高中数学总复习全套讲义

高中数学复习讲义
第一章 集合与简易逻辑

第1课时 集合的概念及运算
【考点导读】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选 择自然语言，图形语言，集合语言描述不同
的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．
3. 理解两个集 合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补
集的含义，会求给定 子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽
象概念的作用．
4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合< br>性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．

【基础练习】
1.集合
{(x,y)0?x?2,0?y?2,x,y?Z}
用列举法表
2.设集合
A?{xx?2k?1,k?Z}
，
B?{xx?2k,k?Z}
，则
A?B?

3.已知集合
M?{0,1,2}
，
N?{ xx?2a,a?M}
，则集合
M?N?
_
4.设全集
I?{1, 3,5,7,9}
，集合
A?{1,a?5,9}
，
C
I
A ?{5,7}
，则实数
a
的值为_____．

【范例解析】 < br>例.已知
R
为实数集，集合
A?{xx
2
?3x?2?0}< br>.若
B?C
R
A?R
，
B?C
R
A?{x0 ?x?1
或
2?x?3}
，
求集合
B
.

【反馈演练】
1,2
?
，
B?
?
1,2,3?
，
C?
?
2,3,4
?
，则
?
A? B
?
UC
=_________． 1．设集合
A?
?
2． 设
P
，
Q
为两个非空实数集合，定义集合
P
+
Q< br>=
{a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5},
Q?{1,2,6}
，则
P
+
Q
中
元素的个数是______个．
3．设集合
P?{xx
2
?x?6?0}
，
Q?{x2a?x?a?3}
.
（1）若
P?Q?P
，求实数
a
的取值范围；
（2）若
P?Q??
，求实数
a
的取值范围；
（3）若
P?Q?{x0?x?3}
，求实数
a
的值.

1175

第3 课时 充分条件和必要条件
【考点导读】
1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．
2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若集合
P?Q
，则
P
是
Q
的充分条件；
若集合
P?Q
，则
P
是
Q
的必要条件；
若集合
P?Q
，则
P
是
Q
的充要条件．
3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．
【基础练习】
1 .若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件．若
q?p，则
p
是
q
的必要条件．若
p?q
，则
p是
q
的充要条
件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1 ）已知
p:x?2
，
q:x?2
，那么
p
是
q的_____充分不必要___条件．
（2）已知
p:
两直线平行，
q :
内错角相等，那么
p
是
q
的____充要_____条件． < br>（3）已知
p:
四边形的四条边相等，
q:
四边形是正方形，那么p
是
q
的___必要不充分__条件．
3.若
x?R
，则
x?1
的一个必要不充分条件是
x?0
．
【范例解析】
例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
?< br>x?2,
?
x?y?4,
（1）
?
是
?
的_ __________________条件；
y??4.
??
（2）
(x ?4)(x?1)?0
是
x?4
?0
的_________________ __条件；
x?1
（3）
?
?
?
是
tan
?
?tan
?
的___________________条件；
（4）
x?y?3
是
x?1
或
y?2
的____________ _______条件.
分析：从集合观点“小范围
?
大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
点评：①判断
p
是
q
的什么条件，实际上是判断“若
p
则< br>q
”和它的逆命题“若
q
则
p
”的真假，若
原命题为 真，逆命题为假，则
p
为
q
的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真， 则
p
为
q
的必
2175

要不充分条件；若 原命题为真，逆命题为真，则
p
为
q
的充要条件；若原命题，逆命题均为假， 则
p
为
q
的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断 “若
p
则
q
”的真假困难时，
则可以判断它的逆否命题“若
?
q
则
?
p
”的真假.

【反馈演练】
1．设集合
M?{x|0?x?3}
，
N?{x|0?x?2}
，则“a?M
”是“
a?N
”的_
条件．

2．已知
p
：1＜
x
＜2，
q
：
x
(
x< br>－3)＜0，则
p
是
q
的 条件．
3．已知条件
p:A?{x?Rx
2
?ax?1?0}
，条件
q:B?{x?Rx
2
?3x?2?0}
．若
?q
是
?p
的充分不必
要条件，求实数
a
的取值范围．

3175

2012高中数学复习讲义 第二章 函数A
【知识导读】






















【方法点拨】
函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基 础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，
对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适 当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时
要对初中所学二次函数作深入理解．
1. 活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应< br>是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．
2.重视“数形结合思想”渗透． “数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维
陷入困境时，当你对 杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地
破解问题， 乃至最终解决问题．
3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思 想，同时也是一种重要的解题策略，
它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨 论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确
定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清 主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．
4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思 想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与
作用很高．函数的思想包括运用 函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．



表 示 方 法
一般化
概念
定义域 值域
图像
单调性 奇偶性
幂函数
映射
特殊化
函数
具体化
基本初等
函数Ⅰ
指数函数
对数函数
二次函数
指数
互 逆
对数
函数与方程
应用问题
第1课 函数的概念
【考点导读】
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合 与对应的语言刻画函数，体会对应关
系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函 数的定义域和值域．
4175

2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．
【基础练习】
1．设有函数组：①
y?x
，
y?x
；②< br>y?x
，
y?x
；③
y?x
，
y?
⑤
y?lgx?1
，
y?lg
2
3
3
?
1
x
；④
y?
?
x
?
?1
x
(x?0),< br>y?
，；
x
(x?0),
x
．其中表示同一个函数的有___ ___．
10
2.设集合
M?{x0?x?2}
，
N?{y0? y?2}
，从
M
到
N
有四种对应如图所示：
y

y
y

2 2 2



O O O
1 2
x
1 2
x
1

① ② ③

其中能表示为
M
到
N
的函数关系的有_________．
3.写出下列函数定义域：
y
2
2
x
O
1
④
2
x
(1)
f(x)?1?3x
的定义域为______________； (2)
f(x)?
1
的定义域为______________；
2
x?1
(x?1)
0
1
(3)
f(x)?x?1?
的定义域为______________； (4)
f(x)?
的定义域为_________________．
x
x?x
4．已知三个函数:(1)
y?
P(x)
； (2)
y?
2n
P(x)
(n?N*)
； (3)
y?lo g
Q(x)
P(x)
．写出使各函数式有意义时，
P(x)
，
Q(x)
Q(x)
的约束条件：

(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.写出下列函数值域：
(1)
f(x)?x?x
，
x?{1,2,3}
；
(2)
f(x)?x?2x?2
；．
(3)
f(x)?x?1
，
x?(1,2]
． ．

【范例解析】
2
2
x
2
?1
例1.设有函数组： ①
f(x)?
，
g(x)?x?1
；②
f(x)?x?1?x?1< br>，
g(x)?x
2
?1
；
x?1
③
f(x )?x
2
?2x?1
，
g(x)?x?1
；④
f(x)?2 x?1
，
g(t)?2t?1
．其中表示同一个函数的有 ．
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．



5175

例2.求下列函数的定义域：①
y?


例3.求下列函数的值域：
1
x
?x
2
?1
； ②
f(x)?
；
2?x
log
1
(2?x)
2
（1）
y??x?4x?2
，
x?[0,3)
；
2
x
2
（2）
y?
2
(x?R)
；
x?1
（3）
y?x?2x?1
．






【反馈演练】
x
1．函数f(x)＝
1?2
的定义域是___________．
2．函数
f(x)?
1
的定义域为_________________．
2
log
2
(?x?4x?3)
3. 函数
y?
1
(x?R)
的值域为________________．
2
1?x
4. 函数
y?2x?3?13?4x
的值域为_____________．
5．函数< br>y?log
0.5
(4x
2
?3x)
的定义域为______ _______________．
x?3
的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．
x?1
6.记函数f(x)=
2?
(1) 求A；
(2) 若B
?
A，求实数a的取值范围．













6175

第2课 函数的表示方法
【考点导读】
1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．
2.求解析 式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．
【基础练习】
1.设 函数
f(x)?2x?3
，
g(x)?3x?5
，则
f(g(x)) ?
_________；
g(f(x))?
__________．
2.设 函数
f(x)?
1
2
，
g(x)?x?2
,则
g( ?1)?
__________；
f[g(2)]?
；
f[g(x)]?．
1?x
3.已知函数
f(x)
是一次函数，且
f(3)?7
，
f(5)??1
,则
f(1)?
_____．
?
|x?1|?2,|x|?1,
1
?
4.设f(x)＝
?
1
，则f[f()]＝_____________．
2
, |x|?1
?< br>?
1?x
2
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为___________ _______________．
【范例解析】
第5题
例1.已知二次函数< br>y?f(x)
的最小值等于4，且
f(0)?f(2)?6
，求
f(x )
的解析式．
分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．
例2.甲同学家到乙同 学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前
往乙家． 如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出
y?f(x)的函数解析
式．
y

4


3

2

1


O
10 20 30 40 50 60
x
分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
【反馈演练】
例2
e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
1．若
f(x)?
，
g(x)?
，则f(2x)?
（ ）
22
Ａ．
2f(x)
Ｂ．
2[f(x)?g(x)]
Ｃ．
2g(x)
Ｄ．
2[f(x)?g(x)]

1
2．已知
f(x?1)?2x?3< br>，且
f(m)?6
，则m等于________．
2
3. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＋2x．求函数g(x)的解析式．







7175
2

第3课 函数的单调性
【考点导读】
1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；
2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．
【基础练习】
1.下列函数中：
①
f(x)?
1
； ②
f
?
x
?
?x
2
?2x?1
； ③
f(x)??x
；
x
④
f(x)?x?1
．
其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有_____．
2.函数
y?xx
的递增区间是___ ___．
3.函数
y?x
2
?2x?3
的递减区间是__________．
4.已知函数
y?f(x)
在定义域R上是单调减函数，且
f(a?1)?f (2a)
，则实数a的取值范围__________．
5.已知下列命题：
①定 义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(2)?f(1)
，则函数
f(x)
是
R
上的增函数；
②定义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(2)?f(1)
，则函数
f(x)
在R
上不是减函数；
③定义在
R
上的函数
f(x)
在区 间
(??,0]
上是增函数，在区间
[0,??)
上也是增函数，则函数f(x)
在
R
上是增函
数；
④定义在
R
上的 函数
f(x)
在区间
(??,0]
上是增函数，在区间
(0,??)
上也是增函数，则函数
f(x)
在
R
上是增函
数．
其中正确命题的序号有__________．
【范例解析】
例 . 求证：（1 ）函数
f(x)??2x?3x?1
在区间
(??,]
上是单调递增函数；
（2）函数
f(x)?
2
3
4
2x?1
在区间(??,?1)
和
(?1,??)
上都是单调递增函数．
x?1
8175

例2.确定函数
f(x)?

【反馈演练】
1
的单调性．
1?2x
1
，则该函数在< br>R
上单调递____，（填“增”“减”）值域为_________．
x
2 ?1
2
2．已知函数
f(x)?4x?mx?5
在
(??,?2)< br>上是减函数，在
(?2,??)
上是增函数，则
f(1)?
____.
1．已知函数
f(x)?
3. 函数
y??x
2
?x?2
的单调递增区间为.
4. 函数
f(x)?x
2
?1?x
的单调递减区间为
5. 已知函数
f(x)?

ax?1
在区间
(?2,??)
上是增函数，求实数a的取值范围．
x?2












第4课 函数的奇偶性
【考点导读】
1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；
2.定义域对奇偶性的 影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性
的，既不是 奇函数，也不是偶函数．
【基础练习】
9175

x
4< br>?1
x?x
f(x)?e?e
1.给出4个函数：①
f(x)?x?5 x
；②
f(x)?
；③；④．
f(x)??2x?5
2
x
5
其中奇函数的有______；偶函数的有________；既不是奇函数也不是偶函数的 有_______．
2.

设函数
f
?
x
??
?
x?1
??
x?a
?
为奇函数，则实数
a ?
．

x
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
3
x
A.
y??x,x?R
B.
y?sinx,x?R
C.
y?x,x?R
D.
y?(),x?R

1
2
【范例解析】
例1.判断下列函数的奇偶性：
(1?2
x
)
2
2
（1）
f(x)?
； （2）
f(x)?lg(x?x?1)
；
x
2
（3）
f (x)?lgx?lg
2
1?x
1
f(x)?(1?x)
； （4）；
1?x
x
2
2
?
?
?x?x(x?0) ,
（5）
f(x)?x?x?1?1
； （6）
f(x)?
?
2

(x?0).
?
?
x?x
2


例2. 已知定义在
R
上的函数
f(x)
是奇函数，且当
x?0
时，
f(x)?x?2x?2
，求函数
f(x)
的解析式，并指出
它的单 调区间．
点评：（1）求解析式时
x?0
的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一 般不用“
?
”连接；（3）利用奇偶性求解析
式一般是通过“
?x
” 实现转化；（4）根据图像写单调区间．







【反馈演练】
1．已知定义域为R的函数
f
?
x
?
在区间
?
8,??
?
上为减函数，且函数
y?f
?
x?8
?
为偶函数，则（ ）
A．
f
?
6
?
?f
?
7
?

B．
f
?
6
?
?f
?
9
?

C．
f
?
7
?
?f
?
9
?

D．
f
?
7
?
?f
?
10
?

2. 在
R
上定义的函数
f
?
x
?
是偶函数，且
f
?
x
?
?f
?
2?x
?
，若
f
?
x
?
在区间
?
1,2
?
是减函数，则函数
f
?
x
?
（ ）
A.在区间
?
?2,?1
?
上是增函数，区间
?
3,4
?
上是增函数
10175
2

B.在区间
?
?2,?1
?
上是增函数，区间
?
3,4
?上是减函数
C.在区间
?
?2,?1
?
上是减函数，区间?
3,4
?
上是增函数
D.在区间
?
?2,?1?
上是减函数，区间
?
3,4
?
上是减函数
3. 设
?
?
?
?1,1,
?
?
1
?
,3
?
，则使函数
y?x
?
的定义域为R且为奇函数的所有
?< br>的值为_______．
2
?
4．设函数
f(x)(x?R)
为奇函数，
f(1)?
1
,f(x?2)?f(x)?f(2),
则
f(5)?
________．
2
5．若函数
f(x)
是定义在 R上的偶函数，在
(??,0]
上是减函数，且
f(2)?0
，则使得
f(x)?0
的x的取
值范围是 ．
ax
2
?1
6. 已知函数
f(x)?
(a,b,c?Z)
是奇函数．又
f(1)?2
，
f(2)?3
,求a，b，c的值；
bx?c




第5 课 函数的图像
【考点导读】
1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；
2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．
【基础练习】
1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：
x
向右平移1个单位
x?1
向上平移3个单位
x?1
（1）
y?2

y?2

y?2?3
；
作关于y轴对称的图形 向右平移3个单位
（2）
y?log
2
x

y?log
2
(?x)

y?log
2
(3?x)
．
2.作出下列各个函数图像的示意图：
（1）
y?3?1
； （2）
y?log
2
(x?2)
； （3）
y?




3.作出下列各个函数图像的示意图：
2
（1）
y?log
1
(?x)
； （2）
y??()
； （3）
y?log
1
x
； （4）
y?x?1
．
2
x
2?x
．
x?1
1
2
x
2
11175

解： （1）作
y?log
1
x
的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；
2
1
x
2
（3）作
y?log
1
x
的图 像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；
（2）作
y?()
的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；
2
（ 4）作
y?x?1
的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示．















y
y
O
－1
－1
O
x
y
y
图1
x
2
图2
O
x
－1
－1
O
1 x
图4
图3

y
1
x
-1
O 1
B
x
-1
O
1
1
C
x
-1
O
（ ）
y
1
1
D
x
4. 函数
f(x)?|x?1|
的图象是





y
1
-1
O 1
A
y
【范例解析】
例1.作出函数
f(x)??2x?2x? 3
及
f(?x)
，
?f(x)
，
f(x?2)
，< br>f(x)
，
f(x)
的图像．
分析：根据图像变换得到相应函数的图像．
例2.设函数
f(x)?x
2
?4x?5
.
（1）在区间
[?2,6]
上画出函数
f(x)
的图像；
（2）设集合
A?
?
xf(x)?5
?
,
2
B?( ??,?2]?[0,4]?[6,??)
. 试判断集合
A
和
B
之间的关系，并给出证明.
12175

【反馈演练】
1．函数
y?1?
的图象是（ ）
x?1
y













1
y
1
O
1
A．
y
x
1
O
1
B．
y
x
1
－1
O
C．
x
－1
1
O
D．
x


2. 为了得到函数
y?3?()
的图象，可以把函数
y?()
的图象 得到．
13175
1
3
x
1
3
x

3．已知函数
y?log
1
x与y?kx
的图象有公共点A，且点 A的横坐标为2，则
k
=．
4
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线
x?
1
对称，则
2
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________ ．
5. 作出下列函数的简图：
（1）
y?x?2(x?1)
； （2）
y?2
x
?1
； （3）
y?log
2
2x?1
．














14175

2012高中数学复习讲义 第二章 函数B

第6课 二次函数
【考点导读】
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；
2.能结合二次函数的图像判断一元 二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．

【基础练习】
1. 已知二次函数
y?x?3x?2
,则其图像的开口向____；对称轴方程为< br>2
；顶点坐标为 ， 与
x
轴的交

1
点坐标为
(1,0),(2,0)
，最小值为
?
．
4
22
2. 二次函数
y??x?2mx?m?3
的图像的对称轴为
x?2?0
,则
m?
____，顶点坐标为，递增区间为，递减区
间 为．
3. 函数
y?2x?x?1
的零点为．
4. 实系数方程
ax?bx?c?0(a?0)
两实根异号的充要条件为

；有两正根的充要条件为 ；有两负根的充要
条件为．
5. 已知函数
f(x)?x?2x?3
在区间
[0,m]
上有最大值3，最小值2，则m的取值范围 是__________．

【范例解析】
例1.设
a
为实数， 函数
f(x)?x?|x?a|?1
，
x?R
．
（1）讨论
f(x)
的奇偶性；
（2）若
a?2
时，求
f(x)
的最小值．
例2.函数< br>f(x)
?
2
2
2
2
1
2
ax?x ?a
(a?R)
在区间
[2,2]
的最大值记为
g(a)
， 求
g(a)
的表达式．
2
分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．



【反馈演练】
1．函数
y?x?bx?c
?
x?
?
0,??
??
是单调函数的充要条件是．
2
2．已 知二次函数的图像顶点为
A(1,16)
，且图像在
x
轴上截得的线段长为8 ，则此二次函数的解析式为．
3. 设
b?0
，二次函数
y?ax?bx?a?1
的图象为下列四图之一：






15175
22

则a的值为 （ ）
A．1
2
B．－1 C．
?1?5

2
D．
?1?5

2
4．若不等式
x?ax?1? 0
对于一切
x?(0,)
成立，则a的取值范围是．
5.若关于x的方程< br>x?mx?4?0
在
[?1,1]
有解，则实数m的取值范围是．
6.已知函数
f(x)?2x?2ax?3
在
[?1,1]
有最小值，记作< br>g(a)
．
（1）求
g(a)
的表达式；
（2）求
g(a)
的最大值．
7. 分别根据下列条件,求实数a的值：
（1）函数
f(x)??x?2ax?1?a
在在
[0,1]
上有最 大值2；
（2）函数
f(x)?ax?2ax?1
在在
[?3,2]
上有最大值4．


8. 已知函数
f(x)?x?a,(x?R)
．
（1）对任意
x
1,x
2
?R
，比较
[f(x
1
)?f(x
2< br>)]
与
f(
2
2
2
2
1
2
2
1
2
x
1
?x
2
)
的大小；
2
（2）若
x?[?1,1]
时，有
f(x)?1
，求实数a的取值 范围．









第7课 指数式与对数式
【考点导读】
1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；
2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；
3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；
4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．
【基础练习】
1.写出下列各式的值：
(a?0,a?1)

16175

(3?
?
)?
；
8?
________；
81?
；
log
a
1?
_______；
log
a
a?
________；
log
1
4?
___．
2
2
2
3
?
3
4
2.化简下列各式：
(a?0,b?0)

23
?
1
3
1
?
2
?
1
?(? a
3
b
3
)?
；
3
?22?2
（1）< br>4ab
2
（2）
(a?2?a)?(a?a)?
．
3.求值 ：（1）
log
3
1
2
(8
3
?4
5)?
______；
3
（2）
(lg2)?3lg2?lg5?(lg5)?
_______；
（3）
log
2
3?log
3
4?log
4
5?log
5
6?log
6
7?log
7
8?
_ _______．
【范例解析】
例1. 化简求值：
a
4
?a
?4
?4
（1）若
a?a?3
，求
a?a
及
2
的值；
a?a
?2
?8
?1
1
2
?
1
2
2
3x
?2
?3x
（2）若
xlog
3
4?1
，求
x
的值．
?x
2?2
1< br>1?lg9?lg240
2
例2.（1）求值：
?1
；
23 6
1?lg27?lg
35
（2）已知
log
2
3?m，
log
3
7?n
，求
log
42
56
．
（2）由
log
2
3?m
，得
log
32?
log
3
563log
3
2?log
3
7
3?mn
1
??
；所以
log
42
56?
．
log
3
421?3log
3
2?log
3
7 m?1?mn
m
点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．
例3. 已知
3?5?c
，且
【反馈演练】
1．若
10
2x
ab
11
??2
，求c的值．
ab
?25
，则
10
?x
?
．
2．设
lg321?a
，则
lg0.321?
．
3．已知 函数
f(x)?lg
1?x
，若
f(a)?b
，则
f(?a )?
．
1?x

17175

?
2
?x
?1,x?0,
?
4．设函数
f(x)?
?
1
若
f(x
0
)?1
，则x
0
的取值范围是
,
2
?
x?0
?
x
5．设已知f (x
6
) = log
2
x
，那么f (8)等于．
6．若
3?0.618
，
a?[k,k?1)
，则k =____．
a
?
cx?1
?
7．已知函数
f(x)?
?
?
x
c
2
?
2?1
?
（1）求实数c的值；
（2）解不等式
f(x)＞







(0＜x＜c)
，且
f(c)?
2
(c?x＜1)
9
．
8
2
?1
．
8
第8课 幂函数、指数函数及其性质
【考点导读】
1
1
1.了解幂函数的概念，结 合函数
y?x
，
y?x
，
y?x
，
y?
，
y?x
2
的图像了解它们的变化情况；
x
2
3
2 .理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；
3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．
【基础练习】
1.指数函数
f(x)?(a?1)
是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是．
2.把函数
f(x)
的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得到
f(x)?2
的图像，则
f(x)?
．
3.函数
y?0. 3
2?x?x
的定义域为____；单调递增区间是；值域．
是

4.已知函数
f(x)?a?
5.要使
y?()
2
x
x
1
是奇函数，则实数a的取值．
4
x
?1
1
2
x?1
?m
的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围．
2x?1
6.已知函数
f(x)?a
【范例解析】
?1
(a?0,a?1)
过定点，则此定点坐标为．
例1.比较各组值的大小：
（1）
0.4
?b
0.2
，< br>0.2
b
0.2
a
，
2
0.2
，
2
；
18175
1.6
（2）
a
，
a
，
a
，其中
0?a?b?1
；

1
1
1
1
3
（3）
()
，
()
2
．
23

?2
x
?b
例2.已知定义域为
R
的函数
f(x)?
x?1
是奇函数,求
a,b
的值；
2? a
x?2
x
例3.已知函数
f(x)?a?(a?1)
，求证：
x?1
（1）函数
f(x)
在
(?1,??)
上是增函数；
（2）方程
f(x)?0
没有负根．

【反馈演练】
1 ．函数
f(x)?a(a?0且a?1)
对于任意的实数
x,y
都有（ ）


A．
f(xy)?f(x)f(y)


B．
f(xy)?f(x)?f(y)

x
C．
f(x?y)?f(x)f(y)

x
D．
f(x?y)?f(x)?f(y)

2．设
3?

1
，则（ ）
7
B．－33．将y=2
x
的图像 ( ) 再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数
y?log
2
(x?1)
的图像．
A．先向左平行移动1个单位
C．先向上平行移动1个单位
4．函数
f(x)?a


x?b
B．先向右平行移动1个单位
D． 先向下平行移动1个单位
y
1
的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
B．
a?1,b?0

D．
0?a?1,b?0

A．
a?1,b?0

－1
O 1 x
C．
0?a?1,b?0

x
第4题
5．函数y?a
在
?
0,1
?
上的最大值与最小值的和为3，则
a
的值为_____．
6．若关于x的方程
4?2?m?2?0
有实数根，求实数m的取值范围．
7．已知函数
f(x)?
xx
a
(a
x
?a
?x< br>)(a?0,a?1)
．
2
a?2
（1）判断
f(x)
的奇偶性；
（2）若
f(x)
在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围．



19175

第9课 对数函数及其性质
【考点导读】
1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；
2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；
3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．
【基础练习】
2
1. 函数
y?log
0.1
(6?x?2x)
的单调递增区间是．
2. 函数
f(x)?log
2
2x?1
的单调减区间是．
【范例解析】
例1. （1）已知
y?log
a
(2?ax)
在
[0,1 ]
是减函数，则实数
a
的取值范围是_________．
（2）设函数
f(x)?lg(x?ax?a)
，给出下列命题：
①
f(x)
有最小值； ②当
a?0
时，
f(x)
的值域为
R
；
③当
?4?a?0
时，
f(x)
的定义域为
R
；
④若
f(x)
在区间
[2,??)
上单调递增，则实数
a< br>的取值范围是
a??4
．
则其中正确命题的序号是_____________．
分析：注意定义域，真数大于零．
【反馈演练】
1．给出下列四个数：①
(ln2)
；②
ln(ln 2)
；③
ln2
；④
ln2
.其中值最大的序号是______.
2．设函数
f(x)?log
a
(x?b)(a?0,a?1)
的图 像过点
(2,1)
，
(8,2)
，则
a?b
等于____ _．
2
2
3．函数
y?log
a
(x?3)?1(a?0 ,a?1)
的图象恒过定点
A
，则定点
A
的坐标是．
x< br>4．函数
f(x)?a?log
a
(x?1)在[0,1]
上的最大值 和最小值之和为a，则a的值为．
?
4x?4,x?1
5．函数
f
?
x
?
?
?
2
的图象和函数
g
?
x
?
?log
2
x
的图象的交点个数有_____个.
x?4x?3,x?1
?
20175

6．下列四个函数：①
y?x?lgx
；

②
y?x?lgx
；③
y??x?lgx
；
④
y ??x?lgx
.其中，函数图像只能是如图所示的序号为______.

7．求函 数
f(x)?log
2
2x?log
2
8．已知函数
f(x )?log
a
x1
,
x?[,4]
的最大值和最小值．
42
第6题
x?b
(a?0,a?1,b?0)
．
x? b
（1）求
f(x)
的定义域；（2）判断
f(x)
的奇偶性；（3 ）讨论
f(x)
的单调性，并证明．















第10课 函数与方程
【考点导读】
1.能利用二次函数的图像与判别式的正负 ，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联
系．
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．
【基础练习】
1.函数< br>f(x)?x?4x?4
在区间
[?4,?1]
有________个零点．
2.已知函数
f(x)
的图像是连续的，且
x
与
f(x)< br>有如下的对应值表：
2
x

1
－2.3
2
3.4
3
0
4
－1.3
5
－3.4
6
3.4
f(x)

则
f(x)
在区间
[1,6]
上的零点至少有____个．
【范例解析】
例1.
f(x)
是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图 象如图所示：令
g(x)?af(x)?b
，
21175

则下列关于函数
g(x)
的结论：
①若a<0，则函数
g(x)
的图象关于原点对称；
②若a=－1，－2g(x)
=0有大于2的实根；
③若a≠0，
b?2
，则方程
g(x)
=0有两个实根；
④若
a?0
，
b?2
，则方程
g(x)
=0有三个实根．
其中，正确的结论有___________．
分析：利用图像将函数与方程进行互化．

例2.设
f(x)?3ax?2bx?c
，若
a?b?c?0，
f(0)?0
，
f(1)?0
．
求证：（1）
a? 0
且
?2?
2
b
??1
；
a
（2）方程
f(x)?0
在
(0,1)
内有两个实根．

【反馈演练】
1．设
f(x)?3ax?2a?1
，
a
为常数．若存在
x
0
?(0,1)
，使得
f(x
0
)?0
，则实数a的取值范围是 ．
?
x
2?bx?c,x?0,
2．设函数
f(x)?
?
若
f(?4)? f(0)
，
f(?2)??2
，则关于x的方程
f(x)?x
解的个 数为
?
2,x?0.

A．1
2
（ ）
B．2 C．3 D．4
3．已知
f(x)?ax?bx?c(a?0)
， 且方程
f(x)?x
无实数根，下列命题：
①方程
f[f(x)]?x也一定没有实数根；②若
a?0
，则不等式
f[f(x)]?x
对一切实 数
x
都成立；
③若
a?0
，则必存在实数
x
0< br>，使
f[f(x
0
)]?x
0

④若
a?b ?c?0
，则不等式
f[f(x)]?x
对一切实数
x
都成立．
其中正确命题的序号是 ．
2
4．设二次函数
f(x )?x?ax?a
，方程
f(x)?x?0
的两根
x
1
和< br>x
2
满足
0?x
1
?x
2
?1
．求 实数
a
的取值范围．
x
5．已知函数
f(x)?log
2
(4?1)?kx(k?R)
是偶函数,求k的值；
6．已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
．若a>b>c， 且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点.


22175
2

第11课 函数模型及其应用
【考点导读】
1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．
2.理 解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．
3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．
【基础练习】
1今有一组实验数据如下：
t

1.99
1.5
3.0
4.04
4.0
7.5
5.1
12
6.12
18.01
v

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
①
v?log
2
t
②
v?log
1
t

2
t
2
?1
③
v?

2
④
v?2t?2

其中最接近的一个的序号是_____________．
2.某摩托车生产企业，上年度生 产摩托车的投入成本为1万元辆，出厂价为1.2万元辆，年销售量为1000辆.本年
度为适应市场需 求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂
价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.
(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？






?
y?(1.2?1)?1000? 0,
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
?

0?x?1.
?
23175

?
?60x
2
?20x?0,
1
即
?
解不等式得
0?x?
.
3
?
0?x?1.
答：为保证本年 度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0 < x < 0.33.

【范例解析】
例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起 的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系
用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间 的关系用图二的抛物线段表示．
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写 出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元10
kg
，时间单位：天)

【反馈演练】
1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三 角形面积之和的最小值是
___________
cm
．
2．某地高山上 温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高< br>度为__________m．
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元） 分别为L
1
=5.06x－0.15 x
2
和L
2
=2 x，其中x为销售
2
2
量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得 的最大利润为_______万元．
24175

2012高中数学复习讲义 第三章 三角函数A


【知识导读】











【方法点拨】
正弦定理与
余弦定理
任意角
的概念
弧长与扇形
面积公式
角度制与
弧度制
三角函数的
图象和性质
任意角的
三角函数
差 角
公 式
几个三角
恒等式
和 角
公 式
倍 角
公 式
诱 导
公 式
同角三角函
数关系
解斜三角形
及其应用
化简、计算、
求值
与证明
三角函 数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时
它 也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：
1．公 式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些
公式的关键.
2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终， 类比的思维方法在本单元
中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的 问题，将不同名的三角函数问题化
成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函 数问题等.
3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三 角函数表达形式的变
换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.
4．应用广泛.三角 函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要
工具，并且这 部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科
学技 术都有广泛的应用.


第1课 三角函数的概念
【考点导读】
25175

1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．
角的概念推广后，有正角、负角和零角；与
?
终边相同的角连同角
?本身，可构成一个集合
S?
??
?
?
?k?360
?< br>,k?Z
；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的
互换，能运用弧长公式
l?
??
?
r
及扇形的面积公式
S
＝
lr
（
l
为弧长）解决问题.
1
2
2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
角的概念推广以后，以 角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取
一点
P( x,y)
（不同于坐标原点），设
OP?r
（
r?
，则
?< br>的三个三角函数值定义为：
x
2
?y
2
?0
）
sin
?
?
yxy
,cos
?
?,tan
??
．
rrx
从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定 义域为R；正切函数的定义域为
{
?
|
?
?R,
?
?k
?
?
?
2
,k?Z}
．
3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．
由三角函数的定义不难得出三个三角函 数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第
二象限内只有正弦值为正），三切 （第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟
记
0
、
?
???
、、、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.
6432
4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．
在平面直角坐标系中，正 确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解
三角函数的性质、解 决三角不等式等问题．
【基础练习】
1．
?885
化成
2k< br>?
?
?
(0?
?
?2
?
,k?Z)
的形式是 ．
2．已知
?
为第三象限角，则
?
所在的象限是

．
2
3．已知角
?
的终边过点
P(?5,12)
，则< br>cos
?
= ，
tan
?
= ．
4．
tan(?3)sin5
的符号为

．
cos8
5．已知角
?
的终边上一点
P(a,?1)
（
a ?0
），且
tan
?
??a
，求
sin
?
，
cos
?
的值．


【范例解析】
例1.（ 1）已知角
?
的终边经过一点
P(4a,?3a)(a?0)
，求
2 sin
?
?cos
?
的值；
（2）已知角
?
的终 边在一条直线
y?3x
上，求
sin
?
，
tan
?
的值．
分析：利用三角函数定义求解．
例2.（1）若
sin
?
?cos
?
?0
，则
?
在第_____________象 限．
26175

（2）若角
?
是第二象限角，则
sin2
?
，
cos2
?
，
sin
?
2< br>，
cos
?
2
，
tan
?
2
中能确 定是正值的有____个．
例3. 一扇形的周长为
20cm
，当扇形的圆心角?
等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
分析：选取变量，建立目标函数求最值．



【反馈演练】

1．若
sin
?
?cos
?
且
sin< br>?
?cos
?
?0
则
?
在第_______象限．

2．已知
?
?6
，则点
A(sin
?
, tan
?
)
在第________象限．
3．已知角
?
是 第二象限，且
P(m,5)
为其终边上一点，若
cos
?
?
2
?3

．
m
，则m的值为_______
4
4 ．将时钟的分针拨快
30min
，则时针转过的弧度为 ．
5．若
4
?
?
?
?6
?
，且
?
与
?< br>2
?
终边相同，则
?
= ．
3
6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的 扇形的面积是
1

___________．
1?cos1
7． （1）已知扇形
AOB
的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．
（ 2）若扇形的面积为8
cm
，当扇形的中心角
?
(
?
?0)
为多少弧度时，该扇形周长最小．





















27175
2

第2课 同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】
1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．
2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变 号，变角等
作用．
【基础练习】
1. tan600°=______．
5

5
13
2. 已知
?
是第四象限角，
tan
?
??
，则
sin
?
?
______． < br>?
12
3.已知
cos
?
?
3
?
?
?
－
3

，且
?
?
，则tan
?
＝______．
?< br>?
?
?
2
22
??
15°cos75°+cos15 °sin105°=___1___．
【范例解析】
例1.已知
cos(
?
?
?
)?
8
，求
sin(
?
?5
?
)
，
tan(3
?
?
?
)
的值．
17
分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．
88
，得
cos< br>?
???0
，
?
?
是第二，三象限角．
1717< br>1515
若
?
是第二象限角，则
sin(
?
?5?
)??sin
?
??
，
tan(3
?
??
)?tan
?
??
；
178
1515
若< br>?
是第三象限角，则
sin(
?
?5
?
)??sin
?
?
，
tan(3
?
?
?
)?tan?
?
．
178
解：由
cos(
?
?
?
)?
点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的 象限进行分类，做到不漏
不重复．
例2.已知
?
是三角形的内角，若
sin
?
?cos
?
?
1
，求
tan
?
的值．
5
分析：先求出
sin
?
?cos
?的值，联立方程组求解．
解：由
sin
?
?cos
?
?
1124
两边平方，得
1?2sin
?
?cos
?
?
，即
?2sin
?
?cos
?
???0
． < br>52525
又
?
是三角形的内角，
?cos
?
?0< br>，
?
由
(sin
?
?cos
?
)?
2
?
2
?
?
?
?
．
497
，又
sin
?
?cos
?
?0
，得
sin
?< br>?cos
?
?
．
255
14
?
?
sin
?
?cos
?
?sin
?
?
??
4
?
?
5
5
联立方程组
?
，解得
?
，得
tan
?
??
．
3
?
sin
??cos
?
?
7
?
cos
?
??
3< br>?
?
5
5
?
?
点评：由于
(sin
?
?cos
?
)?1?2sin
?
?cos
?
，因 此式子
sin
?
?cos
?
，
sin
?
? cos
?
，
sin
?
?cos
?
三者之间
有密切的联系，知其一，必能求其二．
【反馈演练】
28175
2

3
5
?

44
1．已知
sin
?
?
,则
sin
?
?cos
?
的值 为_____
5
．
5
2．“
nsiA?
1
”是“A=30?”的必要而不充分条件．
2
3．设
0?x?2
?
,且
1?sin2x?sinx?c osx
，则
x
的取值范围是
?
4
7

?< br>1?3?
25
4．已知
sin
?
?cos
?
?
，且
≤
?
≤
，则
cos2
?
的值是 ．
524
5．（1）已知
cos
?
??
?x?
5
?

4
2cos(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)
1
?
，且
??
?
?0
，求的值．
4cos(?
?
)?sin(2
?
?< br>?
)
32
（2）已知
sin(x?
?
6
)?
1
5
??
，求
sin(?x)?sin
2
(?x)
的值．
463
1
，得
tan
?
??22
．
3< br>?2cos
?
?3sin
?
?2?3tan
?
5原式=
??2?2
．
4cos
?
?sin
?
4?tan
?
2
?
15
?????
（2）
sin( x?)?
，
?sin(?x)?sin
2
(?x)?sin[
??(x?)]?sin
2
[?(x?)]

6463626
??
19
?sin(x?)?cos
2
(x?)?
．
6616
4
6．已知
tan
?
??
，求
3
6sin
?
?cos
?
（I）的值；
3sin
?
?2cos
?
1
（II）的值．
2
2sin
?
cos
?
?cos
?
4
6(? )?1
4
7
6sin
?
?cos
?
6tan
?
?1
3
解：（I）∵
tan
?
??
；所以==
?
．
3
3si n
?
?2cos
?
3tan
?
?2
3(?
4
)?2
6
3
4
（II）由
tan
?
??
，
3
sin
2
?
?cos
2
?
tan
2
?
?15
1
????
于是．
3
2sin
?
cos
?
?cos
2
?
2sin
?
cos
?
?cos
2
?
2tan
?
? 1
解：（1）由
cos
?
??







第3课 两角和与差及倍角公式（一）
【考点导读】
1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；
29175

2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；
3.三角式变换的关键是条件和结 论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变
换”，“升降幂变换 ”找到已知式与所求式之间的联系；
4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角 恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等
方法将等式两端的“异”化“同”．
【基础练习】
1

2
1.
sin163sin223?sin253sin313?
___________．

?
22cos(x?)

3
． 2. 化简
2cosx?6sinx?
_____________
3＋cos2x
． 3. 若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝___________
4.化简：
sin
?
?sin2
?
tan
?

．
?
___________
1?cos
?
?cos2
?
【范例解析】
1
2
； 例 .化简：（1）
??
2tan(?x)sin
2
(?x)
44
2cos
4
x?2cos
2
x?< br>(1?sin
?
?cos
?
)(sin
（2）
?2?2cos
?
?cos)
22
(0?
?
?
?
)
．
?
（1）分析一：降次，切化弦．
解法一：原式=
1
(2cos
2
x?1)
2
2
2sin(?x)
?
4
cos
2
(?x)
?
4
cos(?x)
4
?
?
(2cos
2
x?1)
2
4sin(?x) cos(?x)
44
??
?
cos
2
2x
2sin (?2x)
2
?
?
1
cos2x
．
2
分析二：变“复角”为“单角”．
1
(2cos
2
x? 1)
2
cos
2
2x
1
2
?
解法二：原式
?
?cos2x
．
cosx?sinx
1?tanx22
(sinx?cosx)
2
2
2?(sinx?cosx)
2?
co sx?sinx
1?tanx22
(2sin
（2）原式=
?
2cos
?
?2cos
2
)(sin?cos)cos(sin
2
?cos
2
)?cos?cos
?
2222
?
22 2
?
2

??
?
coscos
4cos
2
22
2
???
????
0?
?
?
?
，
?0?
?
2
?
?
2
，
cos
?
2
?0
，
?
原式=
?cos
?
． 点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”， 降次等
等．
【反馈演练】
2sin2
?
cos
2
?
??
tan2
?
． 1．化简
1?cos2
?
cos2
?
2．若
sinx?tanx?0
，化简
1?cos2x?
_________
?2cosx
．


30175
a?b

?
，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则
a
与
b
的大小关系是_________．
4
??
(,)

?
4．若
sin
?
?cos
?
?tan
?
(0?
?
?)
，则
?
的取值范围是___________．
43
2
3．若0＜α＜β＜< br>5．已知
?
、
?
均为锐角，且
cos(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
，则
tan?
= 1 .
6．化简：
2cos
2
?
?1
2tan(?
?
)?sin(?
?
)
44
?
2
?
．
解：原式=
2cos
2
?
?1
2sin(?
?
)
?
4
?cos
2
(?
?
)
?
4
cos(?
?
)
4
22
?
?
cos2
?
2sin(?
?
)?cos(?
?< br>)
44
??
?
cos2
?
?1
．
cos2
?
7．求证：
sin2x?2cosxcos2x?2cosx
．
222
证明：左边=
4sinxcosx?2cosxcos2x
?2cos x(2sinx?1?2cosx)?2cosx
=右边．
2222
2
8． 化简：
sin
?
?sin
?
?2sin
?
sin< br>?
cos(
?
?
?
)
．
解：原式=
sin
?
?sin
?
?2sin
?
sin
?(cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?)

22
22
?sin
2
?
?sin
2
?
?2sin
?
sin
?
cos
?
co s
?
?2sin
2
?
sin
2
?

?sin
2
?
(1?sin
2
?
)?sin
2< br>?
(1?sin
2
?
)?2sin
?
sin
?
cos
?
cos
?

?sin
2
?cos
2
?
?sin
2
?
cos
2
?
?2sin
?
sin
?
cos
?
cos
?

?(sin
?
cos
?
?sin
?
co s
?
)
2

?sin
2
(
?
?
?
)
．





第4课 两角和与差及倍角公式（二）
【考点导读】
1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；
2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ．
【基础练习】
1．写出下列各式的值：
1

（1）
2sin15?cos15??
_________；
2
?
3

2
3

（2）
cos15??sin15??
_________；
2
22
31175

（3）
2sin15??1?
_________；
2
1

?
3
?
7
2．已知
??(,
?
),sin
?
?,
则
tan(
??)
=_________．
25
3
4
1


1?tan15?
?
5
?
3．求值：（1）（2）
coscos
．
3
；
?
_______
?
__ _______
4
1?tan15?1212
4．求值：
tan10??ta n20??3(tan10??tan20?)?
____1____．
4
－ ?
5．已知
tan?3
，则
cos
?
?
___ _____
5
．
2
1

cos2
?
2< br>2
6．若，则
cos
?
?sin
?
?
___ ______．
??
π
2
??
sin
?
?
?
?
4
??
【范例解析】
例1.求值：（1）
sin40?(tan10??3)
；
（4）
sin15??cos15??
____1_____．
22
（2）
2sin50??sin80?(1?3tan10?)
．
1?cos10?
分析：切化弦，通分．
解：（1）原式=
sin40?(
sin10??3cos10?
sin10?2sin(10??60?)

?3)
=
sin40??
?sin40??
cos10?
cos10 ?cos10?
??sin40??
2cos40??sin80?
???1
．
cos10?cos10?
sin10?cos10??3sin10?2sin40?< br>??
，又
1?cos10??2cos5?
．
cos10?cos1 0?cos10?
（2）
1?3tan10??1?3
2sin50??sin80? ?
原式=
2sin40?
cos10?
?
2(sin50??sin 40?)
?
22cos5?
?2
．
2cos5?2cos5?2cos5?
点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式， 和与差公式，二倍角公式进
行转换．
例2.设
cos(
?
?
?
)??
412
?
3
?
，
cos(
?< br>?
?
)?
，且
?
?
?
?(,
?)
，
?
?
?
?(,2
?
)
，求
cos2
?
，
cos2
?
．
51322
分析：
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
??
)
，
2
?
?(
?
?
?
) ?(
?
?
?
)
．
解：由
cos(
??
?
)??
4
?
35
，
?
?
?
?(,
?
)
，得
sin(
?
?
?
)?
，同理，可得
sin(
?
?
?
)??
52513
3363
?cos2
?
?cos[(
?
?< br>?
)?(
?
?
?
)]??
，同理，得
cos 2
?
??
．
6565
点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联 系，如：
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
，
2
?
?(
?
?
?)?(
?
?
?
)
等．
32175

< br>sin2x?2sin
2
x
317
?
7
?
例 3.若
cos(?x)?
，，求的值．
?x?
1?tanx
451 24
?
分析一：
x?(
?
44
17
?
7< br>?
5
??
解法一：，
??x??x??2
?
， 12434
?
3
?
4
?
4
又
cos( ?x)?
，
?sin(?x)??
，
tan(?x)??
．
454543
?x)?
?
．
??
272
cosx ?cos[(?x)?]??
，
?sinx??
，
tanx?7
．
441010
2?(?
所以，原式=
72272
2
)?(? )?2?(?)
28
101010
??
．
1?775
分析 二：
2x?2(
?
42
sin2x?sin2x?tanxsin2x(1? tanx)
?
解法二：原式=
??sin2x?tan(?x)

1 ?tanx1?tanx4
???
7
2
?
又
sin2x?s in[2(?x)?]??cos2(?x)??[?2cos(?x)?1]?
，
424425
7428
所以，原式
??(?)??
．
25375
点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．






【反馈演练】
?x)?
?
．
1

?
3
?
1．设
?
?(0,)
，若
sin
?
?
，则
2cos(
．
?
?)
=__________
5
254
4
1
?

?

?
?
3
，tan
(
?
?)< br>的值为___________2．已知tan =2，则tanα的值为_______
7
．
4
2
7
?

?
?
?
1
?
2
?
?
9
?2
?
?
=_________ __． 3．若
sin
?
?
?
?
?
，则
c os
?
633
????
1

13
4．若
c os(
?
?
?
)?,cos(
?
?
?
)?
，则
tan
?
tan
?
?

2
．
55
11
3

．
??
_________5．求值：
sin20?tan40?
33175

6．已知
cos
?
?
?
?
?
?
?
3
?
3
?
?
??
．求
co s
?
2
?
?
?
的值
?
?,?
?
?
4
?
5224
??
解：
cos
?
2
?
?
?
?
?
?
??
2
?cos2
?
?sin2
?
?
.

?
? cos2
?
cos?sin2
?
sin?
4
?
44 2
又
?
2
?
?
?
3
??
?
3
??
7
?
?
且cos
?
?
?
?
?0,
?
?
??,

24
444
??< br>?
?
?
?
4
??
?sin
?
??
?
??1?cos
2
?
?
?
?
??

4
?
4
?
5
??
从而
cos2
?
?sin
?
2
?
?
?
?
??
?
??
?
?
24
?
?2sin
?< br>?cos
?
???
，
?????
2
?
44 25
????
?
?
?
?
7
??
sin2< br>?
??cos
?
2
?
?
?
?1?2cos< br>2
?
?
?
?
?

2425
????
?
?
2
?
247
?
312
?
< br>?cos
?
2
?
?
?
??
?
??< br>?
??
42252550
????












34175

2012高中数学复习讲义 第三章 三角函数B

第5课 三角函数的图像和性质（一）
【考点导读】
1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图 像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在
[0,2
?
]
，正切函数在
(?
上的性质；
2.了解函数
y?Asin(
?
x?
?< br>)
的实际意义，能画出
y?Asin(
?
x?
?
)< br>的图像；
3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
【基础练习】
1)，则该简谐运动的最小正周期
T?
_____6____ ；
x?
?
)(
?
?)
的图象经过点(0，
3
?
2

初相
?
?
__________．
6
?
?
2. 三角方程2sin(－x)=1的解集为_______________________．
{xx?2k
?
?,k?Z}

2
3
?
3. 函数
y?Asin(?x??)(??0,??,x? R)
的部分图象如图所示，则函数表达式为
2
??

y??4sin(x?)

84
． ______________________
1. 已知简谐运动
f(x)?2sin(





??
,)
22
??
第3题
?

?
??
4. 要得到函数
y?sinx
的图象，只需将函数
y?cos
?
x?
?
的图象向右平移__________个单位．
?
?
??
【范例解析】
例1.已知函数
f(x)?2sinx(sinx?cosx)
．
??
（Ⅰ ）用五点法画出函数在区间
?
?,
?
上的图象，长度为一个周期；
?
?
22
?
?
（Ⅱ）说明
f(x)?2sinx(sinx ?cosx)
的图像可由
y?sinx
的图像经过怎样变换而得到．
分析：化为
Asin(
?
x?
?
)
形式．
解：（I）由
f(x)?2sinx?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x


?1?2(si2nx?cos?cos2xsin)?1?2sin2(x?
2
???
444
)
．
列表，取点，描图：


35175

x

?
3
?

8
1
?
?

8
?

8
1
3
?

8
1?2

5
?

8
1
y

故函数
y?f(x)
在区间
[?









1?2

??
,]
上的图象是：
22
?
?
?
个单 位，得到
y?sin(x?)
的图像，再把
y?sin(x?)
的
4 4
4
??
1
图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到
y?sin(2x?)
的图像，然后把
y?sin(2x?)
的图
442
??
像上所有点纵坐标伸长到原来的
2
倍（横坐标不变），得到
y?2sin(2x?)
的图像，再将
y?2sin(2x?)
44
?的图像上所有点向上平移1个单位，即得到
y?1?2sin(2x?)
的图像．
4
1
解法二：把
y?sinx
图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标 不变），得到
y?sin2x
的图像，再把
y?sin2x
2
??
?
图像上所有点向右平移个单位，得到
y?sin(2x?)
的图像， 然后把
y?sin(2x?)
的图像上所有点纵坐标伸
44
8
??< br>长到原来的
2
倍（横坐标不变），得到
y?2sin(2x?)
的图像 ，再将
y?2sin(2x?)
的图像上所有点向上
44
?
平移1个 单位，即得到
y?1?2sin(2x?)
的图像．
4
（Ⅱ）解法一：把< br>y?sinx
图像上所有点向右平移
例2.已知正弦函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的图像如右图所示．
（1）求此函数的解析式
f
1
(x)
；
（2）求与
f
1
(x)
图像关于直线
x?8
对称的曲线的解析式
f< br>2
(x)
；
（3）作出函数
y?f
1
(x)?f< br>2
(x)
的图像的简图．








y
x=8
2

－2
O
2
36175
x

分析：识别图像，抓住关键点．
解：（1）由图知，
A?
将
x?2
，
y?
2
，
2
?
?
?2?(6?2)?1 6
，
?
?
?
?
8
，即
y?2sin(x?
?
)
．
8
?
2
代入，得
2sin(?< br>?
)?2
，解得
?
?
，即
f
1
(x )?2sin(x?)
．
4484
（2）设函数
f
2
(x )
图像上任一点为
M(x,y)
，与它关于直线
x?8
对称的对称点 为
M
?
(x
?
,y
?
)
，
?< br>x
?
?x
?8,
?
x
?
?16?x,
??
??
?
得
?
2
解得
?
代入
f
1
(x
?
)?2sin(x
?
?)
中，得
f
2
(x)??2sin(x?)
．
8484
?
y?
?y.
?
?
y?y.
?
（3）
y?f
1
(x)?f
2
(x)?









?
?
??
2sin(x?)?2 sin(x?)?2cosx
，简图如图所示．
84848
y
?????
2
12
－4
O
4
x
点评：由图像求解析式，
A
比较容易求解，困难的是待定系数求
?
和
?
，通常利用周期确定
?
，代入最高点或最
低点求
?
．

【反馈演练】
x
?
1．为了得到函数
y?2sin(? ),x?R
的图像，只需把函数
y?2sinx
，
x?R
的图像上所 有的点
36
?
1
①向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来 的倍（纵坐标不变）；
6
3
?
1
②向右平移个单位长度，再把所得 各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；
6
3
?
个单位长度，再把所 得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；
6
?
④向右平移个单位长度，再 把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．
6
③向左平移
其中，正确的序号有_____③______．
2．为了得 到函数
y?sin(2x?
?
6
)
的图象，可以将函数
y? cos2x
的图象向右平移__
?
__个单位长度．
3
0)?3< br>3．若函数
f(x)?2sin(
?
x?
?
)
，x?R
（其中
?
?0
，
?
?
）的最小正周期是
?
，且
f(
2
?

?
?
__________．
3
?
?
5
?
?
?
,
?

44
??
4．在
?
0,2
?
?
内，使sinx?cosx
成立的
x
取值范围为__________________ __．
5．下列函数：
①
y?sin
?
x?
?
，则
?
?
__2____；
?
?
?
?
6< br>?
?
； ②
y?sin
?
2x??
?
?
?
?
；
6
?
37175
第5题

③
y?cos
?
4x?
?
?
?
?
3
?
?
； ④
y?c os
?
2x?
?
?
?
?
?
．
6
?
其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．
6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数
y?Asin(
?
x ?
?
)?b

（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段时间的函数解析式．
解：（1）由图示，这段时间的最大温差是
30?10?20
℃
（2）图中 从6时到14时的图象是函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b
的半个周期
12
?
?
??14?6
，解得
?
?

2
?
8
11
由图示，
A?(30?10)?10

b?(10?30)?20

22
∴
这时，
y?10sin (
?
8
x?
?
)?20

3
?

第6题
4
?
3
?
综上，所求的解析式为
y?10 sin(x?)?20
（
x?[6,14]
）
84
π
7． 如图，函数
y?2cos(
?
x?
?
)(x?R，
?
>0，≤0
?
≤)
的图象与
y
轴相交于点
(0，3)，且该函数的最小正
2
周期为
?
．
（1）求
?
和
?
的值；
将
x?6,y?10代入上式，可取
?
?
0
?
，点
P
是该函数图象 上一点，点
Q(x
0
，y
0
)
是
PA
的中 点， （2）已知点
A
?
，
3
?
π
?
，< br>x
0
?
?
，
π
?
时，求
x
0
的值．
2
?
2
?
?
π
?
2< br>?
?
y

3

P

x

当
y
0
?


O

A
第7题
解：（1）将
x?0
，
y?
因为
0≤?
≤
3
代入函数
y?2cos(
?
x?
?)
得
cos
?
?
3
，
2
??
，所以
?
?
．
26
又因为该函数 的最小正周期为
?
，所以
?
?2
，
因此
y?2c os
?
2x?
?
?
?
?
?
．
6
?
?
?
3
，
2
0
?
，
Q(x
0
，y
0
)
是
PA
的中点，y
0
?
（2）因为点
A
?
，
?
??
2
38175

所以点
P
的坐标为
?
2x
0
?
?
?
?
?
，3
?
．
2
?
?
?
5?
?
3
?
的图 象上，所以．
cos4x??
?
?
0
?
6
?62
??
又因为点
P
在
y?2cos
?
2x?
因为
?
?
?7?5?19?
，
≤x
0
≤ ?
，所以
≤4x
0
?≤
2666
5?11?5?13?从而得
4x
0
?
或
4x
0
?
． ??
6666
2?3?
即
x
0
?
或
x
0
?
．
34




















第6课 三角函数的图像和性质（二）
【考点导读】
1.理解三角函数
y?sinx
，
y?cosx，
y?tanx
的性质，进一步学会研究形如函数
y?Asin(
?x?
?
)
的性质；
2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．
【基础练习】
1.写出下列函数的定义域：
（1）
y?sin
x
{x6k
?
?x?6k
?
?3
?
,k?Z}

； 的定义域是______________________________
3?
sin2x
{xx?k
?
?,k?Z}
．

（2）
y?
的定义域是____________________
2
cos x
?

2．函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．
39175

?
2
?

． 的最小正周期是_______
）?sin（x?）
4
?
4
（，0）
?
4. 函数y=sin(2x+)的图象关于点_______________对称．
3
3
??
?1?
?
?0

． 5. 已知函数
y?tan
?
x
在（－，）内是减函数，则
?
的 取值范围是______________
22
3．函数
（fx）?sin（x?
2
?
【范例解析】
例1.求下列函数的定义域：
（1）
y?
sinx
（2）
y?2?log
1
x?tanx
．
?2sinx?1
；
t anx
2
?
?
??
x?k
?
?,x?k
?
?,
??
22
??
解：（1）
?
tanx?0,< br>即
?
x?k
?
,
，
?
2sinx?1?0 .
?
?
7
?
??
2k
?
??x?2k?
?.
66
??
故函数的定义域为
{x2k
?
?
?
6
?x?2k
?
?
7
?
?
且
x?k
?
,
x?k
?
?,k?Z}

6< br>2
2?log
1
x?0,
?
0?x?4,
?
?
?
2
（2）
?
即
?
?

k?
?x?k
?
?.
?
?
?
tanx?0.?2
故函数的定义域为
(0,
?
2
)?[
?
, 4]
．
点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．

例2．求下列函数的单调减区间：
（1）
y?sin(
?
3
?2x)
； （2）
y?
2cosx
；
?
x
sin(?)
42
解：（1）因为
2k
?
?
（2）由
sin(
?2
?
?
3
?2x?2k
?
?
?
2，故原函数的单调减区间为
[k
?
?
?
12
,k
?
?
5
?
](k?Z)
．
12
?
?< br>x
?)?0
，得
{xx?2k
?
?,k?Z}
，
2
42
2cosxx
?
?4sin(?)
，
?< br>x
24
sin(?)
42
?
x
?
3
?
?
5
?
)(k?Z)
． 所以该函数递减区间为
2k?
????2k
?
?
，即
(4k
?
?,4k< br>?
?
224222
又
y?
点评：利用复合函数求单调区间应注 意定义域的限制．
例3．求下列函数的最小正周期：
40175

（1）
y?5tan(2x?1)
；（2）
y?sin
?
x?
?
?
?
?
?
??
sinx?
???
．
3
??
2
?
解：（1）由函数
y?5tan(2x?1)< br>的最小正周期为
（2）
y?sin(x?
?
π
，得
y ?5tan(2x?1)
的周期
T?
．
2
2
?
) sin(x?)?(sinxcos?cosxsin)cosx

3233
???< br>13131?cos2x
?sinxcosx?cos
2
x?sin2x??< br>
22422

?
31
?
?sin(2x?)

?T?
?
．
423
点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化 为
Asin(
?
x?
?
)
的形式特征，利用公式求解；（2 ）利用函数图像特
征求解．









【反馈演练】
?

42
1．函数
y?sinx?cosx
的最小正周期为 _____________．
2
?
2
?
7
?
5
?
，
[,][,]

?
??
2．设函数
f (x)?sin
?
x?
?
(x?R)
，则
f(x)
在
[0,2
?
]
上的单调递减区间为__________________ _
6363
．
3
??
?
[?,0]

3 ．函数
f(x)?sinx?3cosx(x?[?
?
,0])
的单调递增区 间是________________．
6
2
?

4．设函数< br>f(x)?sin3x?|sin3x|
，则
f(x)
的最小正周期为____ ___________．
3
?
[,
?
]

22
x
5．函数
f(x)?cosx?2cos
在
[0,
?]
上的单调递增区间是_______________．
3
2
π??
1?2cos
?
2x?
?
4
??
6．已知 函数
f(x)?
．
π
??
sin
?
x?
?
2
??
（Ⅰ）求
f(x)
的定义域；
41175

（Ⅱ）若角
?
在第一象限且
cos
?
?
解：（Ⅰ） 由
sin
?
x?
3
，求
f(
?
)
．
5
?
?
π
?
ππ
?0
得 ，即
(k?Z)
．
x???k
π
x?k
π
??
2
?
22
π
2
?
?
故
f( x)
的定义域为
?
x?R|x?kπ?，k?Z
?
．
2< br>?
?
4
?
3
?
（Ⅱ）由已知条件得
sin< br>?
?1?cos
?
?1?
??
?
．
5?
5
?
2
π
??
1?2cos
?
2< br>?
?
?
4
??
从而
f(
?
)?
π
??
sin
?
?
?
?
2
??
ππ
??
1?2
?
cos2
?
cos?sin 2
?
sin
?
44
??
?

cos
?
1?cos2
?
?sin2
?
2cos
2
?< br>?2sin
?
cos
?
??

cos
?cos
?
?2(cos
?
?sin
?
)?
14
．
5
7． 设函数
f(x)?sin(2x?
?
) ( ?
?
?
?
?0),y?f(x)
图像的一条对称轴是直线
x ?
（Ⅰ）求
?
；
（Ⅱ）求函数
y?f(x)
的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数
y?f (x)
在区间
[0,
?
]
上的图像
?
8
．
解：（Ⅰ）
?
x?
?
8
是函数y?f(x)
的图像的对称轴，
?sin(2?
,k?Z.
??
?
?
?
?0,
?
??
3
?
.

4
?
8
?
?
)
??
1,

?
?
4
?
?
?k
?
?
?
23
?
3
?
,因此y?sin(2x?).

44
?
3
??
由题意得
2k
?
??2x??2k
?< br>?,k?Z.

242
3
??
5
?
所以函数
y?sin(2x?)的单调增区间为[k
?
?,k
?
?],k?Z .

488
3
?
（Ⅲ）由
y?sin(2x?)知

4
3
?
5
?
?

x 0
88
8
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
?
??
42175
7
?

8
?

y
?
2

2
－1
0 1 0
?
2

2
故函数
y?f(x)在区间[0,
?
]上图像是

3
2
1
1
2
1
-
2
y
o
?
8
?
4
3
?
8
?
2
5
?
8
3
?
4
7
?
8
?
x
-1
3
-
2








第7课 三角函数的值域与最值

【考点导读】
1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；
2.求三角函数 值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）
化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形 结合
求解；（4）换元法．
【基础练习】
1.函数
y?sinx?3cosx
在区间
[0,]
上的最小值为 1 ．
2
3

1
2.函数
f(x)?cosx?cos2x(x?R)
的最大值等于
4
．
2
3.函数
y?tan(
?
?2
?x)(?
?
4
?x?
?
4
(??,?1] ?[1,??)

． 且
x?0)
的值域是_______________ ____
1?cos2x?8sin
2
x
4.当
0?x?
时 ，函数
f(x)?
的最小值为 4 ．
sin2x
2
?
【范例解析】
例1.（1）已知
sinx ?siny?
1
2
，求
siny?cosx
的最大值与最小值．
3
（2）求函数
y?sinx?cosx?sinx?cosx
的最大值．
43175

分析：可化为二次函数求最值问题．
解：（1）由已知 得：
siny?
12
?sinx
，
siny?[?1,1]
，则
sinx?[?,1]
．
33
11112
11
2xs
有最小值
?
，当
sin
；当
sin?siny?c os
2
x?(sinx?)
2
?x?
时，
siny?co< br>x??
时，
21223
12
4
2
siny?coxs
有最小值．
9
t
2
?1
1
2
1
（2）设
sinx?cosx?t
(?2?t?2)
，则
sinx?cosx ?
，则
y?t?t?
，当
t?2
时，
y
有最大值< br>2
22
为
1
?2
．
2
点评：第（1）小题 利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值
范围．
例2.求函数
y?
2?cosx
(0?x?
?
)
的 最小值．
sinx
分析：利用函数的有界性求解．

解法一：原式可化为
ysinx?cosx?2(0?x?
?
)
，得
1?y
2< br>sin(x?
?
)?2
，即
sin(x?
?
)?2
1?y
2
，
故
2
1?y
2
，所以
y
的最小值为
3
．
?1
，解得
y?3
或
y??3
（舍）
解法二：
y?
2?cosx
(0?x??
)
表示的是点
A(0,2)
与
B(?sinx,cosx)< br>连线的斜率，其中点B在左半圆
sinx
a
2
?b
2
?1(a?0)
上，由图像知，当AB与半圆相切时，
y
最小，此时
k
AB
?3
，所以
y
的最小值为
3
．
点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．
例3.已知函数
f(x)?2sin
?
2
?
π
??
ππ
?
?x
?
?3cos2x
，
x?
?
，
?
．
?
4
??
42
?
（I）求
f(x)
的最大值和最小值；
（II）若不等式
f(x)?m?2
在x?
?
，
?
上恒成立，求实数
m
的取值范围．
42
分析：观察角，单角二次型，降次整理为
asinx?bcosx
形式．
解：（Ⅰ）
∵f(x)?
?
1?cos
?
?
ππ< br>?
??
?
?
?
π
?
?
?2x
?
?
?3cos2x?1?sin2x?3cos2x

?
2?
?
π
??
?1?2sin
?
2x?
?
．
3
??
44175

又
∵x?
?< br>，
?
，
∴
≤
2x?
≤
，即
2
≤
1?2sin
?
2x?
?
≤
3
，
4 23
?
633
???
?
ππ
?
ππ2π
?
π
?
∴f(x)
max
?3，f(x)
min
?2
．
（Ⅱ）
∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2
，
x?
?
，
?
，
42
?
ππ
?
??
∴m?f(x)
max
?2
且
m?f(x)
min?2
，
，4)
．
∴1?m?4
，即
m
的取 值范围是
(1
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值 问题．本小题主要考查三角函数
和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的 能力．


【反馈演练】
1．函数
y?2sin(
?< br>?x)?cos(?x)(x?R)
的最小值等于____－1_______．
36
?
cos
2
x
2．当
0?x?
时，函数
f (x)?
的最小值是______4 _______．
cosxsinx?sin
2
x
4
3
3
?


sinx
3．函数
y?
的最大值为_______，最小值为__ ______.
3
3
cosx?2
?
(?1,1)

4．函数
y?cosx?tanx
的值域为 .
3

?
??
?
2
5．已知函数
f(x)? 2sin
?
x(
?
?0)
在区间
?
?,
?
上的最小值是
?2
，则
?
的最小值等于_________． ?
34
?
6．已知函数
f(x)?2cosx(sinx?cosx)? 1，x?R
．
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期；
（Ⅱ）求函 数
f(x)
在区间
?
，
?
上的最小值和最大值．
84
解：（Ⅰ）
f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1?sin2x?cos2x ?
因此，函数
f(x)
的最小正周期为
π
．
?
π 3π
?
??
π
??
2sin
?
2x?
?< br>．
4
??
（Ⅱ）因为
f(x)?
π
???
π3π
??
3π3π
?
2sin
?
2x?
?
在区间
?
，
?
上为增函数，在区间
?
，
?
上为减函数，又
4
???
88
??
84
?
?π
?
f
??
?0
，
?
8
?
4 5175

?
3π
?
f
??
?2
，
?
8
?
π
?
3π
??
3ππ
?< br>f
??
?2sin
?
?
?
??2cos??1
，
4
?
4
??
24
?
?
π3π
?
??
故函数
f(x)
在区间
?
，
?
上 的最大值为
2
，最小值为
?1
．
84










第８课 解三角形
【考点导读】
1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；
2.解三角形的基 本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角
互化．
【基础练习】
4

6


. 1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝
?


3
2．在
?ABC
中，若
sinA:sinB:sinC?5:7: 8
，则
?B
的大小是______________.

10

1
3．在
△ABC
中，若
tanA?
，
C?150
，
BC?1
，则
AB?
．
2
3
【范例解析】
例1. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B， ∠C的对边，已知
a?c?20
，
C?2A
，
cosA?
3
．
4
c
的值；（2）求
b
的值．
a
分析：利用
C?2A
转化为边的关系．
csinCsin2A3
解：（1）由
???2cosA?
．
as inAsinA2
（1）求
?
a?c?20,
?
a?8,
?
222
（2）由
?
c3
得
?
．由余弦定理
a?b?c?2bccosA

?.
?
c?12.
?
?
a2
得：
b?18b?80?0
，解得：
b?8
或
b?10
， 若
b?8
，则
A?B
，得
A?
2
?
4
，即
cosA?
23
?
矛盾，故
b?10
．
24
46175

点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．
例2.在三角形 ABC中，已知
(a?b)sin(A?B)?(a?b)sin(A?B)
，试判断该三角形 的形状．
解法一：(边化角)由已知得：
a[sin(A?B)?sin(A?B)]?b[ ?sin(A?B)?sin(A?B)]
，
化简得
2acosAsinB?2bcosBsinA
，
由正弦定理得：< br>sinAcosAsinB?sinBcosBsinA
，即
sinAsinB(sin AcosA?sinBcosB)?0
，
又
A,B?(0,
?
)< br>，
?sinA?sinB?0
，
?sin2A?sin2B
．
又
2A,2B?(0,2
?
)
，
?2A?2B
或
2A?
?
?2B
，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
解法二：(角化边)同解法一得：
2acosAsinB?2bcosBsinA
，
222
b
2
?c
2
?a
2
2
a? c?b
?ba
由正余弦定理得：
ab
，
2bc2ac
2< br>22
2222
22
22
22
222
整理得：
(a?b)(c?a?b)?0
，即
a?b
或
c?a?b
，
22222
即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=
?
，∠ABC =
?
.
A
（1）证明：
sin
?
?cos2
?
?0
；
（2）若AC=
3
DC，求
?
．
分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.
（1）证明：
β
B
α
?
?
?
?C
，
C?
?
2?B
，
?2
?
?
?
2
?
?
，
例4
D C
?sin
?
?cos2
?
?0

（2）解：
2
AC=
3
DC，
?sin
?
?3sin
???3cos2
?
?23sin
?
?3
.
3
?
?
，
?
?
?
.
?
?(0,)
，
?sin
?
?
2
2
3
点评： 本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出
?
的值.

【反馈演练】
1．在
?ABC
中，
AB?
3

2．
?A BC
的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且
c?2a
，则
cos

4
B?
_____．
2
3． 在
?ABC
中，若
2a?b?c
，
sinA?sinBsinC，则
?ABC
的形状是____等边___三角形．
15

3
47175
3?3

．
3,A?45
0
,C?75
0
,
则BC =_____________

2
，则
sinA?cosA
= ．
3
4
5．在
?ABC
中，已知
AC?2
，BC?3
，
cosA??
．
5
4．若
?ABC
的内角
A
满足
sin2A?
（Ⅰ）求
sinB
的值；
（Ⅱ）求
sin
?
2B?


?
?
?
?
?
的值．
6
?
3?
4
?
2
解：（Ⅰ）在
?ABC
中，
sinA ?1?cosA?1?
?
?
?
?
，由正弦定理，
5
?
5
?
2
BCACAC232
．所以
sinB??sin A???
．
sinAsinBBC355
4
（Ⅱ）因为
cosA? ?
，所以角
A
为钝角，从而角
B
为锐角，于是
5
21
?
2
?
cosB?1?sin
2
B?1?
??
?
，
55
??
cos2B?2cos
2
B?1? 2?(
21
2
17
)?1?
，
525
2
221421
sin2B?2sinBcosB?2???
．
5525
31 71127?17
?
?
??
421
?
????
si n
?
2B?
?
?sin2Bcos?cos2Bsin
?
．
25225250
6
?
66
?
6．在
?ABC中，已知内角
A?
?
，边
BC?23
．设内角
B?x< br>，周长为
y
．
?
（1）求函数
y?f(x)
的解析 式和定义域；（2）求
y
的最大值．
解：（1）
?ABC
的内角和
A?B?C??
，由
A?
?2?
．
，B?0，C?0
得
0?B?
??
应用正弦定理，知
AC?
BC23
sinB?sinx?4sinx
，
?
sinA
sin
?
因为
y?AB?BC?AC
，
AB?
BC
?
2?
?
sinC?4sin
?
?x
?
．
sinA
?
?
?
所以
y? 4sinx?4sin
?
2?
??
2?
??
?x
?
?23
?
0?x?
?
，
3
??
?
??
48175

??
?1
（2）因为
y?4
?
sinx?cosx?sinx
?
??
?23

?2
??

?43si
?
nx?

?
?
?
?
?
?
?
?
?5?
??
?
2
?
3? x??
?
，
??
??
?


所以，当< br>x?
???
?
，即
x?
时，
y
取得最大值< br>63
．
???
13
，
tanB?
．
45
7．在
?ABC
中，
tanA?
（Ⅰ）求角
C
的大 小；（Ⅱ）若
?ABC
最大边的边长为
17
，求最小边的边长．
13
?
45
??1
． 解：（Ⅰ）
C?π?(A?B)，
?tanC??tan(A?B)??
13
1??
45
3又
0?C?π
，
?C?
π
．
4
3
（ Ⅱ）
C??
，
?AB
边最大，即
AB?17
．
4
又
?
?
?
tanA?tanB，A，B?
?
0，< br>?
，
?
角
A
最小，
BC
边为最小边． ?
?
?
sinA1
?
tanA??，
?
?π
?
由
?
cosA4
且
A?
?
0，< br>?
，
?
2
?
?
sin
2
A?co s
2
A?1，
?
得
sinA?
17
ABBCsin A
．由得：
BC?AB??2
．
17
sinCsinAsinC
所以，最小边
BC?














2
．
49175

第9课 解三角形的应用
【考点导读】
1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三 角变换的能
力．
400

3
m
． 1．在200
m
高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________2．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好
3
km，那么x的值为
3
．
2
3
或
km



_______________
【基础练习】
3．一船以 每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东
60
，行驶4h后，船到达 C处，看到
这个灯塔在北偏东
15
，这时船与灯塔的距离为 km
30
．
2

4．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设 于B，D，已知
?ABD
为边长等于
a
的正三角形，当目标出现于C
时，测得
?BDC?45
，
?CBD?75
，求炮击目标的距离
AC

解：在
?BCD
中，由正弦定理得：
C
aBC

?
sin60?sin45?
D
222
∴
BC?
6
a

3
B
在
?ABC
中，由余弦定理得：
AC?AB?BC?2AB?BC?cos?ABC
∴
AC?
5?23
a

3
5?23
a
．
3
A
第4题
答：线段
AC
的长为
【范例解析】
例 .如图，甲船以每小时302
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于
A
1
处时，乙
船位于甲船的北偏西
105
方向的
B
1
处 ，此时两船相距
20
海里，当甲船航行
20
分钟
北
时，乙 船航行到甲船的北偏西
120
方向的
B
2
处，此时两船相距
102
海里，问乙船
多少海里？
分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．

50175
到达
A
2
处
120

A
每小时航行
2

105

A

1
甲
例1（1）
B
2

B
1

乙

解法一：如图(2)，连结
A< br>1
B
2
，由已知
A
2
B
2
?102
，
A
1
A
2
?302?
20
?102< br>，
?A
1
A
2
?A
2
B
2
，
60
北
又
∠A
1
A
2
B
2
?180?120?60
，
?△A
1
A
2
B
2
是等边三角形，
120

A

2
B
2

B
1

乙
例1（2）
?A
1
B
2
?A
1
A
2
?102
，
由已知，
A
1
B
1
?20
，
∠B
1
A
1
B
2
?105?60?45
，
在
△A
1
B
2
B
1
中，由余弦定理， < br>22
B
1
B
2
?A
1
B
1
2
?A
1
B
2
?2A
1
B
1
A< br>1
B
2
cos45
?20
2
?(102)
2
?2?20?102?
105

A
1

甲
2
?200
．
2
?B
1
B
2
? 102
．因此，乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行
302
海里．
解法二：如图（3），连结
A
2
B
1
，
由已知< br>A
1
B
1
?20
，
A
1
A
2
?302?
102
?60?302
（海里小时）．
北
20
120

A

2
B
2

105

20
?102
，
∠B
1
A
1
A
2
?105
，
60
2(1?3)
，
4
2(1?3)
．
4
B
1

A
1

甲
乙
例1（3）
cos105?co s(45?60)
?cos45cos60?sin45sin60
?
sin105? sin(45?60)
?sin45cos60?cos45sin60
?
在
△A
2
A
1
B
1
中，由余弦定理，
2
A
2
B
1
2
?A
1
B
1
2
?A
1
A
2
?2A
1
B
1
A
1< br>A
2
cos105

?(102)
2
?20
2
?2?102?20?
2(1?3)
?100(4?23)
．
4
?A
2
B
1
?10(1?3)
．
由正 弦定理
sin∠A
1
A
2
B
1
?
A
1
B
1
20
sin∠B
1
A
1
A
2
?
A
2
B
1
10(1?3)
51175
2(1?3)2
，
?
42