高一数学《集合》知识点总结

高一数学《集合》知识点总结
一．知识归纳：
1．集合的有关概念。
1）集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合
（集）．其中每一个对象叫元素
注意 ：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书
中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概 念类
似。
②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其
一）、互异 性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与
{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都
是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文
法
3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则AB（或AB）；
2）真子集：AB且存在x0∈B但x0A；记为AB（或，且）
3）交集：A∩B={xx∈A且x∈B}
4）并集：A∪B={xx∈A或x∈B}

5）补集：cUA={xxA但x∈U}
注意：①?A，若A≠?，则?A；
②若，，则；
③若且，则A=B（等集）
3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的
术语和符号，特别要注意以下的符号 ：（1）与、?的区别；（2）
与的区别；（3）与的区别。
4．有关子集的几个等价关系
①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABcuAcuB；
④A∩cuB=空集cuAB；⑤cuA∪B=IAB。
5．交、并集运算的性质
①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪?=A，A
∪B=B∪A；
③cu=cuA∩cuB，cu=cuA∪cuB；
6．有限子集的个数：设集合A 的元素个数是n，则A有
2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：
【例1】已知集合m={xx=m+,m∈Z},N={xx=,n∈
Z },P={xx=,p∈Z}，则m,N,P满足关系
A)m=NPB)mN=Pc)mNPD)NPm
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合m：{xx=,m∈Z}；对于集合N：{xx=,n

∈Z}
对于集合P：{xx=,p∈Z}，由于3+1和3p+1都表示被3
除余1的数，而6m +1表示被6除余1的数，所以mN=P，故
选B。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：m={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，
这时不要急于 判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同
的元素。
=∈N，∈N，∴mN，又=m，∴mN，
=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从
理论上解决问题，因此提倡思路一， 但思路二易人手。
变式：设集合，，则（B）
A．m=NB．mNc．NmD．
解：
当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B
【例2】定义集合 A*B={xx∈A且xB}，若
A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数 为
A）1B）2c）3D）4
分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素 的个
数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n
个来求解。

解答：∵A*B={xx∈A且xB}，∴A*B={1,7}，有两个元
素，故A*B的子集共有22个。选D。
变式1：已知非空集合m{1,2,3,4,5}，且若a∈m，则
6?a∈m，那么集合m的个数为
A）5个B）6个c）7个D）8个
变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是
{a,b},{a,b,c}, {a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{
a,b,d,e}.
评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个
数，所以共有个.
【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且
A∩B={1} ,A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={xx2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2
∈A
∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
∴∴
变式：已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+mx+6=0},且A
∩ B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.
解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={xx2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴
又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x>0},集合B满足：A∪
B={xx>-2}， 且A∩B={x1<><p=
分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数
轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}< br>可知[-1,1]B，而∩B=ф。<-1或x>
<><-1或x>
综合以上各式有B={x-1≤x≤5}
变式1：若A={xx3+2x2-8x>0}，B={xx2+ax+b≤0},
已知A∪B= {xx>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数
形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设m={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若m∩N=N，
求所有满足条件 的a的集合。
解答：m={-1,3},∵m∩N=N,∴Nm
①当时，ax-1=0无解，∴a=0②
综①②得：所求集合为{-1，0，}
【例5】已知集合，函数y=log2的定义域为Q，若P∩Q
≠Φ，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，
再利用参数分离求解。
解答：（1）若，在内有有解
令当时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评： 解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，
但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们 思
考此类问题的关键。
三.随堂演练
选择题
1．下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}
⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数
（A）4（B）5（c）6（D）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（A）5个（B）6个（c）7个（D）8个
3．集合A={x}B={}c={}又则有
（A）（a+b）ABcA、B、c任一个
4．设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成
立的是
（A）cUAcUB（B）cUAcUB=U

（c）AcUB=（D）cUAB=
5．已知集合A={}，B={}则A=
（A）R（B）{}
（c）{}（D）{}
6．下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，
2，3组成的集合可表示为
{1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）22=0的所有
解的集合可表示为{1，1， 2}；（4）集合{}是有限集，正确
的是
（A）只有（1）和（4）（B）只有（2）和（3）
（c）只有（2）（D）以上语句都不对
7．设S、T是两个非空集合，且ST，TS，令X=S那么S
∪X=
（A）X（B）T（c）Φ（D）S
8设一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，则不等式
ax2+bx+c0的解集为
（A）R（B）（c）{}（D）{}
填空题
9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
10.若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，则x=
11.若A={x}B={x},全集U=R，则A=
12.若方程8x2+x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围

是
13设集合A={},B={x},且AB，则实数k的取值范围是。
14.设全集U={x为小 于20的非负奇数}，若A（cUB）={3，
7，15}，（cUA）B={13，17，19}，又 （cUA）（cUB）=，则AB=
解答题
15已知集合A={a2,a+1,- 3},B={a-3,2a-1,a2+1},若
AB={-3}，求实数a。
16设A=，B=，
其中xR,如果AB=B，求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
12345678
ccBcBcDD
填空题
9．{}10.0,11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}
解答题
15.a=-1
16.提示：A={0，-4}，又AB=B，所以BA
（Ⅰ）B=时，4（a+1）2-4<0，得a<-1
B={0}或B={-4}时，0得a=-1
（Ⅲ）B={0，-4}，解得a=1
综上所述实数a=1或a-1