高中数学学生访谈记录-10天学完高中数学
观察下面的语句：
(1)所有小于10的自然数；
(2)高一(2)班的所有帅哥；
(3)2013～2014赛季所有参加CBA联赛的球队；
(4)方程x
2
－1＝0的所有实数根；
(5)我们班的高个子同学．
问题1：以上各语句中所要研究的对象分别是什么？
提示：分别为自然数，帅哥，球队，实数根和高个子同学．
问题2：哪几个语句中的对象不能确定？为什么？
提示：(2)、(5)中对象不能确定．因为帅哥和高个子没有明确的划分标准．
问题3：你能指出第(1)、(4)中的确切的对象吗？
提示：(1)中：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
(4)中：1，－1.
集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合
中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
已知英文字母包括元音字母和辅音字母．
问题1：记元音字母组成的集合为A，辅音字母构成
的集合为B，那么字母O与字母G
与A、B关系怎样？
提示：字母O是集合A的元素，不是集
合B的元素．字母G是集合B的元素，不是集
合A的元素．
问题2：能否存在某个字母，它既是A的元素，又是集合B的元素？
提示：没有．
1．常用数集及其记法
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
2．元素与集合的关系
N
N
*
或N
＋
Z Q R
观察下列集合：
(1)中国的直辖市；
(2)2的所有正因数；
(3)不等式x－2≥3的解集；
(4)所有偶数的集合；
(5)方程x
2
－3x＋2＝0的解集．
问题1：上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？
提示：(1)、(2)、(5)中元
素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们
中的元素有无穷多个．
问题2：设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们的特征表示出来．
提示：(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈Z.
问题3：(2)、(5)中的两个集合有什么关系，如何表示呢？
提示：(2
)、(5)中两个集合(分别记为集合A、B)的元素完全相同，所以是相等集合，可
表示为A＝B.
1．集合的表示法
列举
法
描述
法
2.集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也
都是A
的元素)，那么称这两个集合相等．
考察下列集合：
(1)方程x
2
－4＝0的解组成的集合；
(2)不等式x>3的解组成的集合；
(3)方程x
2
＝－1的解组成的集合．
问题1：集合(1)中有几个元素？
提示：两个，分别是2和－2.
问题2：集合(2)中的元素能数得尽吗？
提示：数不尽．即集合中的元素有无限个．
问题3：集合(3)中的元素是什么？
提示：集合(3)中没有元素．
有限集
无限集
空集
1．集合是具有共同的特征(
或属性)的对象组合而成，且这个特征(或属性)有确定的划分
标准．
2．集合与元素间的关
系是用符号“∈”或“?”表示的，是集合中的元素，必须是确定
含有有限个元素的集合
含有无限个元素的集合
不含任何元素的集合，记作?
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{
}”内，元
素之间用逗号分隔，用这样表示集合的方法称为列举法
将集合的所有元素都具有的
性质(满足的条件)表示出来，
写成{x|p(x)}的形式，用这样表示集合的方法称为描述法
的，对于集合A与元素a，要么a∈A，要么a?A，二者必居其一．集合中的元素是不同的
，
任何两个相同的对象在同一集合中，只能算作一个元素．
3．列举法和描述法是表示集合的
两种常用方法．列举法表示集合直观明了，可以明确
知道集合中具体的元素及元素个数，但当元素个数无
限时，多用描述法．
[例1]
判断下列每组对象能否构成一个集合：
①高一(1)班成绩较好的同学；
②今年诺贝尔文学奖获得者；
③立方接近于零的正数；
④巴西奥运会所有比赛项目；
⑤1,2,3,2.
[思路点拨] 解答本题可根据
集合的意义，考虑每组对象是否具有明确的标准，是否互
异，这是判断它们能否构成集合的依据．
[精解详析] ②④中的对象都是确定的，而且是不同的，因而能构成集合；
①中“成绩较好”的标准不明确，不能构成集合；
③中“接近零”的标准不明确，不能构成集合；
⑤中含有两个2，不满足互异性，不能构成集合．
[一点通] 判断某些对象能否组成集合，
关键看这些对象是否具有集合中元素的确定
性，互异性特征，若具有则可以组成集合，否则就不能组成集
合．
1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O
的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．
其中能构成集合的是__________．(填序号)
解析：“接近于0的数”，“比较小
的正整数”对象不明确，即元素不确定，所以①②
不能构成集合；同样，“2的近似值”也不明确精确到
什么程度，因此很难判定一个数是
不是它的近似值，所以⑤也不能构成集合；③④能构成集合．
★答案★：③④
2．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)某个单位里的年轻人组成一个集合．
1
361
－
?
，，这些数组成的集合有五个元素． (2)1，，，
?
24
?
2
?
2
(3)由a，b，c组成的集合与
由b，a，c组成的集合是同一个集合．
解：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有
确定性，不能作为元素来组
成集合．
(2)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互
异的，即集合中的任何两个元素
都是不同的，故这个集合是由三个元素组成的．
(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合.
[例2] 已知集合A＝{a－2,2a
2
＋5a,12}，且－3∈A，求a.
[思路点拨]
由－3∈A，得－3＝a－2或－3＝2a
2
＋5a，求出a后再进行验证．
[精解详析] 由－3∈A，
则－3＝a－2或－3＝2a
2
＋5a，
3
∴a＝－1或a＝－.
2
当a＝－1时，a－2＝－3,2a
2
＋5a＝－3，
∴a＝－1舍去．
373
当a＝－时，a－2＝－≠－3≠12，故a＝－.
222
[一点通] 根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素
的互异性对集合中的元素进行检验，此类问题常因忽略检验而错解，在运用集合中元素的特
性解
题时要注意分类讨论思想的应用．
3．集合P＝{1，m，m
2
－3m－
1}，若3∈P且－1?P，则实数m的值为________．
解析：∵3∈P且－1?P.∴当m
＝3时，P＝{1,3，－1}，与－1?P矛盾．当m
2
－3m－1
＝3时，m＝4
或m＝－1(舍去)，此时P＝{1,4,3}．符合题意．∴m＝4.
★答案★：4
4．若2?{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是________．
解析：因为2?
{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以
2－a≤0，即
a≥2.
所以实数a的取值范围是{a|a≥2}．
★答案★：{a|a≥2}
5．已知x
2
∈{1,0，x}，求实数x的值．
解：若x
2
＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去；
若x
2
＝1，则x＝±1，当x＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合条件；
若x
2
＝x，则x＝0或x＝1，由上可知，x＝0和x＝1都舍去．
综上所述，x＝－1.
[例3] 用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3)x
2
－4的一次因式组成的集合；
?
?
x＋y＝3，
(4)由方程组
?
的解所组成的集合．
?
x－y＝－1
?
[思路点拨] (1)是用描述法给出的集合，
还可用列举法来表示；(2)可用列举法或描述
法表示；(3)将x
2
－4分解因式，
用列举法表示即可；(4)注意方程组的解是有序数对．
[尝试解答]
(1)用列举法表示为P＝{0,2,4}．
(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述
法表示为{x|x＝3n,4
(4)可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x，y)|x＝1，y＝2}．
[一点通]
(1)用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．
(2
)用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合
中
元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
6．若A＝{
－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t
2
，t∈A}，则用列举法表示B＝________
.
解析：因为集合A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t
2
，t∈A}，当
t＝－2和2时，x＝4；当t＝3
时，x＝9；当t＝4时，x＝16，用列举法表示B＝{4,9,
16}．
★答案★：{4,9,16}
7．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)使y＝
1
有意义的实数x的集合；
x
2
＋x－6
(3)坐标平面内第一、三象限角平分线上的点的集合；
(4)方程x
2
＋(m＋2)x＋m－1＝0(m∈R)的解集．
解：(1)正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N
*
}．
(2)要使y有意义，必须使分母不为0，即x
2
＋x－6≠0，可得x≠2且x≠－3，故
集合可
表示为{x|x∈R，x≠2，x≠－3}．
(3)第一、三象限的角平分线应是直线y＝x，故集合为{(x，y)|y＝x，x∈R，y∈R}．
(4){x|x
2
＋(m＋2)x＋m－1＝0，x∈R，m∈R}.
[例4] 已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．
[思路点拨]
解答本题可考虑利用集合相等的定义来解．即元素完全相同，还要注意集
合中元素的互异性．
[精解详析] ∵0∈B，A＝B，∴0∈A.
若x＝0，则A＝{0,0，－y}不成立，
∴x≠0.
又y∈B，∴y≠0，∴只能x－y＝0.
∴x＝y.
从而A＝{0，x，x
2
}，B＝{0，|x|，x}．
∴x
2
＝|x|.∴x＝0或x＝1或x＝－1.
经验证x＝0，x＝1均不合题意，
∴x＝－1，即x＝－1，y＝－1适合．
[一点通]
(1)判断两个集合相等的依据是两集合的元素必须完全相同．
(2)解决此类问题的步骤：
①利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．
②把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍
去．
b
8．设a、b∈R，集合{1，a＋b，a}与{0，，b}相等，则b－a＝_
_______.
a
b
解析：∵{1，a＋b，a}与{0，，b}相等，
a
b
又a≠0，∴a＋b＝0，∴＝－1.
a
b
∴{1，a＋b，a}＝{1,0，a} ，{0，，b}＝{0，－1，b}．
a
从而a＝－1，b＝1，∴b－a＝1－(－1)＝2.
★答案★：2
9．数集X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}之间的关系是_______
_．
解析：∵若n为奇数，可设n＝2k－1(k∈Z)，
则x＝4k－1.
若n为偶数，可设n＝2k(k∈Z)，则x＝4k＋1.
∴X＝Y.
★答案★：X＝Y
1．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征
(1)确定性：对于一个给定的集合
，任何一个对象或者是这个集合的元素，或者不是这
个集合的元素，两者必居其一．也就是说，某个对象
是不是该集合中的元素，必须有一个明
确的判断标准，这是集合最基本的特征．
(2)互异性
：集合中的任何两个元素都是能区分的(即互不相同)，相同的对象归入任何一
个集合时，只能算作这个
集合的一个元素．
(3)无序性：在一个集合中，通常不考虑元素之间的顺序，也就是说，{a，b，
c}＝{b，c，
a}．
2．集合常用的表示方法是列举法和描述法
(1)一般情
况下，对有限集，元素不太多的情况下，宜采用列举法，应注意：①元素间
用“，”分隔；②集合中元素
必须满足三个特性；③若元素个数较多或无限个且构成集合的
这些元素有明显规律，也可用列举法，但必
须把元素规律显示清楚后才能用省略号．
(2)对无限集，一般采用描述法．它的优点是形式简洁，能
充分体现集合中元素的特征，
但应注意六点：①写清楚集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；
③不能出现未被
说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在
括
号内；⑥用于描述的语句要力求简明、确切．
3．解集合问题的关键是：弄清集合是由哪些
元素构成的，即将抽象的问题形象化、具
体化，将描述法表示的集合用列举法表示，或用图示法来表示抽
象的集合，或用图形表示集
合，如用数轴表示数集，用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合．
课时达标训练（一）
一、填空题
1．在“①高一数学课本
中的难题；②抛物线y＝x
2
－x＋1上所有的点；③方程x
2
＋2＝
0的实数解”中，能够表示成集合的是________．
解析：构成集合的对象必
须具有确定性，由于高一数学课本中的难题不确定，故①不能
构成集合，②③具有确定性，可构成集合．
★答案★：②③
2．若1∈{x，x
2
}，则x＝__________.
解析：当x＝1时，x
2
＝1，与集合的互异性矛盾，∴x≠1；
当x
2
＝1时，x＝±1，根据互异性知x＝－1.
★答案★：－1
3．用符号“∈”或“?”填空：
(1)0__________N
*
，5__________Z；
(2)23__________{x|x<11}，
32__________{x|x>4}，
(3)(－1,1)__________{y|y＝x
2
}．
(－1,1)__________{(x，y)|y＝x
2
}．
解析：(1)0?N
*
，5?Z；
(2)中；∵(23)
2
>(11)
2
，∴23>11.
∴23?{x|x<11}；
∵(32)
2
>4
2
，即32>4，∴32∈{x|x>4}；
(3)中，(－1,1)为点，{y|y＝x
2
}中元素为数，
故(－1,1)?{y|y＝x
2
}．
又∵(－1)
2
＝
1，∴(－1,1)∈{(x，y)|y＝x
2
}．
★答案★：(1)?，?；(2)?，∈；(3)?，∈
4．(山东高考改编)设集合A＝{
0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是
________．
解析：∵x∈A，y∈A，∴x，y＝0,1,2.依次代入计算x－y，可知x－y的值可以为－2，
－1,0,1,2，即集合B中元素的个数是5.
★答案★：5
5．若集合A＝{－1,2
}，集合B＝{x|x
2
＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为________．
解析：由题意知－1,2是方程x
2
＋ax＋b＝0的两根．
??
?
1－a＋b＝0，
?
a＝－1，
?
则解得
?
?
4＋2a＋b＝0，
?
??
b＝－2.
∴a＋b＝－3.
★答案★：－3
y
??
6．已
知集合A＝
?
x，
x
，1
?
，B＝{x
2
，x＋y,0}，若A＝B，则x
2 013
＋y
2
014
＝________，A
??
＝B＝________.
y
解析：根据集合相等的定义知x＝0或＝0.
x
yy
当x＝0时，无意义，所以只能＝0，得y＝0，
xx
则A＝{x,0,1}，B＝{x
2
，x,0}．
又∵A＝B，∴x
2
＝1，∴x＝1或x＝－1，
当x＝1时，A＝{1,0,1}，B＝{1,1,0}，不符合集合元素的互异性，故舍去；
当x＝－1时，A＝{－1,0,1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．
∴x
2
013
＋y
2 014
＝(－1)
2 013
＋0
2
014
＝－1.
★答案★：－1 {－1,0,1}
二、解答题
7．已
知A＝{1,2，x
2
－5x＋9}，B＝{3，x
2
＋ax＋a}，如果A
＝{1,2,3},2∈B，求实数a
的值．
解：由A＝{1,2，x
2
－
5x＋9}＝{1,2,3}，知x
2
－5x＋9＝3，解得x＝2或x＝3，又2∈B，则x
2
＋ax＋a＝2，
2
当x＝2时，a＝－，
3
7
当x＝3时，a＝－.
4
27
故a＝－或－.
34
8．用适当的方法表示下列集合．
9
(1)A＝{x|∈N，x∈N}；
9－x
(2)B＝{(x，y)|x
＋y＝4，x∈N
*
，y∈N
*
}；
(3)不等式3x－8≥7－2x的解集；
(4)坐标平面内抛物线y＝x
2
－1上的点的集合．
9
解：(1)∵∈N，x∈N，
9－x
9
∴当x＝0,6,8这三
个自然数时，＝1,3,9也是自然数，∴A＝{0,6,8}．
9－x
(2)∵x＋y＝4，x∈N
*
，y∈N
*
， ???
?
x＝1
?
x＝2
?
x＝3
??
∴或或
?
，
???
?
y＝3
?
y＝2
?
y＝1
∴B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(3)由3x－8≥7－2x可得：x≥3，
所以不等式3x－8≥7－2x的解集为{x|x≥3}．
(4){(x，y)|y＝x
2
－1}．
9．已知集合A的元素全为实数，
且满足：若a∈A，则
(1)若a＝2，求出A中其他所有元素；
(2)0是不是集合A中的元素？请说明理由．
1＋2
解：(1)由2∈A，得＝－3∈A.
1－2
1－3
1
又由－3∈A，得＝－∈A.
2
1＋3
1
1－
2
11
再由－∈A，得＝∈A.
213
1＋
2
1
1＋
3
1
由∈A，得＝2
∈A.
31
1－
3
11
故A中其他所有元素为－3，－，.
23
(2)0不是集合A中的元素．
1＋0
若0∈A，则＝1∈A，
1－0
1＋a
而当1∈A时，不存在，故0不是集合A中的元素．
1－a
1＋a
∈A.
1－a