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高中数学联赛讲义(教师用)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 15:42
tags:高中数学集合

微盘高中数学必修2pdf-高中数学常见二级推论


高中数学竞赛讲义(一)
──集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写
字母来表 示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素在集合A中,称属
于A,记为,否则称不属于 A,记作。例如,通常用N,Z,Q,B,Q
+
分别
表示自然数集、整数集、有理数集 、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,
用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表
示集合的方法 ,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方
法。例如{有理数}, 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集:对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都 是集合B中的元
素,则A叫做B的子集,记为,例如。规定空集是任何集合的子集,如果A
是B 的子集,B也是A的子集,则称A与B相等。如果A是B的子集,而且B中存在元素
不属于A,则A叫B 的真子集。
定义3 交集,
定义4 并集,
定义5 补集,若
定义6 差集,
定义7 集合
记作闭区间

记作开区间
,R记作
,集合



称为A在I中的补集。
定理1 集合的性质:对任意集合A,B,C,有:
(1)
(3) (4)
(2)


【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。
(1)若
,即
或 ,即且或
,则,且
;反之,
,即且,即
或,所以
,则


(3)若
,又
,则
,所以


,即
,所以或,所以
,反之也有
定理2 加法原理:做一件事有类 办法,第一类办法中有
法中有种不同的方法,…,第类办法中有
种不同的方法。
定理3 乘法原理:做一件事分个步骤,第一步有
不同的方法,…,第步有
种不同的方 法,第二类办
种不同的方法,那么完成这件事一共有
种不同的方法,第二步有种
种不同 的方法,那么完成这件事一共有
种不同的方法。
二、方法与例题
1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。
例1 设
(1)
(2 )
(3)若
[证明](1)因为
(2)假设
有相同的奇偶性,所以
, 假设不成立,所以
(3)设

,则

(因为)。
,再证,则A=B。



,则
,且
,则存在,使

,所以
,由于和
,求证:
是奇数或4的倍数,不可能等于
2.利用子集的定义证明集合相等,先证
例2 设A,B是两个集合,又设集合M满足


,求集合M(用A,B表示)。
【解】先证
,所以
再证,若
;2)若
综上,
,则
,则
,若

1)若
。所以
,则

,因为,所以
3.分类讨论思想的应用。
例3

【解】依题设,
因为
因为
若,则
综上所述,
,所以
,所以


,求
,再由
,所以
,若
,解得
;或


,则
解得
,所以

或2,所以
,即

或3。


4.计数原理的应用。
例4 集合A,B,C是I= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,(1)若
求有序集合对(A,B)的个数;(2 )求I的非空真子集的个数。
【解】(1)集合I可划分为三个不相交的子集;AB,BA,中的每个 元素恰

属于其中一个子集,10个元素共有3
10
种可能,每一种可能确定 一个满足条件的集合对,所
以集合对有3
10
个。
(2)I的子集分三类: 空集,非空真子集,集合I本身,确定一个子集分十步,第一步,
1或者属于该子集或者不属于,有两种 ;第二步,2也有两种,…,第10步,0也有两种,
由乘法原理,子集共有
5.配对方法。
例5 给定集合的个子集:,满足任何两个子集的交
个,非空真子集有1022个。
集非空,并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求的值。


【 解】将I的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得
同在这个子集中,因此,
对,每 一对不能
;其次,每一对中必有一个在这个子集中出现,否则,
,则
。综上,。 ,从而可以在个若有一对子集未出现,设为C
1
A与A,并设
子集中再添加,与已 知矛盾,所以
6.竞赛常用方法与例问题。
定理4 容斥原理;用表示集合A的元素个数,则
,需要xy此结论
可以推广到个集合的情况,即

定义8 集合的划分:若,且,
则这些子集的全集叫I的一个-划分。
定理5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理:将个元素放入个抽屉,必有一 个抽屉放有不少于
个元素;将无穷多个元素放入个抽屉必有一个元素,也必有一个抽屉放有不多于
个抽屉放有无穷多个元素。
例6 求1,2,3,…,100中不能被2,3,5整除的数的个数。
【解】 记
,由容斥原理,

,所以不能被2,3,5整除的数有
个。
例7 S是集合{1,2,…,2004}的子集,S中的任意两个数的差不等于4或7,问S中
最多含有多少 个元素?


【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻 两个数至
多有一个属于S,将这11个数按连续两个为一组,分成6组,其中一组只有一个数,若S含有这11个数中至少6个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以S至多含有其中5
个数。又 因为2004=182×11+2,所以S一共至多含有182×5+2=912个元素,另一方面,当
时,恰有
所以最少含有912个元素。
例8

求所有自然数,使得存在实数满足:
,且S满足题目条件,

【解】 当时,
。下证当
;当时,
时,不存在
;当
满足条件。
时,

所以必存在某两个下标
,则
,使得

,所以或
,即,所以或,。
(ⅰ)若
,即
故只有
考虑

,有或
,推出矛盾,设
所以故当
,设
,考虑
,则
,有或
,导致矛盾,
,即
,则
,设,则
,又推出矛盾,
时,不存在满足条件的实数。
(ⅱ )若
即,这时

,考虑,有或
。考虑,有

,推出矛盾,故
,即=3,于是,矛盾。因此


,所以
故当时,不存在满足条件的实数。
,这又矛盾,所以只有,所以。
例9 设A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9 ,……,n},在A中取三个数,B中取两
个数组成五个元素的集合
【解】
中最多 重复出现次,则必有
出现的所有
}
。若不然,数出现次
,求的最小值。 设B中每个数在所有
(),则在中,至少有一个A中的数出现3次,不妨设它
,其中,
时,
是1,就有集合{1,
为满足题意的集合。
20个
必各不 相同,但只能是2,3,4,5,6这5个数,这不可能,所以
。当中,B中的数有40个,因此至少是 10个不同的,所以
如下20个集合满足要求:
{1,2,3,7,8}, {1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,9,10},
{1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15}, {1,4,5,7,9},
{1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11}, {2,3,4,13,15}, {2,3,5,9,11},
{2,3,6,14,16}, {2,4,5,8,10}, {2,4,6,7,11}, {2,5,6,12,13},
{3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9}, {3,5,6,7,10}, {4,5,6,14,15}。
例10 集合{1,2,…,3n}可以划分成个互不相交的三元集合
,求满足条件的最小正整数
,其中
【解】 设其中第个三元集为则1+2+…+
所以
,所以,当
。当为偶数时,有,所以,当为奇数时,有
时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,1 5,6},{9,12,
7},{10,14,8}满足条件,所以的最小值为5。
三、基础训练题
1.给定三元集合
2.若集合
3.集合
,则实数的 取值范围是___________。
中只有一个元素,则=___________。
的非空真子集有___________个。


4.已知集合
的实数组成的集合P=___________。
5.已知
6.若非空集合S满足
合S有___________个。
7.集合
8.若集合
之和是___________。
9.集合
构成的集合为___________。
10.集合
___________。
,且
,其中,
,且
,且若
,若,则由满足条件
,则常数的取值范围是___________。
,则,那么符合要求的集
之间的关系是___________。
且,若,则A中元素
,则满足条件的值
,则
11.已知S是由实数构成的集合,且满足1)
,S中至少含有多少个元素?说明理由。
12.已知
求实数的取值范围。
四、高考水平训练题
1.已知集合
___________。
2.
,则
3.已知集合
实数的取值范围是___________。
)若,则。如果
,又C为单元素集合,
,且A=B,则___________,

___________。
,当时,
4.若实数为常数,且___________。


5.集合
___________。
6.集合
元素是___________。
7.集合
___________。
,若,则
,则中的最小
,且A =B,则
8.已知集合
___________。
9.设集合
,问:是否存在
论。
10.集合A和B各含有12个元素,合C的个数:1)
,且,则的取值范围是
,使得,并证明你的结
含有4个元素,试 求同时满足下列条件的集


且C中含有3个元素;2)
11.判断以下命 题是否正确:设A,B是平面上两个点集,
若对任何,都有,则必有,证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1.已知集合
取值范围是___________。 2.集合的子集B满足:对任意的
,则实数的
,则集
合B中元素个数的最大值是_ __________。
3.已知集合
则实数___________。
,若
___________。

,其中,且,若P=Q,
4.已 知集合
平面上正八边形的顶点所构成的集合,则


5.集合,集合
,则集 合M与N的关系是___________。
6.设集合
则A中元素最多有___________个。
7.非空集合
的所有的集合是___________。
,集合A满足:,且当时, ,
,≤则使成立
8.已知集合A,B,aC(不必相异)的并集
序三元组(A,B,C )个数是___________。
9.已知集合
问:当取何值时,
结论如何? < br>10.求集合B和C,使得
11.S是Q的子集且满足:若
,则
,则
, 试确定集合S。
, 则满足条件的有

为恰有2个元素的集合?说明理由,若改为3 个元素集合,
,并且C的元素乘积等于B的元素和。
恰有一个成立,并且若
12.集 合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:S中的任何两
个元素至多 出现在两个不同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集?
六、联赛二试水平训练题
1.
,则
是三个非空整数集,已知对于1,2,3的任意一个排列
。求证:中必有两个相等 。

,如果,
2.求证:集合{1,2,…,1989}可以划分为117个互不相 交的子集
使得(1)每个恰有17个元素;(2)每个中各元素之和相同。
3.某人写了封信 ,同时写了个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信都装错
的情况有多少种?
4.设
个不同的元素,求集合
5.设S是由
为偶数。
是20个两两不同的整数,且整合
中不同元素个数的最小可能值。
中有201
个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数


6.对于整数,求 出最小的整数
的任一个
,使得对于任何正整数,集合
元子集中,均有至少3个两两互质 的元素。
7.设集合S={1,2,…,50},求最小自然数,使S的任意一个元子集中都存在两< br>个不同的数a和b,满足
8.集合

,试作出X的三元子集族&,满足:
(1)X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含;
(2)
9.设集合

,求最小的正整数
,一定存在某个集合
,使得对A的任意一个14-分划
中有两个元素a和b满足,在


高中数学精神讲义(二)
──二次函数与命题
一、基础知识
1.二次函 数:当0时,y=ax
2
+bx+c或f(x)=ax
2
+bx+c称为关于 x的二次函数,其对
称轴为直线x=-,另外配方可得f(x)=a(x-x
0
)2
+f(x
0
),其中x
0
=-,下同。
2.二次函 数的性质:当a>0时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x
0
]上随自变量x
增大函数值减小(简称递减),在[x
0
, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当
a<0时,情况相反。
3.当a>0时, 方程f(x)=0即ax
2
+bx+c=0?①和不等式ax
2
+bx+c> 0?②及ax
2
+bx+c<0?
③与函数f(x)的关系如下(记△=b
2
-4ac)。
1)当△>0时,方程①有两个不等实根,设x
1
,x
2
(x
1
2
),不等式②和不等式③的解集分
别是{ x|x1
或x>x
2
}和{x|x
1
2
},二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点,f(x)还可写
成f(x)=a(x- x
1
)(x-x
2
).
2)当△=0时,方程①有两个相等的实根 x
1
=x
2
=x
0
=,不等式②和不等式③的解集分
别是{x|x}和空集,f(x)的图象与x轴有唯一公共点。


3)当△<0时,方 程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是R和
无公共点。
当a<0时,请读者自己分析。
.f(x)图象与x轴
4.二次函数的最值:若a>0,当x=x
0
时,f( x)取最小值f(x
0
)=,若a<0,则当
x=x
0
=时,f(x )取最大值f(x
0
)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数
f(x)=ax2
+bx+c(a>0),当x
0
∈[m, n]时,f(x)在[m, n]上的最小值为f(x
0
); 当x
0
上的最小值为f(m);当x
0
>n时,f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)(以上结论由二次函数图象即
可得出)。
定义1 能判断真假的语 句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻
辑联结词“或”、“且”、“非”的命 题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命
题由复合命题。
注1 “p或q”复合命 题只有当p,q同为假命题时为假,否则为真命题;“p且q”复
合命题只有当p,q同时为真命题时为 真,否则为假命题;p与“非p”即“p”恰好一真一
假。
定义2 原命题:若p则q(p为 条件,q为结论);逆命题:若q则p;否命题:若非p
则q;逆否命题:若非q则非p。
注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p则q” 为真,则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”
中,如果已知pq,则p是q的充分条件;如果q p,则称p是q的必要条件;如果p
q但q不p,则称p是q的充分非必要条件;如果p不q但pq,则 p称为q的必要
非充分条件;若pq且qp,则p是q的充要条件。
二、方法与例题
1.待定系数法。
例1 设方程x
2
-x+1=0的两根是α,β,求满足 f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).
【解】 设f(x)=ax
2
+bx+c(a0),
则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得(α-β)[(α+β)a+b+1]=0,
因为方程x
2
-x+1=0中△0,
所以αβ,所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因为f(1)=a+b+c=1,
所以c-1=1,所以c=2.
又b=-(a+1),所以f(x)=ax
2
-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα
2
-(a+1)α+2=β,
所以aα
2
-aα+2=α+β=1,所以aα
2
-aα+1=0.
即a(α
2
-α+1)+1-a=0,即1-a=0,
所以a=1,
所以f(x)=x
2
-2x+2.
2.方程的思想。


例2 已知f(x)=ax
2
-c满足-4?f(1)?-1, -1?f(2)?5,求f(3)的取值范围。
【解】 因为-4?f(1)=a-c?-1,
所以1?-f(1)=c-a?4.
又-1?f(2)=4a-c?5, f(3)=f(2)-f(1),
所以×(-1)+?f(3)?×5+×4,
所以-1?f(3)?20.
3.利用二次函数的性质。
例3 已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a,b,c∈R, a0),若方程f(x)=x无实根,求证:方程
f(f(x))=x也无实根。
【证明】若 a>0,因为f(x)=x无实根,所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且
开口向 上,所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x,从而f(f(x))>f(x)。
所以f(f(x))>x,所以方程f(f(x))=x无实根。
注:请读者思考例3的逆命题是否正确。
4.利用二次函数表达式解题。
例4 设 二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a>0),方程f(x)=x的两根x
1, x
2
满足01
2
<
(Ⅰ)当x∈(0, x
1
)时,求证:x1

,
(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于x=x
0
对称,求证:x
0
<
【证明】 因为x
1
, x
2
是方程f(x)-x=0的两根,所以 f(x)-x=a(x-x
1
)(x-x
2
),
即f(x)=a(x-x
1
)(x-x
2
)+x.
(Ⅰ)当x∈(0, x
1
)时,x-x
1
<0, x-x
2
<0, a>0,所以f(x)>x.
其次f(x)-x
1
=(x-x
1
)[a(x-x
2
)+1]=a(x-x
1
)[x-x
2
+]<0,所以f(x)1
.
综上,x1
.
(Ⅱ)f(x)=a(x-x
1)(x-x
2
)+x=ax
2
+[1-a(x
1
+x< br>2
)]x+ax
1
x
2
,
所以x
0
=,
所以,
所以
5.构造二次函数解题。
例5 已知关于x的方程(ax+1)
2
=a
2
(a-x
2
), a>1,求证:方程的正根比1小,负根比-1大。


【证明】 方程化为2a
2
x
2
+2ax+1-a
2
=0.
构造f(x)=2a
2
x
2
+2ax+1-a
2
,
f(1)=(a+1)
2
>0, f(-1)=(a-1)
2
>0, f(0)=1-a
2
<0, 即△>0,
所以f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。
即方程的正根比1小,负根比-1大。
6.定义在区间上的二次函数的最值。
例6 当x取何值时,函数y=取最小值?求出这个最小值。
【解】 y=1-,令u,则0y=5u
2
-u+1=5,
且当即x=3时,y
min
=.
例7 设变量x满足x
2
+bx?-x(b<-1),并且x
2
+bx的最小值是
【解】 由x
2
+bx?-x(b<-1),得0?x?-(b+1).
,求b的值。
ⅰ)-?-(b+1),即b?-2时,x
2
+bx的最小值为-
(舍去)。
,所以b
2
=2,所以
ⅱ) ->-(b+1),即b>-2时,x
2
+bx在[0,-(b+1)]上是减函数,
所以x
2
+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.
综上,b=-.
7.一元二次不等式问题的解法。
例8 已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个,求a的取值范围。
【解】 因为方程x
2
-x+a-a
2
=0的两根为x
1
=a, x
2
=1-a,
若a?0,则x
1
2
.①的 解集为a1-2a.
因为1-2a?1-a,所以a?0,所以不等式组无解。


若a>0,ⅰ)当 01
2
,①的解集为a因为0ⅱ)当a=时,a=1-a,①无解。
ⅲ)当a>时,a>1-a,由②得x>1-2a,
所以不等式组的解集为1-a又不等式组的整数解恰有2个,
所以a-(1-a)>1且a-(1-a)?3,
所以1综上,a的取值范围是18.充分性与必要性。
例9 设定数A,B,C使得不等式
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)?0 ①
对一 切实数x,y,z都成立,问A,B,C应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,
而且限定用只涉 及A,B,C的等式或不等式表示条件)
【解】 充要条件为A,B,C?0且A
2
+B
2
+C
2
?2(AB+BC+CA).
先证必要性,①可改写 为A(x-y)
2
-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)
2
?0 ②
若A=0,则由②对一切x,y,z∈R成立,则只有B=C,再由①知B=C=0,若A0 ,则因
为②恒成立,所以A>0,△=(B-A-C)
2
(y-z)
2
-4AC(y-z)
2
?0恒成立,所以(B-A-C)
2
-4AC?0, 即
A
2
+B
2
+C
2
?2(AB+BC+CA)
同理有B?0,C?0,所以必要性成立。
再证充分性,若A?0,B?0,C?0且A2
+B
2
+C
2
?2(AB+BC+CA),
1)若 A=0,则由B
2
+C
2
?2BC得(B-C)
2
?0,所 以B=C,所以△=0,所以②成立,①成
立。
2)若A>0,则由③知△?0,所以②成立,所以①成立。
综上,充分性得证。
9.常用结论。
定理1 若a, b∈R, |a|-|b|?|a+b|?|a|+|b|.
【证明】 因为-|a|?a?|a|,-|b|?b?|b|,所以-(|a|+|b|)?a+b?|a|+|b|,
所以|a+b|?|a|+|b|(注:若m>0,则-m?x?m等价于|x|?m).
又|a|=|a+b-b|?|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|?|a+b|.综上定理1得证。
定理2 若a,b∈R, 则a
2
+b
2
?2ab;若x,y∈R
+
,则x+y?
(证略)
注 定理2可以推广到n个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。
三、基础训练题


1.下列四个命题中属于真命题的是________,①“ 若x+y=0,则x、y互为相反数”的
逆命题;②“两个全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q ?1,则x
2
+x+q=0有实根”
的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等” 的逆否命题。
2.由上列各组命题构成“p或q”,“p且q”,“非p”形式的复合命题中,p或q
为真,p且q为假,非p为真的是_________.①p;3是偶数,q:4是奇数;②p:3+2 =6,q:③
p:a∈(a,b),q:{a}{a,b}; ④ p: QR, q: N=Z.
3. 当|x-2|2
-4|<1成立,则正数a的取值范围是_ _______.
4. 不等式ax
2
+(ab+1)x+b>0的解是15. x1且x2是x-1的__________条件,而- 2程x
2
+mx+n=0有两个小于1的正根的_ _________条件.
6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.
7.若 S={x|mx
2
+5x+2=0}的子集至多有2个,则m的取值范围是_________ .
8. R为全集,A={x|3-x?4}, B=, 则(C
R
A)∩B=_________.
9. 设a, b是整数,集合A={( x,y)|(x-a)
2
+3b?6y},点(2,1)∈A,但点(1,0)A,
( 3,2)A则a,b的值是_________.
10.设集合A={x||x|<4}, B={x|x
2
-4x+3>0},则集合{x|x∈A且xA∩B}=_________.
11. 求使不等式ax
2
+4x-1?-2x
2
-a对任意实数x 恒成立的a的取值范围。
12.对任意x∈[0,1],有 ①②成立,求k的取值范围。
四、高考水平训练题
1.若不等式|x-a|2. 使不等式x
2
+(x-6)x+9>0当|a|?1时恒成立的x的取值范围是_______ __.
3.若不等式-x
2
+kx-4<0的解集为R,则实数k的取值范围是__ _______.
4.若集合A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|5.设a
1
、a
2
, b
1
、b
2
, c
1
、c
2
均为非零实数 ,不等式a
1
x
2
+b
1
x+c
1
>0和 a
2
x
2
+b
2
x+c
2
>0解集
分别为M和N,那么“”是“M=N”的_________条件。
6.若下列三个方程x
2
+4ax-4a+3=0, x
2
+(a-1)x+a
2
=0, x
2
+2ax-2a= 0中至少有一个方程有实
根,则实数a的取值范围是_________.
7.已知p, q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,则r是q的_________
条件。
8.已知p: |1-|?2, q: x
2
-2x+1-m
2
?0 (m>0),若非p是非q的必要不充分条件,则
实数m的取值范围是_________.
9.已知a>0,f(x)=ax
2
+bx+c,对任意x∈R有f(x+2)=f(2-x) ,若f(1-2x
2
)2
),求x
的取值范围。
10.已知a, b, c∈R, f(x)=ax
2
+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|?1时,|f(x)|?1,
(1)求证:|c|?1;


(2)求证:当|x|?1时,|g(x)|?2;
(3)当a>0且|x|?1时,g(x)最大值为2,求f(x).
11.设实数a,b, c,m满足条件:
有一根x
0
满足00
<1.
五、联赛一试水平训练题
1.不等式|x|
3
-2x
2
- 4|x|+3<0的解集是_________.
=0,且a?0,m>0,求证:方程ax
2
+bx+c=0
2.如果实数x, y满足:,那么|x|-|y|的最小值是_________.
3.已知二次函数f(x)=ax< br>2
+bx+c的图象经过点(1,1),(3,5),f(0)>0,当函数的
最小值取 最大值时,a+b
2
+c
3
=_________.
4. 已知f(x)=|1-2x|, x∈[0,1],方程f(f(f)(x)))=x有_________个实根。
5.若关于x的方 程4x
2
-4x+m=0在[-1,1]上至少有一个实根,则m取值范围是________ _.
6.若f(x)=x
4
+px
3
+qx
2
+ x对一切x∈R都有f(x)?x且f(1)=1,则p+q
2
=_________.
7. 对一切x∈R,f(x)=ax
2
+bx+c(a_________.
8.函数f(x)=ax
2
+bx+c的图象如图, 且
的最小值为
=b-2ac. 那么b
2
-4ac_________4. (填>、
=、<)
9.若a个不等的实根。
1 0.某人解二次方程时作如下练习:他每解完一个方程,如果方程有两个实根,他就给
出下一个二次方程 :它的常数项等于前一个方程较大的根,x的系数等于较小的根,二次项
系数都是1。证明:这种练习不 可能无限次继续下去,并求最多能延续的次数。
11.已知f(x)=ax
2
+bx +c在[0,1]上满足|f(x)|?1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。
六、联赛二试水平训练题
1.设f(x)=ax
2
+bx+c,a,b,c∈R, a>100,试问满足|f(x)|?50的整数x最多有几个?
2.设函数f(x)=ax
2
+8x+3(a<0),对于给定的负数a,有一个最大的正数l(a),使得在整
个区间[ 0,l(a)]上,不等式|f(x)|?5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。
3.设x
1
,x
2
,?,x
n
∈[a, a+1],且设x=, y=, 求f=y-x
2
的最大值。
4.F(x)=ax
2
+bx+c,a,b,c∈R, 且|F(0)|?1,|F( 1)|?1,|F(-1)|?1,则对于|x|?1,求|F(x)|的最
大值。

< br>5.已知f(x)=x
2
+ax+b,若存在实数m,使得|f(m)|?,|f(m+ 1)|?,求△=a
2
-4b的最大
值和最小值。
6.设二次函数f(x)=ax
2
+bx+c (a,b,c∈R, a0)满足下列条件:
1)当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)?x;
2)当x∈(0, 2)时,f(x)?;
3)f(x)在R上最小值为0。
求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1, m]就有f(x+t)?x.
7 .求证:方程3ax
2
+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。
8.设a,b,A,B∈R
+
, a1
, a
2
,?,a
n
位于a与A之间,n个正数b
1
, b
2
,?,b
n
位于b与B之间,求证:

9.设a,b,c为实数,g(x)=ax+bx+c, |x|?1,求使下列条件同时满足的a, b, c的值:
2
(ⅰ)=381;
(ⅱ)g(x)
max
=444;
(ⅲ)g(x)
min
=364.

高中数学竞赛讲义(三)
──几个初等函数的性质
一、基础知识
1.指数函数及其性质:形如y=a
x
(a>0, a1)的函数叫做指数函数,其定 义域为R,值
域为(0,+∞),当0x
是减函数,当a>1时, y=a
x
为增函数,它的图象恒过
定点(0,1)。
2.分数指数幂:。
3.对数函数及其性质:形如y=log
a
x(a>0, a1)的函数叫做对数函数 ,其定义域为(0,
+∞),值域为R,图象过定点(1,0)。当0a
x为减函数,当a>1时,y=log
a
x
为增函数。
4.对数的性质(M>0, N>0);
1)a
x
=Mx=log
a
M(a>0, a1);
2)log
a
(MN)= log
a
M+ log
a
N;
3)log
a
()= log
a
M- log
a
N;4)log
a
M
n
=n log
a
M;,


5)log
a
=log
a
M;6)a
loga M
=M; 7) log
a
b=(a,b,c>0, a, c1).
5. 函数y=x+

(a>0)的单调递增区间是
。(请读者自己用定义证明)
和,单调递减区间为
6.连续函数的性质:若a至少有一个实根。
二、方法与例题
1.构造函数解题。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0.
【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立,只需证f(-1)>0且f(1)>0(因为-1因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0,
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0,
所以f(a)>0,即ab+bc+ca+1>0.
例2 (柯西不等式)若a
1
, a
2
,?,a
n
是不全为0的实数,b
1
, b
2
,?,b
n
∈R,则
()·()?()
2
,等号当且仅当存 在R,使a
i
=, i=1, 2, ?, n
时成立。
【证明】 令f(x)= ()x
2
-2()x+=,
因为>0,且对任意x∈R, f(x)?0,
所以△=4()-4()()?0.
展开得()()?()
2

,使a
i
=, i=1, 2, ?, n。 等号成立等价于f(x)=0有实根,即存在
例3 设x, y∈R
+
, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2],求u=的最小值。
【解】u==xy+?xy++2·


=xy++2.
令xy=t,则0因为0所以f(t)
min
=f()=+,所以u?++2.
当x=y=时,等号成立. 所以u的最小值为++2.
2.指数和对数的运算技巧。
例4 设p, q∈R
+
且满足log
9
p= log
12
q= log
16
(p+q),求的值。
【解】 令log
9
p= log
12
q= log
16
(p+q)=t,则p=9
t
, q=12
t
, p+q=16
t

所以9
t
+12
t
=16
t
,即1+
记x=,则1+x=x
2
,解得
又>0,所以=
例5 对于正整数a, b, c(a?b?c)和实数x, y, z, w,若a
x
=b
y
=c
z
=70
w
,且
求证:a+b=c.
【证明】 由a
x
=b
y
=c
z
=70
w
取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70,
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70,由题设,
所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1,则因为xlga=wlg70,所以w=0与题设矛盾,所以a>1.
又a?b?c,且a, b, c为70的正约数,所以只有a=2, b=5, c=7.


所以a+b=c.
例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且log
a
x+log
c
x=2log
b
x,求证c
2=(ac)
logab
.
【证明】 由题设log
a
x+lo g
c
x=2log
b
x,化为以a为底的对数,得

因为ac>0, ac1,所以log
a
b=log
ac
c
2
,所以c
2
=(ac)
logab
.
注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。
3.指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求 解。值得注意的是函数
单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7 解方程:3
x
+4
x
+5
x
=6
x
.
【解】 方程可化为=1。设f(x)= , 则f(x)
在(-∞,+∞)上是减函数,因为f(3)=1,所以方程只有一个解x=3.
例8 解方程组:(其中x, y∈R
+
).
【解】 两边取对数,则原方 程组可化为
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)
2
-3 6]lgx=0.
由lgx=0得x=1,由(x+y)
2
-36=0(x, y∈R
+
)得x+y=6,
代入①得lgx=2lgy,即x=y
2
,所以y
2
+y-6=0.
又y>0,所以y=2, x=4.
①②
所以方程组的解为
例9 已知a>0, a
.
1,试求使方程log
a
(x-ak)=loga
2
(x
2
-a
2
)有解的k的取值范围。
【解】由对数性质知,原方程的解x应满足
若①、②同时成立,则③必成立,
.①②③
故只需解
由①可得2kx=a(1+k
2
), ④
.
当k=0时,④无解;当k0时,④的解是x=,代入②得>k.
若k<0, 则k
2
>1,所以k<-1;若k>0,则k
2
<1,所以0综上,当k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。


三、基础训练题
1.命题p: “(log
2
3)
x
-(log
5
3)
x
?(log
2
3)
-y
-(log
5
3)
-y
”是命题q:“x+y?0”的____ _____条件。
2.如果x
1
是方程x+lgx=27的根,x
2
是方程x+10
x
=27的根,则x
1
+x
2
=____ _____.
3.已知f(x)是定义在R上的增函数,点A(-1,1),B(1,3)在它的图象 上,y=f
-1
(x)
是它的反函数,则不等式|f
-1
(log< br>2
x)|<1的解集为_________。
4.若log
2a
<0,则a 取值范围是_________。
5.命题p: 函数y=log
2
在[2,+∞)上是增函数;命题q: 函数y=l og
2
(ax
2
-4x+1)
的值域为R,则p是q的______ ___条件。
6.若00且a1,比较大小:|log
a
(1-b )|_________|log
a
(1+b).
7.已知f(x)=2+log
3
x, x∈[1, 3],则函数y=[f(x)]
2
+f(x
2
)的值域为_________。
8.若x=,则与x最接近的整数是_________。
9.函数的单调递增区间是_________。
10.函数f(x)=的值域为_________。
11.设f(x)=lg[1+2
x
+3
x
+?+(n-1)
x
+n
x
·a],其中n为给定正整数, n?2, a∈R.若f(x)在x
∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
12.当a为何值时,方程
四、高考水平训练题
=2有一解,二解,无解?
1.函数f(x)=+lg(x
2
-1)的定义域是_________.
2.已知不等式x
2
-log
m
x<0在x∈时恒成立,则m的取值范围是_ ________.
3.若x∈{x|log
2
x=2
-x
},则 x
2
, x, 1从大到小排列是_________.
4. 若f(x)=ln,则使f(a)+f(b)=_________.
5. 命题p: 函数y=lo g
2
在[2,+∞)上是增函数;命题q:函数y=log
2
(ax
2
-4x+1)
的值域为R,则p是q的_________条件.


6.若00且a1,比较大小:|log
a
(1-b)| _________|log
a
(1+b)|.
7.已知f(x)=2+log
3
x, x∈[1, 3],则函数y=[f(x)]
2
+f(x
2
)的值域为_________.
8.若x=,则与x最接近的整数是_________.
9.函数y=的单调递增区间是_________.
10.函数f(x)=的值域为_________.
11.设f(x)=lg[1+2
x
+3
x
+?+(n-1)
x
+n
x
·a],其中n为给定正整数,n?2,a∈R。若f(x) 在
x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
12.当a为何值时,方程
四、高考水平训练题
=2有一解,二解,无解?
1.函数f(x)=+lg(x
2
-1)的定义域是__________.
2.已知不等式x
2
-log
m
x<0在x∈时恒成立,则m的取值范围是 ________.
3.若x∈{x|log
2
x=2
-x
},则 x
2
, x, 1从大到小排列是________.
4.若f(x)=ln,则使f(a)+f(b)=成立的a, b的取值范围是________.
5.已知a
n
=log
n
(n+1),设,其中p, q为整数,且(p ,q)=1,则p·q
的值为_________.
6.已知x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________.
7.若方 程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数k的取值范围是________.
8. 函数f(x)=的定义域为R,若关于x的方程f
?2
(x)+bf(x)+c=0有7
个不同的实数解,则b, c应满足的充要条件是________.
(1)b<0且c>0;(2)b>0且c<0;(3)b<0且c=0;(4)b?0且c=0。
9.已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0),则F(x)是________函数(填奇偶性).


10.已知f(x)=lg,若=1,=2,其中|a|<1, |b|<1,则
f(a)+f(b)=________.
11.设a∈R,试讨论关于x的 方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12.设f(x)=|lgx|,实数a, b满足0(1)a
4
+2a
2
-4a+1=0, b
4
-4b
3
+2b
2
+1=0;(2)313.设a>0且a1, f(x)=log
a
(x+
,求证:
) (x?1),(1)求f(x)的反函数f
-1
(x);(2)若
f
-1(n)<(n∈N
+
),求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1.如果log
2
[log(log
2
x)]= log
3
[log(log
3
x)]= log
5
[log(log
5
z)]=0,那么将x, y, z从小到
大排列为___________.
2.设对任意实数x
0
> x
1
> x
2
> x
3
>0,都有log
恒成立,则k的最大值为___________.
1993+ log1993+ log1993> klog1993
3.实数x, y满足 4x
2
-5xy+4y
2
=5,设S=x
2
+y
2
,则的值为___________.
4.已知00
<α< 45
0
,则以下三个数:x=(sinα)
log
b
sina
, y=(cosα)
log
b
sina
, z=(sinα)
log
b
sina
从小到大排列为___________.
5.用[x] 表示不超过x的最大整数,则方程lg
2
x-[lgx]-2=0的实根个数是_______ ____.
6.设a=lgz+lg[x(yz)
-1
+1], b=lgx
-1
+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)
-1
+1],记a, b, c中的最大数为
M,则M的最小值为___________.
7.若f(x)(x∈R)是 周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=,则,
由小到大排列为___________.
8.不等式+2>0的解集为___________.
9.已知a>1, b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,求lg(a-1)+lg(b-1).


10.(1)试画出由方程
图象。
所确定的函数y=f(x)
(2)若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点,求a的取值范围。
]+[]+?+ []=[log
2
n]+[log
3
n]+?+[log
n
n]。 11.对于任意n∈N
+
(n>1),试证明:[
六、联赛二试水平训练题
1.设x, y, z∈R
+
且x+y+z=1,求u=的最小值。
2.当 a为何值时,不等式log·log
5
(x
2
+ax+6)+log
a
3?0有且只有
一个解(a>1且a1)。
3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何x, y>1
及u, v>0, f(x
u
y
v
)?[f(x)][f(y )]①都成立,试确定所有这样的函数f(x).
4. 求所有函数f:R→R,使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5.设m?14是一个整数,函数f:N→N定义如下:
f(n)=,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q.
7.是否存在函数f(n),将自然数集N映为自身,且对每个n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))
都成立。
8.设p, q是任意自然数,求证:存在这样的f(x) ∈Z(x)(表示整系数多项式集合),
使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x, 有
9.设α,β为实数,求所有f: R
+
→R,使得对任意的x,y∈R
+
, f(x)f(y)=y
2
·f
成立。

高中数学竞赛讲义(四)
──三角函数
一、基础知识


定义1 角,一条射线绕着它的端点旋 转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,
则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角, 若不旋转则为零角。角的大小是任意
的。
定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为 一度,弧度制:把等于半径长的圆弧
所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α
|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数,在直角坐标平面 内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴
重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设 它的坐标为(x,y),到原点的距离为
r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数t anα=,余切函数cotα=,正割
函数secα=,余割函数cscα=
定理1 同角三 角函数的基本关系式,倒数关系:tanα=,sinα=,cosα
=;商数关系:tanα=;乘积 关系:tanα×cosα=sinα,cotα×
sinα=cosα;平方关系:sin
2
α+cos
2
α=1, tan
2
α+1=sec
2
α, cot
2
α+1=csc
2
α.
定理2 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cot
α;(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin(π-α)=sin
α, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (Ⅳ)sin=cosα,
cos=sinα, tan=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。
定理3 正弦函数的 性质,根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区
间上为增函数,在区间上为减 函数,最小正周
期为2. 奇偶数. 有界性:当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x=3k-时, y
取最小值-1。对称性:直线x=k+均为其对称轴,点(k, 0)均为其对称中心,值域为
[-1,1]。这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ,
2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性: 偶函数。对


称性:直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。有界性:当且仅当x =2kπ
时,y取最大值1;当且仅当x=2kπ- π时,y取最小值-1。值域为[-1,1]。这里k∈Z.
定理5 正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上
为增函数, 最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+
称中心。
定理6 两角 和与差的基本关系式:cos(αβ)=cosαcosβ
,0)均为其对
sinαsinβ, sin(αβ)=sin
αcosβcosαsinβ; tan(αβ)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,sinα- sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos, cosα- cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],co sαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β) +cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos
2
α-sin
2
α=2cos
2
α-1=1-2sin
2
α,
tan2α=
定理9 半角公式:sin=,cos=,
tan==
定理10 万能公式: , ,



定理11 辅助角公式:如果a, b是实数且a
2
+b
2
0,则取始边在x轴正半轴,终边经过
点(a , b)的一个角为β,则sinβ=
asinα+bcosα=sin(α+β).
,cosβ=,对任意的角α.
定理12 正弦定理:在任意△ABC中有,其中a, b, c分别
是角A,B,C的对边,R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理:在任意△A BC中有a
2
=b
2
+c
2
-2bcosA,其中a,b, c分别是角A,B,C
的对边。
定理14 图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移 得y=sinx+k的图象;经左右平移得
y=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐 标变为原来的,得到y=sin()
的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y =Asinx的图象(振幅变
换);y=Asin(x+)(>0)的图象(周期变换);横坐标不变, 纵坐标变为原来的A倍,
x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移得到y=Asinx的 图象(振幅变换);y=Asin(
个单位得到y=Asinx的图象。
定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈[-1, 1]),
函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数
y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0,
π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x =nπ+(-1)
n
arcsina, n
∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R,方程tanx=a的解集是
{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa=;arctana+arccota=.
定理16 若,则sinx


二、方法与例题
1.结合图象解题。
例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同 一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象(见图),由图象可知两者有6
个交点,故方 程有6个解。
2.三角函数性质的应用。
例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。
【解】 若,则cosx?1且cosx>-1,所以cos,
所以sin(cosx) ?0,又00,
所以cos(sinx)>sin(cosx).
若,则因为sinx+cosx=(sin xcos+sin
cosx)=sin(x+)?<,
所以0所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).
综上,当x∈(0,π)时,总有cos(sinx)例3 已知α,β为锐角,且x·(α+β-)>0,求证:
【证明】 若α+β>,则x>0,由α>-β>0得cosα所以0<<1,又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1,
所以
若α+β<,则x<0,由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,
所以>1。又01,


所以,得证。
注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。
3.最小正周期的确定。
例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】 首先,T=2π是函数的周期(事实上,因为cos(-x)=cosx,所以co|x|=c osx);其
次,当且仅当x=kπ+时,y=0(因为|2cosx|?2<π),
sin(2cosπ),所以T
0
=2π。
所以若最小正周期为T
0
,则T
0
=mπ, m∈N
+
,又sin(2cos0)=sin2
4.三角最值问题。
例5 已知函数y=sinx+,求函数的最大值与最小值。
【解法一】 令sinx=,
则有y=
因为,所以,
所以?1,
所以当,即x=2kπ-(k∈Z)时,y
min
=0,
当,即x=2kπ+(k∈Z)时,y
max
=2.
, 【解法二】 因为 y=sinx+
=2(因为(a+b)
2
?2(a
2
+b
2
)),
且|sinx|?1?,所以0?sinx+?2,
所以当=sinx,即x=2kπ+(k∈Z)时, y
max
=2,
当=-sinx,即x=2kπ-(k∈Z)时, y
min
=0。


例6 设0<<π,求sin的最大值。
【解】因为0<<π,所以,所以sin>0, cos>0.
所以sin(1+cos)=2sin·cos
2
= ?
=
当且仅当2sin
2
=cos
2
, 即tan=, =2arctan时,sin(1+cos)取得最大
值。
例7 若A,B,C为△ABC三个内角,试求sinA+sinB+sinC的最大值。
【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ①
sinC+sin, ②
又因为


由①,②,③得sinA+sinB+sinC+sin?4sin,
所以sinA+sinB+sinC?3sin=,
当A=B=C=时,(sinA+sinB+sinC)
max
=.
注:三 角函数的有界性、|sinx|?1、|cosx|?1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、
柯西 不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。


5.换元法的使用。
例8 求的值域。
【解】 设t=sinx+cosx=
因为
所以

又因为t
2
=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx=,所以,
所以
因为t-1,所以,所以y-1.
所以函数值域为
例9 已知a
0
=1, a
n
=(n∈N
+
),求证:a
n
>.
【证明】 由题设a
n
>0,令a
n
=tana
n
, a
n
∈,则
a
n
=
因为,a
n
∈,所以a
n
=,所以a
n
=
又因为a
0
=tana
1
=1,所以a
0
=,所以·。
又因为当0x,所以


注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x∈
证明是很容易的。
时,有tanx>x>sinx,这是个熟知的结论, 暂时不证明,学完导数后,
6.图象变换:y=sinx(x∈R)与y=Asin(
由y=s inx的图象向左平移
x+)(A, , >0).
个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变 为原来的A倍,
然后再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=Asin(x+)的图象;也可以 由y=sinx
的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来
的,最后向左平移个单位,得到y=Asin(
x+)(
x+)的图象。
?π)是R上的偶函数,其图象关于点例10 例10 已知f(x)=sin(>0, 0?
对称,且在区间上是单调函数,求
+
和的值。
x+),所以cossinx=0,【解】 由f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以sin(
对任意x∈R成立。
)=sin(-
又0??π,解得=,
因为f(x)图象关于对称,所以=0。
取x=0,得=0,所以sin
所以(k∈Z),即=(2k+1) (k∈Z).
又>0,取k=0时,此时f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;
取k=1时,=2,此时f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;
取k=2时,≥,此时f(x)=sin(x+)在[0,]上不是单调函数,


综上,=或2。
7.三角公式的应用。
例11 已知sin(α-β)=
sin2α,cos2β的值。
,sin(α+β)=- ,且α-β∈,α+β∈,求
【解】 因为α-β∈,所以cos(α-β)=-
又因为α+β∈,所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β )]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=
cos2β=cos [(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1 .
,
例12 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且,试
求的值。
【解】 因为A=120
0
-C,所以cos=cos(60
0
-C),
又由于
=,
所以=0。
解得或。
又>0,所以。
例13 求证:tan20+4cos70.


【解】 tan20+4cos70=+4sin20



三、基础训练题
1.已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3),则x的弧度数为___________。
2.适合-2cscx的角的集合为___________。
3.给出下列命题:(1)若 αβ,则sinαsinβ;(2)若sinαsinβ,则αβ;(3)
若sinα>0,则α为第一 或第二象限角;(4)若α为第一或第二象限角,则sinα>0. 上述四
个命题中,正确的命题有__________个。
4.已知sinx+cosx=(x∈(0, π)),则cotx=___________。
5.简谐振动x
1
=Asin
x=___________。
6. 已知3sinx-4cosx=5sin(x+
4
分别是第________象限角。
和x
2
=Bsin叠加后得到的合振动是
1
)=5sin(x-
2
)=5cos(x+
3
)=5cos(x-
4
),则
1
2

3

7.满足sin(sinx+x)=cos(cos x-x)的锐角x共有________个。
8.已知,则=___________。
9.=___________。
10.cot15cos25cot35cot85=___________。
11.已知α,β∈(0, π), tan, sin(α+β)=,求cosβ的值。


12.已知函数f(x)=在区间上单调递减,试求实数m的取值范围。
四、高考水平训练题
1.已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R,若其周长为定值c(c> 0),当扇形面积最大
时,a=__________.
2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.
3. 函数的值域为__________.
4. 方程=0的实根个数为__________.
5. 若sina+cosa=tana, a

则__________a(填大小关系).
6. (1+tan1)(1+tan2)?(1+tan44)(1+tan45)=__________.
7. 若08. =__________.
9. ·cos·cos·cos·cos=__________.
10. cos
2
7 1+cos71cos49+cos
2
49=__________.
11. 解方程:sinx+2sin2x=3+sin3x.
12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x.
13. 已知f(x)=(kA0, k∈Z, 且A∈R),(1)试求f(x)的最大值和最小值;
(2)若A>0, k=-1,求f(x)的单调 区间;(3)试求最小正整数k,使得当x在任意两个整数
(包括整数本身)间变化时,函数f(x)至 少取得一次最大值和一次最小值。
五、联赛一试水平训练题(一)
1.若x, y∈R,则 z=cosx
2
+cosy
2
-cosxy的取值范围是_________ ___.
2.已知圆x
2
+y
2
=k
2
至少盖住 函数f(x)=
实数k的取值范围是____________.
的一个最大值点与一个最小 值点,则
3.f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________.


4.方程sinx+cosx+a=0在(0,2π)内有相异两实根α,β,则α+β =____________.
5.函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.
6.设sina>0>cosa, 且sin>cos,则的取值范围是____________.
7.方程tan5x+tan3x=0在[0,π]中有__________个解.
8.若x, y∈R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.
9.若0<<, m∈N
+
, 比较大小:(2m+1)sin
m
( 1-sin)__________1-sin
2m+1
.
10.cot70+4cos70=____________.
11. 在方程组中消去x, y,求出关于a, b, c的关系式。
12.已知α,β,γ,且cos2
α+cos
2
β+cos
2
γ=1,求tanαtanβta nγ的最小值。
13.关于x, y的方程组
等,求sinα+sinβ+sinγ的值。
有唯一一组解,且sinα, sinβ, sinγ互不相
14.求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对(x, y), x, y.
联赛一试水平训练题(二)
1.在平面直角坐标系中,函数f(x)=asinax+ cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的
图象与函数g(x)=的图象所围成的封闭图形的 面积是__________.
2.若
__________.
,则y=tan- tan+cos的最大值是
3.在△ABC中,记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a
2
+9b
2
-19c
2
=0,则=__________.
4.设f(x)=x
2
-πx, α=arcsin, β=arctan, γ=arccos, δ=arccot, 将f(α), f(β),
f(γ), f(δ)从小到大排列为__________.


5.log
sin1
cos1=a, log
sin1
tan1=b, log
cos1
sin1=c, log
cos1
tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为
__________.
6.在锐角△ABC中,cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα,则
tanα·tanβ·tanγ=__________.
7.已知矩形的两边长分别为tan
f(x)=sin·x
2
+
和1+cos (0<<π),且对任何x∈R,
·x+cos?0,则此矩形面积的取值范围是__________.
8.在锐角△ABC中,sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.
9.已知当x∈[0, 1],不等式x
2
cos-x(1-x)+(1-x)
2
sin>0恒成立,则的取值范围是
__________.
10.已知sin x+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,则cos
2
x+ cos
2
y+ cos
2
z=__________.
11.已知a
1
, a
2
, ?,a
n
是n个实常 数,考虑关于x的函数:f(x)=cos(a
1
+x)+cos(a
2
+x ) +?
+cos(a
n
+x)。求证:若实数x
1
, x
2
满足f(x
1
)=f(x
2
)=0,则存在整数m,使得x
2
-x
1
=mπ.
12.在△ABC中,已知,求证:此三角形中有一个内角为

13.求证:对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+?+|sin(3n-1)|+|sin3n|>.
六、联赛二试水平训练题
1.已知x>0, y>0, 且x+y<π,求证:w(w-1)sin(x+y)+w(sinx- siny)+siny>0①(w∈R).
2. 已知a为锐角,n?2, n∈N
+
,求证:?2
n
-2+1.
3. 设x
1
, x
2
,?, x
n
,?, y
1
, y
2
,?, y
n
,?满足x
1
=y
1
=
求证:2n
y
n
<3(n?2).
, x
n+1
=x
n
+, y
n+1
=,
4.已知α,β,γ为锐角,且cos
2
α+cos
2
β+cos
2
γ=1,求证;π<α+β+γ<π.


5.求实数a的取值范围,使得对任意 实数x和任意,恒有(x+3+2sin
cos)
2
+(x+asin+asin)2 ?
6. 设n, m都是正整数,并且n>m,求证:对一切x都有2|sin
n
x -cos
n
x|?
3|sin
n
x-cos
n
x| .
7.在△ABC中,求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。
8.求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, ?, cos2
n
a, ?中的每一项均为负数。
9.已知
1

i
,tan
n
都有
1
tan
2
?tan
n
=2, n∈N
+
, 若对任意一组满足上述条件的
n
?λ,求< br>2
,?,cos
1
+cos
2
+?+cosλ的最小值。
高中数学竞赛讲义(五)
──平面向量
一、基础知识

定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表
示向量的模。向量的符号用 两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书
中用黑体表示向量,如a. |a|表示 向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是
任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为 单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意 一个
非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法 满足三角形法则。加法和减法都
满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0,使得a=f

定理3 平面向量的基本定理,若平面内的向量a, b不共线,则对同一平面内任意向是c,
存在唯一一对实数x, y,使得c=xa+yb,其中a, b称为一组基底。

定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i, j作
为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x, y,使得c=xi+yi,则(x, y)
叫做c坐标。

定义4 向量的数量积,若非零向量a, b的夹角为,则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos
=|a|·|b|cos,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:投影可能为负值)。

定理4 平面向量的坐标运算:若a=(x
1
, y
1
), b=(x
2
, y
2
),

1.a+b=(x
1
+x
2
, y
1
+y
2
), a-b=(x
1
-x
2
, y
1
-y
2
),

2.λa=(λx
1
, λy
1
), a·(b+c)=a·b+a·c,


3.a· b=x
1
x
2
+y
1
y
2
, cos(a, b)=
4. abx
1
y
2
=x
2
y
1
, abx1x2+y
1
y
2
=0.

(a, b0),

定义5 若点P是直线P
1
P
2
上异于p
1
,p
2
的一点,则存在唯一实数λ,使,
λ叫P分所成的比,若O为平面 内任意一点,则。由此可得若
P
1
,P,P
2
的坐标分别为(x1
, y
1
), (x, y), (x
2
, y
2
),则

定义6 设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向,平移
|a|=个单位得到图形,这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点,平移到
上对应的点为,则称为平移公式。

定理5 对于任意向量a=(x
1
, y
1
), b=(x
2
, y
2
), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.

【证明】 因为|a|
2
·|b|
2
-|a·b|
2
=-(x
1
x
2
+y
1
y
2
)
2
=(x
1
y
2
-x
2
y
1
)< br>2
≥0,又|a·b|≥0,
|a|·|b|≥0,

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x
1
, x
2
,?,x
n
),b=(y
1
, y
2
, ?, y
n
),
同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简 即为柯西不等式:
(x
1
y
1
+x
2
y
2
+?+x
n
y
n
)
2
≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x
1
, x
2
,?,x
n
), b=(y
1
, y
2
, ?, y
n
),
同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简 即为柯西不等式:
(x
1
y
1
+x
2
y
2
+?+x
n
y
n
)
2


2)对于任意n个向量,a
1
, a
2
, ?,a
n
,有| a
1
, a
2
, ?,a
n
|≤| a
1
|+|a
2
|+?+|a
n
|。

二、方向与例题

1.向量定义和运算法则的运用。

例1 设O是正n边形A
1
A
2
?A
n
的中心,求证:


【证明】 记
后与原正n边形重合,所以
,若
不变 ,这不可能,所以
,则将正n边形绕中心O旋转


例2 给定△ABC,求 证:G是△ABC重心的充要条件是
【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为D,E,F,延长A D至P,使DP=GD,


又因为BC与GP互相平分,

所以B PCG为平行四边形,所以BG
所以
充分性。若
因为,则
PC,所以


,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,则
,所以GBCP,所以AG平 分BC。

同理BG平分CA。

所以G为重心。

例3 在凸四边形ABCD中,P和Q分别为对角线BD和AC的中点,求证:
AB
2
+BC
2
+CD
2
+DA
2
=AC
2
+BD2
+4PQ
2


【证明】 如图所示,结结BQ,QD。

因为
所以
=
=
又因为
同理 , ②

, ③

由①,②,③可得
。得证。

2.证利用定理2证明共线。






·



例4 △ABC外心为O,垂心为H,重心为G。求证:O,G,H为共线,且OG:GH=1:
2。

【证明】 首先

=


其次设BO交外接圆于另一点E, 则连结CE后得CE
又AH
又EA
所以
所以
所以
所以与

共线,所以O,G,H共线。

BC,所以AHCE。

AB,CH


AB,所以AHCE为平行四边形。



所以OG:GH=1:2。

3.利用数量积证明垂直。

例5 给定非零向量a, b. 求证:|a+b|=| a-b|的充要条件是a
【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)
2
=(a-b)
2
b.

a·b=0ab.

a
2
+2a ·b+b
2
=a
2
-2a·b+b
2
例6 已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为AB中点,E为△ACD重心。求证:OE
CD。

【证明】 设,

则,


又,


所以


a·(b-c). (因为|a|
2
=|b|
2
=|c|
2
=|OH|
2


又因为AB=AC,OB=OC,所以OA为BC的中垂线。

所以a·(b-c)=0. 所以OECD。

4.向量的坐标运算。

例7 已知四边形ABCD是正方形,BEAC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于
点F,求证:AF=AE。

【证明】 如图所示,以CD所在的直线为x轴,以C为原点建立 直角坐标系,设正方
形边长为1,则A,B坐标分别为(-1,1)和(0,1),设E点的坐标为(x , y),则
y-1),
又因为
,因为,所以-x-(y-1)=0.

=(x,
,所以x
2
+y
2
=2.

由①,②解得

所以


所以
所以
,则< br>,即F
=4+
。由和


共线得

,所以AF=AE。

三、基础训练题

1.以下命题中正确的是__________. ①a=b的充要条件是|a|=|b|,且ab;②
(a·b)·c=(a·c)·b;③若a·b=a·c,则b=c;④若a, b不共线,则xa+yb=ma+nb的充要
条件是x=m, y=n;⑤若
在b=(-3, 4)上的投影为-4。

2.已知正六边形ABCDEF,在下列表达式中:①
③ ;④与,相等的有__________.

;②;
,且a, b共线,则A,B,C,D共线;⑥a=(8, 1)


3.已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,则|x|+|y|=__________.

4.设s, t为非零实数,a, b为单位向量,若|sa+tb|=|ta- sb|,则a和b的夹角为__________.

5.已知a, b不共线,
条件.

6.在△ABC中,M是AC中点,N是AB的三等分点,且于D,若
7.已知
__________.

8.已知=b, a·b=|a-b|=2,当△AOB面积最大时,a与b的夹角为__________.


,则λ=__________.

不共线,点C分所成的比为2,,则
,BM与CN交
=a+kb, =la+b,则“ kl-1=0”是“M,N,P共线”的__________
9.把函数y=2x
2
-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x
2
的图象,c=(1, -1), 若
c·b=4,则b的坐标为__________.

10.将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,则b的坐标为__________.

与11.在 Rt△BAC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,试问
的夹角取何值时的值最大? 并求出这个最大值。

12.在四边形ABCD中,,如果a·b=b·c=c·d=d·a,
试判断四边形ABCD的形状。

四、高考水平训练题

1.点O是平面上一定点,A,B,C是此平面上不共线的三个点,动点P满足
则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。

2.在△ABC中,
3.非零向量
=__________.

4.若O为△ABC 的内心,且
为__________.

5.设O点在△ABC 内部,且
为__________.

,则△AOB与△AOC的面积比
,则△ABC 的形状
,且a·b<0,则△ABC的形状是__________.

,若点B关于 所在直线对称的点为B
1
,则


6.P是△ABC所在平面上一点,若< br>__________心.

7.已知
,则P是△ABC 的
,则||的取值范
围是__________.

8.已知a=(2, 1), b=(λ, 1),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是__________.
9.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则
值为__________.
10.已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R},集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj M
N=__________.

11.设G为△ABO的重心,过G的直线与边OA 和OB分别交于P和Q,已知
,△OAB与△OPQ的面积分别为S和T,

的最小
(1)求y=f(x)的解析式及定义域;(2)求的取值范围。

1 2.已知两点M(-1,0),N(1,0),有一点P使得
成公差小于零的等差数列。

(1)试问点P的轨迹是什么?(2)若点P坐标为(x
0
, y
0
),
tan.

五、联赛一试水平训练题

1.在直角坐标系内,O为原点,点A,B坐标分别为(1,0),(0,2),当实数p, q
为与的夹角,求
满足时,若点C,D分别在x轴,y轴上,且,则直线
CD恒过一个定点,这 个定点的坐标为___________.

2.p为△ABC内心,角A,B,C所对边长分别为a, b, c. O为平面内任意一点,
则=___________(用a, b, c, x, y, z表示).

3.已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量,且两两的夹角均为120
0
,若|ka+b+c|>1(k
∈R),则k的取值范围是___________ .

4.平面内四点A,B,C,D满足,则
的取值有___________个.
5.已知A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
是半径为r的⊙O内接正五边形,P为⊙O上任意一点,则
取值的集合是________ ___.


6.O为△ABC所在平面内一点,A,B,C为△ABC 的角,若sinA·
+sinC·,则点O为△ABC 的___________心.

(a-b)”的___________条件.

+sinB·
7.对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)
8.在△ABC 中,
ABC 三边长之比|a|:|b|:|c|=____________.

9.已知P为△ABC内 一点,且
,又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3,则△
,CP交AB于D,求 证:

10.已知△ABC的垂心为H,△HBC,△HCA,△HAB的外心分别为O
1
,O
2
,O
3

令,求证:(1)2p=b+c-a; (2)H为△O
1
O
2
O
3
的外
心。

11.设坐标平面上全部向量的集合为V,a=(a
1
, a
2
)为 V中的一个单位向量,已知从V
到的变换T,由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定,
(1)对于V的任意两个向量x, y, 求证:T(x)·T(y)=x·y;

(2)对于V的任意向量x,计算T[T(x)]-x;

(3)设u=(1, 0);,若,求a.

六、联赛二试水平训练题

1.已知A,B为两条定直 线AX,BY上的定点,P和R为射线AX上两点,Q和S为
射线BY上的两点,为定比,M,N,T分 别为线段AB,PQ,RS上的点,
为另一定比,试问M,N,T三点的位置关系如何?证明你的结论。

2.已知AC,CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M,N分别内分AC,CE,
使得AM:AC=CN:CE=r,如果B,M,N三点共线,求r.

3.在矩形A BCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A,B的点M,点P,Q,R,
S是M分别在直线AD,A B,BC,CD上的射影,求证:直线PQ与RS互相垂直。

4.在△ABC内,设D及E是 BC的三等分点,D在B和F之间,F是AC的中点,G
是AB的中点,又设H是线段EG和DF的交点 ,求比值EH:HG。

5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与 其余两个向量之
和垂直?

6.已知点O在凸多边形A
1
A
2
?A
n
内,考虑所有的A
i
OA
j
,这里的i, j为1至n中不
同的自然数,求证:其中至少有n-1个不是锐角。

7.如图,在△ ABC中,O为外心,三条高AD,BE,CF交于点H,直线ED和AB交
于点M,FD和AC交于点 N,求证:(1)OBDF,OCDE,(2)OHMN。


8.平面上两个正 三角形△A
1
B
1
C
1
和△A
2
B
2
C
2
,字母排列顺序一致,过平面上一点O作
,求证△ABC为正三角形 。

9.在平面上给出和为的向量a, b, c, d,任何两个不共线,求证:

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.

高中数学竞赛讲义(六)
──数列
一、基础知识
定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,?,n,?. 数列分有穷数列和无
穷数列两种,数列{ a
n
}的一般形式通常记作a
1
, a
2
, a
3
,?,a
n
或a
1
, a
2
, a< br>3
,?,a
n
?。其中a
1
叫做数列的首项,a
n< br>是关于n的具体表达式,称为数列的通项。
定理1 若S
n
表示{a
n
}的前n项和,则S
1
=a
1
, 当n>1时,a
n
=S
n
-S
n-1
.
定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有a
n+1
-a
n
=d(常数),则{ a
n
}称为等差数
列,d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若
公差为d, 则a=b-d, c=b+d.
定理2 等差数列的性质:1)通项公式a
n
=a
1
+(n-1)d;2)前n项和公式:
S
n
=;3)a
n
-a
m
=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,
则a
n
+a
m
=a
p
+a
q
;5)对任意正整数p, q,恒有 a
p
-a
q
=(p-q)(a
2
-a
1
) ;6)若A,B至少有一个不
为零,则{a
n
}是等差数列的充要条件是Sn=An< br>2
+Bn.
定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有
公比。
,则{a
n
}称为等比数列,q叫做
定理3 等比数列的性质:1)a
n
=a
1
q
n-1
;2)前n项和S
n
,当q1 时,S
n
=;
当q=1时,S
n
=na
1
;3)如 果a, b, c成等比数列,即b
2
=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;
4)若m+n=p+q,则a
m
a
n
=a
p
a
q

定义4 极限,给定数列{a
n
}和实数A,若对任意的>0,存在M, 对任意的n>M(n∈
N),都有|a
n
-A|<,则称A为n→+∞时数列{an
}的极限,记作
定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a
n
}的 公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等比
数列,其前n项和S
n
的极限(即其所 有项的和)为(由极限的定义可得)。
定理3 第一数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p( n
0
)成立;(2)当p(n)时n=k成
立时能推出p(n)对n=k+1成立,则 由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n?n
0
成立。
竞赛常用定理


定理4 第二数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n
0
) 成立;(2)当p(n)对一切n
?k的自然数n都成立时(k?n
0
)可推出p(k +1)成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一
切自然数n?n
0
成立。
定理5 对于齐次二阶线性递归数列x
n
=ax
n-1
+bx
n-2
,设它的特征方程x
2
=ax+b的两个根为
α,β:(1)若αβ ,则x
n
=c
1
a
n-1
+c
2
β
n-1
,其中c
1
, c
2
由初始条件x
1
, x
2
的值确定;(2)若α=β,
则x
n
=(c
1
n+c
2
) α
n-1
,其中c
1
, c
2
的值由x
1
, x
2
的值确定。
二、方法与例题
1.不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规 律,当然结论未必都是正确的,但却是人
类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数 学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,3 5,?;2)
1,5,19,65,?;3)-1,0,3,8,15,?。
【解】1)a< br>n
=n
2
-1;2)a
n
=3
n
-2
n
;3)a
n
=n
2
-2n.
例2 已知数列{an
}满足a
1
=,a
1
+a
2
+?+a
n
=n
2
a
n
, n?1,求通项a
n
.
【解】 因为a
1
=,又a
1
+a
2
=2
2
·a
2
,
所以a
2
=,a
3
=,猜想(n?1).
证明;1)当n=1时,a
1
=,猜想正确。2)假设当n?k时猜想成立。
当n=k+1时,由归纳假设及题设,a
1
+ a
1
+?+a
1
=[(k+1)
2
-1] a
k+1
,,
所以=k(k+2)a
k+1
,
即=k(k+2)a
k+1
,
所以=k(k+2)a
k+1
,所以a
k+1
=
由数学归纳法可得猜想成立,所以
例3 设0n
}满足a
n
=1+a, a
n-1
=a+,求证:对任意n∈N
+
,有a
n
>1.
【证明】 证明更强的结论:1n
?1+a.
1)当n=1时,11
=1+a,①式成立;
2)假设n=k时,①式成立,即1n
?1+a,则当n=k+1时,有



由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。
2.迭代法。 < br>数列的通项a
n
或前n项和S
n
中的n通常是对任意n∈N成立,因此 可将其中的n换成
n+1或n-1等,这种办法通常称迭代或递推。
例4 数列{a
n
}满足a
n
+pa
n-1
+qa
n-2
=0, n?3,q
·a
n
+
【证明】·a
n+1
+
(pa
n+1
+a
n+2
)+=a
n+2
·(-qa< br>n
)+
).
+
+
=0,取c=0即可.
,公
=
0,求证:存在常数c,使得
+a
n
(pq
n+1
+qa
n
)]=q(


式为q的等比数列。
所以+=·q
n
.
=0,则对任意n,
0,则{}是首项为

综上,结论成立。
例5 已知a
1
=0, a
n+1
=5a
n
+
·即可.
,求证:a
n
都是整数,n∈N
+
.
【证明】 因为a
1
=0, a
2
=1,所以由题设知当n?1时a
n+1
>a
n
.
又由a
n+1
=5a
n
+移项、平方得

当n?2时,把①式中的n换成n-1得

因为a
n-1
n+1
,所以①式和②式说明a
n-1
, a
n+1
是方程x< br>2
-10a
n
x+
由韦达定理得a
n+1
+ a
n-1
=10a
n
(n?2).
再由a
1
=0, a
2
=1及③式可知,当n∈N
+
时,a
n
都是整数。
3.数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
-1=0的两个不等根。
,即
例6 已知a
n
=(n=1, 2, ?),求S
99
=a
1
+a
2
+?+a
99
.


【解】 因为a
n
+a
100-n
=+=,
所以S
99
=
例7 求和:+?+
【解】 一般地,

所以S
n
=



例8 已知数列 {a
n
}满足a
1
=a
2
=1,a
n+2
=a
n+1
+a
n
, S
n
为数列的前n项和,求证:S
n
<2。
【证明】 由递推公式可知,数列{a
n
}前几项为1,1,2,3,5,8,13。
因为, ①
所以。 ②
由①-②得,
所以。


又因为S
n-2
n
且>0,
所以S
n
, 所以,
所以S
n
<2,得证。
4.特征方程法。
例9 已知数列{a
n
}满足a
1
=3, a
2
=6, a
n+2
=4
n+1
-4a
n
,求a
n
.
【解】 由特征方程x
2
=4x-4得x
1
=x
2
=2.
故设a
n
=(α+βn)·2
n-1
,其中,
所以α=3,β=0,
所以a
n
=3·2
n-1
.
例10 已知数列{a
n
}满足a
1
=3, a
2
=6, a
n+2
=2a
n+1
+3a
n,求通项a
n
.
【解】 由特征方程x
2
=2x+3得x
1
=3, x
2
=-1,
所以a
n
=α·3
n
+β·(-1)
n
,其中,
解得α=,β,
所以
5.构造等差或等比数列。
·3]。
例11 正数列a
0
,a
1
,?,a
n
,?满足= 2a
n-1
(n?2)且a
0
=a
1
=1,求通项。
【解】 由得=1,

令b
n
=+1,则{b
n
}是首项为+1=2,公比为2的等比数列,
所以b
n
=+1=2
n,所以=(2
n
-1)
2


所以a
n
=·?··a
0
=
注:C
1
·C
2
·?·C
n
.
例12 已知数列{x
n
}满足x
1
=2, x
n+1
=,n∈N
+
, 求通项。
【解】 考虑函数f(x)=的不动点,由=x得x=
因为x
1
=2, x
n+1
=
又+2?
,可知{x
n
}的每项均为正数。
,所以x
n+1
?(n?1)。又
X
n+1
-==, ①
X
n+1
+==, ②
由①÷②得。 ③
又>0,
由③可知对任意n∈N
+
,>0且,
所以是首项为,公比为2的等比数列。
所以·,所以,
解得·。
注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。
三、基础训练题


1. 数列{x
n
}满足x
1
=2, x
n+1
=S
n< br>+(n+1),其中S
n
为{x
n
}前n项和,当n?2时,x
n
=_________.
2. 数列{x
n
}满足x
1
=,x
n+1
=,则{x
n
}的通项x
n
=______ ___.
3. 数列{x
n
}满足x
1
=1,x
n
=+2n-1(n?2),则{x
n
}的通项x
n
=_________.
4. 等差数列{a
n
}满足3a
8
=5a
13
, 且a
1
>0, S
n
为前n项之和,则当S
n
最大时,n=_________.
5. 等比数列{a
n
}前n项之和记为S
n
,若S
10< br>=10,S
30
=70,则S
40
=_________.
6. 数列{x
n
}满足x
n+1
=x
n
-xn-1
(n?2),x
1
=a, x
2
=b, S
n
=x
1
+x
2
+?+ x
n
,则S
100
=_________.
7. 数列{a
n
}中,S
n
=a
1
+a
2
+?+a
n
=n
2
-4n+1则|a
1
|+|a
2
|+?+| a
10
|=_________.
8. 若
x
1
=_________.
,并且x
1
+x
2
+?+ x
n
=8,则
9. 等差数列{a
n
},{b
n
} 的前n项和分别为S
n
和T
n
,若
=_________.
,则
10. 若n!=n(n-1)?2·1, 则=_________.
11. 若{a
n
}是无穷等比数列,a
n
为正整数,且满足a
5
+ a
6
=48, log
2
a
2
·log
2
a
3
+ log
2
a
2
·log
2
a
5
+
log
2
a
2
·log
2
a
6
+ log
2
a
5
·log
2
a
6
=36,求 的通项。
}是公比为q的等比数列,且b
1
=1, 12.已知数列{a
n
}是公差不为零的等差数列,数列{
b
2
=5, b
3
=17, 求:(1)q的值;(2)数列{b
n
}的前n项和S
n

四、高考水平训练题
1.已知函数f(x)=,若数列{a
n
}满足a1
=,a
n+1
=f(a
n
)(n∈
N
+),则a
2006
=_____________.
2.已知数列{a
n
}满足a
1
=1, a
n
=a
1
+2a
2
+3a
3
+?+(n-1)a
n-1< br>(n?2),则{a
n
}的通项
a
n
=
3. 若a
n
=n
2
+
.
, 且{a
n
}是递增数列,则实数的取值范围是__________.


4. 设正项等比数列{a
n
}的首项a
1
=
a
n
=_____________.
, 前n项和为S
n
, 且2
10
S
30
-(2
10
+1)S
20
+S
10
=0,则
5. 已知,则a的取值范围是______________.
6.数列{a
n
}满足a
n+1
=3a
n
+n(n ∈N
+
) ,存在_________个a
1
值,使{a
n
}成等差数列;存
在________个a
1
值,使{a
n
}成等比 数列。
7.已知(n ∈N
+
),则在数列{a
n
}的前50项中 ,最大项与最小项分别是
____________.
8.有4个数,其中前三个数成等差数 列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四
个数的和中16,第二个数与第三个数的和是12,则这 四个数分别为____________.
9. 设{a
n
}是由正数组成的数列,对于所有自然数n, a
n
与2的等差中项 等于S
n
与2的等
比中项,则a
n
=____________.
10. 在公比大于1的等比数列中,最多连续有__________项是在100与1000之间的整
数.
11.已知数列{a
n
}中,a
n
0,求证:数列{a
n< br>}成等差数列的充要条件是
(n?2)①恒成立。
12.已知数列{a
n< br>}和{b
n
}中有a
n
=a
n-1
b
n, b
n
=(n?2), 当a
1
=p, b
1
=q(p>0, q>0)且
p+q=1时,(1)求证:a
n
>0, b
n
>0且a
n
+b
n
=1(n∈N);(2)求证:a
n
+1=
数列
;(3)求
13.是否存在常数a, b, c,使题设等式
1·2
2
+2·3
2
+?+n·(n+1)
2
=(an
2
+bn+c)
对于一切自然数n都成立?证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题 1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项和为97
2
,这样的数
列共有_________个。
2.设数列{x
n
}满足x
1
=1, x
n
=
3. 设数列{a
n
}满足a
1
=3, a
n
>0,且
,则通项x
n
=__________.
,则通项a
n
=__________.


4. 已知数列a
0
, a
1
, a
2
, ?, a
n
, ?满足关系式(3-a
n+1
)·(6+a
n
)= 18,且a
0
=3,则
=__________.
5. 等比数列a+log
2
3, a+log
4
3, a+log
8
3的公比为=__________.
6. 各项均为实数的等差数列 的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这
样的数列至多有__________项.
7. 数列{a
n
}满足a
1
=2, a
2
=6, 且=2,则
________.
8. 数列{a
n
} 称为等差比数列,当且仅当此数列满足a
0
=0, {a
n+1
-qa
n
}构成公比为q的等
比数列,q称为此等差比数列的差比。那么,由100以内的自然数构 成等差比数列而差比大
于1时,项数最多有__________项.
9.设h∈N
+
,数列{a
n
}定义为:a
0
=1, a
n+1
=。问:对于怎样的h,
存在大于0的整数n,使得a
n
=1?
10.设{ a
k
}
k
?
1
为一非负整数列,且对任意k?1,满足a< br>k
?a
2k
+a
2k+1
,(1)求证:对任
意正整 数n,数列中存在n个连续项为0;(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非
零项的数列。
11.求证:存在唯一的正整数数列a
1
,a
2
,?,使得
a
1
=1, a
2
>1, a
n+1
(a
n+1
-1)=
六、联赛二试水平训练题
1.设a
n
为下述自然数N的个数:N的各位数字之和为n且每位数字只能取1,3或4,求证:a
2n
是完全平方数,这里n=1, 2,?.
2.设a
1
, a
2
,?, a
n
表示整数1,2 ,?,n的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质
的排列数目:①a
1
=1; ②|a
i
-a
i+1
|?2, i=1,2,?,n-1。
试问f(2007)能否被3整除?
3.设数列{a
n
}和{b
n
}满足a
0
=1,b
0
=0,且

求证:a
n
(n=0,1,2,?)是完全平方数。
4.无穷正实数数列 {x
n
}具有以下性质:x
0
=1,x
i+1
i
(i=0,1,2,?),
(1)求证:对具有上述性质的任一数列,总能找到一个n?1,使
?3.999均成立;


(2)寻求这样的一个数列使不等式<4对任一n均成立。
5.设x
1
,x
2
,?,x
n
是各项都不大于M的正整数序列且满足x
k
=|x
k-1
-x
k-2
|(k=3,4,?,n)①.试问< br>这样的序列最多有多少项?
6.设a
1
=a
2
=,且当n= 3,4,5,?时,a
n
=,
(ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;(ⅱ)求证:是整数的平方。
7.整数 列u
0
,u
1
,u
2
,u
3
,?满足u< br>0
=1,且对每个正整数n, u
n+1
u
n-1
=kuu
,这里k是某个固定
的正整数。如果u
2000
=2000,求k的所 有可能的值。
8.求证:存在无穷有界数列{x
n
},使得对任何不同的m, k,有|x
m
-x
k
|?
9.已知n个正整数a
0
,a
1
,?,a
n
和实数q,其中0 0
,b
1
,?,b
n
和满
足:(1)a
k
k
(k=1,2,?,n);
(2)q<<(k=1,2,?,n);
(3)b
1
+b
2
+?+b
n
<

高中数学竞赛讲义(七)
──不等式
(a
0
+a
1
+?+a
n
).
一、基础知识

不等式的基本性质:

(1)a>ba-b>0; (2)a>b, b>ca>c;

(3)a>ba+c>b+c; (4)a>b, c>0ac>bc;

(5)a>b, c<0acb>0, c>d>0ac>bd;

(7)a>b>0, n∈N
+
a
n
>b
n
; (8)a>b>0, n∈N
+
;

(9)a>0, |x|ax>a或x<-a;

(10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;

(11)a, b∈R,则(a-b)
2
≥0
(12)x, y, z∈R
+
,则x +y≥2
a
2
+b
2
≥2ab;

, x+y+z

前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。

(6)因为a>b>0, c>d>0,所以ac>bc, bc>bd,所以ac>bd;重复利用性 质(6),可得
性质(7);再证性质(8),用反证法,若
即a≤b,与a>b矛盾,所以假 设不成立,所以
,由性质(7)得,
;由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|,


-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,所以| a+b|≤|a|+|b|;下面再证(10)的左边,因为
|a|=|a+b-b|≤|a+b|+| b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立;(11)显然成立;下证(12),因
为 x+y-2
不等式,令
≥0,所以x+y≥,当且仅当x=y时,等号成立,再证另一
,因为x
3
+b
3
+c
3
-3abc =(a+b)
3
+c
3
-3a
2
b-3ab
2
-3abc < br>=(a+b)
3
+c
3
-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[( a+b)
2
-(a+b)c+c
2
]-3ab(a+b+c)=(a+b+c )(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)=
(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2] ≥0,所以a
3
+b
3
+c
3
≥3abc,即x+ y+z≥
时成立。

二、方法与例题

1.不等式证明的基本方法。

,等号当且仅当x=y=z
(1)比较法,在证明A>B或A1比较大小,最后得出结论。

例1 设a, b, c∈R
+
,试证:对任意实数
(A,B>0)与
x, y, z, 有
x
2
+y
2
+z
2

【证明】 左边- 右边= x
2
+y
2
+z
2




所以左边≥右边,不等式成立。

例2 若aa
(1-x)|与|log
a
(1+x)|.

【解】 因为1-x1,所以log
a
(1-x)0,
=|log
(1-x)
(1+x)|=-log
(1-x)
(1+x)=log
(1-x)
0<1 -x<1).

所以|log
a
(1+x)|>|log
a
(1-x)|.

>log
(1-x)
(1-x)=1(因为0<1-x
2
<1,所以 >1-x>0,


(2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件, 直到已知为止,
叙述方式为:要证??,只需证??。

例3 已知a, b, c∈R
+
,求证:a+b+c-3
【证明】 要证a+b+c
因为
≥a+b
≥a+b
只需证



,所以原不等式成立。

例4 已知实数a, b, c满足0
【证明】 因为0
所以,

所以,

所以只需证明,

也就是证,

只需证b(a-b) ≤a(a-b),即(a-b)
2
≥0,显然成立。所以命题成立。

(3)数学归纳法。

例5 对任意正整数n(≥3),求证:n
n+1
>(n+1)
n
.

【证明】 1)当n=3时,因为3
4
=81>64=4
3
,所以命题成立。

2)设n=k时有k
k+1
>(k+1)
k
,当n=k+1时,只需 证(k+1)
k+2
>(k+2)
k+1
,即>1. 因
为,所以只 需证,即证(k+1)
2k+2
>[k(k+2)]
k+1
,只需证
(k+1)
2
>k(k+2),即证k
2
+2k+1>k
2
+2k. 显然成立。

所以由数学归纳法,命题成立。

(4)反证法。

例6 设实数a
0
, a
1
,? ,a
n
满足a
0
=a
n
=0,且a
0
-2 a
1
+a
2
≥0, a
1
-2a
2
+a
3
≥0,?, a
n-2
-2a
n-1
+a
n
≥0,求
证a
k
≤0(k= 1, 2,?, n-1).

【证明】 假设a
k
(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数,不妨设a
r
是a
1
, a
2
,?, a
n-1
中第一个
出现的正数,则a
1
≤0, a
2
≤0,?, a
r-1
≤0, a
r
>0. 于是a< br>r
-a
r-1
>0,依题设a
k+1
-a
k
≥a
k
-a
k-1
(k=1, 2, ?,
n-1)。


所以从k=r起有a
n
-a
k-1
≥a
n- 1
-a
n-2
≥?≥a
r
-a
r-1
>0.

因为a
n
≥a
k-1
≥?≥a
r+1
≥a
r
>0与a
n
=0矛盾。故命题获证。

(5)分类讨论法。

例7 已知x, y, z∈R
+
,求证:
【证明】 不妨设x≥y, x≥z.


ⅰ)x≥y≥z,则,x
2
≥y
2
≥ z
2
,由排序原理可得

,原不等式成立。

ⅱ)x≥z≥ y,则,x
2
≥z
2
≥y
2
,由排序原理可得

,原不等式成立。

(6)放缩法,即要证A>B,可证A>C
1
, C
1
≥C
2
,?,C
n-1
≥C
n
, C
n
>B(n∈N
+
).

例8 求证:

【证明】

,得证。

例9 已知a, b, c是△ABC的三条边长,m>0,求证:

【证明】

(因为a+b>c),得证。

(7)引入参变量法。

例10 已知x, y∈R
+
, l, a, b为待定正数,求f(x, y)=的最小值。


【解】 设,则,f(x,y)=

(a
3
+b3
+3a
2
b+3ab
2
)=

,等号当且仅当时成立。所以f(x, y)
min
=

例11 设x
1
≥x
2
≥x
3
≥x
4
≥2, x< br>2
+x
3
+x
4
≥x
1
,求证:(x
1
+x
2
+x
3
+x
4
)
2
≤ 4x
1
x
2
x
3
x
4
.

【证明】 设x
1
=k(x
2
+x
3
+x
4
),依题设有
(1+k)
2
(x
2
+x
3
+x
4
)
2
≤4kx
2
x
3
x
4
(x
2
+x
3
+x
4
),即

≤k≤1, x
3
x
4
≥4,原不等式等价于
(x
2
+x
3
+x
4
) ≤x
2
x
3
x
4
,因为f(k)=k+在上递减,

所以(x
2
+x
3
+x
4
)=(x
2+x
3
+x
4
)

≤·3x
2
=4x
2
≤x
2
x
3
x
4
.

所以原不等式成立。

(8)局部不等式。

例12 已知x, y, z∈R
+
,且x
2
+y
2
+z
2
= 1,求证:

【证明】 先证

因为x(1-x
2
)=,

所以

同理,




所以

例13 已知0≤a, b, c≤1,求证:≤2。

【证明】 先证
即a+b+c≤2bc+2.

即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a.

因为0≤a, b, c≤1,所以①式成立。



同理
三个不等式相加即得原不等式成立。

(9)利用函数的思想。


例14 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1,求f(a, b, c)=
值。

的最小
【解】 当a, b, c中有一个为0,另两个为1时,f(a, b, c)=,以下证明f(a, b, c) ≥. 不
妨设a≥b≥c,则0≤c≤, f(a, b, c)=

因为1=(a+b)c+ab≤+(a+b)c,

-c).

解关于a+b的不等式得a+b≥2(
考虑函数g(t)=, g(t)在[)上单调递增。

又因为0≤c≤,所以3c
2
≤1. 所以c
2
+a≥4c
2
. 所以2≥

所以f(a, b, c)=




=

=



下证0 ① c
2
+6c+9≥9c
2
+9≥0
因为,所以①式成立。

所以f(a, b, c) ≥,所以f(a, b, c)
min
=

2.几个常用的不等式。

(1)柯西不等式:若a
i
∈R, b
i
∈R, i=1, 2, ?, n,则
等号当且仅当存在λ∈R,使得对任意i=1, 2, , n, a
i
=λb
i
,


变式1:若a
i
∈R, b
i
∈R, i=1, 2, ?, n,则
等号成立条件为a
i
=λb
i
,(i=1, 2, ?, n)。


变式2:设a
i
, b
i
同号且不为0(i=1, 2, ?, n),则
等号成立当且仅当b
1
=b
2
=?=b
n
.


(2)平均值不等式:设a
1
, a
2
,?,a
n
∈R
+
,记H
n
=, G
n
=,
A
n
=,则H
n
≤G
n
≤A
n
≤Q
n
. 即调和平均≤几何平
均≤算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a
1
=a
2
=?=a
n
.

【证明】 由柯西不等式 得A
n
≤Q
n
,再由G
n
≤A
n
可得H< br>n
≤G
n
,以下仅证G
n
≤A
n
.

1)当n=2时,显然成立;

2)设n=k时有G
k
≤ A
k
,当n=k+1时,记
因为a
1
+a
2
+?+ a
k
+a
k+1
+(k-1)G
k+1

≥2kG
k+1
,

=G
k+1
.


所以a
1
+a
2
+?+a
k+1
≥(k+1)G
k +1
,即A
k+1
≥G
k+1
.

所以由数学归纳法,结论成立。

(3)排序不等式:若两组实数a
1
≤a
2
≤?≤a
n
且b
1
≤b
2
≤?≤ b
n
,则对于b
1
, b
2
, ?, b
n
的任意
排列,有a
1
b
n
+a
2
b
n- 1
+?+a
n
b
1
≤≤a
1
b
1
+a
2
b
2
+?+a
n
b
n
.

【证明】 引理:记A
0
=0,A
k
=,则
=(阿贝尔求和法)。

证法一:因为b
1
≤b
2
≤?≤b
n
,所以
记s
k
=
≥b
1
+b< br>2
+?+b
k
.

-( b
1
+b
2
+?+b
k
),则s
k
≥0(k=1, 2, ?, n)。

所以-(a
1
b
1
+a
2
b2
+?+a
n
b
n
)=
+s
n
a
n
≤0.

最后一个不等式的理由是a
j
-a
j+1
≤0(j=1, 2, ?, n-1, s
n
=0),

所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。

证法二:(调整法)考察
若(j≤n-1),则将与互换。

,若,则存在。


因为

≥0,

所 调整后,和是不减的,接下来若,则继续同样的调整。至多经n-1次调
整就可将乱序和调 整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理
可得左边不等式。

例15 已知a
1
, a
2
,?,a
n
∈R
+
,求证;a
1
+a
2
+?+a
n
.

【证明】证法一:因为
≥2a
n
.

,?,
上述 不等式相加即得≥a
1
+a
2
+?+a
n
.
证法二:由柯西不等式(a
1
+a
2
+?+a
n
)≥( a
1
+a
2
+?+a
n
)
2


因为a
1
+a
2
+?+a
n
>0,所以
证法三: 设a
1
, a
2
,?,a
n
从小到大排列为
≥a
1
+a
2
+?+a
n
.

,则,
,由排序原理可得

=a
1
+a
2
+?+a
n
≥,得证。

注:本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。

三、基础训练题

1.已知0+
,则的最小值是____________.

2.已知x∈R
+
,则的最小值是____________.

3.已知a, b, c∈R,且a
2
+b
2
+c
2
=1, ab+bc+ca的最大值为M,最小值为N,则
MN=___________.

4.若不等式对所有实数x成立,则a的取值范围是____________.

< p>
5.若不等式x+a的解是x>m,则m的最小值是____________.

6.“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2
7.若a, b∈R
+
,则a+b=1,以下结论成立是__________.① a
4
+b
4
≥;②≤a
3
+b
3
<1;
③;④;⑤;⑥

8.已知0<<,若,则=____________.

9.已知
+(x
n
-a)
2
, 若
,p=(x1
-)
2
+(x
2
-)
2
+?+(x
n
-)
2
, q=(x
1
-a)
2
+(x
2
-a)
2
+?
,则比较大小:p___________q.

b, m=a
a
b
b
, n=a
b
b
a
, 则比较大小:m_________n.

10.已知a>0, b>0且a
11.已知n∈N
+
,求证:
< br>12.已知02
+y=0,求证:log
a
(a
x
+a
y
) ≤log
a
2+.

13.已知x∈R,,求证:

四、高考水平训练题

1.已知A=asin
2
x+bcos
2
x, B=acos
2
x+bsin
2
x(a, b, x∈R),设m=AB, n=ab, P=A
2
+B
2
,
q=a
2
+b< br>2
,则下列结论成立的有]__________.(1)m≥n, p≥q;(2)m≤n, p≤q;(3)m+p≥n+q;
(4)m+q≥n+p.

2.已知a, b, c, d∈R,M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d )(c-b)+(a-b)(a-d),则比
较大小:M________N.

3.若
________.

R
+
,且,,将从小到大排列为
4.已知△ABC的三边长a, b, c满足b+c≤2a, a+c≤2b,则的取值范围是________.

5.若实数x, y满足|x|+|y|≤1,则z=x
2
-xy+y
2
的最大值与最小值的和 为________.

6.设函数f(x)=(x∈[-4,2]),则f(x)的值域是________.


7.对x
1
>x
2
>0, 1>a>0,记
x
1
x
2
________y
1
y
2
.< br>
,比较大小:
8.已知函数的值域是,则实数a的值为________.

9.设a≤b最大值为________.

恒成立,则M
10.实系数方程x
2
+ax+2b=0的一个根大于0且小于 1,另一个根大于1且小于2,则
的取值范围是________.

11.已知a, b, c∈R
+
且满足 a+b+c≥abc,求证:下列三个式子中至少有两个成立:

12.已知a, b∈R+
且,求证:对一切n∈N
+
,(a+b)
n
-a
n< br>-b
n
≥2
2n
-2
n+1
.

13.已知a, b, c ∈R
+
,求证:

14.设x, y, z是3个不全为零的实数,求
五、联赛一试水平训练题

1.已知a
1
, a
2
, b
1
, b
2
, c
1
, c∈R,a
1
c
1
-= a
2
c
2
的最大值。

>0, P=(a
1
-a
2
)(c
1
-c
2
), Q=(b
1
-b
2
)
2
,比较大
小:P_____ __Q.

2.已知x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=_____ _____.

3.二次函数f(x)=x
2
+ax+b,记M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|},则M的最小值为__________.

4.设实数a, b, c, d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d,比较大小:

4(a+c+d)(a +b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).

5.已知x
i
∈R
+
, i=1, 2, ?,n且,则x
1
x
2
?x
n
的最小值为__________(这
里n> 1).

6.已知x, y∈R, f(x, y)=x
2
+6y
2
-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.

7.已知0≤a
k
≤1(k=1, 2, ?,2n),记a
2n+1
=a
1
, a
2n+2
=a
2
,则
__________.

的最大值为


8.已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1,则的最大值为__________.

9.已知≤x≤5,求证:

10.对于不全相等的正整数a, b, c,求证:

11.已知a
i
>0(i=1, 2, ?, n),且=1。又0<λ
1< br>≤λ
2
≤?≤λ
n
,求证:


六、联赛二试水平训练题

1.设正实数x, y, z满足x+y+z=1,求证:

2.设整数x
1
, x
2
, ?,x
n
与y
1
, y
2
, ?, y
n
满足11
2
n
1
2
m
, x
1
+x
2
+?
+x
n
>y
1
+y
2
+? +y
m
,求证:x
1
x
2
x
n
>y
1
y
2
?y
m
.

3.设f(x)=x
2
+a,记f(x), f
n
(x)=f(f
n-1
(x))(n=2, 3, ?),M={a∈R|对所有正整数n,
|f
n
(0)| ≤2},求证:。

4.给定正数λ和正整数n(n≥2),求最小的正数M(λ),使得对于 所有非负数x
1
, x
2
,?,x
n

有M(λ)

5.已知x, y, z∈R
+
,求证:(xy+yz+zx)

6.已知非负实数a, b, c 满足a+b+c=1,求证:2≤(1-a
2
)
2
+(1-b
2)
2
+(1-c
2
)
2
≤(1+a)(1+b)(1+ c),
并求出等号成立的条件。
高中数学竞赛讲义(八)
──立体几何
一、基础知识

公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线在这个平面内,记
作:aa.

公理2 两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若P
∈α∩β ,则存在唯一的直线m,使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平
面.


推论l 直线与直线外一点确定一个平面.

推论2 两条相交直线确定一个平面.

推论3 两条平行直线确定一个平面.

公理4 在空间内,平行于同一直线的两条直线平行.

定义1 异面直线及成角:不 同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间任
意一点分别作两条异面直线的平行线,这两条直 线所成的角中,不超过90
0
的角叫做两条异
面直线成角.与两条异面直线都垂直相交 的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异
面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离.

定义2 直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相
交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外.

定义3 直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直,则直线与这个平面
垂直.

定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直.

定理2 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.

定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直.

定理4 平面外一点到 平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平
行,则直线上每一点到平面的距离都相等 ,这个距离叫做直线与平面的距离.

定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的 斜线.由斜线上每一点向平面
引垂线,垂足叫这个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这 条直线叫做斜线
在平面内的射影.斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角.

结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角.

定理4 (三垂 线定理)若d为平面。的一条斜线,b为它在平面a内的射影,c为平面a
内的一条直线,若cb,则c a.逆定理:若ca,则cb.

定理5 直线d是平面a外一条直线,若它与平面内一条直线b平行,则它与平面a平


定理6 若直线。与平面α平行,平面β经过直线a且与平面a交于直线6,则ab.

结论2 若直线。与平面α和平面β都平行,且平面α与平面β相交于b,则ab.

定理7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,则两个角
相等.

定义6 平面与平面的位置关系有两种:平行或相交.没有公共点即平行,否则即相交.

定理8 平面a内有两条相交直线a,b都与平面β平行,则αβ.

定理9 平面α与平面β平行,平面γ∩α=a,γ∩β=b,则ab.

定义7 (二面角),经过同 一条直线m的两个半平面α,β(包括直线m,称为二面角的棱)
所组成的图形叫二面角,记作α—m— β,也可记为A—m一B,α—AB—β等.过棱上任
意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP,B P,则∠APB(?90
0
)叫做二面角的平面角.

它的取值范围是[0,π].

特别地,若∠APB=90
0
,则称 为直二面角,此时平面与平面的位置关系称为垂直,即
αβ.

定理10 如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

定理11 如果两个平面垂直,过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面
内.

定理12 如果两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直.


定义8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形的< br>公共边(称为侧棱)都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做
底面 .如果底面是平行四边形则叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱;底面是
正多边形的直棱柱 叫做正棱柱.底面是矩形的直棱柱叫做长方体.棱长都相等的正四棱柱叫
正方体.

定义9 有一个面是多边形(这个面称为底面),其余各面是一个有公共顶点的三角形的多
面体 叫棱锥.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥.

定理13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V,棱数为E,面数为F,则

V+F-E=2.

定义10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球 面.球面所围成的几何
体叫做球.定长叫做球的半径,定点叫做球心.

定理14 如果球心到平面的距离d小于半径R,那么平面与球相交所得的截面是圆面,
圆心与球心的连线与截面垂 直.设截面半径为r,则d
2
+r
2
=R
2
.过球心的截面 圆周叫做球大
圆.经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离.

定义11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线.纬
线 上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度.用经过南极和北极的平面
去截地球所得到 的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线,经线所在的平面与本初子午线所在
的半平面所成的二面角叫做 经度,根据位置不同又分东经和西经.

定理15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个 几何体,被平行于这两个平面的任意平
面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的 体积相等.

定理16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成 三个角.其
中任意两个角之和大于另一个,三个角之和小于360
0


定理17 (面积公式)若一个球的半径为R,则它的表面积为S
球面
=4πR
2
。若一个圆锥
的母线长为l,底面半径为r,则它的侧面积S

=πrl .

定理18 (体积公式)半径为R的球的体积为V

=;若棱柱(或圆柱 )的底面积
为s,高h,则它的体积为V=sh;若棱锥(或圆锥)的底面积为s,高为h,则它的体积 为
V=

定理19 如图12-1所示,四面体ABCD中,记∠BDC=α,∠AD C=β,∠ADB=γ,∠BAC=A,
∠ABC=B,∠ACB=C。DH平面ABC于H。

(1)射影定理:S
ΔABD
?cosФ=S
ΔABH
,其中二面角 D—AB—H为Ф。

(2)正弦定理:

(3)余弦定理:cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.

(4)四面体的体积公式DH?S
ΔABC


=

(其中d是a
1
, a之间的距离,是它们的夹角)

S
Δ ABD
?S
ΔACD
?sinθ(其中θ为二面角B—AD—C的平面角)。

二、方法与例题

1.公理的应用。

例1 直线a,b,c都与直线d相交,且ab,cb,求证:a,b,c,d共面。

[证明] 设 d与a,b,c分别交于A,B,C,因为b与d相交,两者确定一个平面,设为a.
又因为ab,所以 两者也确定一个平面,记为β。因为A∈α,所以A∈β,因为B∈b,所
以B∈β,所以dβ.又过b ,d的平面是唯一的,所以α,β是同一个平面,所以aα.
同理cα.即a,b,c,d共面。

例2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件?

[解] 充要条 件。先证充分性,设图12-2中PQRSTK是长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的正六
边形截面,延长PQ,SR设交点为O,因为直线S R平面CC
1
D
1
D,又O∈直线SR,所以
O∈平面CC
1
D
1
D,又因为直线PQ平面A
1
B
1
C
1
D
1
,又O∈直线PQ,所以O∈平面A
1
B
1
C
1
D
1

0
所以O∈直线C
1
D1
,由正六边形性质知,∠ORQ=∠OQR=60,所以ΔORQ为正三角形,因为
CD C
1
D
1
,所以=1。所以R是CC
1
中点,同理Q是B< br>1
C
1
的中点,又ΔORC
1
≌ΔOQC
1

所以C
1
R=C
1
Q,所以CC
1
=C
1
B
1
,同理CD=CC
1
,所以该长方体为正方体。充分性得证。 必要性留
给读者自己证明。

2.异面直线的相关问题。

例3 正方体的12条棱互为异面直线的有多少对?

[解] 每条棱与另外的四条棱成异面直线,重 复计数一共有异面直线12×4=48对,而每
一对异面直线被计算两次,因此一共有24对。

例4 见图12-3,正方体,ABCD—A
1
B
1
C
1< br>D
1
棱长为1,求面对角线A
1
C
1
与AB
1
所成的角。

[解] 连结AC,B
1
C,因为A
1A
以A
1
C
1
AC。

B
1
BC
1
C,所以A
1
AC
1
C,所以A
1
ACC
1
为平行四边形,所
所以AC与AB
1
所成的角即为A
1
C
1
与AB
1
所成的角,由正方体的性质AB
1
=B
1
C=AC,
所以∠B
1
AC=60
0
。所 以A
1
C
1
与AB
1
所成角为60
0
。< br>
3.平行与垂直的论证。

例5 A,B,C,D是空间四点,且四边形AB CD四个角都是直角,求证:四边形ABCD
是矩形。

[证明] 若ABCD是平行 四边形,则它是矩形;若ABCD不共面,设过A,B,C的平
面为α,过D作DD
1
α于D
1
,见图12-4,连结AD
1
,CD
1
,因为AB AD
1
,又因为DD
1


面α,又ABα,所以DD
1
AB,所以AB
0
平面ADD
1
,所以AB
2< br>AD
1
。同理BC
22
CD
1
,所以
,与A BCD
1
为矩形,所以∠AD
1
C=90,但AD
1
1

例6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明:它的另两条高线也相交。

[证明] 见图12- 5,设四面体ABCD的高线AE与BF相交于O,因为AE
以AECD,BF平面ACD,所以BFC D,所以CD平面ABO,所以CD
AB,又AB
PD于
22
平面BCD,所
AB。设四面体另
CD,所以AB
,因为AB平面
两条高分别为CM,DN, 连结CN,因为DN
平面CDN,所以AB
CDN,所以AB
平面ABC,所以DN< br>CN。设CN交AB于P,连结PD,作
,所以平面ABD,即为四面体的高,所以与CM重合,
所以CM,DN为ΔPCD的两条高,所以两者相交。

例7 在矩形ABCD中,A D=2AB,E是AD中点,沿BE将ΔABE折起,并使AC=AD,见图
12-6。求证:平面AB E平面BCDE。

BC,所以[证明] 取BE中点O,CD中点M,连结AO,OM,OD ,OC,则OMBC,又CD
OMCD。又因为AC=AD,所以AMCD,所以CD平面AOM,所以 AOCD。又因为AB=AE,
所以AOBE。因为ED≠BC,所以BE与CD不平行,所以BE与C D是两条相交直线。所以AO
平面ABE。所以平面ABE平面BCDE。

平面BC-DE。又直线AO
4.直线与平面成角问题。

例8 见图12- 7,正方形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,G为BF的中点,将正方
0
形沿EF 折成120的二面角,求AG和平面EBCF所成的角。

[解]设边长AB=2,因为EFA D,又ADAB。所以EFAB,所以BG=,
又AEEF,BEEF,所以∠AEB=120。过A作 AM
0
BE于M,则∠AEM=60,ME=
0

AM=AEsin 60=
0
.由余弦定理MG=BM+BG-2BM?BGcos
222
MBG= =2,所以MG=因为EFAE,EF


BE,所以EF平面AEB,所以 EFAM,又AMBE,所以AM平面BCE。所以∠AGM为AG
与平面EBCF所成的角。而tan ∠AGM=。所以AG与平面EBCF所成的角为
.

例9 见图12-8,OA是平 面α的一条斜角,ABα于B,C在α内,且ACOC,∠AOC=
α,∠AOB=β,∠BOC=γ。 证明:cosα=cosβ?cosγ.

[证明] 因为ABα,ACOC,所以由三垂线定 理,BCOC,所以OAcosβ=OB,OBcos
γ=OC,又RtΔOAC中,OAcosα=O C,所以OAcosβcosγ=OAcosα,所以cosα=cosβ?cos
γ.

5.二面角问题。

00
例10 见图12-9,设S为平面ABC外一点, ∠ASB=45,∠CSB=60,二面角A—SB—C
为直角二面角,求∠ASC的余弦值。

[解] 作CM
平面ASB
SB于M,MNAS于N,连结CN,因为二面角A—SB —C为直二面角,所以
SB,所以CM平面ASB,又MNAS,所以由三垂线定理的逆平面BSC。又 CM
定理有CNAS,所以SC?cos∠CSN=SN=SC?cos∠CSM?cos∠ASB,所 以cos∠
ASC=cos45cos60=
00


例11 见图 12-10,已知直角ΔABC的两条直角边AC=2,BC=3,P为斜边AB上一点,沿
CP将此三 角形折成直二面角A—CP—B,当AB=
[解] 过P作PD
即平面ACP
AC于D ,作PE
时,求二面角P—AC—B的大小。

CP交BC于E,连结DE,因为A— CP—B为直二面角,
CA,所以由三垂线定理知DE
0
平面CPB,所以PE平面A CP,又PDAC,所
以∠PDE为二面角P—AC—B的平面角。设∠BCP=θ,则cos∠ECD =cosθ?cos(90-θ)=sin
θcosθ,由余弦定理cos∠ACB=,所以sinθc osθ=,所以sin2θ
=1.又0<2θ<π,所以θ=,设CP=a,则PD=


a,PE=a.所以tan∠PDE=

所以二面角P—AC—B的大小为


6.距离问题。

例12 正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱 长为a,求对角线AC与BC
1
的距离。

[解] 以B为原点,建立直角坐 标系如图12-11所示。设P,Q分别是BC
1
,CA上的点,
且,各点、各向量的 坐标分别为A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0),
,所以,所以a×a+a×a= 0,
a×a-a×a=0.所以。所以PQ为AC与BC
1
的公垂线段,
所 以两者距离为

例13 如图12-12所示,在三棱维S—ABC中,底面是边长为的正三角 形,棱SC
的长为2,且垂直于底面,E,D分别是BC,AB的中点,求CD与SE间的距离。

[分析] 取BD中点F,则EFCD,从而CD平面SEF,要求CD与SE间的距离就转化为< br>求点C到平面SEF间的距离。

[解] 设此距离为h,则由体积公式


计算可得S
ΔSEF
=3,所以

7.凸多面体的欧拉公式。

例14 一个凸多面体有32个面,每个面或是三角形或 是五边形,对于V个顶点每个顶
点均有T个三角形面和P个五边形面相交,求100P+10T+V。< br>
[解] 因F=32,所以32-E+V=2,所以E=V+30。因为T+P个面相交于每个 顶点,每个顶
点出发有T+P条棱,所以2E=V(T+P). 由此得V(T+P)=2(V+30),即V(T+P-2)=60. 由于每个
三角形面有三条棱,故 三角形面有个,类似地,五边形有个,又因为每个面或者是
三角形或者是五边形,所以=32,由此可得 3T+5P=16,它的唯一正整数解为
T=P=2,代入V(T+P-2)=60得V=30,所以1 00P+10T+V250。

8.与球有关的问题。

例15 圆柱直径为4R,高为22R,问圆柱内最多能装半径为R的球多少个?


[解] 最底层恰好能放两个球,设为球O
1
和球O
2
,两者相切,同时与圆柱相切,在球
O
1
与球O
2
上放球O
3
与球O
4
,使O
1
O
2
与O
3
O
4
相垂直,且这4个球任两个相外切,同样在
球O
3
与球O4
上放球O
5
与球O
6
,??直到不能再放为止。
< br>先计算过O
3
O
4
与过O
1
O
2
的 两平行面与圆柱底面的截面间距离为
。设共装K层,则(22-)R因此最多装30个。

9.四面体中的问题。

例16 已知三棱锥S—ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是ΔSBC
的垂心,二面角H— AB—C的平面角等于30
0
,SA=
[解] 由题设,AH
故SC
CO
平面SBC,作BH
。求三棱锥S—ABC的体积。

AE,SCAB, SC于E,由三垂线定理可知SC
平面ABE。设S在平面ABC内射影为O,则SO平面ABC,由三 垂线定理的逆定理知,
AB于F。同理,BOAC,所以O为ΔABC垂心。又因为ΔABC是等边三角 形,故O为Δ
,因为CFAB,CF是EF在平面ABC上的射影,又由三垂
0
ABC 的中心,从而SA=SB=SC=
线定理知,EFAB,所以∠EFC是二面角H—AB—C的平面角, 故∠EFC=30,所以
OC=SCcos60=
0
,SO=tan60=3,又OC =
0
AB,所以AB=OC=3。所以V
S—
ABC
=×3×3=< br>2


例17 设d是任意四面体的相对棱间距离的最小值,h是四面体的最小高的长,求证:
2d>h.

[证明] 不妨设A到面BCD的高线长AH=h,AC与BD间的距离为d,作AF
CNBD于点F,
BD于点N,则CNHF,在面BCD内作矩形CNFE,连AE,因为BDCE,所 以BD平面
ACE,所以BD到面ACE的距离为BD与AC间的距离d。在ΔAEF中,AH为边EF 上的高,AE
边上的高FG=d,作EMAF于M,则由EC平面ABD知,EM为点C到面ABD的距 离(因EM
面ABD),于是EM?AH=h。在RtΔEMF与RtΔAHF中,由EM?AH得EF ?AF。又因为ΔAEH
∽ΔFEG,所以?2。所以2d>h.

注:在前面例题中 除用到教材中的公理、定理外,还用到了向量法、体积法、射影法,
请读者在解题中认真总结。

三、基础训练题

1.正三角形ABC的边长为4,到A,B,C的距离都是1的平面 有__________个.


2.空间中有四个点E,F,G,H,命题甲: E,F,G,H不共面;命题乙:直线EF和GH
不相交,则甲是乙的__________条件。
3.动点P从棱长为a的正方体的一个顶点出发,沿棱运动,每条棱至多经过一次,则
点 P运动的最大距离为__________。

4.正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别是面ADD
1
A
1
、面ABCD的中心,G为棱CC
1
中点,
直线C
1< br>E,GF与AB所成的角分别是α,β。则α+β=__________。

5.若a ,b为两条异面直线,过空间一点O与a,b都平行的平面有__________个。

6. CD是直角ΔABC斜边AB上的高,BD=2AD,将ΔACD绕CD旋转使二面角A—CD—B为
0
60,则异面直线AC与BD所成的角为__________。

7.已知PA平面 ABC,AB是⊙O的直径,C是圆周上一点且AC=AB,则二面角A—PC
—B的大小为_____ _____。

8.平面α上有一个ΔABC,∠ABC=105,AC=
使得SA= SB=SC=,TA=TB=TC=5,则ST=_____________.

底面ABC ,二面角A—SB—C为直二面角,若∠BSC=45,
0
0
,平面α两侧各有一点S ,T,
9.在三棱锥S—ABC中,SA
SB=a,则经过A,B,C,S的球的半径为___ __________.

10.空间某点到棱长为1的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________.

11.异面直线a,b满足aα,bβ,bα,aβ,求证:αβ。

12.四面体S ABC中,SA,SB,SC两两垂直,S
0
,S
1
,S
2
,S
3
分别表示ΔABC,ΔSBC,Δ
SCA,ΔSAB的面积,求证:

13.正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,E在棱 BB
1
上,截面A
1
EC侧面AA
1
C
1
C,(1)求证:BE=EB
1

(2)若AA
1
=A
1< br>B
1
,求二面角EC-A
1
-B
1
C
1的平面角。

四、高考水平训练题

1.三棱柱ABC-A
1< br>B
1
C
1
中,M为A
1
B
1
的中点 ,N为B
1
C与BC
1
的交点,平面AMN交B
1
C
1
于P,
则=_____________.

2.空间四边形ABCD中 ,AD=1,BC=
所成的角为_____________.

3.平面α
且CD
平面β,α
,且ADBC,BD=,AC=,则AC与BD
β=直线AB,点C ∈α,点D∈β,∠BAC=45,∠BAD=60,
00
AB,则直线AB与平面ACD所成 的角为_____________.

4.单位正方体ABCD—A
1
B< br>1
C
1
D
1
中,二面角A—BD
1
—B1
大小为_____________.


5.如图12-13所 示,平行四边形ABCD的顶点A在二面角α—MN—β的棱MN上,点B,
00
C,D都在α 上,且AB=2AD,∠DAN=45,∠BAD=60,若◇ABCD在半平面β上射影为为菜,
则二 面角α—MN—β=_____________.

6.已知异面直线a,b成角为θ,点M ,A在a上,点N,B在b上,MN为公垂线,且MN=d,
MA=m,NB=n。则AB的长度为__ ___________.

0
7.已知正三棱锥S—ABC侧棱长为4,∠ASB= 45,过点A作截面与侧棱SB,SC分别交
于M,N,则截面ΔAMN周长的最小值为_______ ______.

8.l
1
与l
2
为两条异面直线,l1
上两点A,B到l
2
的距离分别为a,b,二面角A—l
2
— B
大小为θ,则l
1
与l
2
之间的距离为____________ _.

9.在半径为R的球O上一点P引三条两两垂直的弦PA,PB,PC,则
22 2
PA+PB+PC=_____________.

10.过ΔABC的顶点向平 面α引垂线AA
1
,BB
1
,CC
1
,点A
1,B
1
,C
1
∈α,则∠BAC与∠
B
1
A< br>1
C
1
的大小关系是_____________.

000
11.三棱锥A—BCD中∠ACB=∠ADB=90,∠ABC=60,∠BAD=45,二面角A— CD—B为直
角二面角。(1)求直线AC与平面ABD所成的角;(2)若M为BC中点,E为BD中 点,求
AM与CE所成的角;(3)二面角M—AE—B的大小。

12.四棱锥P— ABCD底面是边长为4的正方形,PD底面ABCD,PD=6,M,N分别是PB,
AB的中点,( 1)求二面角M—DN—C的大小;(2)求异面直线CD与MN的距离。

13.三棱锥S— ABC中,侧棱SA,SB,SC两两互相垂直,M为ΔABC的重心,D为AB中
点,作与SC平行的 直线DP,证明:(1)DP与SM相交;(2)设DP与SM的交点为
为三棱锥S—ABC外接球球心 。

五、联赛一试水平训练题

1.现有边长分别为3,4,5的三角形两个 ,边长分别为4,5,的三角形四个,边
,则
长分别为,4,5的三角形六个,用上述三角形为 面,可以拼成_________个四面体。

2.一个六面体的各个面和一个正八面体的各个 面都是边长为a的正三角形,这两个多
面体的内切球的半径之比是一个既约分数,那么mn=_____ ____。

3.已知三个平面α,β,γ每两个平面之间的夹角都是,且
=a,_________条件。

,命题甲:;命题乙:a,b,c相交于一点。则甲是乙的< br>4.棱锥M—ABCD的底面是正方形,且MA
棱锥的最大球的半径为_________.
AB,如果ΔAMD的面积为1,则能放入这个


5.将给定的两个全等的 正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六
面体,并且该六面体的最短棱长为2,则最 远两个顶点间距离为_________。

6.空间三条直线a,b,c两两成异面直线,那 么与a,b,c都相交的直线有_________条。

7.一个球与正四面体的六条棱都相 切,正四面体棱长为a,这个球的体积为_________。

22
8.由曲线x= 4y,x=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V
1
,< br>222222
满足x+y?16,x+(y-2)?4,x+(y+2)?4的点(x,y)组成 的图形绕y轴旋转一周所得旋转
体的体积为V
2
,则_________。

9.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆围上的点,B是底面圆内的
点,O 为底面圆圆心,ABOB,垂足为B,OHPB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则
当三棱锥 C—HPC体积最大时,OB=_________。

10.是三个互相垂直的单位向量,π 是过点O的一个平面,分
别是A,B,C在π上的射影,对任意的平面π,由构成的集合为______ ___。

11.设空间被分为5个不交的非空集合,证明:一定有一个平面,它至少与其中的 四个
集合有公共点。

0
12.在四面体ABCD中,∠BDC=90,D到 平面ABC的垂线的垂足S是ΔABC的垂心,试
2222
证:(AB+BC+CA)?6(A D+BD+CD),并说明等号成立时是一个什么四面体?

13.过正四面体ABCD的高A H作一平面,与四面体的三个侧面交于三条直线,这三条直
222
线与四面体的底面夹角为α, β,γ,求tanα+tanβ+tanγ之值。

六、联赛二试水平训练题

1.能否在棱长为1的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为1
的正四面体?< br>
2.P,Q是正四面体A—BCD内任意两点,求证:

3.P,A,B,C ,D是空间五个不同的点,∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ,这里θ为已
知锐角,试确定 ∠APC+∠BPD的最大值和最小值。

4.空间是否存在有限点集M,使得对M中的任意两 点A,B,可以在M中另取两点C,D,
使直线AB和CD互相平行但不重合。

5. 四面体ABCD的四条高AA
1
,BB
1
,CC
1
,DD< br>1
相交于H点(A
1
,B
1
,C
1
,D1
分别为垂足)。
三条高上的内点A
2
,B
2
,C2
满足AA
2
:AA=BB
2
:B
2
B
1
=CC
2
:C
2
C
1
=2:1。证明:H,A
2
,B
2
,C
2
,D
1
在同一个球面上。

6.设平面α,β,γ,δ与四面体ABCD的外接球面分别切于点A,B,C,D。证明:
如果平面α与β的交线与直线CD共面,则γ与δ的交线与直线AB共面。


高中数学竞赛讲义(九)
──直线与圆的方程
一、基础知识

1 .解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是
通过映射建立曲线 与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间


存在一一映射, 则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如x
2
+y
2
=1是 以原
点为圆心的单位圆的方程。

2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角 坐标系;(2)写出满足条件的点的集合;
(3)用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未 知数的取值范围;(5)证明适合方程
的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程(实际应用 常省略这一步)。

3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与x轴正方向所成的小于180
0
的正角,叫做
它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为0
0
,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫
做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。

4.直线方程的几种形式:(1)一般式:Ax+By+C=0;(2)点斜式:y-y
0=k(x-x
0
);(3)
斜截式:y=kx+b;(4)截距式:;(5)两点 式:;(6)
法线式方程:xcosθ+ysinθ=p(其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的 距离);(7)
参数式:(其中θ为该直线倾斜角),t的几何意义是定点P
0
(x< br>0
, y
0
)到
动点P(x, y)的有向线段的数量(线段的长度前 添加正负号,若P
0
P方向向上则取正,否
则取负)。

5.到角与夹角:若直线l
1
, l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
,将l
1
绕它们的交点逆时针旋转到与
l
2
重合所转过的最小正角叫l
1
到l
2
的角;l
1
与l
2
所成的角中不超过90
0的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ,夹角为α,则tanθ=,tanα=.

6.平行与垂直:若直线l
1
与l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
。且两者不重合,则l
1
l
2
的充要条
件是k
1
=k
2
;l
1
l
2
的充要条件是k1
k
2
=-1。



7.两点P
1
(x
1
, y
1
)与P
2
(x
2
, y
2
)间的距离 公式:|P
1
P
2
|=
8.点P(x
0
, y
0
)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式:。

9.直线系的方程 :若已知两直线的方程是l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0与l
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0,则
过l
1
, l
2
交点的直线方程为A
1< br>x+B
1
y+C
1
+λ(A
2
x+B
2y+C
2
=0;由l
1
与l
2
组成的二次曲线方程为< br>(A
1
x+B
1
y+C
1
)(A
2
x+B
2
y+C
2
)=0;与l
2
平行的直线方程为A1
x+B
1
y+C=0().

10.二元一次不等式表示的平面区域,若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B>0,则
Ax+By+C>0表示的区域为l上方的部分,Ax+By+C<0表示的区域为l下方的部分。
< br>11.解决简单的线性规划问题的一般步骤:(1)确定各变量,并以x和y表示;(2)
写出线 性约束条件和线性目标函数;(3)画出满足约束条件的可行域;(4)求出最优解。

12.圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,其参
数方程为(θ为参数)。


13.圆的一般方程:x
2
+y
2
+Dx+Ey+F =0(D
2
+E
2
-4F>0)。其圆心为,半径为
。若点P(x< br>0
, y
0
)为圆上一点,则过点P的切线方程为



14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分),这条 直线叫
两圆的根轴。给定如下三个不同的圆:x
2
+y
2
+D
i
x+E
i
y+F
i
=0, i=1, 2, 3. 则它们两两 的根轴方程
分别为(D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+(F
1
-F
2
)=0; (D
2
-D
3
)x+(E
2
-E
3
)y+(F
2
-F
3
)=0;
(D
3
-D
1
)x+(E
3
-E
1
)y+(F
3
-F
1
)=0。不难证明 这三条直线交于一点或者互相平行,这就是著名的蒙
日定理。

二、方法与例题

1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。

例1 在 ΔABC中,AB=AC,∠A=90
0
,过A引中线BD的垂线与BC交于点E,求证:∠ADB=∠CDE。

[证明] 见图10-1,以A为原点,AC所在直线为x轴,建 立直角坐标系。设点B,C坐
标分别为(0,2a),(2a,0),则点D坐标为(a, 0)。直线BD方程为
BC方程为x+y=2a, ②设直线BD和AE的斜率分别为k
1
, k
2
,则k
1
=-2。因为BD
, ①直线
AE,所以k
1
k
2
=-1.所以,所以直线AE方程为,由解得点E坐标为


所以直线DE斜率为
0
因为k
1
+k
3=0.

所以∠BDC+∠EDC=180,即∠BDA=∠EDC。

例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另两
0
条边截圆所得的弧所对的圆心角为60。

[证明] 以A为原点,平行于正三角形ABC的 边BC的直线为x轴,建立直角坐标系见图
10-2,设⊙D的半径等于BC边上的高,并且在B能上能 下滚动到某位置时与AB,AC的交点
分别为E,F,设半径为r,则直线AB,AC的方程分别为,. 设⊙D的方


程为(x-m)+y=r.①设点E,F的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),则
分别代入①并消 去y得


222

所以x
1
, x
2< br>是方程4x
2
-2mx+m
2
-r
2
=0的两根。< br>
由韦达定理,所以

|EF|
2
=(x
1
-x
2
)
2
+(y
1
-y
2
)
2
=(x
1
-x
2
)
2
+3(x
1
-x
2
)
2

=4(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
=m
2
-(m
2
-r
2
)=r
2
.

所以|EF|=r。所以∠EDF=60
0


2.到角公式的使用。

例3 设双曲线xy=1的两支为C
1
,C
2
,正ΔPQR三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,
R不可能在双曲线的同一支上。

[证明] 假设P,Q,R在同一支上,不妨设在右侧一支C
1
上,并设P ,Q,R三点的坐
标分别为且01
2
3
. 记∠RQP=θ,它是直线QR到PQ的角,
由假设知直线QR,PQ的斜率分别为,

由到角公式
所以θ为钝角,与ΔPQR为等边三角形矛盾。所以命题成立。

3.代数形式的几何意义。

例4 求函数
[解] 因为

的最大值。

表示动点P(x, x
2
)到两
定点A(3, 2), B(0, 1)的距离之差,见图10-3,当AB延长线与抛物线y=x
2
的交点C 与点P
重合时,f(x)取最大值|AB|=

4.最值问题。

例5 已知三条直线l
1
: mx-y+m=0, l
2
: x+my-m(m+1)=0, l
3
: (m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC,求m为何值时,ΔABC的面积有最大值、最小值。

[解]记l
1
, l
2
, l
3
的方程分别为①,②,③。在①,③中取x=-1, y=0,知等式成立,所以
A(-1, 0)为l
1
与l
3
的交点;在②,③中取x=0, y=m+1,等式也成立,所以B(0, m+1)为l
2
与l
3


的交点。设l
1
, l
2
斜率分别为k
1
, k
2
, 若m0,则k
1
?k
2
=, S
Δ
ABC
=,由点到直线距离公式|AC|=,
|BC|=。
< br>所以S
Δ
ABC
=。因为2m?m
2
+1,所以S
Δ ABC
?。又因
为-m-1?2m,所以
2
,所以S
ΔABC
?

当m=1时,(S
ΔABC

max
=
5. 线性规划。

;当m=-1时,(S
ΔABC

min
=.

例6 设x, y满足不等式组

(1)求点(x, y)所在的平面区域;

(2)设a>-1,在(1)区域里,求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。

[解] (1)由已知得或

解得点(x, y)所在的平面区域如图10-4所示, 其中各直线方程如图所示。AB:y=2x-5;
CD:y=-2x+1;AD:x+y=1;BC:x +y=4.

(2) f(x, y)是直线l: y-ax=k在y轴上的截距,直线l与阴影相交,因为a>-1,所以它过顶
点C时,f(x, y)最大,C点坐标为(-3,7),于是f(x, y)的最大值为3a+7. 如果-1l通过点A(2,-1)时,f(x, y)最小,此时值为-2a-1;如果a>2,则l通过B(3,1)时,f(x,
y)取最小值为-3a+1.

6.参数方程的应用。

例7 如图 10-5所示,过原点引直线交圆x
2
+(y-1)
2
=1于Q点,在该直线 上取P点,使P
到直线y=2的距离等于|PQ|,求P点的轨迹方程。

[解] 设直线OP的参数方程为(t参数)。

代入已知圆的方程得t
2
-t?2sinα=0.

所以t=0或t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|,而|OP|=t.

所以|PQ|=|t-2sinα|,而|PM|=|2-tsinα|.

所以|t-2sinα|=|2-tsinα|. 化简得t=2或t=-2或sinα=-1.


当t=±2时,轨迹方程为x+ y=4;当sinα=1时,轨迹方程为x=0.

7.与圆有关的问题。

例8 点A,B,C依次在直线l上,且AB=ABC,过C作l的垂线,M是这条垂线上的动
点,以A为圆心,AB为半径作圆,MT
1
与MT
2
是这个圆的切线,确定Δ AT
1
T
2
垂心 的轨迹。

[解] 见图10-6,以A 为原点,直线AB为x轴建立坐标系,H为OM与圆的交点,N为
T
1
T
2< br>与OM的交点,记BC=1。

以A为圆心的圆方程为x+y=16,连结OT
1
,OT
2
。因为OT
2
22
22
MT
2
,T
1
HMT
2
,所以OT
2
HT
1
同理OT
1
HT
2
,又OT
1
=OT
2
,所以OT
1
HT
2
是菱形。所以2ON=OH。
< br>又因为OMT
1
T
2
,OT
1
MT
1
,所以ON?OM。设点H坐标为(x,y)。

点M坐标为(5, b),则点N坐标为,将坐标代入=ON?OM,再由得


在AB上取点K,使AK=AB,所求轨迹是以K为圆心,AK为半径的圆。

例9 已知圆x
2
+y
2
=1和直线y=2x+m相交于A,B,且OA,OB与x 轴正方向所成的角
是α和β,见图10-7,求证:sin(α+β)是定值。

[证明] 过D作ODAB于D。则直线OD的倾斜角为,因为ODAB,所以
2?,

所以。所以

例10 已知⊙O是单位圆,正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦,试 确定|OD|的最大值、
最小值。

[解] 以单位圆的圆心为原点,AB的中垂线为 x轴建立直角坐标系,设点A,B的坐标
分别为A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα ),由题设|AD|=|AB|=2sinα,这里不妨设A在x
轴上方,则α∈(0,π).由对称性 可设点D在点A的右侧(否则将整个图形关于y轴作对称
即可),从而点D坐标为(cosα+2sin α,sinα),

所以|OD|=

=


因为,所以

当时,|OD|
max
=+1;当时,|OD|
min
=

例11 当m变化且m≠0时,求证:圆(x-2m-1)
2
+(y-m-1)
2
=4m
2
的圆心在一条定直线上,
并求这一系列圆的公切线的方程。
[证明] 由消去m得a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上。设公切线方程为y=kx+b,则由相切有2|m|=
(-4k-3)m
2
+2(2k -1)(k+b-1)m+(k+b-1)
2
=0对一切m≠0成立

,对一 切m≠0成立。即
所以即当k不存在时直线为x=1。所以公切线方程
y=和x=1.

三、基础训练题

1.已知两点A(-3,4)和B(3,2),过点P(2,-1) 的直线与线段AB有公共点,则该直线的倾
斜角的取值范围是__________.

2.已知θ∈[0,π],则的取值范围是__________.

3.三条直线2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0围成一个三角形,当点P(x, y)在此三角形边上
或内部运动时,2x+y的取值范围是__________.

4.若三条直线4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能围成三角形,则m的范围是__________.

5.若λ∈R。直线 (2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离为d,比较大小:
d__ ________.

6.一圆经过A(4,2), B(-1,3)两点,且在两个坐标轴上的 四个截距的和为14,则此圆的
方程为__________.

7.自点A(-3, 3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆C:
x
2
+y< br>2
-4x-4y+7=0相切,则光线l所在的方程为__________.

8.D
2
=4F且E≠0是圆x
2
+y
2
+Dx+Ey+ F=0与x轴相切的__________条件.

9.方程|x|-1=表示的曲线是__________.

10.已知点M到点A (1,0),B(a,2)及到y轴的距离都相等,若这样的点M恰好
有一个,则a可能值的个数为__ ________.


11.已知函数S=x+y,变量x, y满足条件y
2
-2x?0和2x+y?2,试求S的最大值和最小
值。
< br>12.A,B是x轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a
(1)求∠AMB的最大值;

(2)当∠AMB取最大值时,求OM长;

(3)当∠AMB取最大值时,求过A,B,M三点的圆的半径。

四、高考水平训练题

1.已知ΔABC的顶点A(3,4),重心G(1,1),顶 点B在第二象限,垂心在原点O,则点
B的坐标为__________.

2.把直线绕点(-1,2)旋转30得到的直线方程为__________.

0
3.M是直线l:
在线段AB上满足
22
上一动点,过M作x轴、y轴的垂线 ,垂足分别为A,B,则
的点P的轨迹方程为__________.

22
4.以相交两圆C
1
:x+y+4x+y+1=0及C
2
:x+y+2x+2 y+1=0的公共弦为直径的圆的方程
为__________.

5.已知M={( x,y)|y=
N
,a>0},N={(x,y)|(x-1)+(y-
2
) =a,a>0}.M
22
,a的最大值与最小值的和是__________.
6.圆x+y+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P,Q两点,O为原点,OP
22< br>OQ,则
m=__________.

22
7.已知对于圆x+(y -1)=1上任意一点P(x,y),使x+y+m?0恒成立,m范围是
__________.
22
8.当a为不等于1的任何实数时,圆x-2ax+y+2(a-2)y+2=0均 与直线l相切,则直线
l的方程为__________.

9.在ΔABC中,三个 内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若lgsinA,lgsinB, lgsinC
22< br>成等差数列,那么直线xsinA+ysinA=a与直线xsinB+ysinC=c的位置关系是__ ________.

10.设A={(x,y)|0?x?2,0?y?2},B={(x, y)|x?10,y?2,y?x-4}是坐标平面xOy上
的点集,C=所围成图形的面积是
__________.

11.求圆C
1
:x
2
+y2
+2x+6y+9=0与圆C
2
:x
2
+y
2
-6x+2y+1=0的公切线方程。

12.设集合L={直线l与直线y=2x相交,且以交点的横坐标为斜率}。

(1)点(-2,2)到L中的哪条直线的距离最小?

(2)设a∈R
+
,点P(-2, a)到L中的直线的距离的最小值设为d
min
,求d
min
的表达式。

13.已知圆C:x
2< br>+y
2
-6x-8y=0和x轴交于原点O和定点A,点B是动点,且∠OBA=90< br>0

OB交⊙C于M,AB交⊙C于N。求MN的中点P的轨迹。

五、联赛一试水平训练题


1.在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的 点称为有理点。若a为无理数,过点(a,0)的
所有直线中,每条直线上至少存在两个有理点的直线有 _______条。

2.等腰ΔABC的底边BC在直线x+y=0上,顶点A(2,3), 如果它的一腰平行于直线
x-4y+2=0,则另一腰AC所在的直线方程为__________.< br>
3.若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表示条互相垂直的直线,则
m=__________.

4.直线x+7y-5 =0分圆x
2
+y
2
=1所成的两部分弧长之差的绝对值是________ __.

5.直线y=kx-1与曲线y=有交点,则k的取值范围是__________.

6.经过点A(0,5)且与直线x-2y=0, 2x+y=0都相切的圆方程为__________.

7.在直角坐标平面上,同时满足条件:y?3x, y?
__________.

x, x+y?100的整点个数是
8.平面上的整点到直线
2
的距离中的最 小值是__________.

9.y=lg(10-mx)的定义域为R,直线y=xsi n(arctanm)+10的倾斜角为__________.

10.已知f(x)=x- 6x+5,满足
2
的点(x,y)构成图形的面积为
__________.

11.已知在ΔABC边上作匀速运动的点D,E,F,在t=0时分别从A,B,C出发,各以
一定速度向B,C,A前进,当时刻t=1时,分别到达B,C,A。

(1)证明:运动过程中ΔDEF的重心不变;

(2)当ΔDEF面积取得最小值时,其值是ΔABC面积的多少倍?

22
12.已知矩形ABCD,点C(4,4),点A在圆O:x+y=9(x>0,y>0)上移动,且AB,AD 两
边始终分别平行于x轴、y轴。求矩形ABCD面积的最小值,以及取得最小值时点A的坐标。

22
13.已知直线l: y=x+b和圆C:x+y+2y=0相交于不同两点A,B, 点P在直线l上,
且满足|PA|?|PB|=2,当b变化时,求点P的轨迹方程。

六、联赛二试水平训练题

22
1.设点P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20上任意一点,求x- xy+y的最大值、最小值。

2.给定矩形Ⅰ(长为b,宽为a),矩形Ⅱ(长为c、宽为d ),其中a22222
矩形Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是:(ac- bd)+(ad-bc)?(a-b).

3.在直角坐标平面内给定凸五边形ABCDE,它 的顶点都是整点,求证:见图10-8,A
1

B
1
,C
1
,D
1
,E
1
构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。

4.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证:存在一个同心圆的集合,
使得 :(1)每个整点都在此集合的某一圆周上;(2)此集合的每个圆周上,有且只有一个
整点。

5.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线l
1
,l
2
,? ,l
n
,?的直线族,它满足
条件:(1)点(1,1)∈l
n
,n =1,2,3,?;(2)k
n+1
?a
n
-b
n
,其中k
n+1
是l
n+1
的斜率,a
n
和b
n
分 别是l
n
在x轴和y轴上的截距,n=1,2,3,?;(3)k
n
k
n+1
?0, n=1,2,3,?.并证明你的结
论。


6.在坐标平面内,一圆交x轴正半径于R,S,过原点的直线l
1
,l
2
都 与此圆相交,l
1
交圆于A,B,l
2
交圆于D,C,直线AC,BD分别交 x轴正半轴于P,Q,求证:


高中数学竞赛讲义(十)
──圆锥曲线
一、基础知识

1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长( 大于两个定点之
间的距离)的点的轨迹,即|PF
1
|+|PF
2
| =2a (2a>|F
1
F
2
|=2c).

第二定义:平 面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0的点的轨迹(其中定点 不在定直线上),即

(0
第三定义:在直角坐标平面内给定两圆c
1
: x
2
+y
2
=a
2
, c
2
: x
2
+y
2
=b
2
, a, b∈R
+
且 a≠b。从原
点出发的射线交圆c
1
于P,交圆c
2
于Q,过P引y 轴的平行线,过Q引x轴的平行线,两
条线的交点的轨迹即为椭圆。

2.椭圆的方程 ,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由
定义可求得它的标准方程,若焦点 在x轴上,列标准方程为

(a>b>0),

参数方程为(为参数)。

若焦点在y轴上,列标准方程为

(a>b>0)。

3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆



a称半长轴长,b称半短轴长,c称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标
分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为
,与右 焦点对应的准线为;定义中的比e称为离心率,且,由c
2
+b
2
=a
2
知0
椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。


4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆1(a>b>0), F
1
(-c, 0), F
2
(c, 0)是它的两焦点。
若P(x, y)是椭圆上的任意一点,则|PF
1
|=a+ex, |PF
2
|=a-ex.

5.几个常用结论:1)过椭圆上一点P(x
0
, y
0
)的切线方程为



2)斜率为k的切线方程为
3)过焦点F
2
(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为





6.双曲线的定义,第一定义:

满足||PF
1
|-|PF
2
||=2a(2a<2c=|F
1
F
2
|, a>0)的点P的轨迹;

第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。

7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在x轴上的双曲线方程为



参数方程为(为参数)。

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为



8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在x轴上的双曲线

(a, b>0),

a称半实轴长,b称为半虚轴长,c为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦
点为F
1
(-c,0), F
2
(c, 0),对应的左、 右准线方程分别为离心率,由
a
2
+b
2
=c
2
知 e>1。两条渐近线方程为,双曲线与有相
同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b,则称 为等轴双曲线。


9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线,F< br>1
(-c,0), F
2
(c, 0)
是它的两个焦点。设P(x,y )是双曲线上的任一点,若P在右支上,则|PF
1
|=ex+a, |PF
2
|=ex-a;
若P(x,y)在左支上,则|PF
1
|=-ex-a,|PF2
|=-ex+a.

2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是。

10.抛物线:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,
点F叫焦点,直 线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x
轴与l相交于K,以线段KF 的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点F
坐标为,准线方程为,标准方程为y
2
=2px(p>0),离心率e=1.

11.抛物线常用结论:若P(x
0
, y
0
)为抛物线上任一点,

1)焦半径|PF|=;

2)过点P的切线方程为y
0
y=p(x+x
0
);

3)过焦点倾斜角为θ的弦长为。

12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为 O,从O出发的射线为极轴记为Ox轴,
这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点P,记|OP|= ρ,∠xOP=θ,则由(ρ,θ)唯
一确定点P的位置,(ρ,θ)称为极坐标。

13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P,若
01,则点P的轨迹为双曲线的一支;若e=1,则点P的轨
迹为抛物线。这三种 圆锥曲线统一的极坐标方程为
二、方法与例题

1.与定义有关的问题。



例1 已知定点A(2,1),F是椭圆
3|PA|+5|PF|取最小值时,求点P的坐标。

的左焦点,点P为椭圆上的动点,当
[解] 见图11-1,由题设a=5, b=4, c= =3,.椭圆左准线的方程为
,又因为,所以点A在椭圆内部,又点F坐标为(-3,0),过P作PQ垂直于左准线,垂足为Q。由定义知,则|PF|=|PQ|。


所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM左准线于 M)。

所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值,把y=1 代入椭圆方程得
,又x<0,所以点P坐标为

例2 已知P,为双曲线C:右支上两 点,延长线交右准线于K,PF
1
延长线交双曲线于Q,(F
1
为右焦点)。 求证:∠F
1
K=∠KF
1
Q.

[证明] 记右准线为 l,作PDl于D,于E,因为PD,则,
又由定义,所以
=∠KF
1
Q。< br>
,由三角形外角平分线
定理知,F
1
K为∠PF
1
P的外角平分线,所以∠
2.求轨迹问题。

例3 已知一椭圆及焦点F,点A为椭圆上一动点,求线段FA中点P的轨迹方程。

[解法一] 利 用定义,以椭圆的中心为原点O,焦点所在的直线为x轴,建立直角坐标
系,设椭圆方程:=1(a>b >0).F坐标为(-c, 0).设另一焦点为。连结,
OP,则。所以|FP|+|PO|=(|F A|+|A|)=a.

所以点P的轨迹是以F,O为两焦点的椭圆(因为a>|FO|=c) ,将此椭圆按向量m=(,0)
平移,得到中心在原点的椭圆:。由平移公式知,所求椭圆的方程为


[解法二] 相关点法。设点P(x,y), A(x
1
, y
1
),则,即x
1
=2x+c, y
1
=2y.
又因为点A在椭圆上,所以代入得关于点P的方程为
。它表示 中心为,焦点分别为F和O的椭圆。

例4 长为a, b的线段AB,CD分别在x轴,y轴 上滑动,且A,B,C,D四点共圆,
求此动圆圆心P的轨迹。

[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点,A,B,C,D的坐标分别为A(x-,0), B(x+,0), C(0,
y-), D(0, y+), 记O为原点,由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|,用坐标表示为
,即

当a=b时,轨迹为两条直线y=x与y=-x;

当a>b时,轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线;

当a
例5 在坐标平面内,∠AOB=,AB边在直线l: x=3上移动,求三角形AOB的外心
的轨迹方程。

[解] 设∠xOB=θ,并且B在A的上方,则点A,B坐标分别为B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ< br>-)),设外心为P(x,y),由中点公式知OB中点为M。

由外心性质知 再由得

×tanθ=-1。结合上式有

?tanθ= ①


又 tanθ+= ②



所以tanθ-=两边平方,再将①,②代入得
。即为所求。

3.定值问题。

例6 过双曲线(a>0, b>0)的右焦点F作B
1< br>B
2
轴,交双曲线于B
1
,B
2
两点,B
2
与左焦点F
1
连线交双曲线于B点,连结B
1
B交x轴于H点。求证 :H的横坐标为
定值。

[证明] 设点B,H,F的坐标分别为(asecα,btanα), (x
0
, 0), (c, 0),则F
1
,B
1
,B
2
的坐
标分别为(-c, 0), (c,


), (c, ),因为F
1
,H分别是直线 B
2
F,BB1与x轴的交点,所


所以




由①得

代入上式得

即 (定值)。


注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。

2
例7 设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点, 点C
在准线上,且BCx轴。证明:直线AC经过定点。

[证明] 设,则,焦点为 ,所以
,,,。由于
,所以?y
2
-y
1
=0,即=0。因 为
,所以

。所以,即。所
,即直线AC经过原点。

例8 椭圆
为定值。

上有两点A,B,满足OAOB,O为原点,求证:
[证明] 设|OA|=r
1
,|OB|=r
2
,且∠xOA=θ,∠xOB=
θ, r
1
sinθ),B(-r
2
sinθ,r
2
cos θ)。由A,B在椭圆上有

,则点A,B的坐标分别为A(r
1
cos

即 ①



①+②得
4.最值问题。

(定值)。

例9 设A,B是椭圆x+3y=1上的两个动点,且OA
与最小值。

22
OB(O为原点),求|AB|的最大值


[解] 由题设a=1, b=,记|OA|=r
1
,|OB|=r
2
,,参考例8可得=4。设
m=|AB|=
2
,

因为,且a>b,所以
22
所以b?r
1
?a,同理b?r
2
?a.所以。又函数f(x)=x+在 上单调递减,
在上单调递增,所以当t=1即|OA|=|OB|时,|AB|取最小值1;当或时,| AB|
取最大值。

例10 设一椭圆中心为原点,长轴在x轴上,离心率为
1上点与这椭圆上点的最大距离为
,若圆C:
,试求这个椭圆的方程。

[解] 设A,B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为,半径|CA|=1,
因为| AB|?|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当A,B,C共线,且|BC|取最大值时,|AB| 取最
大值,所以|BC|最大值为

因为;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分 别为2t,,t,椭圆方程
为,并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ),则|BC|=(2t cosθ)+
22
=3tsinθ-3tsinθ+
22
+4t=-3(ts inθ+
2
)+3+4t.

22
若,则当sinθ=-1时,|B C|取最大值t+3t+
22
,与题设不符。

若t>,则当sinθ=时,|BC|取最大值3+4t,由3+4t=7得t=1.

222


所以椭圆方程为。

5.直线与二次曲线。

2
例11 若抛物线y=ax-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点,试求a的取值范围。

2
[解] 抛物线y=ax-1的顶点为(0,-1),对称轴为y轴,存在关于直线x+y= 0对称两点
的条件是存在一对点P(x
1
,y
1
),(-y
1
,-x
1
),满足y
1
=a且-x
1
=a(-y
1
)-1,相减得
2
x
1
+y
1
=a() ,因为P不在直线x+y=0上,所以x
1
+y
1
≠0,所以1=a(x1
-y
1
),即x
1
=y
1
+

所以此方程有不等实根,所以,求得
,即为所求。

例12 若直线y=2x+b与椭圆
大时,求b的值。

相交,(1)求b的范围;(2)当截得弦长最
[解] 二方程联立得17x+16bx+4( b-1)=0.由Δ>0,得
22
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),由韦达定理得|PQ|=。所以 当b=0
时,|PQ|最大。

三、基础训练题

1.A为半径是R 的定圆⊙O上一定点,B为⊙O上任一点,点P是A关于B的对称点,
则点P的轨迹是________ .

2
2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m(>0),则动点的轨迹是_ _______.

3.椭圆
________.

上有一点P,它 到左准线的距离是10,它到右焦点的距离是
4.双曲线方程,则k的取值范围是________.< br>
5.椭圆
积是________.

,焦点为F
1
,F
2
,椭圆上的点P满足∠F
1
PF
2
=60,则ΔF< br>1
PF
2
的面
0


6.直线l被双曲线所截的线 段MN恰被点A(3,-1)平分,则l的方程为
________.

2
7 .ΔABC的三个顶点都在抛物线y=32x上,点A(2,8),且ΔABC的重心与这条抛物
线的焦 点重合,则直线BC的斜率为________.

8.已知双曲线的两条渐近线方程为3x- 4y-2=0和3x+4y-10=0,一条准线方程为5y+4=0,
则双曲线方程为_______ _.

2
9.已知曲线y=ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点 ,如果过这两个
0
交点的直线的倾斜角为45,那么a=________.

10.P为等轴双曲线x-y=a上一点,
222
的取值范围是________.

11.已知椭圆与双曲线有公共的焦点F
1
,F
2
,设P是它们的< br>一个焦点,求∠F
1
PF
2
和ΔPF
1
F
2
的面积。

12.已知(i)半圆的直径AB长为2r;(ii)半圆外的直线l与B A的延长线垂直,垂
足为T,设|AT|=2a(2a<);(iii)半圆上有相异两点M,N,它们 与直线l的距离|MP|,
|NQ|满足求证:|AM|+|AN|=|AB|。

1 3.给定双曲线
求线段P
1
P
2
的中点的轨迹方程。

四、高考水平测试题

过点A(2,1)的直线l与所给的双曲线交于点P
1
和P
2

1.双曲线与椭圆x+4y=64共焦点,它的一条渐近线方程是< br>22
=0,则此双曲线的
标准方程是_________.

2.过抛 物线焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若A,B在抛物线准线上的射影
分别是A
1,B
1
,则∠A
1
FB
1
=_________.
3.双曲线的一个焦点为F
1
,顶点为A
1
,A
2< br>,P是双曲线上任一点,以|PF
1
|
为直径的圆与以|A
1
A
2
|为直径的圆的位置关系为_________.

4.椭圆的中心在原 点,离心率,一条准线方程为x=11,椭圆上有一点M横坐标
为-1,M到此准线异侧的焦点F
1
的距离为_________.

5.4a+b=1是直线y=2x+1与椭圆< br>22
恰有一个公共点的_________条件.


6.若参数方程
条直线的方程是_________.

(t 为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这
7.如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆_________.

总有公共点,则m的范围是
8.过双曲线的左焦点,且被 双曲线截得线段长为6的直线有_________条.

9.过坐标原点的直线l与椭圆相交 于A,B两点,若以AB为直径的
圆恰好通过椭圆的右焦点F,则直线l的倾斜角为_________ .

2222
10.以椭圆x+ay=a(a>1)的一个顶点C(0,1)为直角顶 点作此椭圆的内接等腰直角
三角形ABC,这样的三角形最多可作_________个.

11.求椭圆上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。

12.设F,O分别为 椭圆的左焦点和中心,对于过点F的椭圆的任意弦AB,
点O都在以AB为直径的圆内,求椭圆离心率e 的取值范围。

13.已知双曲线C
1
:(a>0),抛物线C
2< br>的顶点在原点O,C
2
的焦点是C
1
的左焦点F
1


(1)求证:C
1
,C
2
总有两个不同的交点。

(2)问:是否存在过C
2
的焦点F
1
的弦AB,使ΔAOB的面积 有最大值或最小值?若存在,
求直线AB的方程与S
ΔAOB
的最值,若不存在,说明 理由。

五、联赛一试水平训练题

222
1.在平面直角坐标系中 ,若方程m(x+y+2y+1)=(x-2y+3)表示的曲线为椭圆,则m的
取值范围是_____ ____.

2.设O为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦,已知|OF|=a,| PQ|=b,ΔOPQ
面积为_________.

3.给定椭圆,如果存在过左焦 点F的直线交椭圆于P,Q两点,且OPOQ,
则离心率e的取值范围是_________.

4.设F
1
,F
2
分别是双曲线(a>b>0)的左、右焦点,P为 双曲线上的动点,
过F
1
作∠F
1
PF
2
平分线的 垂线,垂足为M,则M的轨迹为_________.


5.ΔABC一边的两 顶点坐标为B(0,
+
)和C(0,),另两边斜率的乘积为,
若点T坐标为(t,0 )(t∈R),则|AT|的最小值为_________.

2
6.长为l(l<1 )的线段AB的两端点在抛物线y=x上滑动,则线段AB的中点M到x轴的
最短距离等于______ ___.

22
7.已知抛物线y=2px及定点A(a,b),B(-a,0),a b≠0,b≠2pa,M是抛物线上的点,设
直线AM,BM与抛物线的另一个交点分别为M
1
,M
2
,当M变动时,直线M
1
M
2
恒过一个定点 ,
此定点坐标为_________.

8.已知点P(1,2)既在椭圆
+
内部(含边界),又在圆x+y=
22

部(含边界),若a,b∈R,则a +b的最小值为_________.

9.已知椭圆的内接ΔABC的边AB,AC分别过左 、右焦点F
1
,F
2
,椭圆的
左、右顶点分别为D,E,直线DB与 直线CE交于点P,当点A在椭圆上变动时,试求点P
的轨迹。

10.设曲线C1
:(a为正常数)与C
2
:y=2(x+m)在x轴上方有一个公共点
2
P。(1)求实数m的取值范围(用a表示);

(2)O为原点,若C
1
与x轴的负半轴交于点A,当0值(用a表示)。

11.已知直线l过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,
0) 和B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线的方程。

六、联赛二试水平训练题

1.在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,在C D上取一点E,BE与AC相交于F,延
长DF交BC于G,求证:∠GAC=∠EAC。
< br>2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为1的闭折线,它的每
个顶点坐标 都是有理数。

3.以B
0
和B
1
为焦点的椭圆与ΔAB< br>0
B
1
的边AB
i
交于C
i
(i=0,1) ,在AB
0
的延长线上任取点
P
0
,以B
0
为圆心 ,B
0
P
0
为半径作圆弧交C
1
B
0
的延 长线于Q
0
;以C
1
为圆心,C
1
Q
0
为 半径
作圆弧Q
0
P
1
交B
1
A的延长线于P
1
;B
1
为圆心,B
1
P
1
为半径作圆弧P1
Q
1
交B
1
C
0
的延长线于Q
1< br>;以
C
0
为圆心,C
0
Q
1
为半径作圆弧Q
1
,交AB
0
的延长线于。求证:(1)点与点P
0
重合,
且圆弧P
0
Q
0
与P
0
Q
1
相内 切于P
0
;(2)P
0
,Q
0
,P
1
,Q
1
共圆。

4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度v
0
和不同发射角(即发射方向与x轴正向
之间 的夹角)α(α∈[0,π],α≠)射出的质点,在重 力的作用下运动轨迹是抛物线,


所有这些抛物线组成一个抛物线族,若两条抛物线在同一 个交点处的切线互相垂直,则称这
个交点为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧 ,并求此椭圆弧的方
程(确定变量取值范围)。

5.直角ΔABC斜边为AB,内切 圆切BC,CA,AB分别于D,E,F点,AD交内切圆于P
点。若CPBP,求证:PD=AE+A P。

CD,点A为BD中点,点Q在BC上,AC=CQ,又在BQ上找一点R,使BR=2 RQ,6.已知BC
CQ上找一点S,使QS=RQ,求证:∠ASB=2∠DRC。

高中数学竞赛讲义(十一)
──极限与导数
一、基础知识

1. 极限定义:(1)若数列{u
n
}满足,对任意给定的正数ε,总存在正数m,当n>m且n∈N时,恒有|u
n
-A|<ε成立(A为常数),则称A为数列u
n
当n趋向于无穷大时的极限,
记为
称右极限。类似地
,另外=A表示x大于x
0
且趋向于x
0
时f(x)极限为A,
表示x小于x
0
且趋 向于x
0
时f(x)的左极限。

f(x)=a, g(x)=b,那么[f(x)±g(x)]=a±b, 2.极限的四则运算:如果
[f(x)?g(x)]=ab,

3.连续:如果函数 f(x)在x=x
0
处有定义,且f(x)存在,并且f(x)=f(x
0
) ,则
称f(x)在x=x
0
处连续。

4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在[a,b]上有最
大值和最小值。

5.导数:若函数f(x)在x0附近有定义,当自变量x在x
0
处取得一个增量Δx 时(Δx
充分小),因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x
0
+Δx)-f(x
0
)).若
在x
0
处可导,此极限值称为f(x)在点x
0
处的导数(或变化率),记作
存在,则称f(x)
(x
0
)或或,即。由定义知f(x)在点x
0
连续是f(x)在x
0
可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何
意义是 :f(x)在点x
0
处导数(x
0
)等于曲线y=f(x)在点P(x
0
,f(x
0
))处切线的斜率。


6.几个常用 函数的导数:(1)
数);(3)(4)
=0(c为常数);(2)
;(5);(6)
(a为任意常
;(7)
;(8)

7.导数的运算法则:若u(x),v(x)在x处可导,且u(x)≠0,则

(1 );(2);(3)
(c为常数);(4)
8.复合函数求导法:设函数y=f(u),u=< br>点u(u=
=
(x))处可导,则复合函数y=f[
.

;(5)
(x),已知


(x)在x处可导,f(u)在对应的< br>(x)](x)]在点x处可导,且(f[
9.导数与函数的性质:(1)若f(x)在区间I上 可导,则f(x)在I上连续;(2)若对
一切x∈(a,b)有,则f(x)在(a,b)单调递增; (3)若对一切x∈(a,b)有,
则f(x)在(a,b)单调递减。

10.极值 的必要条件:若函数f(x)在x
0
处可导,且在x
0
处取得极值,则

11.极值的第一充分条件:设f(x)在x0处连续,在x
0
邻域(x
0
-δ,x
0
+δ)内可导,(1)
若当x∈(x-δ,x
0
)时
(2)若当x∈(x
0
-δ,x
0
)时
,当x∈(x
0
,x
0
+δ)时
,当x∈(x
0
,x
0
+δ)时
,则f(x)在x
0
处取得极小值;
,则f(x)在x0
处取
得极大值。

12.极值的第二充分条件:设f(x)在x
0
的某领域(x
0
-δ,x
0
+δ)内一阶可导,在x=x
0

二阶可导,且
(2)若
。(1)若
,则f(x)在x
0
处取得极大值。

,则f(x)在x
0
处取得极小值;
1 3.罗尔中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则存< br>在ξ∈(a,b),使

[证明] 若当x∈(a,b),f(x)≡f(a),则对任 意x∈(a,b),.若当x∈(a,b)
时,f(x)≠f(a),因为f(x)在[a,b]上连续 ,所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有
一个不等于f(a),不妨设最大值m>f(a )且f(c)=m,则c∈(a,b),且f(c)为最大值,故
,综上得证。


14.Lagrange中值定理:若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在ξ ∈(a,b),
使

[证明] 令F(x)=f(x)-,则F(x)在[a,b]上 连续,在(a,b)上可导,
且F(a)=F(b),所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0,即
15.曲线凸性的充分条件:设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数,(1)如果对任意x∈I,,则曲线y=f(x)在I内是下凸的;(2)如果对任意x∈I,,则
y=f(x)在I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。

+
16.琴生不等式: 设α
1

2
,?,α
n
∈R,α
1

2
+?+α
n
=1。(1)若f(x)是[a,b]上的
凸函数,则 x
1
,x
2
,?,x
n
∈[a,b]有f(a
1< br>x
1
+a
2
x
2
+?+a
n
xn
)?a
1
f(x
1
)+a
2
f(x
2
)+?+a
n
f(x
n
).

二、方法与例题

1.极限的求法。

例1 求下列极限:(1);(2);(3)
;(4)

[解](1)=;

(2)当a>1时,

当0
当a=1时,

(3)因为



所以

(4)
例2 求下列极限:(1)(1+x)(1+x
2
)(1+)?(1+)(|x|<1);


(2)
[解] (1)
;(3)
(1+x)(1+x
2
)(1+)?(1+)



=

(2)

=

(3)

=


2.连续性的讨论。

例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且恒满足f(x+1)=2f(x),又当x∈[0,1 )时,
2
f(x)=x(1-x),试讨论f(x)在x=2处的连续性。

2
[解] 当x∈[0,1)时,有f(x)=x(1-x),在f(x+1)=2f(x)中 令x+1=t,则x=t-1,当x
2
∈[1,2)时,利用f(x+1)=2f(x)有f( t)=2f(t-1),因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)得
22
f(t -1)=(t-1)(2-t),从而t∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)?(2-t);同理,当x ∈[1,2)时,令
2
x+1=t,则当t∈[2,3)时,有f(t)=2f(t-1)=4 (t-2)(3-t).从而
f(x)=

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