高中数学文科之集合的概念和运算知识梳理

数学高考总复习：集合的概念和运算
【考纲要求】
1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；
2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；
3、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。
【知识网络】
集 合

集
合
表
示
法

图
示
法

集
合
的
关
系

集
合
的
运
算

相
等

交
集

列
举
法

描
述
法

包
含

并
集

补
集

子集、真子集


【考点梳理】
1、集合的概念：
（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；
（2）集合的分类：
①按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y =x}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x}表示开口向上，
以y轴为对称轴的抛物线；
（3）集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N< br>+
={0，1，2，3，…}；②描述法。
2、两类关系：
（1）元素与集合的关系，用
?
或
?
表示；
?
（2）集合与集合的关系，用
?
，
?
?
，=表示，当A
?< br>B时，称A是B的子集；当A
?
B时，称A是B的
22
真子集。
3、集合运算
（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B= {x|x∈A，或x∈B}，C
U
A=｛x|x∈U，且x
?
A｝，
集合U表示全集；
（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C
U
（A∩B）=（C
U
A）∪（C
U
B），
C
U
（A∪B）=（C
U
A）∩（C
U
B）等。
【典型例题】

类型一：集合的概念、性质与运算
例1.（2015 陕西高考）设集合
M?{x|x?x}
，
N?{x|l gx?0}
，则
M
2
N?
（ ）
A．
[0,1]
B．
(0,1]
C．
[0,1)
D．
(??,1]

答案：A
【解析】 错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。所以错误！未找到引用源。故选A.
举一反三： 【变式】（2015福建高考）若集合
A?i,i
2
,i
3
,i
4
（
i
是虚数单位），
B?
?
1,?1
?
，则
A
A．
?
?1
?
B．
?
1
?
C．
?
1,?1
?
D．
?

答案：C
【解析】因为错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。 所以错误！未找到引用源。故选C.
类型二：集合的两种关系
例2、已知集合
A? {x|x?2x?3?0,x?R}
，
B?{x|x?2mx?m?4?0,x?R}

（1）若
A?B?[1,3]
，求实数
m
的值；
（2）若
A?C
R
B
，求实数
m
的取值范围。
解 析：
A?{x|?1?x?3}
，
B?{x|m?2?x?m?2}

222
??
B
等于 ( )
?
m?2?1
m?3

?
m?2?3,
（2）
C
R
B?{x|x?m?2,或x?m?2}

因为A?C
R
B
，所以
m?2?3
，或
m?2??1
，
所以
m?5
，或
m??3

（1）因为
A?B?[1,3]
，所以
?
点评：数形结合是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中 隐藏条件是解题素质的一个重要方面。
举一反三：
【高清课堂：集合 思考题1（1）】【 变式】设2011∈{x，
x
2
，x}，则满足条件的所有x组成的集合
的真 子集的个数为( )
A．3 B．4
2
C．7 D．8
A。

【答案】由题意得x＝－2011或x＝－2011，所以集合{－2 011，－2011}的真子集有22－1＝3个．选
例3．（2016 全国II高考）已知集合< br>A?{1,2,3}
，
B?{x|(x?1)(x?2)?0,x?Z}
，则< br>A
（A）
{1}
（B）
{1，2}
（C）
{01，，2，3}
（D）
{?1，01，，2，3}

【答案】C
解析：集合
B?{x|?1?x?2,x?Z}?{0,1}
， 而
A?{1,2,3}
，所以
A

B?
（ ）
B?{0,1,2,3}
，故选C.
点评：
1.本题主要考察集合的交 、并、补综合运算。要求对集合的描述法表示有较深刻的认识。集合的三种
表示语言要熟悉。

2. 关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行计算.
3. 对元素个数较少的集合的运算常采用公式法或韦恩图法，而对不等式解集的运算一般用数轴法较为
简捷.
举一反三：
【高清课堂：集合 例1（2）】【变式1】若集合A＝{y|y＝3x＋1}， B＝{x|
y?1?x
2
}，则A∩B＝( )
A．? B．[－1,0)
C．(0,1] D．[－1,1]
【答案】C
【高清课堂：集合 思考题2】【变式2】设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋ y，
x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数 单位}为封闭集；②
若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足 S?T?C的任意集合T
也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
【答案】①②
类型三：分类讨论的集合问题
（1）
a?{1,2,3,4 },b?{1,2,3}
，求使
D?R
x
2
?2(a?1)x?b< br>2
的定义域为D。
的概率；（2）
a?[0,4],b?[0,3]
， 求使
D?R
的概率.
解析：（1）
a?{1,2,3,4},b?{1,2,3}

?(a,b)
的所有可能为：（1，1），（1，2），
例4.设函数
f( x)?
（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（ 4，1），（4，2），
（4，3）共计12种。
而
D?R,有4(a-1)?4b?0,即|a?1|?|b|

那么满足 D=R的
(a,b)
的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2 ，2），
（2，3），（3，2），（3，3），（4，3）共计9种，∴其概率
P?
（2）
22
93
?

124
a?[0,4],b?[0, 3]
∴所有的点
(a,b)
构成的区域的面积=12
22
而
D?R,有4(a-1)?4b?0,即|a?1|?|b|

满足< br>|a?1|?b的点(a,b)
构成的区域的面积为7，故所求概率
P?
7．
12
点评：在一定条件约束下求参数的问题，体现了分类讨论的数学思想。另外本题稍 微涉及到一点概率
知识。
举一反三：
【变式】（2016 天津高考）已知集合
A?{1,2,3,4},B?{y|y?3x?2，x?A},
则
A
（A）
{1}

【答案】D
【解析】
B?{1,4,7,10},AI




（B）
{4}
（C）
{1,3}
（D）
{1,4}

B
=（ ）
B?{1,4}
选D.