高中数学 第一章 集合与函数概念1.1集合课后习题(A组.B组)

第一章 集合与函数概念1．1集合
1．1．1集合的含义与表示
练习（第5页）
1．用符号“
?
”或“
?
”填空：
（1）设
A
为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______
A< br>，美国_______
A
，
印度_______
A
，英国_______
A
；
（2）若
A?{x|x?x}
，则
?1
_______
A
；
（3）若
B?{x|x?x?6?0}
，则
3
_______
B
；
（4）若
C?{x?N|1?x?10}
，则
8
_______
C
，
9.1
_______
C
．
1．（1）中国
?
A
，美国
?
A
，印度
?
A
，英国
?
A
；
中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．
（2）
?1
?
A

A?{x|x?x}?{0,1}
．
（3）
3
?
B

B?{x|x?x?6?0}?{?3,2}
．
（4）
8
?
C
，
9.1
?
C

9.1?N
．
2．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程
x?9?0
的所有实数根组成的集合；
（2）由小于
8
的所有素数组成的集合；
（3）一次函数
y?x? 3
与
y??2x?6
的图象的交点组成的集合；
（4）不等式
4x?5?3
的解集．
2
2．解：（1）因为方程< br>x?9?0
的实数根为
x
1
??3,x
2
?3
，
2
2
2
2
2
所以由方程
x?9?0
的所有实数根组成的集合为
{?3,3}
；
（2）因为小于
8
的素数为
2,3,5,7
，
所以由小于
8
的所有素数组成的集合为
{2,3,5,7}
；
2
（3）由
?
?
y?x?3
?
x?1
，得
?
，
?
y??2x?6
?
y?4
即 一次函数
y?x?3
与
y??2x?6
的图象的交点为
(1,4)< br>，
所以一次函数
y?x?3
与
y??2x?6
的图象的交点 组成的集合为
{(1,4)}
；
（4）由
4x?5?3
，得
x?2
，
所以不等式
4x?5?3
的解集为
{x|x?2}
．
1．1．2集合间的基本关系

练习（第7页）
1．写出集合
{a,b,c}
的所有子集．
1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得
?
；
取一个元素，得
{a},{b},{c}
；
取两个元素，得
{a,b},{a,c},{b,c}
；
取三个元素，得
{a,b,c}
，
即集合
{a,b,c}
的所有子集为
?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}< br>．
2．用适当的符号填空：
（1）
a
______
{a,b,c}
； （2）
0
______
{x|x?0}
；
（3）
?
______
{x?R|x?1?0}
； （4）
{0,1}
______
N
；
（5）
{0}
______
{x|x?x}
； （6）
{2,1}
______
{x|x?3x?2?0}
．
2．（1）
a?{a,b,c}

a
是集合
{a,b,c}
中的一个元素；
2
（2）
0?{x|x?0}

{x|x?0}?{0}
；
2
22
2
2
2
（3）
??{x?R|x?1?0}
方程
x?1?0
无实数根，
{x?R|x?1?0}??
；
22
（4）
{0,1}
（5）
{0}
N
（或
{0,1}?N
）
{0,1}
是自然数集合
N
的子集，也是真子集；
{x|x
2
?x}
（或
{0}?{x|x
2
?x}
）
{x|x
2
?x}?{0,1}
；
2
2
（6）
{2,1}?{x|x?3x?2?0}
方程< br>x?3x?2?0
两根为
x
1
?1,x
2
?2
．
3．判断下列两个集合之间的关系：
（1）
A?{1,2,4}
，
B?{x|x是8的约数}
；
（2）
A?{x|x?3k,k?N}
，
B?{x|x?6z,z?N}
；
（3）
A?{x|x是4与10的公倍数,x?N
?
}
，
B ?{x|x?20m,m?N
?
}
．

3．解：（1）因为
B?{x|x是8的约数}?{1,2,4,8}
，所以
AB
；
（2）当
k?2z
时，
3k?6z
；当
k?2z?1
时，< br>3k?6z?3
，
即
B
是
A
的真子集，
BA
；
（3） 因为
4
与
10
的最小公倍数是
20
，所以
A?B< br>．
1．1．3集合的基本运算

练习（第11页）
1．设< br>A?{3,5,6,8},B?{4,5,7,8}
，求
AIB,AUB
．
1．解：
AIB?{3,5,6,8}I{4,5,7,8}?{5,8}
，

AUB?{3,5,6,8}U{4,5,7,8}?{3,4,5,6,7,8}
．
2．设
A?{x|x?4x?5?0},B?{x|x?1}
，求
AIB,AUB< br>．
2
2．解：方程
x?4x?5?0
的两根为
x
1
??1,x
2
?5
，
2
方程
x? 1?0
的两根为
x
1
??1,x
2
?1
，
22
得
A?{?1,5},B?{?1,1}
，
即
AIB?{?1},AUB?{?1,1,5}
．
3．已知
A?{x|x 是等腰三角形}
，
B?{x|x是直角三角形}
，求
AIB,AUB
．
3．解：
AIB?{x|x是等腰直角三角形}
，

AUB?{x|x是等腰三角形或直角三角形}
．
4．已知全集
U?{1, 2,3,4,5,6,7}
，
A?{2,4,5},B?{1,3,5,7}
， 求
AI(痧
U
B),(
U
A)I(?
U
B)< br>．
1,3,6,7}
， 4．解：显然
?
U
B?{2,4, 6}
，
?
U
A?{
则
AI(?
U
B)?{ 2,4}
，
(痧
U
A)I(
U
B)?{6}
．
1．1集合
习题1．1 （第11页） A组
1．用符号“
?
”或“
?
”填空：
（1）
3
_______
Q
； （2）
3
______
N
； （3）
?
_______
Q
；
2
（4）
2
_______
R
； （5）
9
_______
Z
； （6）
(5)
_______
N
．
2
7
2
1．（1）
3?Q

3
是有理数； （2）
3?N

3?9
是个自然数；
（3）
?
?Q

?
是个无理数，不是有理数； （4）
2?R

2
是实数；
22
（5）
9?Z

9?3
是个整数； （6）
(5)?N

(5)?5
是个自然数．
2
7
2
7
2
2
2．已知
A?{x|x?3k?1,k?Z}
，用 “
?
”或“
?
” 符号填空：

（1）
5
_______
A
； （2）
7
_______
A
； （3）
?10
_______
A
．
2．（1）
5?A
； （2）
7?A
； （3）
?10?A
．
当
k?2
时，
3k? 1?5
；当
k??3
时，
3k?1??10
；
3．用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于
1
且小于
6
的整数；
（2）
A?{x|(x?1)(x?2)?0}
；
（3）
B?{x?Z|?3?2x?1?3}
．
3．解：（1）大于
1
且小于
6
的整数为
2,3,4,5
，即
{2,3,4, 5}
为所求；
（2）方程
(x?1)(x?2)?0
的两个实根为
x
1
??2,x
2
?1
，即
{?2,1}
为所求；
（3）由不等式
?3?2x?1?3
，得
?1?x?2
，且
x?Z
，即
{0,1,2}
为所求．
4．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数
y?x?4
的函数值组成的集合；
2
2
的自变量的值组成的集合；
x
（3）不等式
3x?4?2x
的解集．
（2）反比例函数
y?
4．解：（1）显然有
x?0
，得
x?4??4
，即
y??4
，
得二次函数
y?x?4
的函数值组成的集合为
{y|y??4}
；
2
22
2
的自变量的值组成的集合为
{x|x?0}
； < br>x
44
（3）由不等式
3x?4?2x
，得
x?
，即 不等式
3x?4?2x
的解集为
{x|x?}
．
55
（2 ）显然有
x?0
，得反比例函数
y?
5．选用适当的符号填空：
（1）已知集合
A?{x|2x?3?3x},B?{x|x?2}
，则有：

?4
_______
B
；
?3
_______
A
；
{2}
_______
B
；
B
_______
A
；
（2）已知集合
A?{x|x?1?0}
，则有：

1
_______
A
；
{?1}
_______
A
；
?
_______
A
；
{1,?1}
_______
A
；
（3）
{x|x是菱形}
_______
{x|x是平行四边形}
；

{x|x是等腰三角形}
_______
{x|x是等边三角形}
．
5．（1）
?4?B
；
?3?A
；
{2}
2
B
；
BA
；

2x?3?3x?x??3
，即
A?{x|x??3},B?{x|x?2}
；

（2）
1?A
；
{?1}
2
A
；
?
A
；
{1,?1}
=
A
；

A?{x|x?1?0}?{?1,1}
；
（3）
{x|x是菱形}{x|x是平行四边形}
；
菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；
{x|x是等边三角形}{x|x是等腰三角形}
．
等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
6．设集合
A ?{x|2?x?4},B?{x|3x?7?8?2x}
，求
AUB,AIB
． < br>6．解：
3x?7?8?2x
，即
x?3
，得
A?{x|2? x?4},B?{x|x?3}
，
则
AUB?{x|x?2}
，
AIB?{x|3?x?4}
．
7． 设集合
A?{x|x是小于9的正整数}
，
B?{1,2,3},C?{3,4,5, 6}
，求
AIB
，

AIC
，
AI(BUC)
，
AU(BIC)
．
7．解：
A?{x|x是小于9的正整数}?{1,2,3,4,5,6,7,8}
，
则
AIB?{1,2,3}
，
AIC?{3,4,5,6}
，
而
BUC?{1,2,3,4,5,6}
，
BIC?{3}
，
则
AI(BUC)?{1,2,3,4,5,6}
，
AU(BIC)?{1,2,3,4,5,6,7,8}
．
8．学校里开运动会，设
A?{x|x是参加一百米跑的同学}
，
B?{x |x是参加二百米跑的同学}
，
C?{x|x是参加四百米跑的同学}
，
学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，
并解释以下集合运算的含义：（1）
AUB
；（2）
AIC
．
8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，
即为
(AIB)IC??
．
（1）
AUB?{x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}
；
（2）
AIC?{x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}
．
9．设
S?{x|x是平行四边形或梯形}
，
A?{x|x是平行四边形}
，
B? {x|x是菱形}
，

C?{x|x是矩形}
，求
BIC，
?
A
B
，
?
S
A
．

9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即
BIC?{x|x是正方形}
，
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，
即
?
A
B?{x|x是邻边不相等的平行四边形}
，

?
S
A?{x|x是梯形}
．
10．已知 集合
A?{x|3?x?7},B?{x|2?x?10}
，求
?
R
(AUB)
，
?
R
(AIB)
，
(?
R
A)IB
，
AU(?
R
B)
． < br>10．解：
AUB?{x|2?x?10}
，
AIB?{x|3?x?7}，

?
R
A?{x|x?3,或x?7}
，
?
R
B?{x|x?2,或x?10}
，
得
?
R
(AUB)?{x|x?2,或x?10}
，

?
R
(AIB)?{x|x?3,或x?7}
，

(?
R
A)IB?{x|2?x?3,或7?x?10}
，

AU(?
R
B)?{x|x?2,或3?x?7或x?10}
．
B组
1．已知集合
A?{1,2}
，集合
B
满足
AUB?{1,2}
，则集合
B
有 个．
1．
4
集合
B
满足
AUB?A
，则
B?A
，即集合
B
是集合
A
的子集，得
4
个子集．
2．在平面直角坐标系中，集合
C?{(x,y)|y?x}
表示直线
y?x
，从这个角度看，
集合
D?
?
(x,y)|
??
?
?
2x?y?1?
?
表示什么？集合
C,D
之间有什么关系？
?
x?4y?5
?
?
?
2x?y?1 ?
2．解：集合
D?
?
(x,y)|
??
表示两条直线2x?y?1,x?4y?5
的交点的集合，
x?4y?5
?
??
即
D?
?
(x ,y)|
?
?
?
?
2x?y?1?
?
?{(1,1 )}
，点
D(1,1)
显然在直线
y?x
上，
?
x?4y?5
?
得
D
C
．
3．设集合
A?{x|(x?3)(x?a)?0,a?R}
，
B?{x|(x?4)(x?1) ?0}
，求
AUB,AIB
．
3．解：显然有集合
B?{x|(x?4)(x?1)?0}?{1,4}
，
当
a?3
时，集合
A?{3}
，则
AUB? {1,3,4},AIB??
；

当
a?1
时 ，集合
A?{1,3}
，则
AUB?{1,3,4},AIB?{1}
；
当
a?4
时，集合
A?{3,4}
，则
AU B?{1,3,4},AIB?{4}
；
当
a?1
，且a?3
，且
a?4
时，集合
A?{3,a}
，
则
AUB?{1,3,4,a},AIB??
．
1,3,5,7}
，试求集合
B
． 4．已知全集
U?AUB?{x ?N|0?x?10}
，
AI(?
U
B)?{
4．解：显然
U?{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
，由
U?AUB
，
得
?
U
B?A
，即
AI(痧
U
B)?
U
B
，而
AI(?1,3,5,7}
，
U
B)?{
U
1,3,5,7}
，而
B?痧
得
?
U
B?{U
(
即
B?{0,2,4,6,8.9,10}
．
B)
，
第一章 集合与函数概念
1．2函数及其表示
1．2．1函数的概念
练习（第19页）
1．求下列函数的定义域：
1
； （2）
f(x)?1?x?x?3?1
．
4x?77
1．解：（1）要使原式有意义，则
4x?7?0
，即
x??
，
4
7
得该函数的定义域为
{x|x??}
；
4
（1）
f(x)?
（2）要使原式有意义，则
??
1?x?0
，即
?3?x?1
，
?
x?3?0
得该函数的定义域为
{x|?3?x?1}
．
2．已知函数
f(x)?3x?2x
，
（1）求
f(2),f(?2),f(2)?f(?2)
的值；
（2）求
f(a),f(?a),f(a)?f(?a)
的值．
2
2．解：（1）由
f(x)?3x?2x
，得
f(2)?3?2?2?2?18
，
2
2
同理得
f(?2)?3?(?2)?2?(?2)?8
，
则
f(2)?f(?2)?18?8?26
，
2

即
f(2)?18,f(?2)?8,f(2)?f(?2)?26
；
2
（2）由
f(x)?3x?2x
，得
f(a)?3?a?2?a?3a?2a
，
22
同理得
f(?a)?3?(?a)?2?(?a)?3a?2a
，
则
f(a)?f(?a)?(3a?2a)?(3a?2a)?6a
，
即
f(a)?3a?2a,f(?a)?3a?2a,f(a)?f(?a)?6a
．
3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度
h< br>与时间
t
关系的函数
h?130t?5t
和二次函数
y?13 0x?5x
；
（2）
f(x)?1
和
g(x)?x
．
3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间
t?0
；
（2）不相等，因为定义域不同，
g(x)?x(x?0)
．
1．2．2函数的表示法
练习（第23页）
1．如图，把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为
xcm
，
面积为
ycm
，把
y
表示为
x
的函数．
1．解：显然矩形的另一边长为
50
2
?x
2
cm
，

y?x50
2
?x
2
?x2500?x2
，且
0?x?50
，
即
y?x2500?x
2
(0?x?50)
．
2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．
（ 1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着
车 一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离
2
0
0
222
222
22
2
2
O

时间
O

时间
O

时间
O

时间

2．解：图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；
图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；
图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；
图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．
3．画出函数
y?|x?2|
的图象．
（A） （B） （C） （D）

?
x?2,x?2
3．解：
y?|x?2|?
?，图象如下所示．
?x?2,x?2
?






4．设
与
A
A?{x|x是锐角},B?{0,1}< br>，从
A
到
B
的映射是“求正弦”，
中元素
60
相对应
o
的
么？
4．解：因为
sin60?
o
B
中的元素是什么？与
B
中的元素
2
相对应的
A
中元素是什
2
33
o
，所以与
A
中元素
60
相对应的
B
中的元素是；
22
22
o
，所以与
B
中的元素相对应的
A
中元素是
45
．
22
1．2函数及其表示
习题1．2（第23页）
因为
sin45?
o
1．求下列函数的定义域：
（1）
f(x)?
3x
； （2）
f(x)?x
2
；
x?4
4?x
6
f(x)?
； （4）．
2
x?1
x?3x?2
（3）
f(x)?
1．解：（1）要使原式有意 义，则
x?4?0
，即
x?4
，
得该函数的定义域为
{x|x?4}
；
（2）
x?R
，
f(x)?x
2
都有意义，
即该函数的定义域为
R
；
（3）要使原式有意义，则
x?3x?2?0，即
x?1
且
x?2
，
得该函数的定义域为
{x|x?1且x?2}
；
2
（4）要使原式有意义， 则
?
?
4?x?0
，即
x?4
且
x?1
，
?
x?1?0
得该函数的定义域为
{x|x?4且x?1}
．

2．下列哪一组中的函数
f(x)
与
g(x)
相等？
x
2
?1
； （2）
f(x)?x
2
,g(x)?(x)
4
； （1）
f(x)?x?1,g(x)?
x
（3）
f(x)?x
2
, g(x)?
3
x
6
．
x
2
?1
的定义域为
{x|x?0}
， 2．解：（1）< br>f(x)?x?1
的定义域为
R
，而
g(x)?
x
即两函数的定义域不同，得函数
f(x)
与
g(x)
不相等；
4
2
（2）
f(x)?x
的定义域为
R
，而
g(x)?(x)
的定义域为
{x|x?0}
，
即两函数的定义域不同，得函数
f(x)
与
g(x)
不相等；
（3）对于任何实数，都有
3
x
6
?x
2
，即这两函数的定 义域相同，切对应法则相同，
得函数
f(x)
与
g(x)
相等．
3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．
（1）
y?3x
； （2）
y?
3．解：（1）










定义域是
(??,??)
，值域是
(??,??)
；
（2）









8
2
； （3）
y??4x?5
； （4）
y?x?6x?7
．
x

定义域是
(??,0)U(0,??)
，值域是
(??,0)U(0,??)
；





（3）









定义域是
(??,??)
，值域是
(??,??)
；
（4）










定义域是
(??,??)
，值域是
[?2,??)
． < br>2
4．已知函数
f(x)?3x?5x?2
，求
f(?2)
，
f(?a)
，
f(a?3)
，
f(a)?f(3)
． 2
2
4．解：因为
f(x)?3x?5x?2
，所以
f(?2) ?3?(?2)?5?(?2)?2?8?52
，
即
f(?2)?8?52
；
同理，
f(?a)?3?(?a)?5?(?a)?2?3a?5a?2
，
即
f(?a)?3a?5a?2
；

f(a?3)?3?(a?3)?5?(a?3)?2?3a?13a?14
，
即
f(a?3)?3a?13a?14
；
2
22
2
22

f(a)?f(3)?3a?5a?2?f(3)?3a?5a?16
，
即
f(a)?f(3)?3a?5a?16
．
5．已知函数
f(x)?
2
22
x?2
，
x?6
（1）点
(3,14)
在
f(x)
的图象上吗？
（2）当
x?4
时，求
f(x)
的值；
（3）当
f(x)?2
时，求
x
的值．
5．解：（1）当
x?3
时，
f(3)?
3?25
???14
，
3?63
即点
(3,14)
不在
f(x)
的图象上；
（2）当
x?4
时，
f(4)?
4?2
??3
，
4?6
即当
x?4
时，求
f(x)
的值为
?3
；
x?2
?2
，得
x?2?2(x?6)
，
x?6
即
x?14
．
（3）
f(x)?
6．若
f (x)?x?bx?c
，且
f(1)?0,f(3)?0
，求
f(?1)的值．
6．解：由
f(1)?0,f(3)?0
，
得
1,3
是方程
x?bx?c?0
的两个实数根，
即
1?3??b,1?3?c
，得
b??4,c?3
，
即
f(x)?x?4x?3
，得
f(?1)?(?1)?4?(?1)?3?8
，
即
f(?1)
的值为
8
．
7．画出下列函数的图象：
（1）
F(x)?
?







22
2
2
?
0,x?0
； （2）
G(n)?3n?1,n?{1,2,3}
．
?
1,x?0

7．图象如下：

8．如图，矩形的面积为
10
，如果矩形的长为
x
，宽为
y
，对角线为
d
，
周长为
l
，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

8．解：由矩 形的面积为
10
，即
xy?10
，得
y?
10
10
(x?0)
，
x?(y?0)
，
y
x
100
(x?0)
，
x
2
由对角线为
d
，即
d?x
2
?y
2
，得
d ?x
2
?
由周长为
l
，即
l?2x?2y< br>，得
l?2x?
22
20
(x?0)
，
x
2
另外
l?2(x?y)
，而
xy?10,d?x?y
，
得
l?2(x?y)?2x?y?2xy?2d?20(d?0)
，
即
l?2d
2
?20(d?0)
．
9．一个圆柱形容器的 底部直径是
dcm
，高是
hcm
，现在以
vcms
的速度向 容器内注入某种溶液．求溶
液内溶液的高度
xcm
关于注入溶液的时间
ts< br>的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．
9．解：依题意，有
?
()x? vt
，即
x?
3
2222
d
2
2
4vt
，
2
?
d
h
?
d
2
4v
t?h
，得
0?t?
显然
0?x?h
，即
0?
，
2
4v
?
d
h
?
d
2
]
和值域为
[0,h]
． 得函数的定义域为
[0,
4v
10．设集合
A?{a,b,c},B?{0, 1}
，试问：从
A
到
B
的映射共有几个？

并将它们分别表示出来．
10．解：从
A
到
B
的映射共有
8
个．
?
f(a)?0
?
f(a)?0
?
f(a)?0
?
f(a)?0
????
分别是
?
f(b)?0
，< br>?
f(b)?0
，
?
f(b)?1
，
?
f( b)?0
，
?
f(c)?0
?
f(c)?1
?
f (c)?0
?
f(c)?1
????
?
f(a)?1
?f(a)?1
?
f(a)?1
?
f(a)?1
????

?
f(b)?0
，
?
f(b)?0
，
?
f (b)?1
，
?
f(b)?0
．
?
f(c)?0
?
f(c)?1
?
f(c)?0
?
f(c)?1
????< br>




Ｂ组
1．函数
r?f(p)
的图象如图所示．
（1）函数
r?f(p)
的定义域是什么？
（2）函数
r?f(p)
的值域是什么？
（3）
r
取何值时，只有唯一的
p
值与之对应？
1．解： （1）函数
r?f(p)
的定义域是
[?5,0]U[2,6)
；
（2）函数
r?f(p)
的值域是
[0,??)
；
（ 3）当
r?5
，或
0?r?2
时，只有唯一的
p
值与之对应 ．
2．画出定义域为
{x|?3?x?8,且x?5}
，值域为
{y|?1 ?y?2,y?0}
的一个函数的图象．
（1）如果平面直角坐标系中点
P(x,y )
的坐标满足
?3?x?8
，
?1?y?2
，那么其中哪些点不能在 图象
上？
（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
2．解：图象如 下，（1）点
(x,0)
和点
(5,y)
不能在图象上；（2）省略．

3．函数
f(x)?[x]
的函数值表示不超过
x
的最大整数，例如，
[?3.5]??4
，
[2.1]?2
． 当
x?(?2.5,3]
时，写出函数
f(x)
的解析式，并作出函数的 图象．
?
?3,?2.5?x??2
?
?2,?2?x??1
?< br>?
?1,?1?x?0
?
3．解：
f(x)?[x]?
?0,0?x?1

?
1,1?x?2
?
?
2,2?x? 3
?
3,x?3
?
图象如下



















4．如图所示，一座小岛距离海岸线 上最近的点
P
的距离是
2km
，从点
P
沿海岸正东
12km
处有一个城镇．

（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为
3kmh
，步行的速 度是
5kmh
，
t
（单位：
h
）表示他从小岛
到城 镇的时间，
x
（单位：
km
）表示此人将船停在海岸处距
P
点的距离．请将
t
表示为
x
的函数．
（2）如果将船停在距点P
4km
处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到
1h
）？
4．解：（1）驾驶小船的路程为
x
2
?2
2
，步行的路程为
12?x
，
得
t?
x
2
?2
2
12? x
?
，
(0?x?12)
，
35
x
2
? 412?x
?
，
(0?x?12)
．
35
4
2
?412?4258
????3(h)
．
3535
即
t?
（2）当
x?4
时，
t?


第一章 集合与函数概念
1．3函数的基本性质
1．3．1单调性与最大（小）值
练习（第32页）
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．









1．答：在一定的范围内 ，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率
达到最大值，而超过这个 数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人
越多，生产效率就越高．

2．整个上午
(8:00:12:00)
天气越来越暖，中午时分
( 12:00:13:00)
一场暴风雨使天气骤然凉爽了许
多.暴风雨过后，天气转暖，直到太 阳落山
(18:00)
才又开始转凉.画出这一天
8:00:20:00
期间 气温
作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.
2．解：图象如下


[8,12]
是递增区间，
[12,13]
是递 减区间，
[13,18]
是递增区间，
[18,20]
是递减区间．





3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.










3 ．解：该函数在
[?1,0]
上是减函数，在
[0,2]
上是增函数，在[2,4]
上是减函数，
在
[4,5]
上是增函数．
4．证明函数
f(x)??2x?1
在
R
上是减函数.
4 ．证明：设
x
1
,x
2
?R
，且
x
1?x
2
，
因为
f(x
1
)?f( x
2
)??2(x
1
?x
2
)?2(x
2
?x
1
)?0
，
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，

所以函数
f(x)??2x?1
在
R
上是减函数.
5．设
f(x)
是定义在区间
[?6,11]
上的函数.如果
f(x)
在区 间
[?6,?2]
上递减，在区间
[?2,11]
上递增，画
出f(x)
的一个大致的图象，从图象上可以发现
f(?2)
是函数
f(x )
的一个 .
5．最小值．
1．3．2单调性与最大（小）值
练习（第36页）
1．判断下列函数的奇偶性：
（1）
f(x)?2x?3x
； （2）
f(x)?x?2x

423
x
2
?1
2
（3）
f(x)?
； （4）
f(x)?x?1
.
x
1．解：（1）对于函数
f(x)? 2x?3x
，其定义域为
(??,??)
，因为对定义域内
每一个
x
都有
f(?x)?2(?x)?3(?x)?2x?3x?f(x)
，
所以函数
f(x)?2x?3x
为偶函数；
（2）对于函数
f(x )?x?2x
，其定义域为
(??,??)
，因为对定义域内
每一个
x
都有
f(?x)?(?x)?2(?x)??(x?2x)??f(x)
，
所以函数
f(x)?x?2x
为奇函数；
3
33
3
42
4242
42
x
2
?1
（3）对于函数
f( x)?
，其定义域为
(??,0)U(0,??)
，因为对定义域内
x(?x)
2
?1x
2
?1
????f(x)
， 每一个
x
都有
f(?x)?
?xx
x
2
?1
所以 函数
f(x)?
为奇函数；
x
（4）对于函数
f(x)?x?1< br>，其定义域为
(??,??)
，因为对定义域内
每一个
x
都有
f(?x)?(?x)?1?x?1?f(x)
，
所以函数
f(x)?x?1
为偶函数.
2.已知
f(x)
是偶函数，
g(x)
是奇
函数，试将下图补充完整.

2
22
2

2．解：
f(x)
是偶函数，其图象是关于
y
轴对称的；

g(x)
是奇函数，其图象是关于原点对称的．


习题1.3
A组
1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数
y?f(x)
的单调区 间，以及在各单调区间
上函数
y?f(x)
是增函数还是减函数.
2
（1）
y?x?5x?6
； （2）
y?9?x
.
2
1．解：（1）













函
（2）

数在
55
(??,)
上递减；函数在
[,??)
上递增；
22

函数在
(??,0)
上递增；函数在
[0,??)
上递减.
2.证明：
（1）函数
f(x)?x?1
在
(??,0)
上是减函数；
（2）函数
f(x)?1?
2
1
在
(??,0)
上是增函 数.
x
22
2．证明：（1）设
x
1
?x
2?0
，而
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1?x
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)
，
由
x
1
?x
2
?0,x
1
?x
2
?0
，得
f(x1
)?f(x
2
)?0
，
2
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，所以函数
f(x)? x?1
在
(??,0)
上是减函数；
（2）设
x
1
?x
2
?0
，而
f(x
1
)?f(x
2
)?
11
x
1
?x
2
??
，
x
2
x
1
x
1
x
2
由
x
1
x
2
?0,x
1
?x
2
?0
，得
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，所以函数
f(x)? 1?
1
在
(??,0)
上是增函数.
x
3.探究一次函数
y?mx?b(x?R)
的单调性，并证明你的结论.
3．解：当
m?0
时，一次函数
y?mx?b
在
(??,? ?)
上是增函数；
当
m?0
时，一次函数
y?mx ?b
在
(??,??)
上是减函数，
令
f(x)?mx?b
，设
x
1
?x
2
，
而
f(x
1
)?f(x
2
)?m(x1
?x
2
)
，
当
m?0
时，
m(x
1
?x
2
)?0
，即
f(x
1)?f(x
2
)
，
得一次函数
y?mx?b
在
(??,??)
上是增函数；
当
m?0
时，
m(x
1
?x
2
)?0
，即
f(x
1
)?f(x
2
)
，
得一次函数
y?mx?b
在
(??,??)
上是减函数.

< br>4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次
慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.
4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为

5.某汽车租赁公司的月收益
y
元与每辆车的月租金
x
元间的关系为
x
2
y???162x?21000
，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁 公司的月收益最大？最大月收益是多
50
少？
x
2
?162x?21000
， 5．解：对于函数
y??
50
当
x??
162
1
2?(?)
50
，
?4050
时，
y
max
?307050
（元）
即每辆车的月租金为
4050
元时，租赁公司最大月收益为
307050
元．
6.已知函数
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，当
x?0< br>时，
f(x)?x(1?x)
.画出函数
f(x)

的图象，并求出函数的解析式.
6．解：当
x?0
时，
?x?0< br>，而当
x?0
时，
f(x)?x(1?x)
，
即
f(?x)??x(1?x)
，而由已知函数是奇函数，得
f(?x)??f(x)
，
得
?f(x)??x(1?x)
，即
f(x)?x(1?x)
，
所以函数的解析式为
f(x)?
?
?
x(1?x),x?0
.
?
x(1?x),x?0
B组
2
1.已知函数
f(x)? x?2x
，
g(x)?x?2x(x?[2,4])
.
（1）求
f(x)
，
g(x)
的单调区间； （2）求
f(x)
，
g(x)
的最小值.
1．解：（1）二次函数
f(x)?x?2x
的对称轴为
x?1
，
则函数
f(x)
的单调区间为
(??,1),[1,??)
，
且函数
f(x)
在
(??,1)
上为减函数，在
[1,??)
上为增函数，
函数
g(x)
的单调区间为
[2,4]
，
2
2

且函数
g(x)
在
[2,4]
上为增函数；
（2）当
x?1
时，
f(x)
min
??1
，
因为函数
g(x)
在
[2,4]
上为增函数，
2
所以
g(x)
min
?g(2)?2?2?2?0
．
2.如图所示 ，动物园要建造一面靠墙的
2
间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m
，那么宽
x
（单位：
m
）为多少才能使建造的每间熊猫居 室面积最大？每间熊猫居室的最大面积
是多少？







2．解：由矩形的宽为
xm
，得矩形的长为
30?3x
m
，设矩形的面积为
S
，
2
30?3x3(x
2
?10x)
??
则
S?x
，
22
2
当
x?5
时，
S
max
?37.5m
，
即宽
x?5
m
才能使建造的每间熊猫居室面积最大，
且每间熊猫居室的最大面积是
37.5m
．
3.已知函数
f(x)
是偶函数，而且在
(0,??)
上是减函数，判断
f(x)
在
(??,0)
上是增函数还是减函数，并
证明你的判断.
3．判断
f(x)
在
(??,0)
上是增函数，证明如下：
设
x
1
?x
2
?0
，则
?x
1
??x
2
?0
，
因为函数
f(x)
在
(0,??)
上是减函数，得
f(?x
1
)?f(?x
2< br>)
，
又因为函数
f(x)
是偶函数，得
f(x
1
)?f(x
2
)
，
所以
f(x)
在
(??,0)
上是增函数．

复习参考题
A组
1．用列举法表示下列集合：
（1）
A?{x|x?9}
；
2
2

（2）
B?{x?N|1?x?2}
；
（3）
C?{x|x?3x?2?0}
.
2
1．解：（1）方程< br>x?9
的解为
x
1
??3,x
2
?3
，即集 合
A?{?3,3}
；
2
（2）
1?x?2
， 且
x?N
，则
x?1,2
，即集合
B?{1,2}
； 2
（3）方程
x?3x?2?0
的解为
x
1
?1,x< br>2
?2
，即集合
C?{1,2}
．
2．设
P
表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
（1）
{P|PA?PB}(A,B
是两个定点
)
；
（2）
{P|PO?3cm}(O
是定点
)
.
2．解：（ 1）由
PA?PB
，得点
P
到线段
AB
的两个端点的距离相 等，
即
{P|PA?PB}
表示的点组成线段
AB
的垂直平分线；
（2）
{P|PO?3cm}
表示的点组成以定点
O
为圆心，半径为
3cm
的圆．
3.设平面内有
?ABC
，且
P
表示这个平 面内的动点，指出属于集合
{P|PA?PB}I{P|PA?PC}
的点是什么.
3．解：集合
{P|PA?PB}
表示的点组成线段
AB
的垂直平分线，
集合
{P|PA?PC}
表示的点组成线段
AC
的垂直平分线，
得
{P|PA?PB}I{P|PA?PC}
的点是线段
AB
的垂直平分线与 线段
AC
的
垂直平分线的交点，即
?ABC
的外心．
4 .已知集合
A?{x|x?1}
，
B?{x|ax?1}
.若
B?A
，求实数
a
的值.
4．解：显然集合
A?{?1,1}
， 对于集合
B?{x|ax?1}
，
当
a?0
时，集 合
B??
，满足
B?A
，即
a?0
；
当
a?0
时，集合
B?{}
，而
B?A
，则
得
a??1
，或
a?1
，
综上得：实数
a
的值为
?1,0
，或
1
．
5.已 知集合
A?{(x,y)|2x?y?0}
，
B?{(x,y)|3x?y?0}，
C?{(x,y)|2x?y?3}
，求
AIB
，
2
1
a
1
1
??1
，或
?1
，
a
a
AIC
，
(AIB)U(BIC)
.

?
?
2x?y?0?
5．解：集合
AIB?
?
(x ,y)|
??
?{(0,0)}
，即
AIB?{(0,0)}
；
3x?y?0
?
??
集合
AIC?
?
(x,y)|
?
?
?
?
2x?y?0?
?
??< br>，即
AIC??
；
?
2x?y?3
?
?
?
3x?y?0?
39
集合
BIC?
?
(x,y)|
?
?{(,?)}
；
?
2x?y?3
55
?
??
则
(AIB)U(BIC)?{(0,0),(,?)}
.
6.求下列函数的定义域：
（1）
y?
3
5
9
5
x?2?x?5
；
（2）
y?
x?4
.
|x|?5
6．解：（1）要使原式 有意义，则
?
?
x?2?0
，即
x?2
，
?
x?5?0
得函数的定义域为
[2,??)
；
（2）要使原式有意义，则
?
?
x?4?0
，即
x?4
，且
x?5
，
?
|x|?5?0
得函数的定义域为
[4,5)U(5,??)
．
7.已知函数
f(x)?
1?x
，求：
1?x
（1）
f(a)?1(a??1)
； （2）
f(a?1)(a??2)
.
1?x
，
1?x
1?a1?a2
所以
f(a)?
，得
f(a)?1?
，
?1?
1?a1?a1?a
2
即
f(a)?1?
；
1?a
1?x
（2）因为
f(x)?
，
1?x
1?(a?1)a
??
所以
f(a?1)?
，
1?a?1a?2
a
即
f(a?1)??
．
a?2
7．解：（1）因为
f(x)?1?x
2
8.设
f(x)?
，求证：
1?x
2

（1）
f(?x)?f(x)
； （2）
f()??f(x)
.
1
x
1?x
2
8．证明：（1）因为
f(x)?
，
1?x
2
1?(?x)
2
1?x
2
??f(x)< br>， 所以
f(?x)?
1?(?x)
2
1?x
2
即
f(?x)?f(x)
；
1?x
2
（2）因为
f(x)?
，
1?x
2
1
1?()
2
11?x
2
x
所以
f()????f(x)
，
x
1?(
1
)
2
x
2
?1
x
1
即
f()??f(x)
.
x
9.已知函数
f(x)?4x?kx? 8
在
[5,20]
上具有单调性，求实数
k
的取值范围.
9．解：该二次函数的对称轴为
x?
2
2
k
，
8
函数
f(x)?4x?kx?8
在
[5,20]
上具有单调性，
k k
?20
，或
?5
，得
k?160
，或
k?40< br>，
88
即实数
k
的取值范围为
k?160
，或k?40
．
则
10．已知函数
y?x
，
（1）它是奇函数还是偶函数？
（2）它的图象具有怎样的对称性？
（3）它在
(0,??)
上是增函数还是减函数？
（4）它在
(??,0)
上是增函数还是减函数？
?2
10．解： （1）令
f(x)?x
，而
f(?x)?(?x)
?2
?2
?x
?2
?f(x)
，
即函数
y?x
是偶函数；
（2）函数
y?x
的图象关于
y
轴对称；
（3）函数
y?x
在
(0,??)
上是减函数；
（4）函数
y?x
在
(??,0)
上是增函数．
?2
?2
?2
?2

B组
1.学 校举办运动会时，高一（1）班共有
28
名同学参加比赛，有
15
人参加游泳 比赛，有
8
人参加田径比赛，
有
14
人参加球类比赛，同时参加游泳 比赛和田径比赛的有
3
人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有
3
人，
没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
1．解：设同时参加田径和球类比赛的有
x
人，
则
15?8?14?3?3?x?28
，得
x?3
，
只参加游泳一项比赛的有
15?3?3?9
（人），
即同时参加田径和球类比赛的有
3
人，只参加游泳一项比赛的有
9
人． 2.已知非空集合
A?{x?R|x?a}
，试求实数
a
的取值范围.
2．解：因为集合
A??
，且
x?0
，所以
a?0
．
2
2
1,3}
，
AI(?
U
B)?{2,4}
，求集合
B
. 3.设全集
U?{1,2,3,4,5,6,7,8,9}< br>，
?
U
(AUB)?{
1,3}
，得
AUB?{2, 4,5,6,7,8,9}
， 3．解：由
?
U
(AUB)?{
集合
AUB
里除去
AI(?
U
B)
，得集合
B，
所以集合
B?{5,6,7,8,9}
.
?
x(x?4),x?0
4.已知函数
f(x)?
?
.求
f(1)< br>，
f(?3)
，
f(a?1)
的值.
x(x?4),x?0
?
4．解：当
x?0
时，
f(x)?x(x?4)
，得f(1)?1?(1?4)?5
；
当
x?0
时，
f(x)?x(x?4)
，得
f(?3)??3?(?3?4)?21
；

f(a?1)?
?
5.证明：
?
(a?1)(a?5),a??1
．
?
(a?1)(a?3), a??1
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
；
)?
22
x?x
2
g(x
1)?g(x
2
)
2
（2）若
g(x)?x?ax?b
， 则
g(
1
.
)?
22
x?x
2
x?x< br>a
)?a
12
?b?(x
1
?x
2
)?b< br>， 5．证明：（1）因为
f(x)?ax?b
，得
f(
1
2 22
f(x
1
)?f(x
2
)ax
1
?b?ax< br>2
?b
a
??(x
1
?x
2
)?b
，
222
x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?
所以
f(
1
；
22
（1）若
f(x)?ax?b
，则
f(
（2）因为
g(x)?x?ax?b
，
得
g(
2
x
1
?x
2
x?x
1
)?(x
1
2
?x< br>2
2
?2x
1
x
2
)?a(
12
) ?b
，
242

g(x
1
)?g(x
2)
1
?[(x
1
2
?ax
1
?b)?(x2
2
?ax
2
?b)]

22
x?x
2
1
22

?(x
1
?x
2
)?a(
1
)?b
， < br>22
1
2
1
2
1
222
因为
(x< br>1
?x
2
?2x
1
x
2
)?(x
1
?x
2
)??(x
1
?x
2
)?0
， < br>424
1
2
1
222
即
(x
1
?x
2
?2x
1
x
2
)?(x
1
?x
2
)
，
42
x?x
2
g(x
1
)?g( x
2
)
所以
g(
1
.
)?
22
6.
全月应纳税所得额
它在
不超过
500
元的部分
税率
(
0
0
)

（1）已知奇函数
f( x)
在
[a,b]
上是减函数，试问：
[?b,?a]
上是增函数还 是减函数？
（2）已知偶函数
g(x)
在
[a,b]
上是增函数， 试问：
5

超过
500
元至
2000
元的部分
10

它在
[?b,?a]
上是增函数还是减函数？
6 ．解：（1）函数
f(x)
在
[?b,?a]
上也是减函数，证明如下：
设
?b?x
1
?x
2
??a
，则
a??x
2
??x
1
?b
，
因为函数
f(x)
在
[a,b]
上是减函数，则
f(?x
2
)?f(?x
1
)
，
又因为函数
f(x)
是奇函数，则
?f(x
2
)??f(x
1
)
，即
f(x
1
)?f(x
2
)
，
所以函数
f(x)
在
[?b,?a]
上也是减函数；
（2）函数
g(x)
在
[?b,?a]
上是减函数，证明如下：
设
?b?x
1
?x
2
??a
，则
a??x
2
??x
1
?b
，
因为函数
g (x)
在
[a,b]
上是增函数，则
g(?x
2
)?g(? x
1
)
，
又因为函数
g(x)
是 偶函数，则
g(x
2
)?g(x
1
)
，即
g(x< br>1
)?g(x
2
)
，
所以函数
g(x)
在
[?b,?a]
上是减函数．
7.《中华人民 共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过
2000
元的部分
不必纳 税，超过
2000
元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：
某人一月份应交纳此项税款为
26.78
元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

超过
2000
元至
5000
元的部分
15






7．解：设某人的全月工资、薪金所得为
x
元，应纳此项税款为
y
元，则
?
0,0?x?2000
?
(x?2000)?5%,2000?x?2500
?

y?
?

?
25?(x?2500)?10%,2500?x?40 00
?
?
175?(x?4000)?15%,4000?x?5000
由该人一月份应交纳此项税款为
26.78
元，得
2500?x?4000
，

25?(x?2500)?10%?26.78
，得
x?2517.8
，
所以该人当月的工资、薪金所得是
2517.8
元．