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新课标人教A版高中数学必修一集合函数知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 15:27
tags:高中数学集合

聘家教高中数学-高中数学积分在那本书



高中数学必修1集合与函数知识点总结

【1.1.1】集合的含义与表示
(1)集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
(2)常用数集及其记法
N
表示自然 数集,
N
?

N
?
表示正整数集,
Z
表示 整数集,
Q
表示有理数集,
R
表示实数集.
(3)集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的关系是a?M
,或者
a?M
,两者必居其一.
(4)集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.
③描述法:{
x
|
x
具有的性质},其中
x
为集合的代表元素.
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.
(5)集合的分类
①含有有限个元素的集 合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集(
?< br>).

【1.1.2】集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质 示意图



(1)A
?
A
A?B

(2)
??A

A中的任一元
素都属于B
(3)若
A?B

B?C
,则
A?C

B
A(B)
子集
(或
B?A)


A< br>(4)若
A?B

B?A
,则
A?B


A
?
B
真子

?
(A为非空子集)
??A
A?B
,且B
(1)
?

A?C

B

B?C

中至少有一元
(2)若
A?
???
BA
(或
B
?
A)
素不属于A
?
A中的任一元

集合
A?B

素都属于B,
(1)A
?
B
A(B)
相等 B中的任一元
(2)B
?
A
素都属于A

(7)已知集 合
A

n(n?1)
个元素,则它有
2
n
个子集, 它有
2
n
?1
个真子集,它有
2
n
?1
个 非空子集,它有
2
n
?2
非空真子集.





【1.1.3】集合的基本运算
(8)交集、并集、补集
名记意义 性质 示意图



称 号
(1)
AA?A



AB
{x|x?A,

x?B}

(2)
A???

AB

(3)
AB?A


AB?B

(1)
AA?A




AB
{x|x?A,

x?B}

(2)
A??A

A
B

(3)
AB?A


AB?B


1
2
A

A(?
U
A)??

(?
U
A)?U





{x|x?U,且x?A}
?
U
A

痧B)?(
U
A)(?
U
(A
U
B)
痧B)?(
U
A) (?
U
(A
U
B)




【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法
不等式
|x|?a(a?0)

解集
{x|?a?x?a}

|x|?a(a?0)

x|x??a

x?a}


ax?b
看成一个整 体,化成
|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0)

|x|?a

|x|?a(a?0)
型不等式来求

(2)一元二次不等式的解法



判别式
??0

??b
2
?4ac

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
O
的图象
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)

?b?b
2
?4ac
x
1,2
?
2a


x
1
?x
2
??
b

2a
无实根
的根
ax
2
?bx?c?0(a?0)(其中
x
1
?x
2
)

b
}

2a
的解集
ax
2
?bx?c?0(a?0)
{x|x? x
1

x?x
2
}

{x|
x??
R

{x|x
1
?x?x
2
}

?

?

的解集



〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
(1)函数的概念
①设
A

B
是两个非空的数集,如果按照某种对应法则
f
,对于集合
A
中任何
一个数
x
,在集合
B
中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应,那么这样的对应(包
括集合
A

B
以及
A

B
的对应法则
f
)叫做集合
A

B
的 一个函数,记作
f:A?B

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.



③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
(2)区间的概念及表示法
①设
a,b
是两个实数,且
a?b,满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做闭区间,记做
[a,b]
;满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做开区间,记做
(a, b)
;满足
a?x?b
,或
a?x?b
的实数
x
的 集合叫做半开半闭区间,分别记做
[a,b)

(a,b]
;满足
的 实数
x
的集合分别记做
[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)< br>.
x?a,x?a,x?b,x?b
注意:对于集合
{x|a?x?b}与区间
(a,b)
,前者
a
可以大于或等于
b
,而后者 必

a?b

(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:

f(x)
是整式时,定义域是全体实数.

f(x)
是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.

f(x)
是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大
于零且不等于1.

y?tanx
中,
x?k
?
?(k?Z)

2
?
⑥零(负)指数幂的底数不能为零.
⑦若
f(x)
是 由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域
一般是各基本初等函数的定义域的交集.
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知
f(x)
的定义域为
[a ,b]

其复合函数
f[g(x)]
的定义域应由不等式
a?g(x )?b
解出.
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进
行分类讨论.



⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实
际意义.
(4)求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实 上,如果
在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因
此求函数 的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值
域与最值的常用方法:
①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.
②配方法:将函数解析式化 成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变
量的取值范围确定函数的值域或最值.
③判别 式法:若函数
y?f(x)
可以化成一个系数含有
y
的关于
x
的二次方程
a(y)x
2
?b(y)x?c(y)?0
,则在
a( y)?0
时,由于
x,y
为实数,故必须有
??b
2
(y) ?4a(y)?c(y)?0
,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.
⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简 、化难为易的目的,三角代换可将代
数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.
⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的
值域或最值.
⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.
⑧函数的单调性法.


【1.2.2】函数的表示法



(5)函数的表示方法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.
解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列
出表格来表示两个变量之间的 对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量
之间的对应关系.
(6)映射的概念
①设
A

B
是两个集合,如果按照某种对应法则
f
,对于集 合
A
中任何一个元
素,在集合
B
中都有唯一的元素和它对应,那么这 样的对应(包括集合
A

B
以及
A

B
的 对应法则
f
)叫做集合
A

B
的映射,记作
f:A ?B

②给定一个集合
A
到集合
B
的映射,且
a ?A,b?B
.如果元素
a
和元素
b
对应,
那么我们把元素
b
叫做元素
a
的象,元素
a
叫做元素
b
的 原象.



〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
定义
性 质
图象 判定方法



如果对于属于定义
域I内某个区间上
的任意两个自变量
的值x
1
、 x
2
,当x< x
12
..
...
y
y=f(X)
(1)利用定义
(2)利用已知
函数的单调性
(3)利用函数
f(x )
2
时,都有
f(x )
1
图象(在某个
区间图
x
f(x)12
..
.........
就说f( x)在这个
区间上是增函数.
...
函数的
o
x
1
x
2

象上升为
增)
(4)利用复合
函数
单调性
(1)利用定义
如果对于属于定义
(2)利用已知
域I内某个区间上
函数的单调性
的任意两个自变量
的值x
1
、x
2
,当x<
1< br>.
..
x时,都有
2


f(x)>f(x),那么
12
..
.........
就说f(x)在这个
区间上是减函数.
...
②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两
个减函数的和是减函数,增函 数减去一个减函数为增函数,减
函数减去一个增函数为减函数.
o

x

y
f(x )
1
y=f(X)
f(x )2
(3)利用函数
图象(在某个
x
2
o
x
1< br>x

区间图
象下降为减)
(4)利用复合
函数
y

u?g(x)
③对于复合函数
y?f[g(x)]
,令
u?g(x)
,若
y?f(u)
为增,



为 增,则
y?f[g(x)]
为增;若
y?f(u)
为减,
u?g(x )
为减,则
y?f[g(x)]
为增;

y?f(u)
为增 ,
u?g(x)
为减,则
y?f[g(x)]
为减;若
y?f(u)
为减,
u?g(x)

增,则
y?f[g(x)]
为减.
(2)打“√”函数
f(x)?x?(a?0)
的图象与性质
f(x)分别在
(??,?a]

[a,??)
上为增函数,分别在
[? a,0)

(0,a]
上为减函
a
x
数.
(3)最大(小)值定义
①一般地,设函数
y?f(x)
的定义 域为
I
,如果存在实数
M
满足:(1)对于
任意的
x?I< br>,都有
f(x)?M

(2)存在
x
0
?I
,使得
f(x
0
)?M
.那么,我们称
M
是 函数
f(x)
的最
大值,记作
f
max
(x)?M

②一般地,设函数
y?f(x)
的定义域为
I
,如果存在实数
m
满足:(1) 对于任
意的
x?I
,都有
f(x)?m
;(2)存在
x0
?I
,使得
f(x
0
)?m
.那么,我们称
m

函数
f(x)
的最小值,记作
f
max
(x) ?m

【1.3.2】奇偶性
(4)函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
定义
性 质
图象 判定方法



如果对于函数
f(x)定义域内任意
一个x,都有

f(-
..< br>x)=-f(x),那么函
........
数f(x)叫做奇函
..
数.

函数的
奇偶性
如果对于函数
f(x)定义域内任意一个x,都有

f(-
..
x)=f(x),那么函数
.... ...
f(x)叫做偶函数.
...
(1)利用定义
(要先判断定
义域是否关于
原点对称)
利用图象

(2)
(图象关于原
点对称)
(1)利用定义
(要先判断定
义域是否关于
原点对称)
利用图象

(2)
(图象关于y
轴对称)
②若函数
f(x)
为奇函数,且在
x?0
处有定义,则
f(0)?0
. < br>③奇函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在
y
轴两侧相对 称的区
间增减性相反.
④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数 (或
奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一
个奇函数的积 (或商)是奇函数.
〖补充知识〗函数的图象
(1)作图
利用描点法作图:



①确定函数的定义域; ②化解函数解析式;
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象.
利用基本函数图象的变换作图:
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对 数函数、幂函
数、三角函数等各种基本初等函数的图象.
①平移变换
h?0,左移 h个单位k?0,上移k个单位
y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)???? ????y?f(x)?k

h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位
②伸缩变换
0?
?< br>?1,伸
y?f(x)?????y?f(
?
x)

?
?1,缩
0?A?1,缩
y?f(x)?????y?Af(x)

A?1,伸
③对称变换
y轴
x轴
y?f(x)????y??f(x)

y?f(x)????y?f(?x)

直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)

y?f(x)?????y?f
?1
(x)

去掉y轴左边图象
y?f(x)????????????????y?f(|x|)

保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)???? ??????y?|f(x)|

将x轴下方图象翻折上去
(2)识图
对于 给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称
性等方面研究函数的定义域、值域 、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析
式中参数的关系.
(3)用图
函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直
观性,它是探求解题途径,获 得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题
的思想方法.



第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念
①如果
x
n
?a,a?R,x?R,n?1,且
n?N
?
,那么
x
叫做
a

n< br>次方根.当
n
是奇
数时,
a

n
次方根用符 号
n
a
表示;当
n
是偶数时,正数
a
的正的
n
次方根用
符号
n
a
表示,负的
n
次方根用符号
?
n
a
表示;0的
n
次方根是0;负数
a
没有
n
次方根.
②式子
n
a
叫做根式,这里
n< br>叫做根指数,
a
叫做被开方数.当
n
为奇数时,
a
为 任意实数;当
n
为偶数时,
a?0

③根式的性质:
(< br>n
a)
n
?a
;当
n
为奇数时,
n
a
n
?a
;当
n
为偶数时,
n
?
a (a?0)

a
n
?|a|?
?
?a (a?0)
?
(2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,

n?1).0的正
分数指数幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是:
a
n?1)
.0
?
m< br>n
m
n
1
m
1
?()
n
?
n
()
m
(a?0,m,n?N
?
,

aa
的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反
数.
(3)分数指数幂的运算性质

a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?R)

(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)


(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?R)
【2.1.2】指数函数及其性质



(4)指数函数
函数名称
定义
指数函数
函数
y?a
x
(a?0

a?1)
叫做指数函数
a?1

0?a?1

y?a
x
y

y?a
x
y

y?1

(0,1)
O

y?1
(0,1)
图象

x
O
x




定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
函数值的
变化情况

R
上是增函数
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
R

(0,??)

图象过定点
(0,1)
,即当
x?0
时,
y?1

非奇非偶

R
上是减函数
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
变化对 图象在第一象限内,
a
越大图象越高;在第二象限内,
a
越大
的影响

图象越低.



〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义
①若
a
x
?N(a?0,且a?1)
,则
x
叫做以
a
为底
N
的对数,记作
x?log
a
N
,其中
a
做底数,
N
叫做真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互 化:
x?log
a
N?a
x
?N(a?0,a?1,N?0)

(2)几个重要的对数恒等式
log
a
1?0

l og
a
a?1

log
a
a
b
?b

(3)常用对数与自然对数
常用对数:
lgN
,即
log< br>10
N
;自然对数:
lnN
,即
log
e
N
(其中
e?2.71828
…).
(4)对数的运算性质 如果
a?0,a?1,M?0,N?0
,那么
①加法:
log
a< br>M?log
a
N?log
a
(MN)
②减法:
log
a
M?log
a
N?log
a
③数乘:nlog
a
M?log
a
M
n
(n?R)

a
log
b
a
M

N
N
?N


log
a
M
n?log
a
M(b?0,n?R)
⑥换底公式:
log
a
N?

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数
函数
对数函数
名称
定义
图象
n
b
log
b
N
(b?0,且b?1)

log
b
a
函数
y?log
a
x(a?0

a?1)
叫做对数函数
a?1

0?a?1



y
x?

1
y?log
a
x
y
x?

1
y?log
a
x

(1,0)

O
(1,0)
x
O






x
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
函数值的
变化情况
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
,即当
x?1
时,
y?0

非奇非偶

(0,??)
上是增函数
log
a
x?0(x?1)
log
a
x?0(x?1)
log
a
x? 0(0?x?1)

(0,??)
上是减函数
log
a
x?0(x?1)

log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)

a
变化对 图象在第一象限内,
a
越大图象越靠低;在第四象限内,
a

的影响
(6)反函数的概念
大图象越靠高.
设函数
y?f(x)
的定义 域为
A
,值域为
C
,从式子
y?f(x)
中解出
x
,得式子
x?
?
(y)
.如果对于
y

C
中的任何一个值,通过式子
x?
?
(y)

x
在< br>A
中都有唯
一确定的值和它对应,那么式子
x?
?
(y)表示
x

y
的函数,函数
x?
?
(y)
叫做函




y?f(x)
的反函数,记作
x?f< br>?1
(y)
,习惯上改写成
y?f
?1
(x)

(7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式
y?f (x)
中反解出
x?f
?1
(y)

③将
x?f
?1
(y)
改写成
y?f
?1
(x)
,并注明反函 数的定义域.
(8)反函数的性质
①原函数
y?f(x)
与反 函数
y?f
?1
(x)
的图象关于直线
y?x
对称. ②函数
y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f
?1
(x)
的值域、定义域.
③若
P(a,b)
在原函数
y?f(x)
的图象上,则
P
'
(b,a)
在反函数
y?f
?1
(x)
的图象
上.
④一般地,函数
y?f(x)
要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数
y?x
?
叫做幂函数,其中
x
为自变量,
?
是常数.
(2)幂函数的图象


















(3)幂函数的性质
①图象分布:幂函数图象分布在第一、 二、三象限,第四象限无图象.幂函数
是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于
y轴对称);是奇函数时,图象
分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象 只分布在第
一象限.
②过定点:所有的幂函数在
(0,??)
都有定 义,并且图象都通过点
(1,1)

③单调性:如果
?
?0,则幂函数的图象过原点,并且在
[0,??)
上为增函数.如果
?
?0
,则幂函数的图象在
(0,??)
上为减函数,在第一象限内,图象无限接近
x


y
轴.
④奇偶性:当
?
为奇数时,幂函数 为奇函数,当
?
为偶数时,幂函数为偶函数.当
q
?
?
(其 中
p,q
互质,
p

q?Z
),若
p
为奇 数
q
为奇数时,则
y?x
p
是奇函数,
p
q

p
为奇数
q
为偶数时,则
y?x
是偶函数,若
p
为偶数
q
为奇数时,则
y?x

非奇非偶函数.
⑤图象特征:幂函数
y?x
?
,x?(0,??)
,当
?
?1
时,若
0?x?1
,其图象在直线
y?x
q
p
q
p



下方,若
x?1
,其图象在直线
y? x
上方,当
?
?1
时,若
0?x?1
,其图象在直线
y?x
上方,若
x?1
,其图象在直线
y?x
下方.


〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:< br>f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
②顶点式:
f(x)?a(x ?h)
2
?k(a?0)
③两根式:
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
(2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使
用顶点式.
③若已知抛物线与
x
轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求
f(x)
更方便.
(3)二次函数图象的性质
①二次函数
f(x)?ax
2?bx?c(a?0)
的图象是一条抛物线,对称轴方程为
x??
b4ac?b< br>2
)
. 点坐标是
(?,
2a4a
b
,
顶< br>2a
②当
a?0
时,抛物线开口向上,函数在
(??,?
bb
]
上递减,在
[?,??)
上递增,当
2a2a
4ac?b
2
b
b
x??
时,
f
min
(x)?;当
a?0
时,抛物线开口向下,函数在
(??,?]
上递
2a
2a
4a
4ac?b
2
b
b
增,在
[?, ??)
上递减,当
x??
时,
f
max
(x)?

2a
2a
4a
③二次函数
f(x)?ax
2
?bx ?c(a?0)

??b
2
?4ac?0
时,图象与
x轴有两个交点
M
1
(x
1
,0),M
2
(x< br>2
,0),|M
1
M
2
|?|x
1
?x2
|?
?

|a|



(4)一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
根的分布 < br>一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数
中虽有所涉及,但尚不够 系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判
别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结 合二次函数图象的性
质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.
设一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两实根为
x
1
,x
2
,且
x
1
?x
2
.令
f(x)?a x
2
?bx?c
,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:
a
②对称
轴位置:
x??
b
③判别式:
?
④端点函数值符号.
2a
①k<x
1
≤x
2

?

y
f(k)?0
?
y
a?0
x? ?
b
2a
O
k
x
1
x??
k
x< br>2
b
2a
O
x
?
x
1
x
2
x
a?0
f(k)?0

②x
1
≤x
2
<k
?

ya?0
O
y
f(k)?0
?
x??
O
b
2a
x
1
x
2
k
x
b
2a
k< br>x
2
?
x
1
a?0
x
x??
f(k )?0

③x
1
<k<x
2

?
af(k)<0
y
a?0
?
y
f(k) ?0
x
2
x
a?0
O
k
?
x
1< br>x
2
x
x
1
O
k
f(k)?0






④k
1
<x
1
≤x
2
<k
2

?


y
?
?
a?0
y
x??
f(k
1
)?0
f(k)?0
2
x
1
x< br>2
k
2
x
O
b
2a
O
k
1
k
1
?
x
1
x
2
?
k
2
x
b
x??
2a

f(k
1
)?0
a?0
f(k
2
)?0

⑤有且仅有一个根x(或x
2
)满足k
1
<x(或x
2)<k
2

?
f(k
1
)f(k
2
)
?
0,
11
并同时考虑f(k
1
)=0或f(k
2
)=0这两种情况是否也符合

y
?
a?0
y
f(k
1
)?0
?
f(k
1
)?0
x1
k
2
?
O
k
1
x
2
xO
x
1
k
1
a?0
x
2
?
k
2
x
f(k
2
)?0

⑥k1
<x
1
<k
2
≤p
1
<x
2
<p
2

?

此结论可直接由⑤推出.
f(k
2
)?0

(5)二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭区间
[p,q]
上的最值

f(x)
在区间
[p,q]
上的最大值为
M
,最小值为< br>m
,令
x
0
?(p?q)

(Ⅰ)当
a?0
时(开口向上)
①若
?
b
bbb
?q
,则
?p
,则
m?f(p)
②若
p???q
,则
m?f(?)
③若
?
2a
2a2a2a
1
2
m?f(q)





?
??
?
??
?
??
f
(q)

(p)

x
O
f
(q)

O
f( ?
b
)
2a
f
x
f
(p)

O





①若
?


?
f
b
f(
(p)
?

)
2a< br>x
b
)
2a
f
f(?
(q)

bb
?x
0
,则
M?f(q)

??x
0
,则
M?f(p)

2a2a
??
?
??
f
f
(p)

x
0
O
x
(q)
0

O
a?0
时(开口向下(Ⅱ)当)
x
x
b
ff
f(?)
b
bbb
2a
b
??q
,则
p???qM?f(?)
①若
??p
f
,则 ②若,则 ③若
M?f(p)
(p)

(q)

(?)
2a
2a2a2a
2a
M?f(q)


?


O
b
f(?)
2a
?
f
(p)

x
f
(p)

O
b
f(?)
2a
?
f
f
(?
b
)
2a
(q)

x
O
x
??






①若
?
f
??
(q)

??
(q)

f
(p)

f
bb
?x
0
,则
m?f(q)

??x
0
,则
m?f(p)

2a2a












?
f(?
f
(p)

O< br>b
)
2a
?
f
f
(?
b
)
2a
(q)

x
0
x
x
0
O
f< br>??
(q)

x
??
f
(p)

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数< br>y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x

做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义:函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根,亦即函

y? f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。即:
方程
f(x)?0有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
求函数
y?f(x)
的零点:
1 (代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;

2 (几何法)对于不能用求 根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图

象联系起来,并利用函数 的性质找出零点.
4、二次函数的零点:



二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)

1)△>0 ,方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的图象与
x< br>轴有
两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程
ax
2?bx?c?0
有两相等实根(二重根),二次函数的图象

x
轴有一个 交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程
ax
2
?b x?c?0
无实根,二次函数的图象与
二次函数无零点.
x
轴无交点,

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