集合与简易逻辑高中数学基础知识与典型例题

数学基础知识与典型例题
集合与简易逻辑
集1.元素与集合的关系: 例1 下列关系式中正确的是（ ）
合 用
?
或
?
表示；
2.集合中元素具有
(A)
??
?
?
?
(B)
0?
?
?
?

确定性、无序性、互异性.
(C)0
?
?
?
?
(D)0
?
?
?
?

3.集合的分类：
①按元素个数分：有限集，无限集；
例2
?
?
x?y?3
②按元素特征分；数集，点集。如
2x?3y?1
解集为______.
?
数集{y|y=x
2
},表示非负实数集，点
例3设
A?
?
?4,2a?1,a
2
?
,B?
?
9,a?5,1?a
?< br>,
集{(x，y)|y=x
2
}表示开口向上，以
y轴为对称轴的抛物线；
已知
AB?
?
9
?
,求实数
a
的值.
4.集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有
显著规律的无限集，如N+
={0，1，
2，3，…}；
②描述法
③字母表示法:常用数集的 符号：
自然数集N；正整数集
N
*
或N
?
；
整数集 Z；有理数集Q、实数集R;
子集合与集合的关系:用
?
，
?
集
?
，=
例4设
M?
?
xx
2
?x?2?0 ,x?R
?
，a=lg(lg10)，
表示;A是B的子集记为A
?
B；A
是B的真子集记为A
?
则{a}与
?
B。
M的关系是( )
①任何一个集合是它本身的子集，
(A){a}=M (B)M{a} (C){a}M (D)M
?
{a}
记为
A?A；②空集是任何集合
例5集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3n+1， < br>的子集，记为
?
?A
；空集是任
n∈Z}，S={y|y=6m+1， m∈Z}之间的关系是( )
何非空集合的真子集；
(A)SBA (B)S=BA
③如果
A?B
，同时
B?A
，那
(C)SB=A (D)SB=A
么A = B；如果
A?B，
B?C，

例6用适当的符号
(?、?、=、、)
填空：
那么A?C
.④n个 元素的子集有
①π___
Q
;②{3.14}____
Q
;③
R
?
∪R
+
_____R;
2
n
个；n个元素的真子集有2
n
－1
④{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k－1, k∈Z}。
个；n个 元素的非空真子集有2
n
例7已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a
2－a＋2｝
－2个.
如果
U
A?
?
?1
?
，那么a的值为____.
交1.交集A∩B={x|x∈A且x∈B}; 例8设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，
、并集A∪B={x|x∈A，或x∈B}; 且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是( )
并补集C
U
A=｛x|x∈U，且x
?
A｝，
(A)11 (B)1 (C)16 (D)15
、集合U表示全集.
补 2.集合运算中常用结论:
例9已知A={
m|
m?4x?
2
?Z
}，B={x|
3
2
?N}
，
①
A?B?AB?A;

则A∩B=__________。
A?B?AB?B

例10已知集合M={y|y=x
2
+1，x∈R}，N={y|y=x+1，
②
U
(AB)?(
U
A)(
U
B);

x∈R}，求M∩N。

U
(AB)?(
U
A)(
U
B)

③
card(AB)?card(A)?



card(B)?card(AB)




交

例11若A ={(x，y)| y =x+1},B={y|y =x
2
+1},
、 则A∩B =_____.
并
例12设全集
U?R,A?{xx≤6}
，
、
补 则
A(
U
A)?_____,
A(
U
A)?_____ .

例13设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，
A = {3，4，5} B = {4，7，8},
求：（C
U
A）∩(C
U
B), (C
U
A)∪(C
U
B),
C
U
(A∪B), C
U
(A∩B).

不1.绝对值不等式的解法：
等
x?a(a?0)
的解集是
式
?
x?a?x?a,a?0
?
;
x?a(a?0)
的解集 是
?
xx?a或x??a,a?0
?

⑴公式法:
f(x )?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)
,
f(x)?g(x)??g(x )?f(x)?g(x)
.
(2)几何法 (3)定义法（利用定义打开绝对值） (4)两边平方
2、一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
或
ax
2
?bx?c?0(a.?0)
的求解原理：利用
二次函数的图象通过二 次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解
集。


??0


??0


??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c
（
a?0
）的
图象

一元二次方

程
有两相异实根
有两相等实根
ax
2
?bx?c?0

x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

x??
b
无实根
1
?x
2
2a

?
a?0
?
的根

ax
2
?bx?c?0

(a?0)的解集
?
xx?x或x?x
?

?
?< br>?
xx??
b
?
12
2a
?

?
R
ax
2
?bx?c?0

(a?0)的解集
?
xx
1
?x?x
2
?


?

?

注:分式、高次不等式的解法：标根法
不
等
14.不等式
x
2
?ax?b?0
的解集是
?
x2?x?3
?
,则
a?____,b?____.

式
15.分式不等式
x?3
x ?7
?0
的解集为：___________________.
16.求使
3?x
有意义的取值范围.
2x?1?4



不17.解不等式：|4x-3|>2x+1.
等

式

18.解不等式：|x-3|-|x+1|<1.




19.解不等式：
2?4x
x
2
?3x?2
≥x?1
.






20.已知方程2(k+1)
x
2
+4kx+3k-2=0有两个 负实根，求实数k的取值范围.









命1.命题分类：真命题与假命题，简例21写出命题：“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆
题 单命题与复合命题； 命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。
2.复合命题的形式：

p且q，p或q，非p；

(“或”、“且”、“非”这些词叫做

逻辑联结词；不含有逻辑联结词的
例22:“若
a?b?5，则a?2或b?3
” 是____命题.(填
命题是简单命题；由简单命题和逻
真、假)
辑联结词“或”、“且”、
例23命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆
“非”构成的命题是复合命题。)
否命题为____________。
①“p且q”形式复合命题当P与
例24：用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证
q同为真时为真，其他情况时为假
x、y中至少有一个不小于1。
即当q、p为真时，p且q为真；

当p、q中有一个为假时，p且q

为假。

②“p或q”形式复合命题当p与

q同为假时为假，其他情况时为真

即当p、q均为假时，p或q为假；


当p、q中有一个为真时，p或q

为真；

③“非p”形式复合命题的真假与

p的真假相反即当p为真时，非p

为假；当p为假时，非p为真。




命3.四种命题 ：记“若q则p”为原命
例25已知
c?0.
设P：函数
题 题，则否命题为 “若非p则非q”，
y?c
x
在R上单调递
逆命题为“若q则p“，逆否命题 为”
减.
Q
：不等式
x?|x?2c|?1
的 解集为R，如果P和
Q
若非q则非p“。其中互为逆否的
有且仅有一个正确，求
c
的取值 范围.
两个命题同真假，即?。



①一个命题的否命题为真，它的逆
命题一定为真. （否命题
?
逆命
题.）②一个命题为真，则它的逆
否命题一定为真.（ 原命题
?
逆
否命题.）
4.反证法是中学数学的重要方法。
会用反证法证明一些代数命题。
充充分条件与必要条件
分1.定义：①当“若p则q”是真命题
例26:
x ?5____x?5或x?2
.(填
?,
,?)
条时，p是q的充分条件， q是p的
例27:条件甲:
x?1且y?2
;条件乙:
x?y?3
, 则乙
件必要条件;②当“若p则q”的逆命题
是甲的_____条件.
与为真时，q是p的充分条件，p是
例28“α≠β”是cosα≠cosβ”的( )
必q的必要条件;③当“若p则q”, “若
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
要q则p”均为真时，称p是q的充要
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
条条件；
例29 已知p：方程x
2
+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，
件 2.在判断充分条件及必要条件时，
b是整数，则p是q的( )

首先要分清哪个命题是条件，哪个
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
命题是结论，其次，结论要分四种
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
情况说明：充分不必要条件，必要
不充分条件，充分且必要条件 ，既
不充分又不必要条件。从集合角度
看，若记满足条件p的所有对象组
成集合A，满 足条件q的所有对象
组成集合q，则①当A
?
B时，p
是q的充分条件;②B
?
A时，p是
q的充分条件;③A=B时，p是q的
充要条件；
注：⑴当p和q互为充要时，体现
了命题等价转换的思想。
⑵小范围推出大范围；大范围推不
出小范围.

答案见下一页
数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案
例1选A;
例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集.
例3解:∵
AB?
?
9
?
,∴
9?A
.⑴若
2a?1?9
,则
a?5
,此时
A?
?
?4,9,25
?
,B?
?
9,0,?4
?
,
AB?
?
9,?4
?
,与已知矛盾,舍去.⑵若
a
2
?9
,则
a??3
①当a?3
时,
A?
?
?4,5,9
?
,B?
?< br>?2,?2,9
?
.B中有两个元素均为
?2
,与集合中元素的互异性 矛盾,应舍
去.②当
a??3
时,
A?
?
?4,?7,9< br>?
,B?
?
9,?8,4
?
,符合题意.综上所述,
a??3
.

[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性 ，切入点是分类讨论思想，由于集
合中元素用字母表示，检验必不可少。
例4C 例5C 例6①?,②,③,④
例7填2 例8C 例9
?

例10解：∵M={y|y=x
2
+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}∴ M∩N=M={y|y≥1}
注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、 N均为数集，不能误认
为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N分别是二
次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y= f(x)的值域，通过求函数
值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x
2
+ 1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线
y=x
2
+1上的所有点，属 于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y≥1}={x|x
≥1}。
例11填
?
注：点集与数集的交集是
?
.
例12埴
?
,R
例13解：∵C
U
A = {1，2，6，7，8} ,C
U
B = {1，2，3，5，6},
∴(C
U
A)∩(C
U
B) = {1，2，6} ,(C
U
A)∪(C
U
B) = {1，2，3，5，6，7，8},
?
A∪B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C
U
(A∪B) = {1,2,6} ,C
U
(A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8}
例14
a?5,b??6
;
例15原不等式的解集是
?
x|?7?x?3
?

例16
?
?
x?R|?3≤x??
5
或
3
?
?< br>22
?x≤3
?
?

例17分析：关键是去掉绝对值.方法1 ：原不等式等价于
?
?
4x?3≥0
或
?
4x?3?0?
4x?3?2x?1
?
?(4x?3)?2x?1
,即
??
3
?
?
x≥
3
?
4
或
?< br>?
x?
4
，∴x>2或x<
1
，∴原不等式的解集为{x| x>2或x<
1
}.方法2：(
?
?
整体换元转化
?
x?2
?
1
33
?
?
x?
3
法)分析： 把右边看成常数c，就同
ax?b?c(c?0)
一样∵|4x-3|>2x+1
?< br>4x-3>2x+1或
4x-3<-(2x+1)
?
x>2 或x<
11
3
，∴原不等式的解集为{x| x>2或x<
3
}.
例18分析：关键是去掉绝对值.
方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） < br>①当
x??1
时，
x?3?0,x?1?0
∴
?(x?3)? (x?1)?1
∴4<1
?x?
?

②当
?1≤x?3时∴
?(x?3)?(x?1)?1
?
x?
1
2
，∴< br>{x|
1
2
?x?3}

③当
x≥3
时∴< br>(x?3)?(x?1)?1
?
-4<1
?x?R
∴
{x|x ≥3}

综上,原不等式的解集为
{x|x?
1
2
}

也可以这样写：
解：原不等式等价于①
?
?
x??1
或②
?
?
?1?x?3
或 ③
?
?
?(x?3)?(x ?1)?1
?
?(x?3)?(x?1)?1
?
x?3
，解①的?
(x?3)?(x?1)?1
解集为φ，②的解集为{x|
1
2
?
3},∴原不等式的解集为{x|x>
1
2
}.
方法2：数形结合:从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴 上到3和-1两点的距离之差小
于1的点
-1
O123
x
∴原不等式 的解集为{x|x>
1
2
}.
例19答：{x|x
≤
0或1?
k?1?0
?
2(k?1)?0
?
例20解：要原方程有两个负实根，必须:
?
k
2
?k?2?0
?
k
?
?
?
??1
?
??0
?
?
?
x
1
?x
2
? 0
?
?
4k
?0
?
?
?
?2?k?1.
?
k?0
?
?
2(k?1)
或k??1
?
x
1
x
2
?0
?
?
?
3k?2< br>?
k?
2
或k
?
2(k?1)
?0
?
?
3
??1
??2?k??1或
2
3
?k?1
∴ 实数k的取值范围是{k|-22
3
例21解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5（真）
否命题：若 x + y ? 5 则 x ? 3且y?2（真）
逆否命题：若 x

? 3 或y?2 则 x + y ?5（假）
例22答:真 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
例23答:若a、b都不为0，则ab≠0
例24解：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾,
∴ 假设不成立∴ x、y中至少有一个不小于1
[注]反证法的理论依据是：欲证“若p则 q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非
q是对立事件（不能同时成立，但必有一个 成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定
为真。
例25解：函数
y?c
x
在R上单调递减
?0?c?1.

不等式
x?|x?2c|?1的解集为R?函数y?x?|x?2c|在R上恒大于1.

x?|x?2c|?
?
?
2x?2c,x≥2c,
?
2 c,x?2c,
?函数y?x?|x?2c|在R上的最小值为2c.
?不等式|x?x?2c |?1的解集为R?2c?1?c?
1
2
.如果P正确,且Q不正确,
则0?c≤
11
2
.如果P不正确,且Q正确,则c?1.所以c的取值范围为( 0,
2
]?[1,??).
例26答：
x?5?x?5或x?2
.
例27答既不充分也不必要
解:∵“若 x + y =3,则x = 1或y = 2”是假命题,其逆命题也不成立.
∴逆否命题: “若
x?1或y?2
,则
x?y?3
”是假命题, 否命题也不成立.
故
x?y?3
是
x?1或y?2
的既不充分也不必要条件.
例28选B 例29选A