高中数学 1.1.2集合间的基本关系 (22)

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集 合

1．1.2 集合间的基本关系

预习课本P6～7，思考并完成以下问题
[预习导入]
(1)集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间这些关系？


(2)集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？


(3)空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？



[新知初探]

1．子集的概念
定义
记法
与读法
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的
元 素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)

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图示

结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C，则A?C
[点睛] “A是B的子集”的 含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即
任意x∈A都能推出x∈B.
2．集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B? A)，此时，集合A
与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
[点睛] (1)若A?B，又B?A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A?B，且B?A.
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．
3．真子集的概念
定义
记法
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集
记作AB(或BA)

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图示

结论
(1)AB且BC，则AC；
(2)A?B且A≠B，则AB
[点睛] 在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
4．空集的概念
定义
记法
规定
特性

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )
(2)任何一个集合都有子集．( )
(3)若A＝B，则A?B.( )
(4)空集是任何集合的真子集．( )
-=答案=-：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A．N∈M
C．N?M
-=答案=-：D
3．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0} B．{x|x>8，且x<5}
B．N?M
D．N?M
我们把不含任何元素的集合，叫做空集
?
空集是任何集合的子集，即??A
(1)空集只有一个子集，即它的本身，???
(2)A≠?，则?A

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C．{x∈N|x
2
－1＝0}
-=答案=-：B
D．{x|x>4}
4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.
-=答案=-：－1
集合间关系的判断


[例1] 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}．
(4)M＝{x|x＝ 2n－1，n∈N
*
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
*
}．
[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无
包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.

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(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
(4)两 个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
*
，因此集合M含有元素“1”，而集
合N不含元素“1”，故NM.

判断集合间关系的2种方法
(1)用定义判断．
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不
是B的子 集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则
B 不是A的子集；
若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2)数形结合判断．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点
值的取舍．

[活学活用]
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x ∈R|x
2
－x＝0}关系的Venn图是
( )

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解析：选B 解x
2
－x＝0得x＝ 1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn
图如选项B所示．
2．已知集 合A＝{x|x
2
－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当 的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
解析：集合A为方程x< br>2
－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝
{0, 1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.
-=答案=-：(1)＝ (2) (3) (4)∈
有限集合子集的确定

[例2] (1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是( )

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A．6
C．8
B．7
D．9
(2)满足{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个．
[解析] (1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个
为? ，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2, 3}，
共有7个真子集，故选B.
(2)由题意可得{1,2}M?{1,2,3,4,5} ，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5
中的至少一个，因此依据集合M的元素个数 分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；
含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；
含有五个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M共有7个．
[-=答案=-] (1)B (2)7




1．求集合子集、真子集个数的3个步骤

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2．与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2
n
个；
②A的真子集的个数为2
n
－1个；
③A的非空真子集的个数为2
n
－2个．

[活学活用]
3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选B 根据题意 ，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈
Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小 于等于m的全部整数，则m＝2.
4．设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A?B的B的个数是( )
A．5
C．3
B．4
D．2
解析：选B 满足 条件的集合B可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，所以满足A
?B的B的个数是4.故选B.
由集合间的关系求参数值(或范围)

[例3] 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A?B，求实数m
的取值 范围．
[解] ∵A?B，

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2m－1>m－6，?
?
∴
?
m－6≤－2，
?
?
2m－1≥5，
故3≤m≤4.

m>－5，
?
?
解得
?
m≤4，
?
?
m≥3，


∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．

[一题多变]
1．[变条件]本例中若将“A?B”改为“B?A”，其他条件不变，求m的取值范围．
解：(1)当B＝?时，m－6>2m－1，即m<－5.
m－6≤2m－1，
?< br>?
当B≠?时，
?
m－6≥－2，
?
?
2m－1≤5 ，
即m∈?.
故实数m的取值范围是{m|m<－5}．
2．[变条件]本例若将 集合A，B分别改为A＝{3，m
2
}，B＝{－1,3,2m－1}，其他条件
不变 ，求实数m的值．
解：因为A?B，所以m
2
＝2m－1，即(m－1)
2
＝0，所以m＝1，当m＝1时，B＝{－1,3,1}，
A＝{3,1}满足A?B.

由集合间的关系求参数的2种方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含 关系的意义，建立方程求解，此时应注意
分类讨论思想的运用；
(2)当集合为连续数集时， 常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点
还是虚点．


m≥－5，
?
?
?
m≥4，
?
?
m≤3，

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层级一 学业水平达标
1．已知 集合A＝{2，－1}，集合B＝{m
2
－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )
A．2
C．2或－1
B．－1
D．4
解析：选C ∵A＝B，∴m
2
－m＝2，∴m＝2或m＝－1.
2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )
A．0?A
C．?∈A
B．{0}∈A
D．{0}?A
解析：选D 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}?A，??A，D正确．
3 ．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A?B
C．D?C
B．C?B
D．A?D
解析：选B 由已知x是正方形，则x必是矩形，所以C?B，故选B.
4．已 知集合P＝{x|x
2
＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1
C．1或－1
B．－1
D．0,1或－1
解析：选D 由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q?P，a＝1或a
＝－1.
5．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A．6
C．4
B．5
D．3

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解析：选A 集合{0,1,2}的子集为：?，{0}，{1} ，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其
中含有偶数的集合有6个．故选 A.
6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________________ ____．
解析：{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有?，{(1,2)}，{(－3,4 )}，其非空真子集是{(1,2)}，
{(－3,4)}．
-=答案=-：{(1,2)}，{(－3,4)}
??
y
?
，则 A，B的关系是________．
＝1
7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B ＝
?
?x，y?
?

?
x
??
??
y
＝1
?
＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.
解析：因为B＝
?
?x，y?
?
?
x
??


-=答案=-：BA
8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x解析：将数集A在数轴上表示出来，如图所示，

要满足A?B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.
-=答案=-：m≥3
9．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
解：(1)若AB，由图可知，a>2.

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(2)若B?A，由图可知，1≤a≤2.


10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a
2
－a＋1}，且BA，求a的值．
解：∵BA，∴a
2
－a＋1＝3或a
2
－a＋1＝a.
(1)当a
2
－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验，满足题意．
(2)当a
2
－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合 A中的元素1重复，故a＝1不合题意．
综上所述，a＝－1或a＝2为所求．
层级二 应试能力达标
1．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x
2
}，若A＝B，则2x＋y等于( )

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A．0
C．2
B．1
D．－1
解析：选C 由A＝B，得x＝0或y＝0.
当x＝0时，x
2
＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当y＝0时，x＝x
2
，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1 ，则2x＋y＝
2.
2．已知集合A＝{x|x
2
－3x＋2＝0，x∈R }，B＝{x|0B的集合C的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选D 因为集合 A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A?C?B时，集合C可以
为{1,2}，{1 ,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故集合C有4个．
3．已知集合A＝{x|x＝ 3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )
A．A?B
C．AB
B．A＝B
D．AB
解析：选D 对于x＝3k(k ∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m
∈Z)时，x＝6m－3 (m∈Z)．由此可知AB.
4．已知集合A＝{x|ax
2
＋2x＋a＝0，a∈ R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是
( )
A．1
C．0,1
B．－1
D．－1,0,1
解析：选D 因为集合A有且仅有两个子集， 所以A仅有一个元素，即方程ax
2
＋2x
＋a＝0(a∈R)仅有一个根．
当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．当a≠0时，由Δ＝2
2
－4 ·a·a
＝0，
即a
2
＝1，故a＝±1.
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．
综上所述，a＝0，或a＝±1.
5．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1,1－2a}，且B?A，则a的值为________．

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1
解析：由题意，得1－2a＝3或1－2a＝a，解得 a＝－1或a＝.当a＝－1时，A＝{1,3，
3
1
?
1
???< br>1
－1}，B＝{1,3}，符合题意；当a＝时，A＝
?
1，3，
3
?
，B＝
?
1，
3
?
，符合题意．所以a的
3
????
1
值为－1或
.
3
1
-=答案=-：－1或
3
6．已知M＝{y|y＝x
2
－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系
是____ ____．
解析：∵y＝(x－1)
2
－2≥－2，
∴M＝{y|y≥－2}，∴NM.
-=答案=-：NM
7．已知A＝{x∈R| x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B?A，求实数a的取
值范围．
解：∵B?A，
∴B的可能情况有B≠?和B＝?两种．
①当B≠?时，
??
?
a>3，
?
2a－1<－2，
∵B?A，∴
?或
?
成立，
??
?
a≤2a－1
?
a≤2a－1
解得a>3；
②当B＝?时，由a>2a－1，得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．

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8．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A?B，求m的取值范围．
解：化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，
∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为2
8
－2＝254(个)．
(2)①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝??A；
②当m>－2时，
B＝{x|m－1因此，要B?A，
?
?
m－1≥－2，
则只要
?
?－1≤m≤2.
?
?
2m＋1≤5
综上所述，知m的取值范围是
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．