高中数学的概率计算题-高中数学解答题图片
第一章 集合与函数概念
§1.1 集 合
1．1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特
性.2.体会元素与
集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．
1．元素与集合的概念
(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．
(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用_______
_____________
表示．
2．集合中元素的特性：________、________、________.
3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．
4．元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
如果________的元素，
a∈A a属于集合A
元素与
属于
就说a属于集合A
集合的
如果________中的元素，
关系
不属于 a?A a不属于集合A
就说a不属于集合A
5.常用数集及表示符号：
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
____ ________
____ ____ ____
符号
一、选择题
1．下列语句能确定是一个集合的是( )
A．著名的科学家
B．留长发的女生
C．2010年广州亚运会比赛项目
D．视力差的男生
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A
B．a?A
C．a∈A D．a＝A
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．由a2,
2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
5．已知集合A是由0，m，m
2
－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数
m为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
3
6．由实数x、－x、|x|、x
2
及－x
3
所组成的集合，最多含
有( )
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
题 号
1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)
①不超过π的正整数；
②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题；
④平方后等于自身的数．
8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x
2
∈
A，则实数x的值为________．
9．用符号“∈”或“?”填空
－2_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.
三、解答题
10．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
31
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
22
(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
11．已知集合A是由a－2,2a
2
＋5a,12三个元素组成的，且－
3∈A，求a.
能力提升
12．设P、Q为两个非空实数集合，P中
含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，
定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈
P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
1
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．
1－a
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
1．考查对象能否构成一
个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一
个个体是否属于这个总体，如果有，能构
成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．集合中元素的三个性质
(1)确定性：指的是作
为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某
一个元素属于不属于这个集合是确定的．
要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其
一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两
个元素
都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，
c组
成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
第一章 集合与函数概念
§1.1 集 合
1．1.1
集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
知识梳理
1．(1)研究对象
小写拉丁字母a，b，c，… (2)一些元素组成的总体 大写拉丁字母
A，B，C，… 2.确定性
互异性 无序性
3．一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N
N
*
或N
＋
Z Q R
作业设计
1．C
[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]
2．C
[由题意知A中只有一个元素a，∴0?A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用
“＝”，故选C.]
3．D
[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不
相等的，故选D.]
4．C [因A中含有3个元素，即a
2,
2－a,4互不相等，将选项中的数值代入
验证知答
案选C.]
5．B [由2∈A可知：若m＝2，则m
2
－3m＋
2＝0，这与m
2
－3m＋2≠0相矛盾；
若m
2
－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]
3
6．A [方法一 因为|x|＝±x，x
2
＝|x|，－x
3<
br>＝－x，所以不论x取何值，最多只能写
成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
方法二 令x＝2，则以上实数分别为：
2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．]
7．①④
解析
①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.
8．－1
解析 当x＝0,1，
－1时，都有x
2
∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故
答案为－1
.
9．∈ ∈ ? ?
10．解
(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
1
(3)不正确．对一个集合，它的
元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作
2
为一元素，故这个集合含有三个元素
．
(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．
11．解
由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a
2
＋5a，
3
∴a＝－1或a＝－.
2
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a
2
＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应
舍去．
37
当a＝－时，a－2＝－，2a
2
＋5a＝－3，
22
3
∴a＝－.
2
12．解
∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为
1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
13．证明 (1)若a∈A，则
又∵2∈A，∴
1
∈A.
1－a
1
＝－1∈A.
1－2
11
∵－1∈A，∴＝∈A.
1－?－1?
2
11
∵∈A，∴＝2∈A.
21
1－
2
1
∴A中另外两个元素为－1，.
2
1
(2)若A为单元素集，则a＝，
1－a
即a
2
－a＋1＝0，方程无解．
1
∴a≠，∴A不可能为单元素集．
1－a
第2课时
集合的表示
课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集
合的两种表示方
法表示一些简单集合．
1．列举法
把集合的元素____________出来，并用花括号“{
}”括起来表示集合的方法叫做列举
法．
2．描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．
不等式x－7<3的解集为__________．
所有偶数的集合可表示为________________．
一、选择题
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
3．将集合表示成列举法，正确的是( )
A．{2,3}
B．{(2,3)}
C．{x＝2，y＝3}
D．(2,3)
4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1}
D．{x2－2x＋1＝0}
5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有( )
A．－1∈A B．0∈A
C.3∈A D．2∈A
6．方程组的解集不可表示为( )
A． B．
C．{1,2} D．{(1,2)}
题
2356
号
答
案
二、填空题
8
7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝______________.
6－x
8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；
②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141 59}；
②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1
三、解答题
10．用适当的方法表示下列集合
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{
(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个
集合相等吗？试说明理由．
能力提升
12．下列集合中，不同于另外三个集合的是(
)
A．{x|x＝1}
B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1}
D．{1}
k1k1
13．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈
Z}，若x0∈M，则x0与N
2442
的关系是( )
A．x0∈N
B．x0?N
C．x0∈N或x0?N
D．不能确定
1．在用列举法表示集合时应注意：
①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序
；④列举法可表示有限集，也可
以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较
多或无限，但出现
一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是
数、还是有序实数对(点)、还是集合、
还是其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目
中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪
存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
第2课时 集合的表示
知识梳理
1．一一列举 2.描述法 {x|x<10}
{x∈Z|x＝2k，k∈Z}
作业设计
1．B
[{x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．]
2．D [集合{(
x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，
因此集合表
示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.]
??
?
x＋y＝5，
?
x＝2，
3．B
[解方程组
?
得
?
?
2x－y＝1.
?
y＝3.
??
所以答案为{(2,3)}．]
4．B
[方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝1，
故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．]
5．B
6．C
[方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C不符合．]
7．{5,4,2，－2}
8
解析 ∵x∈Z，∈N，
6－x
∴6－x＝1,2,4,8.
此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．
8．②
解析
①中P、Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
9．④
解析 只有④中M和N的元素相等，故答案为④.
10．解
①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
11．解
因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由
如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝
{
P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．C
[由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，
而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]
2k＋1k＋2
13．A [M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}， 44
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0
∈N，故
选A.]