全国高中数学联赛试题专题分类汇编集合

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
1、集合部分
2019A 2、
若实数集合
?
1,2,3,x?
的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之
和，则
x
的值为 ．

3
◆答案：
?

2
★解析：假如
x ?0
，则最大、最小元素之差不超过
max
?
3,x
?
， 而所有元素之和大于
3
max
?
3,x
?
，不符合条件．故
x?0
，即
x
为最小元素．于是
3?x?6?x
，解得x??
。
2

2019B1.
若实数集合
?
1,2,3,x
?
的最大元素等于该集合的所有元素之和，则
x
的值
为 ．

◆答案：
?3

★解析：条件 等价于
1,2,3,x
中除最大数以外的另三个数之和为
0
．显然
?0
，从而
1?2?x?0
，得
x??3
．

1,2,3,?,99
?
，集合
B?
?
2x|x ?A
?
，集合
C?
?
x|2x?A
?
，则集合20 18A1、设集合
A?
?
B?C
的元素个数为
◆答案：
24

★解析：由条件知，
B?C?
?
2 ,4,6,?,48
?
，故
B?C
的元素个数为
24
。

2018B1、设集合
A?
?
2,0,1,8
?
，集合
B?
?
2a|a?A
?
，则集合
A?B
的所 有元素之和是
◆答案：
31

★解析:易知
B?
?
4,0,2,16
?
，所以
A?B?
?0,1,2,4,8,16
?
，元素之和为
31
.

1,2,?,n
?
，
X,Y
均为
A
的非空子集（允许201 8B三、（本题满分50分）设集合
A?
?
．
X
中的最大元与
Y
中的最小元分别记为
maxX,minY
．求满足
maxX?minY< br>的
X?Y
）
有序集合对
(X,Y)
的数目。
★解析 :先计算满足
maxX?minY
的有序集合对
(X,Y)
的数目.对给定的
m?maxX
，集合
m?1
1,2,?,m?1
?
的任意一 个子集与
?
m
?
的并，故共有
2
种取法.又
m?m inY
，故
Y
X
是集合
?
n?1?m
是
?
m,m?1,m?2,?,n
?
的任意一个非空子集，共有
2?1
种 取法.
因此，满足
maxX?minY
的有序集合对
(X,Y)
的数目是：
?
?
2
?
2
m?1
m?1
n
n? 1?m
?1?
?
2?
?
2
m?1
?
?n?1
?
?2
n
?1

n
m?1m?1
?
?
nn
由于有序集合对
(X,Y)
有
2
n?12
n
?1?2
n
?1
个，于是满足
maxX?mi nY
的有序集
合对
(X,Y)
的数目是
2
n
?1? n?2
n
?2
n
?1?4
n
?2
n
?n?1
?

??????
2
??
2

2017B二、（本题满分40分）给定正整数
m
，证明：存在正整数
k
，使得可将正整数集
N
分拆为
k
个 互不相交的子集
A
1
,A
2
,?,A
k
，每个子集
A
i
中均不存在
4
个数
a,b,c,d
（可以相< br>同），满足
ab?cd?m
．
★证明：取
k?m?1
，令< br>A
i
?{xx?i(modm?1),x?N
?
}
，
i?1,2,L,m?1

设
a,b,c,d?A
i
，则
a b?cd?i?i?i?i?0(modm?1)
，
故
m?1ab?cd
， 而
m?1m
，所以在
A
i
中不存在4个数
a,b,c,d< br>，满足
ab?cd?m


1,2,3,4,5
?
，
b
1
,b
2
,?,b
20
?
?
1 ,2,3,?,10
?
，2017B四、（本题满分50分）。设
a
1
,a
2
,?,a
20
?
?
集合
X?(i,j)| 1?i?j?20,(a
i
?a
j
)(b
i
?b
j
)?0
，求
X
的元素个数的最大值。
★解析：考虑一组满足条件的 正整数
(a
1
,a
2
,L,a
20
,b
1
,b
2
,L,b
20
)

对
k?1,2, L,5
，设
a
1
,L,a
20
中取值为
k
的数有
t
k
个，根据
X
的定义，当
a
i
? a
j
时，
55
?
??
(i,j)?X
，因此至少有
?
C
个
(i,j)
不在
X
中，注意到
?< br>t
k
?20
，则柯西不等式，我们
k?1
2
t
k
k?1
555
111
5
120
22
?1)?3 0
有
?
C??(
?
t
k
?
?
t
k
)??((
?
t
k
)?
?
t
k
)??20?(
22525
k?1k?1k?1k?1k?1
2
从而
X
的元素个数不超过
C
20
?30?190?30?160

2
t
k
5
另一方面，取
a
4k?3
?a< br>4k?2
?a
4k?1
?a
4k
?k
（
k? 1,2,L,5
），
b
i
?6?a
i
（
i?1,2 ,L,20
），
则对任意
i,j
（
1?i?j?20
）， 有
(a
i
?a
j
)(b
i
?b
j
)?(a
i
?a
j
)((6?a
i
)?(6?a
j
))??(a
i
?a
j
)
2
?0

2
2
等号成立当且仅当
a
i
?a
j
，这恰好发生
5C
4
?30
次，此时
X
的元素个数达到
C
20
?30?160

综上所述，
X
的元素个数的最大值为160.

2016B四、（ 本题满分50分）设
A
是任意一个
11
元实数集合．令集合
B??
uv|u,v?A,u?v
?
求
B
的元素个数的最小值． < br>★解析：记
A?
?
a
1
,a
2
,?,a11
?
，不妨设
a
1
?a
2
???a
11

这里显然可以发现有18个数在B中，即
B?18

②若a
1
?a
2
???a
k
?0?a
k?1
?a
k?1
???a
11
，其中
k?5
时，由于
①若
a
i
?0
?
1?i?11
?
恒成立；由于< br>a
1
a
2
?a
2
a
3
?a
2
a
4
???a
2
a
11
?a
3
a
11
???a
10
a
11
，
a
ka
k?1
?a
k
a
k?2
???a
k
a
11
?a
k?1
a
11
?a
k?2
a< br>11
???a
2
a
11
?a
1
a
1 1
有10个非负数；
又
a
k?2
a
k?3
?a< br>k?2
a
k?4
???a
k?2
a
11
?a
k?3
a
11
?a
k?4
a
11
???a
10
a
11
有
17?2k
个正数，
故此时，B?10?17?2k?27?2k?17
，当
k?5
时，
B
m in
?17
，如
A?0,?1,?2,?2
2
,?2
3< br>,?2
4
，
B?0,?1,?2,?2
2
,?2
3< br>,?2
4
,?2
5
,?2
6
,?2
7
,?2
8
满足；
③若
a
1
?a
2
?? ?a
k
?0?a
k?1
?a
k?1
???a
11< br>，其中
k?6
时，由于
a
k
a
k?1
?a
k
a
k?2
???a
k
a
11
?a
k?1
a
11
?a
k?2
a
11
???a
2
a
11
?a
1
a
11
有10个非负数； 又
a
1
?a
2
???a
6
?0
，则< br>a
5
a
6
?a
5
a
4
?a
5
a
3
?a
5
a
2
?a
5
a1
?a
4
a
1
?a
3
a
1
? a
2
a
1
有8
个正数，
故此时，
B?10?8?18

④若
a
i
?0?
1?i?11
?
恒成立；同①显然可以发现有18个数在B中，即
B? 18
；
综上。B的元素个数的最小值为17.

????

2015AB10、（本题满分20分）设
a1
,a
2
,a
3
,a
4
是
4
个有理数，使得
31
??
?
|1?i?j?4??24,?2,?,?,1, 3
?
，求
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
的值。
?
ij
28
??
★解析：由条件可知，
a
i
a
j
(1?i?j?4)
是6个互不相同的数，且其中 没有两个为相反数，
?
aa
由此知，
a
1
,a
2< br>,a
3
,a
4
的绝对值互不相等，不妨设
|a
1|?|a
2
|?|a
3
|?|a
4
|
，则|a
i
||a
j
|(1?i?j?4)
中最小的与次小的两个数 分别是
|a
1
||a
2
|
及
|a
1
||a
3
|
，最大与次大的两
1
?
aa??,
?
12
8
?
?
个数分别是
|a
3
||a4
|
及
|a
2
||a
4
|
，从而必须 有
?
a
1
a
3
?1,
10 分
?a
2
a
4
?3,
?
?
?
a
3
a
4
??24,
113
,a
3
?,a
4< br>???24a
1
． 于是
a
2
??
8a
1< br>a
1
a
2
13
2
故
{a
2
a
3
,a
1
a
4
}?{?
2
,?24a< br>1
}?{?2,?}
，15分
8a
1
2
1
结合
a
1
?Q
，只可能
a
1
??
． 4
1111
由此易知，
a
1
?,a
2
??,a
3
?4,a
4
??6
或者
a
1
??,a< br>2
?,a
3
??4,a
4
?6
．
4242
检验知这两组解均满足问题的条件．
故
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
??
9
． 20 分
4

2015A二、（本题满分40分）设
S?
?
A
1
,A
2
,?,A
n
?
，其中
A
1,A
2
,?,A
n
是
n
个互不相同的有
限集合 （
n?2
），满足对任意的
A
i
,A
j
?S
,均有
A
i
?A
j
?S
，若
k?minA
i
?2
.证明：存
1?i?n
在
x?
?
A
i
，使得
x
属于
A
1
,A
2
,?,A< br>n
中至少
i?1
n
n
个集合（这里
X
表示有 限集合
X
的元素个
k
数）。
★证明：不妨设
|A
1
|?k
．设在
A
1
,A
2
,L,A
n< br>中与
A
1
不相交的集合有
s
个，重新记为
B
1
,B
2
,L,B
s
，设包含
A
1
的集合 有
t
个，重新记为
C
1
,C
2
,L,C
t
．由已知条件，
(B
i
UA
1
)?S
，
即
(B
i
UA
1
)?{C
1
,C
2
,L,C
t
}
，这样我们得到一个映射

f:{B
1,B
2
,L,B
s
}?{C
1
,C
2
,L,C
t
},f(B
i
)?B
i
UA
1
．
显然
f
是单映射，于是，
s?t
． 10 分
设< br>A
1
?{a
1
,a
2
,L,a
k
}
．在
A
1
,A
2
,???,A
n
中除去< br>B
1
,B
2
,L,B
s
，
C
1,C
2
,L,C
t
后，在剩下的
，由于剩下的
n?s? t
个集合中每个
n?s?t
个集合中，设包含
a
i
的集合有
x
i
个（
1?i?k
）
集合与从的交非空，即包含某个a
i
，从而
x
1
?x
2
?L?x
k
?n?s?t
． 20 分
n?s?t
不妨设
x
1
?maxx
i
， 则由上式知
x
i
?
，即在剩下的
n?s?t
个集合中，包含
a
1
的集
1?i?k
k
n?s?t
合至少有个． 又由于
A
1
?C
i
(i?1,2,???,t)
，故
C
1
,C
2
,L,C
t
都包含
a
1，因此包含
a
1
k

的集合个数至少为
n?s?tn?s?(k?1)tn?s?t
（利用
k?2
）
?t??
kkk
?

n
（利用
s?t
)． 40 分
k
2015B 6、设
k
为实数，在平面直角坐标系中有两个点集
A?(x,y)x
2
?y
2
?2(x?y)
和
? ?
B?
?
(x,y)kx?y?k?3?0
?
，若
A?B< br>是单元集，则
k
的值为

◆答案：
?2?3

22
★解析：点集A是圆周
?:(x ?1)?(y?1)?2
，点集B是恒过点
P(?1,3)
的直线
．作出这两 个点集知，当A自B是单元集时，直线l是
l:y?3?k(x?1)
及下方（包括边界）过点P的圆
?
的一条切线．故圆
?
的圆心 M (1, l）到直线l的距离等于圆的半径
2
，
故

2014A 2、设集合
?
值为
◆答案：
5?23
★解析：由
1?a?b?2
知，
又
|k?1?k?3|
k?1< br>2
?2
．结合图像，应取较小根
k??2?3
．
?
3
?
?b|1?a?b?2
?
中最大元素与最小元素分别为
M,N< br>，则
M?N
的
?
a
?
33
?b??2?5< br>，当
a?1
，
b?2
时，得最大元素
M?5
，
a1
33
M?m?5?23
。当
a?b?3
时，得最小元素
m?23
。因此，
?b??a?23
，
aa

1,2, ?,100
?
，求最大的整数
k
，使得
S
有
k个互不相同2014A三、（本题满分50分）设
S?
?
的非空子集，具有性质： 对这
k
个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中
的最小元素与这两 个子集中的最大元素均不相同。
★解析：对有限非空实数集
A
，用
minA
，
maxA
分别表示
A
中的最小元素和最大元素。
考虑< br>S
的所有包含
1
且至少有两个元素的子集，一共有
2
99min
?
A
i
?A
j
?
?1?maxA
i
，故
k
max
?2
99
?1
。
99
?1
个，它们显然满足要求，因为
下面证明
k?2
时不存在满足要求 的
k
个子集.我们用数学归纳法证明：对整数
n?3
，集合
?
1,2,?,n
?
的任意
m
（
m?2
n?1
）个 不同的非空子集
A
1
,A
2
,?,A
m
中，存在两 个不同的子集
A
i
,A
j
，满足
A
i
?A
j
?
?
，且
min
?
A
i
?A< br>j
?
?maxA
i
①
n?1
显然只需对
m?2
的情形证明上述结论。
1,2,3
?
的全部非空子集分成三组：第一组
?
3
?
,
?
1,3
?
,
?
2,3
?
；第二组
?
2?
,
?
1,2
?
；第当
n?3
时，将
?
1,
?
1,2,3
?
。由抽屉原理，任意4个非空子集必有两个是 在同一组，取同组的两个子集三组
??
A
i
,A
j
，排在前 面的记为
A
i
，则满足①；
n?1
假设当
n
（< br>n?3
）时，结论①成立，考虑
n?1
时，若
A
1
, A
2
,?,A
2
n
中至少有
2
个子集不
? 1
个子
n?1n?1
1,2,?,n
?
集不含
n?1
，则至少有
2?1
子集含
n?1
，将其中
2?1
子集去掉
n?1
，得到
?
含
n?1
，对其中的
2
的
2
n?1
n?1
个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足①；若至多有2
n?1
?1
个子集。
1,2,?,n
?
的全体子集 可以分成
2
n?1
组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，在上述又由于
?< /p>

2
n?1
?1
个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.
因此 ，相应地有两个子集
A
i
,A
j
，满足
A
i
?A
j
?
?
n?1
?
，这两个子集显然满足结论①。
故
n?1
时结论也成立。
综上所述，所求
k
的最大值为
2
99
?1


2
2013A1、设集合
A?
?
2,0,1,3
?
,集合
B?x|?x?A,2?x?A
，则集合
B
中所有元素的和
为
◆答案：
?5

★解析：易得
B?
?
?3,?2,?1,0
?
，验证即可得
B?
?
?3,?2< br>?
，所以所求为
?2?3??5

??
2008A B2、设
A?[?2,4)
,
B?x|x?ax?4?0
，若
B?A
,则实数
a
的取值范围为（ ）
A.
[?1,2)
B.
[?1,2]
C.
[0,3]
D.
[0,3)

◆答案： D
?
2
?
aa< br>2
aa
2
，故★解析：因为
x?ax?4?0
有两个实根 < br>x
1
??4?
，
x
2
??4?
B?A
等价
24
24
2
2
2
aa
aa
于
x
1
??2
且
x
2
?4
，即
?4??? 2
且
?4??4
，解之得
0?a?3
．
24
24

1,2,3,?,100
?
的两个子集，满足：
A
与
B
的元素个数相同，且2007*6、已知
A
与
B
是集合
?
A?B
为空集，若
n?A
，则
2n? 2?B
，则集合
A?B
的元素个数最多为
A.
62
B.
66
C.
68
D.
74

◆答案：B
1,2,?,49
?
的任一个
34
元子★解析：先证
A?B ?66
，只须证
A?33
，为此只须证若
A
是
?
集 ，则必存在
n?A
，使得
2n?2?B
。证明如下：
1,2,?, 49
?
分成如下
33
个集合：
?
1,4
?
，
?
3,8
?
，
?
5,12
?
，…，?
23,48
?
}共
12
个；
?
2,6
?
，将
?
?
10,22
?
，
?
14, 30
?
，
?
18,38
?
共
4
个；
?
25
?
，
?
27
?
，
?
29
?
，…，
?
49
?
共
13
个；
?
26
?
，
?
34
?
，
?
42?
，
?
46
?
共
4
个。由于
A
是
?
1,2,?,49
?
的
34
元子集，从而由抽屉原理 可知上述
33
个集合
中至少有一个
2
元集合中的数均属于
A
，即存在
n?A
，使得
2n?2?B
。
1,3,5,?, 23,2,10,14,18,25,27,29,?,49,26,34,42,46
?
,
B?
?
2n?2|n?A
?
，则如取
A?
?
A,B
满足题设,且
A?B?66
。

2006*3、已知集合
A?
?
x|5x?a?0
?
，
B?
?
x| 6x?b?0
?
，
a,b?N
，且
A?B?N?
?
2,3,4
?
，则整数对
(a,b)
的个数为
A.
20
B.
25
C.
30
D.
42

◆答案：C
★解析：
5x?a?0
?x?
ab
；
6x?b?0
?x?
。要使
A?B?N?
?
2,3,4
?
，则
56
?
b
1??2
?
?
6?b?12
?
6
11
，即。所以数对
?
a,b
?
共有
C
6
C
5
?30
。
?
?
?
20?a?25< br>?
4?
a
?5
?
5
?

2004*三、（本题满分50分） )对于整数
n?4
，求出最小的整数
f (n)
，使得对于任何正整数
m
，集合
?
m.m?1,m?2,?, m?n?1
?
的任一个
f(n)
元子集中，均至少有
3
个两 两互素的元
素。

★解析：
⑴ 当
n?4
时，对集合
M
?
m,n
?
?
?
m.m?1,m? 2,?,m?n?1
?
，
当
m
为奇数时，
m
，< br>m?1
，
m?2
互质，当
m
为偶数时，
m?1
，
m?2
，
m?3
互质．即
M
的子集中存在
3< br>个两两互质的元素，故
f(n)
存在且
f(n)?n
． ①
取集合
T
n
?
?
t|2|t,或3|t,t?n?1< br>?
，则
T
为
M
?
2,n
?
?
?
2,3,?,n?1
?
的一个子集，且其中任
3
个
数无 不能两两互质．故
f(n)?T?1
．（
T
表示元素个数）
?n?1
??
n?1
??
n?1
?
?
?
?
?
?1
②
???
??
3
??
6
?

f(7)?7< br>，
7?f(8)?8
，
8?f(9)?9
．
现计算
f (6)
，取
M?
?
m,m?1,m?2,m?3,m?4,m?5
?
，若取其中任意5个数，当这5个
数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶 数
k,k?2,k?4
(
k?0(m0d2)
)
?
?
?
?
但
T?
?
．故
f(n)?
????
?
2
??
3
??
6
??
2
由①与②得，< br>f(4)?4,f(5)?5
，
5?f(6)?6
，
6?
时， 其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数
与另两个奇数两两 互质．故
f(6)?5
．
而
M
?
m,n?1
?< br>?M
?
m,n
?
?
?
m?n
?
，故
f(n?1)?f(n)?1
. ③
所以
f(7)?6
，< br>f(8)?7
，
f(9)?8
．
?
n?1
??n?1
??
n?1
?
?
n?1
??
n?1??
n?1
?
?
?
?
?
?1
成立． ④
???
?
2
??
3
??
6
?
设对于
n?k
④成立，当
n?k?1
时，由于
M
?
m,k?1
?
?M
?
m,k?5
?
?
?
m?k?5,m?k?4,?,m?k
?
．
∴ 对于
4?n?9
，
f(n)?
?
在
?
m?k?5,m?k?4,?,m?k
?
中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，
只要在前面的
M
?
m,k?5
?
中取出
f(n)
个数就必有3个两两互质的数．于是
当
n?4
时，
f(n?6)?f(n)?4?f(n)?f(6)?1
．
故
f(k?1)?f(k?5)?f(6)?1?
?
?
k?2
??
k?2
??
k?2
?
?
?
?
?
?1
，
???
?
2
??
3
??
6
?
?
n?1
??
n?1
??
n?1
?
?
?
?
?
?1
成立．
???
?
2
??
3
??
6
?
比较②，知对于
n?k?1，命题成立．
?
∴对于任意
n?4
，
n?N
，
f(n)?
?
又可分段写出结果：
?
4k?1n?6k,k?N
?
?
?
4k?2n?6k?1,k?N
?
?
?
?< br>4k?3n?6k?2,k?N
f(n)?
?

?
?
4k?4n?6k?3,k?N
?
4k?4n?6k?4,k?N
?
?
?
?
?
4k?5n?6k?5,k?N

2003*9、已知A?x|x?4x?3?0
，
B?x|2
?
2
?
?1?x
?a?0,x
2
?2(a?7)x?5?0,
若
?
A?B
，则实数
a
的取值范围是
◆答案：
?
?4,?1
?

★解析：由题意得
A?
?
1,3
?
；又
a??2
1?x
，因为
? 2
1?x
1
??
?
?
?1,?
?
；当x?
?
1,3
?
时，
4
??

x
2
?5
a??7
，
2x
x
2
?5
?7?
因为
2x
?4?a??1
．

?
x
2
?5
5?7,?4
．因为
A?B
，即
?7? a??2
1?x
恒成立，所以
2x
?

2002*5、已知 两个实数集合
A?
?
a
1
,a
2
,?,a
100
?
与
B?
?
b
1
,b
2
, ?,b
50
?
，若从
A
到
B
的映射
f使得
B
中每个元素都有原象，且
f(a
1
)?f(a
2
)???f(a
100
)
则这样的映射共有
A.
C
100
个 B.
C
99
个 C.
C
100
个 D.
C
99
个
◆答案：D
★解析：不妨设
b
1
?b
2
???b
50
，将
A
中元素
a< br>1
,a
2
,?,a
100
按顺序分为非空的
50组，定义
映射
f:A?B
，使得第
i
组的元素在
f之下的象都是
b
i
(
i?1,2,?,50
)，易知这样的< br>f
满
足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射
f
的个
数与A按足码顺序分为
50
组的分法数相等，而
A< br>的分法数为
C
99
，则这样的映射共有
C
99
，故选D。
4949
50
48
49
49

20 01*1、已知
a
为给定的实数，那么集合
M?x|x?3x?a?2?0
的 子集的个数为
A.
1
B.
2
C.
4
D. 不确定
◆答案：C
★解析：方程
x?3x?a?2?0
的根的判别式
?? 1?4a?0
，方程有两个不相等的实数
根．由
M
有
2
个元 素，得集合
M
有
2?4
个子集．

2000*1、设全集 是实数，若
A?x|
2
222
?
22
?
x?2?0
，
B?x|10
则
A?C
R
B
是( )
?10
x
，
A.
?
2
?
B.
?
?1
?
C.
?
x|x?2
?
D.
?

◆答案：D
★解析：由题意得：A={2}，B={2，－1}，故选D．
1998*2、若非空集合
A?
?
x|2a?1?x?3a?5
?
,
B?
?
x|3?x?22
?
，则能使
A?A?B
成
立的所有
a
的集合是( )
A.
?
a|1?a?9
?
B.
?
a|6?a?9
?
C.
?
a|a?9
?
D.
?

◆答案：B < br>★解析：即
A?B
，
A?
?
．所以
3?2a?1?3 a?5?22
，解得
6?a?9
。故选B．

1996*7、集合
?
x|?1?log
1
10??
??
?
x
2
?2
?
?
?
90
◆答案：
2?1
x
?
1
,x?N
?
?
的真子集的个数是_______ ______________．
2
?
90
★解析：由已知，得
1 ?lgx?2
即
10?x?100
．故该集合有
90
个元素．其真子 集有
2?1
个．

1,2,3,?,1995
?
，
A
是
M
的子集且满足条件:当
x?A
时，
15x?A，则
A
1995*12、设
M?
?
中元素的个数最多是____ __．
◆答案：
1870

★解析：因为1995
=
15 ×133．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这此数均符合要

求．
2
在所有15的倍数的数中，15的倍数有8个，这此数又可以取出，这样共取 出了1870个．即
A?1870
．又
?
k,15k
?
(< br>k?9,10,11,?,133
)中的两个元素不能同时取出，故
A?1995?13 3?8?1870
．综上
A?1870


2
??
5
??
??
22
1994*9、已知点集
A?
?
( x,y)|(x?3)?(y?4)?
??
?
，
?
?
2?
?
??
2
??
5
??
??
22B?
?
(x,y)|(x?4)?(y?5)?
??
?
，则点集
A?B
中的整点(即横、纵坐标均为整数的
y
?
?
2
?
?
??
点)的个数为__ ____．
(4,5)
◆答案：
7

(3,4)
3
★解析：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，
2
(1， 5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点．
1

x
3
O
1
2


2 2
2
1993*1、若
M?
?
x,y
?
|tan< br>?
y?sin
?
x?0
，
N?
?
x,y?
|x?y?2
，则
M?N
的元素
??
??
个 数是（ ）
A.
4
B.
5
C.
8
D.
9

◆答案：D
★ 解析：对集合
M
，可得
tan
?
y?0,sin
?
x?0
，即
y?k
(
k?Z
)，
x?m
(
m?Z
)，
M?N
即圆
x?y?2
及圆内的整点数．共
9
个．选D．


1993*3、集合
A,B
的并集
A?B?
?
a
1
,a
2
,a
3
?
，当
A?B
时，
?
A,B
?
与
?
B,A
?
视为不同的对，
则这样的
?
A,B
?
对的个数是 （ ）
A.
8
B.
9
C.
26
D.
27

◆答案：D
★解析：
a
1
?A
或
a
1
?A
，有2种可能，同样
a
1
?B
或
a
1
?B
，有2种可能，但< br>a
1
?A
与
a
1
?B
不能同时成立，故有< br>2?1
种安排方式，同样
a
2
,a
3
也各有
2?1
种安排方式，故共有
22
22
?
2?1
?
2
3
?27
种安排方式．选
D
．

1993*二、 （本题满分35分）设
A
是一个有
n
个元素的集合，
A
的< br>m
个子集
A
1
,A
2
,?,A
m
两
两不包含。试证：⑴
m
?
C
i?1
m
1
A
i
n
?1

⑵
A
i
2
i
A
C?m
，其中表示所含的元素个数，
C
A
?
n
i
n
表示从
n
个不同元素中取出
A
ii
个的
A
i?1
组合数。
★证明：
⑴ 即证：若
k
1
?k
2
???k
m
?n
，则
k
1
!
?
n?k
1
?
!?k
2
!
?
n?k2
?
!???k
m
!
?
n?k
m1
?
!?n!
．
由于
n!
表示
n
个元素的全 排列数，而
k
i
!
?
n?k
i
?
!
表示先在这
n
个元素中取出
k
i
个元素排
列再把其其余元 素排列的方法数，由于
A
i
互不包含，故
k
1
!
?
n?k
1
?
!?k
2
!
?
n?k
2
?
!???k
m
!
?
n?k
m1
?!?n!
成立．

?
m
1
⑵ ∵?
?
A
?
i?1
C
i
n
?
m
m
?
?
m
A
i
?
?
?
?
C
n
?
?
?
1?1???1
?
2
?m
2
．且
0?
?
1
?1
，故
?
C
n
A
i
?m
2
．
A
i
??
i?1
i?1
?
i?1
C
n
?

1992*二、（本题满分35分）
1,2,?,n
?
．若
X< br>是
S
n
的子集，把
X
中所有数的和称为
X
的 “容量”(规定空集设集合
S
n
?
?
的
容量为
0
)，若
X
的容量为奇(偶)数，则称
X
为的奇(偶)子集．
1．求证：
S
n
的奇子集与偶子集个数相等．
2．求证：当
n?3
时，
S
n
的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
3．当
n?3
时，求
S
n
的所有奇子集的容量之和．
1
?
，
1
，★证明：⑴ 对于
S
n
的每个 奇子集
A
，当
1?A
时，取
B?A
?
当
1 ?A
时，取
B?A?
??
1
?
，当
1?B
时，取则
B
为
S
n
的偶子集.反之，若
B
为
S
n
的偶子集，当
1?B
时，取
A?B
?
A?B ?
??
1
，于是在
S
n
的奇子集与偶子集之间建立了一个一 一对应，故
S
n
的奇子集与偶子集
的个数相等.
⑵ 对于任一i?S
n
，
i?1
，含
i
的
S
n的子集共有
2
n?1
个，其中必有一半是奇子集，一半是偶
子集，从而每 个数
i
，在奇子集的和与偶子集的和中，
i
所占的个数是一样的.
而对于元素
1
，只要把
S
n
的所有子集按是否含有
3
配对(即在上证中把
1
换成
3
来证)，于是也
可知
1的奇子集与偶子集中占的个数一样，于是可知每个元素都是在奇子集中与偶子集中占的
个数一样.所 以
S
n
的所有奇子集的容量的和，与所有偶子集的容量的和相等.
⑶ 由于每个元素在奇子集中都出现
2
n?2
次，故奇子集的容量和为
?
1?2?3???n
?
?2
n?2
?n(n?1)?2
n?3．

22
1991*5．设
S?(x,y)|x?y?
奇数，
x,y?R
?
，
T?(x,y)|sin(2
?
x
2
)?sin(2
?
y
2
)?cos(2
?
x< br>2
)?cos(2
?
y
2
)
，
x,y?R< br>?
，则( )
A．
S?T
B．
T?S
C．
S?T
D．
S?T?
?

◆答案：A
22
?
?
★解析：若
x?y
为奇数，则
sin2
?
x?sin2
?< br>y
又若
x?y
时，
sin2
?
x?sin2
?
y
?
2
??
?
2
2
?
?cos
?
2
?
x
??
2
?
?cos
?< br>2
?
x
?
?cos
?
2
?
y
?
成立，即
S?T
．
?
?cos
?
2
?
y
?
也成立，即得ST，选A．
222
2

1 ,2,?,1000
?
，现对
M
中的任一非空子集
X
,令
a
X
表示
X
中最大数1991*12．设集合
M?< br>?
与最小数的和．那么，所有这样的
a
X
的算术平均值为 ．
◆答案：
1001

★解析：对于任一整数
n
(
0?n?1000
)，以
n
为最大数的集合有
2
合有
2< br>1000?n
n?1
个，以
n
为最小数的集
个，以
1 001?n
为最小数的集合则有
2
n?1
个，以
1001?n
为最大数的集合则有
2
1000?n
个．故
n
与
1001 ?n
都出现
2
n?1
?2
1000?n
次．
1< br>1000
n?11000?n
?
?1001?
?
2
1 000
?1
?
． ∴ 所有
a
X
的和为
?
1001?
?
2?2
2
n?1
∴ 所求平均值为
1001
．
又解：对于任一组子集
A?
?
b
1
,b
2
,?,b
k
?
，
b
1< br>?b
2
???b
k
(
1?k?1000
)，取子集
A

?
?
1001?b
1
,1001?b
2
,?,1001?b
k
?
，若
A?A

，则此二子集 最大数与最小数之和为
b
1
?b
k
?1001?b
1?1001?b
k
?2002
，平均数为
1001
．若
A?A

，则
A
本身的为
1001
．
由于每一子集均可配对．故所求算术平均数为
1001
．

1,2,?,n
?
，
A
为至少含有两项的公差为正的等差 数列，其项都在
S
中，且1991*一、设
S?
?
添加
S< br>的其他元素于
A
后不能构成与
A
有相同公差的等差数列．求这种
A
的个数(这里只有两
项的数列也看作等差数列)．
★解析：易知公差
1?d?n?1
．
设
n?2k
，
d?1
或
d?n?1
时，这样的
A
只有
1
个，< br>d?2
或
d?n?2
时，这样的数列只有
2
个，
d? 3
或
d?n?3
时这样的数列只有
3
个，……，
d?k?1
或
k?1
时，这样的数列有
k?1
个，
d?k
时， 这样的数列有
k
个．
∴ 这样的数列共有
?
1?2???k
?
?2?k?k?
2
1
2
n
个．
4
1
2
n?1
个．
4
?
1
2< br>?
个(或
?
n
?
个)．
?
4
?< br>当
n?2k?1
时，这样的数列有
?
1?2???k
?
?2?k(k?1)?
n?1
??
n
2
1?
?
? 1
?
?
两种情况可以合并为：这样的
A
共有
48
?
n
?
1,2,?,k
?
中，一在解法二：对于
k?
??
，这样的数列
A
必有连续两项，一项在
?
2
??
?
k?1,k?2,?,n
?
中，反之，在此两集合中各取一数，可以其差为公差构 成一个
A
，于是共
有这样的数列
当
n?2k
时，这样的< br>A
的个数为
k?
2
1
2
n
个；当
n ?2k?1
时，这样的
A
的个数为
4
1
2
n?1< br>个．
4
?
1
2
?
∴ 这样的数列有
?
n
?
个．
?
4
?
解法一也可这样写： 设
A
的公差为
d
，则
1?d?n?1
．
⑴ 若
n
为偶数，则
n
当
1?d?
时，公差为
d的等差数列
A
有
d
个；
2
n
当
?d ?n?1
时，公差为
d
的等差数列
A
有
n?d
个．
2
n
??
n
??
1
2
故当
n为偶数时，这样的
A
共有
?
1?2???
?
?
?
1?2??(n??1)
?
?n
个．
2
??
2
??
4
⑵ 若
n
为奇数，则 < br>n?1
当
1?d?
时，公差为
d
的等差数列
A
有
d
个；
2
n?1
?d?n?1
时，公差为
d
的等差数列
A
有
n?d
个. 当
2
n?1
??
n?1
?
1
2
?
)
?
?
?< br>n?1
?
个． 故当
n
为奇数时，这样的
A
共有?
1?2???
?
?
?
1?2???
22
?? ??
4
n?1
n
2
1?
?
?1
?
?
1
2
?
?
两种情况可以合并为：这样的
A
共有个 (或
?
n
?
个)．
48
?
4
?
?
n
?
1,2,?,k
?
中，一在解法二：对于
k?
??
，这样的数列
A
必有连续两项，一项在
?
?
2
?
?
k?1,k?2,?,n
?
中，反之，在此两集合中各取一数，可以其 差为公差构成一个
A
，于是共
k(k?1)?
??

有这样的数列
当
n?2k
时，这样的
A
的个数为
k?
2
1
2
n
个；当
n?2k?1
时，这样的A
的个数为
4
1
2
n?1
个．
4
?
1
2
?
∴ 这样的数列有
?
n
?
个．
?
4
?
k(k?1)?
??

?
1
3
1
?
y?
?
?lgx?lgy
?
中的元素个数 为（ ）
39
?
??
A.
0
B.
1
C.
2
D.多于
2

1990*4、点集
?
(x,y)|lg
?< br>x
3
?
◆答案：B
?
?
?
1111
1
3
1
y??xy?0
．又
x
3
?y
3
??3
3
x
3
?y
3
??xy
，等号当且
3939
39
3
3
3
9
1
3
1< br>3
仅当
x?y?
时，即
x?
，
y?
时成立． 故选B．
3
3
39
★解析：由题意得
x?
3
< br>1989*5.若
M?
?
z|z?
t1?t
??
?i ,t?R,t??1,t?0
?
，
1?tt
??

N?z |z?2
?
cos(arcsint)?icos(arccost)
?
,t ?R,t?1
，则
M?N
中元素的个数为（ ）
??
A.
0
B.
1
C.
2
D.
4

◆答案：A
★解析 ：
M
的图象为双曲线
xy?1
(
x?0
，
x?1< br>)，
N
的图象为
x?y?2
(
x?0
)，二者
无公共点．选
A
．

M?
?
u|u?12m?8n?4 l,m,n,l?z
?
1989*6.集合，
22
N?
?
u |u?20p?16q?12r,p,q,r?z
?
的关系为（ ）
A.
M?N
B.
M?N,N?M
C.
M?N
D.
N?M

??
◆答案：A < br>★解析：
u?12m?8n?4l?4(3m?2n?l)
，由于
3m?2n? l
可以取任意整数值，故
M
表
示所有4的倍数的集合．同理
u?20 p?16q?12r?4(5p?4q?3r)
也表示全体4的倍数的
集合．
1988*3.平面上有三个点集
M,N,P
:
M?(x,y)|x?y?1，
??
?
?
N?
?
?
x,y
??
?
P?
?
(x,y)|
??
2222
?1
??
1
?
1
??
1
?
?
? ?
?
x?
?
?
?
y?
?
?
?x?
?
?
?
y?
?
?22
?
， 2
??
2
?
2
??
2
???
?
?
x?y?1,x?1,y?1
?
。则（ ）
A.
M?P?N
B.
M?N?P
C.
P?N?M
D.A、B、C都不成立
????
◆答案：A ★解析：
M
表示以
?
1,0
?
,
?
0 ,1
?
,
?
?1,0
?
,
?
0,?1?
为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；
?
11
?
?
11
?
N
表示焦点为
?
,?
?
，
?
?,
?
，长轴为
22
的椭圆内部的点的集合，
P
表示由
?
22
?
?
22
?

x?y??1
，
x??1
，
y??1
围成的六边形内部的点的集合．故选A．

1987*5.已知集 合
M?
?
x,xy,lg(xy)
?
,
N?
?0,x,y
?
,且
M?N
，则
??
2001
1
??
2
1
??
3
1
?
1
?
???????
?
x?
y
?
?
?
x?
y
2
?
?
?
x?
y
3
?
????
x?
y
2001
?
?
的值为 （陕西供题）
????????
◆答案：
?2

★解析：
0?M
，但
xy?0
，故只有
lg(xy)?0
，即
xy ?1
．
∴
1?N
，故
x?1
，或
y?1
，若
y?1
，则由
xy?1
得，
x?1
，与元素相异性矛 盾．故
y?1
．
∴
x?1
，
x?1
或
x ??1
，其中
x?1
同上矛盾．故
x??1
．
y??1．
11
2k?1
?
?2x???2
； ()．故所求值为
?2
．
k?N
2k2k?1
yy
解：< br>xy?0
，得
x?0,y?0
．故
xy?1
．若
y? 1
，则
x?1
，矛盾，故
x??1
，
y??1
．原
式为
?2
．
∴
x
2k
?

1 987*6．已知集合
A?
?
x,y
?
x?y?a,a?0
，
B?
?
x,y
?
xy?1?x?y
，
若
A?B
是
平面上正八边形的顶点所构成的集合，则
a
的值为 ．(青海供题)
◆答案：
a?2
或
2?2

★解析：集合
A
的图形是依次连
?
a,0
?
，
?
0,a
?
，
?
?a,0
?
，
?
0,?a
?
四点的线段．
集合
B
的图形是直线
x?1
，
x ??1
，
y?1
，
y??1
．它们交得一个正八边形．
若 此
4
条直线为图中的
4
条实线，则
a?tan22.5?1?2．或此正八边形
各边与原点距离相等，知直线
x?y?a
与原点距离等于
1
．所以
a?2
．
若此
4
条直线为图中的
4< br>条虚线，则
2a?22?2
，得
a?2?2
．
∴
a?2
或
a?2?2
．

1984*1、 集 合
S?z
2
0
????
?
??
argz?a,a为 常数
?
?
2
在复平面上的图形是( )
A．射线
argz?2a
B．射线
argz??2a
C．射线
argz?a
D．上述答案都不对
◆答案：D
★解析：由于
argz?
?
0,2
?
?
，
argz?2
?
?a
，故选D．

1983*4、已知< br>M?
?
x,y
?
y?x
的充要条件是（ ）
A .
a?
2
?
，
N?
?
?
x,y
?
x?
?
y?a
?
2
?1
，那么使
M?N? N
成立
?
55
B.
a?
C.
a?1
D.
0?a?1

44
2
◆答案：A
M?N?N
的充要条件是圆
x
2
?
?
y?a
?
?1
在抛物线
y?x
2< br>内部(上方)．★解析：即
a?1
，
且方程
y?(2a?1)y?a? 1?0
的
??0
解得，
a?
22
5
，选
A
．
4

1982*7、 设
M?
?
x,y
?
xy?1,x?0
，
N?
?
x,y
?
arct anx?arccoty?
?
，那么（ ）
????
A．
M? N?
?
x,y
?
xy?1
B．
M?N?M

C．
M?N?N
D．
M?N?
?
x,y
?
xy?1
，其中
x,y< br>不同时为负
??
??

数
◆答案：B
★解析：
M
是双曲线
xy??1
在第一、四象限内的两支；
由
arctanx?
?
?arccoty
，
x??
1?
?
?
，即
xy??1
，若
x?0,
则
arctanx?
?
?,0
?
，而
y
?
2
?
arccoty?
?
0,
?
?
，
?
? arccoty?
?
0,
?
?
，故
x?0
．即N
是
xy??1
在第四象限的一支．故

选B．