于
小于 不小于
对所有
x
，成立 存在某
x
，不成立
对任何
x
，不成立 存在某
x
，成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
p
或
q

反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个
?p
且
?q

p
且
q

?p
或
?q

14.四种命题的相互关系
原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；
逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；
否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；
逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；
15.充要条件

（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
(3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p是
q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.