高中数学教师交流会发言稿-大连高中数学教育教学
《集合》全章复习巩固
【学习目标】
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：集合的基本概念
1．集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3
，5，7，则
3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上<
br>述2，3，5，7就组成了一个集合。
2．元素与集合的关系
（1）属于： 如果<
br>a
是集合A的元素，就说
a
属于A，记作
a
∈A。要注意“∈
”的方向，
不能把
a
∈A颠倒过来写.
（2）不属于：如果
a
不是集合A的元素，就说
a
不属于集合A，记作
a?A
。
3．集合中元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判
断出它是否为某
个集合的元素；
（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重
复出现。
（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一
个集合。
4．集合的分类
集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
要点诠释：
把不含有任何元素的集合叫做空集，记作
?
，空集归入有限集。
要点二：集合间的关系
1．子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合
B的元素，那
么集合A叫做集合B的子集，记作A
?
B，对于任何集合A规定
??A
。
两个集合A与B之间的关系如下：
?
?
A?B?A?B且B?A
?
A?B
?
?
?
A?B?A
?
B
?
?
A
?
B
其中记号
A?B
（或
B?A
）表示集合A不包含于集合B（或集合
B不包含集合A）。
2．子集具有以下性质：
（1）A
?
A，即任何一个集合都这是它本身的子集。
（2）如果
A?B
，
B?A
，那么A=B。
（3）如果
A?B
，
B?C
，那么
A?C
。
（4）如果
A?B
，
B?C
，那么
A?C
。
3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么
A?B<
br>（或
。
B?A
）
不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B，如果
集合A中存在至少一个元素不是
集合B的元素，那么
A?B
（或
B?A
）。
4．有限集合的子集个数：
（1）n个元素的集合有2
n
个子集。
（2）n个元素的集合有2
n
－1个真子集。
（3）n个元素的集合有2
n
－1个非空子集。
（4）n个元素的集合有2
n
－2个非空真子集。
要点诠释：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子
集．
要点三：集合的基本运算
1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义
，“或”是两个皆可
的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。
2．用维恩图表示交集与并集。
已知集合A与B，用阴影部分表示A∩B，A∪B，如下图所示。
3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：
（1）A∩A=A，A∩
?
=
?
，A∩B=(B∩A)
?
A（或B）；
A∪A=A，A∪
?
=A，A∪B=(B∪A)
?
A（或B）。 <
br>（2）
AI(?
U
A)??
；
AU(?
U
A
)?U
。
（3）德摩根定律：
(痧
；
U
A)I(
U
B)??
U
(AUB)
；
(痧
U
A)U(
U
B)??
U
(AIB)
。
（4）
AI
B?A?A?B
；
AUB?A?B?A
。
4．全集与补集
（1）
它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成
是一个集合，则称之为全
集。而补集则是在
A?U
时，由所有不属于A但属于U的元素组
成的集合，记作
?
U
A
。数学表达式：若
A?U
，则U中子集A的补集为
?
U
A?{x|x?U且x?A}
。
（2）补集与全集的性质
①
痧
U
(
U
A)?A
②
A?U
，
?
U
A?U
。
③
?
U
U??
，
?
U
??U
。
5．空集的性质
空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有
??
?
，
??{?}
；
AI???
；
AU??A
；??A
。
【典型例题】
类型一：集合的含义与表示
例1．选择恰当的方法表示下列集合。
（1）“mathematics”中字母构成的集合；
（2）不等式
x
2
?1?0
的解集；
（3）函数
y?x?4
的自变量的取值范围。
【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表
达形式。
【解析】（1）
?
m,a,t,h,e,i,c,s
?
；
（2）
?
x|x
2
?1?0
?
或
?
（3）
x|y?x?4
或
?
x|x?0
?
【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合，关键是确定集合中的元素。
然后根
据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。
举一反三：
??
?
?
x?y?5
?
【变式1】将集合
?
(x,y)|
??
表示
成列举法，正确的是（ ）
2x?y?1
?
??
A.{2，3}
B.{（2，3）} C.{x=2，y=3} D.（2，3）
【答案】B
【变式2】已知集合
A?
?
?
x,y
?
∣
x,y
为实数，且
x
2
?y
2
?1
?
，
B?
?
?
x,y
?
x,y
为实数，
且y?x
?
，则
A?B
的元素个数为 （
）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
【答案】Ｃ
?
b
?
例2．若含有三个元素的集合可表示为
?
a,,1
?
，也可以表示为
?
a
2
,a?b,0
?
，求
?a
?
a
2009
?b
2009
的值。
【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。
【答案】
?1
【解析】
?
b
?
由
?
a,,1
?
，可得
a?1
且
a?0
，
?
a
?
??
2
?
a?1,
?
a?b?1,
??
?
a?
?1,
?
a?1,
则有
?
a?a?b,
或
?
a
2
?a,
解得
?
或
?
（舍去）
?<
br>b?0.
?
b?0.
?
b
?
b
?
?
0
?
?0
?
a
?
a
故
a
2009
?b
2009
??1
【总结升华】利用集合中元素特性来解题，既
要用元素的确定性，又要利用互异性检验
解的正确与否，初学者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在
学习中高度重视。另外，
本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。
举一反三：
【变式1】若
?3?
?
a?3,2a?1,a
2
?1
?
。求实数
a
的值。
【答案】
?2
【解析】
由
?3?
?
a?3,2a?1,a
2
?1
?
，可知
a?3??3
或
2a?1??3
或
a
2
?
1??3
，且
a?3?2a?1?a
2
?1
。
（1）若<
br>a?3??3
，则
a?0
，此时
2a?1?a
2
?1
?1
，
与集合中元素的互异性相矛盾，故
a?0
舍去。
（2）若
2a?1??3
，则
a??2
，此时
a?3??5
，
a
2
?1?5
符合集合的特性。
（3）若
a
2
?1??3
，则方程
a
2
??4
无解。
综上可得
a
的值为
?2
。
例3．已知集合
A?<
br>?
x|mx
2
?2x?3?0,m?R
?
（1）若A是空集，求
m
的取值范围。
（2）若A中只有一个元素，求
m
的值。
（3）若A中至多只有一个元素，求
m
的取值范围。
【答案】（1）
m?
【解析】
（1）当
m?0
时，
x?
11
1
（2）0，
（3）
m?
或者m=0
33
3
3
，A不为空集，则
m?0
不满足题意。
2
当m≠0时，若A为空集，则一元二次方程
mx
2
?2x?3?0
实数范围内无解，
1
。
3
1
综上若A为空集，则
m?
。
3
即
?
?4?12m?0
,
m?
（2）由集合
A
中只含有一个元素可得，方
程
mx
2
?2x?3?0
有一解，由于本方程并没
有注明是一个二次
方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当
m?0
时，可得是一次方程，故满足题意.
当m≠0时，则为一元二次方
程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根，即
判别式为0时
m
的值，可求得为
m?
1
1
.故
m
的取值为0，.
3
3
（3）∵A中元素至多只有一个 ，∴有以下两种情况存在：
集合A是空集；集合A是只有一个元素．
1
综合(1)(2)知,若A中元素至多只有一个,
m?
或者m=0.
3
【总结升华】 集合A是方程mx
2
-2x+3=0在实数范围内的解集，
所以本题实际上是讨论
方程mx
2
-2x+3=0解的个数问题。
类型二：集合的基本关系
例4．设集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x－a
≥0}，或A
?
B，则a的取值范围是________。
【思路点拨】 此题考查
判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描
述法形式，可以借助数轴进行直观的分析。
【解析】A
?
B={x｜x≥a}，利用数轴作图如下：
由此可知：a≤1。
【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是：明确集合中元
素的范围及其满足的性质，
借助Venn图来分析，直观性强。集合是由元素构成的，要确定一个集合的
方法之二是：
把集合中的元素一一找出来，用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是：明确集合中<
br>元素的范围及其满足的性质。用特征性质描述法表示的集合，可借助数轴来分析，直观性
强。
举一反三：
【变式1】 已知集合A={x｜x≥1或x＜－1}，B={x｜2a＜x＜
a+1}，若B
?
A，求a
的取值范围。
【解析】
（1）当B是空集，需要2a≥a+1，得到a≥1
（2）当B不是空集且B的上限小于等于-1，即a＜1且a+1≤-1，得到a≤-2
（3）当B不是空集且B的下限大于等于1，即a＜1且2a≥1，得到12≤a＜1
综上，a≤-2或a≥12
【变式2】若集合B={1，2，3，4，5}，
C={小于10的正奇数}，且集合A满足A
?
B，
A
?
C，则集合
A的个数是________。
【思路点拨】 由题设，C={1，3，5，7，9}。因为A?
B，A
?
C，可用Venn图发现
集合B与C的公共元素为1，3，5
，则集合A可能含有1，3，5三个数中的0个，1个，
2个，或3个。故集合A的个数即为{1，3，
5}的子集的个数。
【解析】由已知作Venn图
{1，3，5}的子集中含0个元素的有1个：
?
；
{1，3，5}的子集中含1个元素的有3个：{1}，{3}，{5}；
{1，3，5}的子集中含2个元素的有3个：{1，3}，{1，5}，{3，5}；
{1，3，5}的子集中含3个元素的有1个：{1，3，5}。
由上述分析知集合A的个数为{1，3，5}的子集的个数：1+3+3+1=8个。
例5．
设集合
A?
?
x|x
2
?4x?0,x?R
?
,B
?
?
x|x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0,x?R<
br>?
,若
B?A
，
求实数
a
的范围。
【答案】
a?1
或
a??1
【解析】
A?
?<
br>x|x
2
?4x?0,x?R
?
?
?
?4,0
?
QB?A
，
?B?A
或
B
?
A
当
B?A
时，即
B?
?
?4,0
?
，则
?
4,0
是方程
x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
的两根，代入解得
a?1
当
B
?
A
时，分两种情况：
（1）若
B??，则
??4(a?1)
2
?4(a
2
?1)?0
，解得
a??1
。
（2）若
B??
，则方程
x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
有两个相等的实数根。
???4(a?
1)
2
?4(a
2
?1)?0
，解得
a??1
，此
时
B?
?
0
?
，满足条件。
综上可知，所
求实数
a
的范围为
a?1
或
a??1
。
【总结升
华】要解决此题，应明确
B?A
的具体含义：一是
B?A
，二是
B<
br>?
A
。而
B
?
A
时还应考虑
B
能否
是
?
的情况，因此解题过程中必须分类讨论，另外还要熟练掌握一元二
次方程根的讨论
问题。
类型三：集合的基本运算
例6．已知全集U=R，集合M={x|－2≤
x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的关
系的韦恩（Venn）图如下图所示，
则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）
A．3个 B．2个
C．1个 D．无穷多个
【答案】B
【解析】 ∵阴影部分为M∩N={x|－2≤
x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1
≤x≤3}∩{x|x=2k－1
，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故
选B项．
【总
结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合
间关系的判定、子集的个
数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．
举一反三：
【变式1】已知
全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛x
x
2
?x?0
关系的韦
恩图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【高清课堂：集合与函数性质综合377492例4】
【变式2】设全集为
R
，
A?
?
x|3?x?7
?
，
B?
?
x
|2?x?10
?
，
求
?
R
(A
U
B)
及
?
?
R
A
?
I
B
．
【答案】
?
R
(A
U
B)
=
?<
br>x|x?2或x?10
?
；
?
?
R
A
?I
B
=
?
x|2?x?3或7?x?10
?
.
例7．若集合A={x｜x
2
―ax+a
2
―19=0}，B={2，3}
，C={2，―4}，满足A∩B
?
?
，
且A∩C=
?
，则
实数a的值是________。
【思路点拨】 由题设，A∩B
?
?
且
A∩C=
?
知，2，3与集合A的关系，再进行解
答。
【解析】 由已知
：3∈A，2
?
A，则3
2
―3a+a
2
―19=0，即a
=5或a=―2。
当a=5时，A={2，3}，与题意矛盾；
当a=―2时，A={―5，3}，符合题意。
由上述分析知a=―2。
【总结升华】 集合是由元素构成的，要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及
其满足的
性质，再把集合中的元素一一找出来。
例8．设集合A={x｜a―4＜x＜a+4}，B=
{x｜x＜－1或x＞5}，若A∪B=R，则a的
取值范围是________。
【思路点拨】 此题考查两个集合并集的运算。由于题中所给集合为含不等式的描述
法形式，
可以借助数轴进行直观的分析。
【解析】 A∪B=R，利用数轴作图如下：
?
a?4??1
因此可知：
?
。 即 {a｜1＜a＜3}。
a?4?5
?
【总结升华】
明确集合中元素的范围及其满足的性质，用特征性质描述法表示的集
合可借助数轴来分析，直观性强。
举一反三：
【变式1】 已知集合A={x｜－2≤x≤5}，B={x｜k+1≤x≤2
k－1}，若A∩B=
?
，
求实数k的取值范围。
【解析】
Q
A∩B=
?
，
?
当
B??
时，2k－1
当
B??
时，k+1>5或2k－1<－2
，即k>4或
k??
2
综上知
k?4或 k?2
。
例9．设集合A={x｜1＜x＜5}，B={x｜x＜a或x≥a+2}，若
AI?
R
B??
，则a的取值
范围是________。
【思路点拨】
此题考查两个集合交集、补集的运算，由于题中所给集合为含不等式
的描述法形式，可以借助数轴进行直
观的分析。
【解析】
AI?
R
B??
，先求出
?R
B?{x|a?x?a?2}
，利用数轴作图如下，有两种情
况：
①
②
则a≥5，即{a｜a≤－1或a≥5}。
【总结升华】 用特征性质描述表示的集合可借
助数轴来分析，直观性强，但在求补
集以及其他运算时要注意端点处“=”的取舍。
举一反三：
【变式1】 已知集合A={x｜－2≤x＜7}，
?
U
B?{x|k?1?x?k?4}
，若A∪B=R，求
实数k的取值范围。
【解析】在数轴上画出集合A
Q
?
U
B?
{
x<
br>|
k?
1
?x?k?
4}
?B?
?
x|x?k?1或x?k?4
?
要使A∪B=R，即
k?1??2
且
k?4?7
解得
?3?k?3
。
【巩固练习】
1．已知集合
A?N,B?
?
x?R|x
2
?x?6?0<
br>?
,
则集合
AIB
等于（ ）
A．
?
2
?
B．
?
3
?
C．
?
?2,3
?
D．
?
?3,2
?
2．若集合
A?{?1,1}
，
B?{x|mx?1}
，且
AUB?A
，则
m
的值为（
）
A．
1
B．
?1
C．
1
或
?1
D．
1
或
?1
或
0
3．若集合
M??
(x,y)x?y?0
?
,N?(x,y)x
2
?y
2
?0,x?R,y?R
，则有（ ）
A．MUN?M B．
MUN?N C． MIN?M D．
MIN??
4．若全集
U?<
br>?
0,1,2,3
?
且C
U
A?
?
2
?
，则集合
A
的真子集共有（ ）
A．
3
个
B．
5
个 C．
7
个 D．
8
个
5．表示图形中的阴影部分( )
A．
(A?C)?(B?C)
C
A
B
??
B．
(A?B)?(A?C)
C．
(A?B)?(B?C)
D．
(A?B)?C
6. 已知全集U=A∪B中有m个元素，
(痧
U
A)U(
U
B)
中有n个元素。若A∩B非空，则
A∩B的元素个数为（ ）
A．mn
B．m+n C．n―m D．m―n
7．已知集合
A?{x|x?3或x?7
},B?{x|x?a}.
若
?
?
R
A
?
∩B?
?
,则a
的取值范围为
（ ）
A．
a?3
B．
a?3
C．
a?7
D．
a?7
8．设S是整数集Z的非空子集，如果
?a,b?S
，
有
ab?S
，则称S关于数的乘法是封
闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，
TUU?Z
，且
?a,b,c?T
，有
abc?T,?x,y,z?
V
有
xyz?V
，则下列结论恒成立的是
A．
T,V
中至少有一个关于乘法是封闭的
B．
T,V
中至多有一个关于乘法是封闭的
C．
T,V
中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．
T,V
中每一个关于乘法都是封闭的
9．设
U?R,A??
x|a?x?b
?
,?
?
,则
a?______,b
?_____
。
U
A?
?
x|x?4或x?3
10．50
名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30
名，参加乙项的学生有2
5名，则仅参加了一项活动的学生人数为 。
11．若
A?
?
1,4,x
?
,B?
?
1,x
2
?
且<
br>AIB?B
，则
x?
。
12．已知集合<
br>A?{x|ax
2
?3x?2?0}
至多有一个元素，则
a
的
取值范围 ；
若至少有一个元素，则
a
的取值范围
。
13．设
U?R
，集合
A?
?
x|x
2
?3x?2?0
?
，
B?
?
x|x
2
?(m?1
)x?m?0
?
；
若
(?
U
A)IB?
?
，求
m
的值。 <
br>14．设
A?
?
x|x
2
?px?q?0
?
,B?
?
x|qx
2
?px?1?0
?
，其中
p,
q?0
，同时满足①
AIB??
；②
?
?
R
B?
IA?
?
?2
?
。求
p,q
的值。
15．设集合A＝{x|x
2
－3x＋2＝0}，B＝{x|x
2
＋2(a
＋1)x＋(a
2
－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
【答案与解析】
1.
【答案】 A
2. 【答案】 D
?
1
?
【解析】当<
br>m?0
时，
B?
?
,
满足
AUB?A
，即<
br>m?0
；当
m?0
时，
B?
??
,
?
m
?
而
AUB?A
，∴
3. 【答案】 A
1
?1或?1，m?1或?1
；∴
m?1,?1或0
；
m
【解析】
N?（
?
0，0）
?
，
N?M
；
4. 【答案】C
【解析】A?
?
0,1,3
?
，真子集有
2
3
?1?7
。
5. 【答案】A
6．【答案】D
【解析】 ∵
(痧
如下图所示阴影部分，又∵U=A∪B
中有m
U
A)U(
U
B)
中有n个元素，
个元素，故A∩B
中有（m－n）个元素。
7．【答案】A
【解析】利用数轴去解
8．【答案】A
【解析】若按照整数集的范围考虑，则不妨
令T＝N，V为负整数集，满足题意，但x，
y∈V时，
xy?V
，排除D；若从整数
特征考虑，令T为偶数集，V为奇数集，均关于数的
乘法是封闭的，排除B、C，故选A。
9. 【答案】
a?3,b?4
【解析】
A?C
U
(C
U
A)?
?
x|3?x?4
?
?
?<
br>x|a?x?b
?
10. 【答案】 45
【解析】
画出Venn图如下图所示。
11.
【答案】
0,2,或?2
【解析】由
AIB?B得B?A
，
则
x
2
?4或x
2
?x
，且
x?1
。
99
????
12. 【答案】
?
a|a?,或a
?0
?
，
?
a|a?
?
88
???
?
【解析】当
A
中仅有一个元素时，
a?0
，或
??9?8
a?0
；
当
A
中有
0
个元素时，
??9?8a?0
；
当
A
中有两个元素时，
??9?8a?0
；
13. 【解
析】A?
?
?2,?1
?
，由
(C
U
A)IB?<
br>?
,得B?A
，
当
m?1
时，B?
?
?1
?
，符合
B?A
；
当
m?1
时，
B?<
br>?
?1,?m
?
，而
B?A
，∴
?m??2
，即
m?2
∴
m?1
或
2
。
14．【解析】
AIB??
，所以两个方程至少有一个共同解且—2是方程前者的解，
设两方程的共同解为
a
，
15．【解析】由
x
2
－3
x
＋2＝0得
x
＝1或
x
＝2，
故集合
A
＝{1,2}.
(1)∵
A
∩
B
＝{2}，∴2∈
B
，代入
B
中的方程，
得
a
2
＋4
a
＋3＝0?
a
＝－1或
a
＝－3； 当
a
＝－1时，
B
＝{
x
|
x
2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；
当
a
＝－3时，
B
＝
{
x
|
x
2
－4
x
＋4＝0}＝{2}，满足条件
；
综上，
a
的值为－1或－3；
(2)对于集合
B
，
Δ＝4(
a
＋1)
2
－4(
a
2
－5)＝
8(
a
＋3).
∵
A
∪
B
＝
A
，∴
B
?
A
，
①当Δ<0，即
a
<－3时，
B
＝?满足条件；
②当Δ＝0，即
a
＝－3时，
B
＝{2}，满足条件；
③
当Δ>0，即
a
>－3时，
B
＝
A
＝{1,2}才能满足条
件，
则由根与系数的关系得
5
?
?
1?2??2a?1?
??
a???
??
?
?
2
矛盾；
?
2
?
1?2?a?5.
?
a
2
?7.<
br>?
?
综上，
a
的取值范围是
a
≤－3.