高中数学常用逻辑用语常见题型-高中数学不等式x无解是什么意思
数学基础知识与典型例题
集合与简易逻辑
集1.元素与集合的关系: 例1
下列关系式中正确的是( )
合 用
?
或
?
表示;
2.集合中元素具有
(A)
??
?
?
?
(B)
0?
?
?
?
确定性、无序性、互异性.
(C)0
?
?
?
?
(D)0
?
?
?
?
3.集合的分类:
①按元素个数分:有限集,无限集;
例2
?
?
x?y?3
②按元素特征分;数集,点集。如
2x?3y?1
解集为______.
?
数集{y|y=x
2
},表示非负实数集,点
例3设
A?
?
?4,2a?1,a
2
?
,B?
?
9,a?5,1?a
?<
br>,
集{(x,y)|y=x
2
}表示开口向上,以
y轴为对称轴的抛物线;
已知
AB?
?
9
?
,求实数
a
的值.
4.集合的表示法:
①列举法:用来表示有限集或具有
显著规律的无限集,如N+
={0,1,
2,3,…};
②描述法
③字母表示法:常用数集的
符号:
自然数集N;正整数集
N
*
或N
?
;
整数集
Z;有理数集Q、实数集R;
子集合与集合的关系:用
?
,
?
集
?
,=
例4设
M?
?
xx
2
?x?2?0
,x?R
?
,a=lg(lg10),
表示;A是B的子集记为A
?
B;A
是B的真子集记为A
?
则{a}与
?
B。
M的关系是( )
①任何一个集合是它本身的子集,
(A){a}=M
(B)M{a} (C){a}M (D)M
?
{a}
记为
A?A;②空集是任何集合
例5集合A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3n+1, <
br>的子集,记为
?
?A
;空集是任
n∈Z},S={y|y=6m+1,
m∈Z}之间的关系是( )
何非空集合的真子集;
(A)SBA
(B)S=BA
③如果
A?B
,同时
B?A
,那
(C)SB=A
(D)SB=A
么A = B;如果
A?B,
B?C,
例6用适当的符号
(?、?、=、、)
填空:
那么A?C
.④n个
元素的子集有
①π___
Q
;②{3.14}____
Q
;③
R
?
∪R
+
_____R;
2
n
个;n个元素的真子集有2
n
-1
④{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k-1, k∈Z}。
个;n个
元素的非空真子集有2
n
例7已知全集U={2,4,1-a},A={2,a
2-a+2}
-2个.
如果
U
A?
?
?1
?
,那么a的值为____.
交1.交集A∩B={x|x∈A且x∈B};
例8设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,
、并集A∪B={x|x∈A,或x∈B}; 且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是( )
并补集C
U
A={x|x∈U,且x
?
A},
(A)11
(B)1 (C)16 (D)15
、集合U表示全集.
补
2.集合运算中常用结论:
例9已知A={
m|
m?4x?
2
?Z
},B={x|
3
2
?N}
,
①
A?B?AB?A;
则A∩B=__________。
A?B?AB?B
例10已知集合M={y|y=x
2
+1,x∈R},N={y|y=x+1,
②
U
(AB)?(
U
A)(
U
B);
x∈R},求M∩N。
U
(AB)?(
U
A)(
U
B)
③
card(AB)?card(A)?
card(B)?card(AB)
交
例11若A ={(x,y)| y =x+1},B={y|y =x
2
+1},
、 则A∩B =_____.
并
例12设全集
U?R,A?{xx≤6}
,
、
补 则
A(
U
A)?_____,
A(
U
A)?_____
.
例13设全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8},
A =
{3,4,5} B = {4,7,8},
求:(C
U
A)∩(C
U
B), (C
U
A)∪(C
U
B),
C
U
(A∪B), C
U
(A∩B).
不1.绝对值不等式的解法:
等
x?a(a?0)
的解集是
式
?
x?a?x?a,a?0
?
;
x?a(a?0)
的解集
是
?
xx?a或x??a,a?0
?
⑴公式法:
f(x
)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)
,
f(x)?g(x)??g(x
)?f(x)?g(x)
.
(2)几何法 (3)定义法(利用定义打开绝对值)
(4)两边平方
2、一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
或
ax
2
?bx?c?0(a.?0)
的求解原理:利用
二次函数的图象通过二
次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解
集。
??0
??0
??0
二次函数
y?ax
2
?bx?c
y?ax
2
?bx?c
y?ax
2
?bx?c
y?ax
2
?bx?c
(
a?0
)的
图象
一元二次方
程
有两相异实根
有两相等实根
ax
2
?bx?c?0
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
x??
b
无实根
1
?x
2
2a
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
?
xx?x或x?x
?
?
?<
br>?
xx??
b
?
12
2a
?
?
R
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
?
xx
1
?x?x
2
?
?
?
注:分式、高次不等式的解法:标根法
不
等
14.不等式
x
2
?ax?b?0
的解集是
?
x2?x?3
?
,则
a?____,b?____.
式
15.分式不等式
x?3
x
?7
?0
的解集为:___________________.
16.求使
3?x
有意义的取值范围.
2x?1?4
不17.解不等式:|4x-3|>2x+1.
等
式
18.解不等式:|x-3|-|x+1|<1.
19.解不等式:
2?4x
x
2
?3x?2
≥x?1
.
20.已知方程2(k+1)
x
2
+4kx+3k-2=0有两个
负实根,求实数k的取值范围.
命1.命题分类:真命题与假命题,简例21写出命题:“若 x + y =
5则 x = 3且 y = 2”的逆
题 单命题与复合命题;
命题否命题逆否命题,并判断它们的真假。
2.复合命题的形式:
p且q,p或q,非p;
(“或”、“且”、“非”这些词叫做
逻辑联结词;不含有逻辑联结词的
例22:“若
a?b?5,则a?2或b?3
”
是____命题.(填
命题是简单命题;由简单命题和逻
真、假)
辑联结词“或”、“且”、
例23命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆
“非”构成的命题是复合命题。)
否命题为____________。
①“p且q”形式复合命题当P与
例24:用反证法证明:已知x、y∈R,x+y≥2,求
证
q同为真时为真,其他情况时为假
x、y中至少有一个不小于1。
即当q、p为真时,p且q为真;
当p、q中有一个为假时,p且q
为假。
②“p或q”形式复合命题当p与
q同为假时为假,其他情况时为真
即当p、q均为假时,p或q为假;
当p、q中有一个为真时,p或q
为真;
③“非p”形式复合命题的真假与
p的真假相反即当p为真时,非p
为假;当p为假时,非p为真。
命3.四种命题
:记“若q则p”为原命
例25已知
c?0.
设P:函数
题 题,则否命题为
“若非p则非q”,
y?c
x
在R上单调递
逆命题为“若q则p“,逆否命题
为”
减.
Q
:不等式
x?|x?2c|?1
的 解集为R,如果P和
Q
若非q则非p“。其中互为逆否的
有且仅有一个正确,求
c
的取值
范围.
两个命题同真假,即?。
①一个命题的否命题为真,它的逆
命题一定为真.
(否命题
?
逆命
题.)②一个命题为真,则它的逆
否命题一定为真.(
原命题
?
逆
否命题.)
4.反证法是中学数学的重要方法。
会用反证法证明一些代数命题。
充充分条件与必要条件
分1.定义:①当“若p则q”是真命题
例26:
x
?5____x?5或x?2
.(填
?,
,?)
条时,p是q的充分条件,
q是p的
例27:条件甲:
x?1且y?2
;条件乙:
x?y?3
,
则乙
件必要条件;②当“若p则q”的逆命题
是甲的_____条件.
与为真时,q是p的充分条件,p是
例28“α≠β”是cosα≠cosβ”的( )
必q的必要条件;③当“若p则q”, “若
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
要q则p”均为真时,称p是q的充要
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
条条件;
例29
已知p:方程x
2
+ax+b=0有且仅有整数解,q:a,
件
2.在判断充分条件及必要条件时,
b是整数,则p是q的( )
首先要分清哪个命题是条件,哪个
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
命题是结论,其次,结论要分四种
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
情况说明:充分不必要条件,必要
不充分条件,充分且必要条件
,既
不充分又不必要条件。从集合角度
看,若记满足条件p的所有对象组
成集合A,满
足条件q的所有对象
组成集合q,则①当A
?
B时,p
是q的充分条件;②B
?
A时,p是
q的充分条件;③A=B时,p是q的
充要条件;
注:⑴当p和q互为充要时,体现
了命题等价转换的思想。
⑵小范围推出大范围;大范围推不
出小范围.
答案见下一页
数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案
例1选A;
例2填{(2,1)} 注:方程组解的集合应是点集.
例3解:∵
AB?
?
9
?
,∴
9?A
.⑴若
2a?1?9
,则
a?5
,此时
A?
?
?4,9,25
?
,B?
?
9,0,?4
?
,
AB?
?
9,?4
?
,与已知矛盾,舍去.⑵若
a
2
?9
,则
a??3
①当a?3
时,
A?
?
?4,5,9
?
,B?
?<
br>?2,?2,9
?
.B中有两个元素均为
?2
,与集合中元素的互异性
矛盾,应舍
去.②当
a??3
时,
A?
?
?4,?7,9<
br>?
,B?
?
9,?8,4
?
,符合题意.综上所述,
a??3
.
[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性
,切入点是分类讨论思想,由于集
合中元素用字母表示,检验必不可少。
例4C
例5C 例6①?,②,③,④
例7填2
例8C 例9
?
例10解:∵M={y|y=x
2
+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}∴
M∩N=M={y|y≥1}
注:在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、
N均为数集,不能误认
为是点集,从而解方程组。其次要化简集合。实际上,从函数角度看,本题中的M
,N分别是二
次函数和一次函数的值域。一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数y=
f(x)的值域,通过求函数
值域化简集合。此集合与集合{(x,y)|y=x
2
+
1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线
y=x
2
+1上的所有点,属
于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例如{y|y≥1}={x|x
≥1}。
例11填
?
注:点集与数集的交集是
?
.
例12埴
?
,R
例13解:∵C
U
A =
{1,2,6,7,8} ,C
U
B = {1,2,3,5,6},
∴(C
U
A)∩(C
U
B) = {1,2,6}
,(C
U
A)∪(C
U
B) = {1,2,3,5,6,7,8},
?
A∪B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C
U
(A∪B) = {1,2,6} ,C
U
(A∩B) =
{1,2,3,5,6,7,8}
例14
a?5,b??6
;
例15原不等式的解集是
?
x|?7?x?3
?
例16
?
?
x?R|?3≤x??
5
或
3
?
?<
br>22
?x≤3
?
?
例17分析:关键是去掉绝对值.方法1
:原不等式等价于
?
?
4x?3≥0
或
?
4x?3?0?
4x?3?2x?1
?
?(4x?3)?2x?1
,即
??
3
?
?
x≥
3
?
4
或
?<
br>?
x?
4
,∴x>2或x<
1
,∴原不等式的解集为{x|
x>2或x<
1
}.方法2:(
?
?
整体换元转化
?
x?2
?
1
33
?
?
x?
3
法)分析:
把右边看成常数c,就同
ax?b?c(c?0)
一样∵|4x-3|>2x+1
?<
br>4x-3>2x+1或
4x-3<-(2x+1)
?
x>2
或x<
11
3
,∴原不等式的解集为{x| x>2或x<
3
}.
例18分析:关键是去掉绝对值.
方法1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义) <
br>①当
x??1
时,
x?3?0,x?1?0
∴
?(x?3)?
(x?1)?1
∴4<1
?x?
?
②当
?1≤x?3时∴
?(x?3)?(x?1)?1
?
x?
1
2
,∴<
br>{x|
1
2
?x?3}
③当
x≥3
时∴<
br>(x?3)?(x?1)?1
?
-4<1
?x?R
∴
{x|x
≥3}
综上,原不等式的解集为
{x|x?
1
2
}
也可以这样写:
解:原不等式等价于①
?
?
x??1
或②
?
?
?1?x?3
或 ③
?
?
?(x?3)?(x
?1)?1
?
?(x?3)?(x?1)?1
?
x?3
,解①的?
(x?3)?(x?1)?1
解集为φ,②的解集为{x|
1
2
3},∴原不等式的解集为{x|x>
1
2
}.
方法2:数形结合:从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴
上到3和-1两点的距离之差小
于1的点
-1
O123
x
∴原不等式
的解集为{x|x>
1
2
}.
例19答:{x|x
≤
0或1
k?1?0
?
2(k?1)?0
?
例20解:要原方程有两个负实根,必须:
?
k
2
?k?2?0
?
k
?
?
?
??1
?
??0
?
?
?
x
1
?x
2
?
0
?
?
4k
?0
?
?
?
?2?k?1.
?
k?0
?
?
2(k?1)
或k??1
?
x
1
x
2
?0
?
?
?
3k?2<
br>?
k?
2
或k
?
2(k?1)
?0
?
?
3
??1
??2?k??1或
2
3
?k?1
∴
实数k的取值范围是{k|-2
3
否命题:若 x + y ? 5 则 x ? 3且y?2(真)
逆否命题:若
x
? 3 或y?2 则 x + y ?5(假)
例22答:真 解:逆否:a
= 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真.
例23答:若a、b都不为0,则ab≠0
例24解:假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾,
∴ 假设不成立∴ x、y中至少有一个不小于1
[注]反证法的理论依据是:欲证“若p则
q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非
q是对立事件(不能同时成立,但必有一个
成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定
为真。
例25解:函数
y?c
x
在R上单调递减
?0?c?1.
不等式
x?|x?2c|?1的解集为R?函数y?x?|x?2c|在R上恒大于1.
x?|x?2c|?
?
?
2x?2c,x≥2c,
?
2
c,x?2c,
?函数y?x?|x?2c|在R上的最小值为2c.
?不等式|x?x?2c
|?1的解集为R?2c?1?c?
1
2
.如果P正确,且Q不正确,
则0?c≤
11
2
.如果P不正确,且Q正确,则c?1.所以c的取值范围为(
0,
2
]?[1,??).
例26答:
x?5?x?5或x?2
.
例27答既不充分也不必要
解:∵“若 x + y =3,则x = 1或y =
2”是假命题,其逆命题也不成立.
∴逆否命题:
“若
x?1或y?2
,则
x?y?3
”是假命题, 否命题也不成立.
故
x?y?3
是
x?1或y?2
的既不充分也不必要条件.
例28选B 例29选A