高中数学专题 集合与数列综合

高中数学专题 集合与数列综合
一. 集合
（1）集合的基本概念
①集合的元素
某些指定的对象集在一起就成为一个 集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
如果a是集合A的元素；就说a属于集合A，记作a∈A 。
不含任何元素的集合叫做空集，记作φ。
集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性
②集合可分为有限集与无限集。
③集合的表示法：列举法、描述法以及图示法。
④常见数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）。
（2）集合与集合的关系
①对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合
B

子集的个数：如果一个集合的元素个数为n，则其子集个数为2
n
。


全集：如果一个集合含有要研究的各个集合的全部元素 ，这个集合就可以看作一个全
集，全集通常用U表示。


（3）集合的性质：





二. 不等式解法
①含绝对值的不等式













②一元二次不等式
一元二次不等式ax
2
+bx+c>0（a>0）的解集如下表。

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三. 简易逻辑
（1）逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
理解：“或”“且”“非”对应集合概念“并”“交”“补”复合命题中的简单命题
并 不要求有内容或形式上的关联。
真值表：

p
T
T
F
F
（2）四种命题：
q
T
F
T
F
p∧q
T
F
F
F
p∨q
T
T
T
F
┐p
F
F
T
T


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有关结论：①互为逆否的两个命题同真同假（等价）
②原命题真，其逆命题和否命题不一定真
③否命题是分别对命题的条件和结论进行否定，不是对整个命题的否定
（3）反证法：步骤：①假设结论的反面（否定）成立
②导出矛盾（与已知条件、公理、定理等）
③得出结论：假设不成立，故待证命题成立。
（4）充要条件：






四. 数列
（1）有关概念：1°数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的
项。
2°数列的通项公式：如果数列{a
n
}的第n项a
n
与n之间的关系可以用 一个公式来表示，
这个公式就叫做数列的通项公式。
3°数列的递推公式：如果已知 数列{a
n
}的第一项（或前n项，且任一项a
n
与它的前一
项a< br>n-1
（或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推
公式。
4°若数列{a
n
}的前n项和为S
n
则

（2）等差与等比数列




定义
等差数列 等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项 如果 一个数列从第2项起，每一项与
与它的前一项的差等于同一个常数，这它的前一项的比等于同一个常数， 这个数
个数列就叫做等差数列。即a
n
-a
n-1
=d，
列 就叫做等比数列。即，公比q
公差d可为正数、负数和零（A.P）
是一个不等于零的常数。（G.P）
（来源：定义，迭加，
(定义,迭


通项公式
迭代）

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（证明）


中项


前n项和
（倒序相加）





性质
（1）

（2）



乘，迭代）
若a，A，b成等差数列，那么A叫若a，G，b成等比数列 ，那么G叫做a
做a与b的等差中项，且2A=a+b。（充与b的等比中项，且G
2
=ab。
要条件存在唯一） G
2
=ab，仅是a，G，b成等比数列的必要
非充分条件。

（错位相减）
(1)
（2）




（ 3）若{a
n
}为G·P，则a
n
，a
2n
，a
3 n
也为
（3）若{a
n
}为等差数列，则a
n
，a
2n
，a
3n
G·P
（4）若{a
n
}为G·P，则S< br>n
，S
2n
-S
n
，S
3n
-S
2 n
也为等差数列
也为G·P。
（4）若{a
n
}为等差数列，则 S
n
，S
2n
-S
n
，
（5）若{a
n< br>}，{b
n
}都是G·P，则{ka
n
}（k
S
3n
-S
2n
也为等差数列
（5）若{a
n
}，{b
n
}都是等差数列，则
≠0），
{a
n
+c}，{ka
n< br>}，{a
n
+b
n
}也是等差数列（其
中k、c为任何常数）
（1）（常数）{a
n
}为
（1）
等差数列
（2）（k、b不同时为0的
G·P。
{a
n
}为等差数列
不同时为
为等差数列
（2）
{a
n
}为G·P。
（3）（）为
也是G·P。




常数）
充要条件
（3）
（4）
列

（q≠0常 数）{a
n
}为
常数）
0的常数）
为等差数
G·P。
【模拟试题】
一. 选择题
1. 命题“3≥2”中使用逻辑联结词的情况是（ ）
A. 没有使用逻辑联结词
B. 使用逻辑联结词“或”
C. 使用逻辑联结词“且”
D. 使用逻辑联结词“非”
2. 若命题“p或q”为真“p且q”为假，则命题p与q（ ）
A. 同真 B. 同假 C. 一真一假 D. 同真同假
3. 原命题的逆命题是真命题，则原命题的逆否命题是（ ）
A. 真命题 B. 假命题
C. 无法判断 D. 以上说法都不对
4. 命题“x≥-2”的一个充分不必要条件是（ ）

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5. 命题“mx
2
-2（m-2）x+m=0有实根”是命题q“m≤1”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 命题“ax
2
+bx+c=0有一根为1”的充要条件是（ ）








7. 用反证法证明命题“若a
2
+b
2
+c
2
=0，则a =b=c=0”时，第一步应假设（ ）









A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9. 在a和b（a≠b）两数之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公
差是（ ）












A. 240 B. ±240 C. 480 D. ±480
12. 在等比数列{a
n
}中，首项a1
<0，则{a
n
}是递增数列的充要条件是公比q满足（ ）
A. q>1 B. q<1 C. 0 13. {a
n
}，{b
n
}各是等差，等比数列，且a
1
=b
1
>0，a
2n+1
=b
2n+1
则（ ）






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15. 已知数列{a
n< br>}的通项公式a
n
=2n-49，则S
n
达到最小值时，n的值是（ ）
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26

二. 填空题
16. 若p是q的充分必要条件，s是t的充分条件，t是q的充分条件，s是q的必要 条件，
则t是p的____________条件。
17. 已知命题：“若ab=0， 则a=0，且b=0”则：其逆命题为_____________，否命题为
___________ ___，逆否命题为______________。
18. 等比数列{a
n
}中，若S
3
=3a
3
，则公比q的值为___________。
19. {a
n
}是等差数列，a
m
=n，a
n
=m（m≠n）则a
m+n
=_____________。

__
______________。
21. 某工厂2002年产值为100 万元，计划今后三年内每年比上一年增长10%，则2004
年的产值为______________ 万元。

三. 解答题
22. 三个正数a,b,c成等差数列，和为15， 若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，
试求这三个数。
23. 已知一个等差数列共有2n+1项，且奇数项和为96，偶数项和为80，求中间项及项数。

（1）证明：数列{a
n
+1}是等比数列。
（2）求a
n
的表达式。
25. 等差数列{a
n
}的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数。
（1）求此数列的公差d。
（2）当前n项和S
n
为正数时，求n的最大值。
（3）前多少项和最大？并求此最大值。
26. 设公差不为0的等差数列{a
n
}与递增的等比数列{b
n
}满足a
1
=b
1
=1，a< br>3
=b
3
，
（1）求{a
n
}的公差d与{b
n
}的公比q。
（2）若a
15
=b
m
，求m的值。
（3）是否存在实数 a，b使得对于任何正数n，都有a
n
=log
a
b
n
+b ?若存在，求a，b的值。
若不存在，请说明理由。
27. 有若干台型号相同的联合收 割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作到收割完
毕，需要24小时，但它们是间隔相同的时间顺 序投入工作的，每一台投入工作后，都一直

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工作到小麦收割完毕后，如果第一台收割时 间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这
片土地上的小麦所需用的时间是多少？




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【试题答案】
一. 选择题
1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A 7. D 8. B 9. D 10. C
11. C 12. C 13. D 14. B 15. B

二. 填空题
16. 充分必要条件
17. 若a=0且b=0则ab=0 ab≠0则a≠0或b≠0
a≠0或b≠0则ab≠0

19. 0


21. 121

三. 解答题

23. 解：设奇数项为n+1项，偶数项为n项，中间项为a
n+1






所以该数列共有2×5+1=11项，中间项为a
6
=16.





















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27. n台收割机需24小时，共同收割完则共工作24n小时，每台每小时的工作效率为



∴用这种方法，收割完这片麦子共需40小时。






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