【精品】高中数学必修一 集合及集合的表示(基础)讲义 知识点讲解+练习(含答案)

集合及集合的表示
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解集合的含义，会使用符号“
?
”“
?
”表示元素与集合之间的关系．
2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集< br>合等．
【要点梳理】
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重 要的基础，一方面，许多重要的数学
分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的 数学思想，在越来越广泛的领域中得
到应用.
要点一、集合的有关概念
1．集合理 论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能
判断一个给定 的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总 体叫集合(set)，也简称集.
3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给 定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，
两种情况必有一种且只有一 种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此， 同一集合中不
应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由 1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组
成一个集合，它们都表示同一个集合.
4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a
?
A
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作
a?A

5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：
?
.
(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N
*
正整数集，记作N或N
+

整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
要点二、集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便， 除此之外还常用列举法和描述法
来表示集合.
1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
23
2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5 }，{x，3x+2，5y-x，
22
x+y}，…；3.描述法：把集合中的元素的公共属性 描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大
括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取 值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个
集合中元素所具有的共同特征.
4.图 示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，
用它 的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合
?
1,2,3,4
?
.

1，2，3，4

【典型例题】
类型一：集合的概念及元素的性质
例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？
(1 )著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过< br>20的非负数；(5)方程
x?9?0
在实数范围内的解；（6）
2
的 近似值的全体.
答案：(4)、（5）
解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.
“著名的数学家”、“比 较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，
同理(6)也不 是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.
点评：
(1)判断指定的 对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定
它是不是给定集合 的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面 元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一
定是无限集.
举一反三：
【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集. (1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学 课本中的
所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小 于1的所有的实数.
答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。
解析：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.
(1)你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集；
(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；
(3)不能构成集合.“ 难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”
无法客观判断.
(4) 在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集.
(5) 大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.
例2 ．集合
A
由形如
m?3n(m?Z,n?Z)
的数构成的，判断
答案 ：是
解析：由分母有理化得，
2
1
是不是集合
A
中的元素？ < br>2?3
1
?2?3
.由题中集合
A
可知
m?2,n? 1,
均有
m?Z,n?Z
，
2?3
?
2?3?A
， 即
1
?A
.
2?3
1
2?3
点评：（1）解答本 题首先要理解
?
与
?
的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，
能否化成此形式，进而去判断
1
是不是集合
A
中的元素.
2?3
（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特 征.
此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三：
【变式1】设
S={x|x=m+2n,m,n?Z}

(1)若a
?
Z，则是否有a
?
S？
(2)对S中任意两 个元素x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
，x< br>1
·x
2
，是否属于集合S？

答案：a
?
S 是
解析：(1)若a
?
Z，则有a
?
S，即n=0时，x
?
Z，∴a
?
S； (2)
?
x
1
，x
2
?
S，则
x1
=m
1
+2n
1
,x
2
=m
2+2n
2
(m
1
,n
1
,m
2
,n< br>2
?Z)

?x
1
?x
2
?(m
1
?m
2
)?2(n
1
?n
2
)?S(m
1
?m
2
?Z,n
1
?n
2
?Z)

x
1
?x
2
=(m
1
+2n
1
)?(m
2
+2n
2
)=m
1
m
2
+2n
1
n
2
+2(m
1
n
2
+m
2
n
1
)

∵m
1
，n
1
，m
2，n
2
?
Z，∴m
1
m
2
+2n
1< br>n
2
?
Z，m
1
n
2
+m
2
n
1
?
Z
∴x
1
·x
2
?
S.

类型二：元素与集合的关系
例3.用符号“
?
”或“
?
”填空．
，　　32____ {x|x?4}；
(1)
23_____{x|x?11}

2
，n ?N
?
}，　　　5___{x|x?n
2
?1，n?N
?
}；
(2)
3___{x|x?n?1

，___{y|y?x}，　　(?11)，___{(x，y)|y?x}.
(3)
(?11)
解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为
a?A
，或 者
a?A
，二者必居其一.解
答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然 后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算
器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结 构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别
令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要 明确各个集合的本质属性.
22
，?23?{x|x?11}；
(1)
Q23?12?11

Q32?18?16?4，?32?{x|x?4}；

(2)令
3?n?1
，则
n??2?N
?
，
?3?{x|x?n
2
?1，n?N
?
}；
2
?5?{ x|x?n
2
?1，n?N
?
}；
令
5?n?1
， 则
n??2，其中2?N
?
，

2
(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x，
2
，?{y|y?x}，　　(?11)，?{(x，y)|y?x}.
∴
(?11)
点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常 用的解题思路
2
，n?N
?
}
这个“口袋”中是装了些x呢？还和方 法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合
{x|x?n?1
22
是装了些n呢？要 特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部
分表示x具有的性 质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合
{y|y?x}
这个“口袋”是由y构成的，并且
是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合
{(x，y)|y?x}
是由抛物线< br>y?x
上的所有点构成的，
是一个点集.
举一反三：
【变式1】 用符号“
?
”或“
?
”填空
（1）若
A=Z
,则
?
22
2
1

A
；-2
A
.
2

（2）若
B?x|2x
2
?x?1?0,
则
?
答案：
（1）
?
，
?
（2）
?
，
?

类型三：集合中元素性质的应用
??
1

B
；-2
B
.
2
例4.定义集合运算：< br>AeB?
?
z|z?xy(x?y),x?A,y?B
?
.设集合A?
?
0,1
?
，
B?
?
2,3
?< br>，则集
合
AeB
的所有元素之和为
A. 0 B. 6 C. 12 D. 18
答案： D
解析：
AeB?
?
z|z?xy(x?y),x?A,y?B
?
，
?
当
A?
?
0,1
?
,B?
?
2,3
?
时，
AeB ?
?
0,6,12
?
，
于是
AeB
的所有元素之和 为0+6+12=18.
点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某 种推理证明是集合命题
的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.
举一反三：
【变式1】定义集合运算：
A?B?
?
z|z?xy, x?A,y?B
?
，设
A?
?
1,2
?
，
B?
?
0,2
?
，则集合
A?B
的所有元素之和为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 6
答案：D
解析：
Q
z?xy,x?A,y?B
，且
A?
?
1 ,2
?
，
B?
?
0,2
?
，
?
z的取值有：0，2，4
故
A?B?
?
0,2,4
?
，
?
集合
A?B
的所有元素之和为：0+2+4=6.

■高清课程：集合的表示及运算
例5. 设集合
A
={x
?R|
ax?2x?1?0
}，当集合
A
为单元素集时，求实数
a< br>的值.
答案：0，1
2
解析：由集合
A
中只含有一个元素 可得，方程ax+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次
方程，故也可以是一次方程， 应分类讨论：
当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.
当a≠0时，则为一个二次方程 ，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a
的值，可求得为a=1.故a的取 值为0，1.
例6.已知集合
A?a?2,(a?1)
2
,a
2< br>?3a?3
，若
1?A
，求实数
a
的值及集合
A.
答案：
a?0
，
A?
?
1,2,3
?
.
解析：（1）若
a?2?1,
则
a??1
.
所以
A?
?
1,0,1
?
，与集合中元素的互异性矛盾，则
a??1应舍去.
（2）若
(a?1)?1
，则
a?0
或
a??2
，
当
a?0
时，
A?
?
2,1,3
?
满足题 意；
当
a??2
时，
A?
?
0,1,1
?
，与集合中元素的互异性矛盾，则
a??2
应舍去.

2
2??

（3）若
a?3a?3?1
，则
a??1
或
a??2
，由上分析知
a??1
与
a??2
均应舍去. < br>综上，
a?0
，集合
A?
?
1,2,3
?
.
点评：本题中由于1和集合
A
中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解 答时，既要应用
元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽 视，必须在学习
中引起足够的重视.
举一反三：
【变式1】已知集合
A? a?2,a
2
?2
，
3?A
，求实数
a
的值
答案：
a??1

解析：当
a?2?1
，即
a ??1
时，
A?
?
3,3
?
，与集合的概念矛盾，故舍去
当
a?2?3,
即
a??1
时，
a?1
不满足题意 舍去，故
a??1
.
类型四：集合的表示方法
例7．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程
x?3?0
的所有实数根组成的集合；
(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
2
2
2
??< br>?3}
；答案：（1）
{3，
（2）
?
16,17,18,1 9,20,21,22,23,24
?
。
解析：(1)设方程
x?3?0< br>的实数根为x，并且满足条件
x?3?0

因此，用描述法表示为
A?{x|x?3?0，x?R}
；
2
?3
方程
x?3?0
有两个实数根
3，
2
22
?3}
. 因此，用列举法表示为
A?{3，
(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件
x?Z
，且15因此，用描述法表示为
B?{x|15?x?25，x?Z}
；
大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，
因此 ，用列举法表示为
B?
?
16,17,18,19,20,21,22,23,24< br>?
.
点评：（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开. < br>（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.
（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.
举一反三：
【变式1】用列举法表示集合：
23
(1)A={x
?
R|(x-1)(x+2)(x-1)(x-8)=0}
(2)B={(x，y)|x+y=3， x
?
N， y
?
N}
(3)C={y|x+y=3，x
?
N， y
?
N}
?< br>?
y?x
?
??
(4)
D?
?
(x,y)< br>??

?
?
y??x
?
??
?
?< br>y?x
?
(5)
M?
?
x
??

y??x
?
?
?
(6)P={x|x(x-a)=0， a
?
R}
解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.
(1)A={1，-2，-1，2}

(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}
(3)C={0，1，2，3}
(4)D={(0，0)}
(5)M={0}
(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.
点评：此例题（2）与（3 ），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，
遇到代数式时，能否 意识到字母a
?
R，需要分类讨论.
【变式2】用适当的方法表示下列集合：
（1）比5大3的数；
（2）方程
x?y?4x?6y?13?0
的解集；
（3）二次函数
y?x?10
的图象上的所有点组成的集合。
答案：（1）
?
8
?
；（2）
?
(2,?3)
?
；（3 ）
(x,y)|y?x
2
?10

解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为
?
8
?
。
（2）方程
x?y?4x?6y?13?0
可化为
(x?2)?(y?3)?0，
2222
2
22
??
?
x?2,
?
方程的解集为
?
(2,?3)
?
。
?
?
?y??3,
（3）用描述法表示为
?
(x,y)|y?x
2
?1 0
?
。
点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素 满足的条件；三要根据
集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。

巩固练习
一、选择题
1．下列条件所指对象能构成集合的是 ( )
A．与0非常接近的数 B．我班喜欢跳舞的同学
C．我校学生中的团员 D．我班的高个子学生
2．下列四个集合中，是空集的是( )
A．
{x|x?3?3}
B．
{(x,y)|y
2
??x
2
,x,y?R}

C．
{x|x
2
?0}
D．
{x|x
2
?x?1?0,x?R}

3．集合
?
x?Z|(3x?1)(x?4)?0
?
可化简为（ ）
A．
?
?
1
?
?
B．
?
4
?
C．
?
?
1
??
1
?
?
3
??
3
,4
?
?
D．
?
?
?
3
,?4
?
?

4．下面有四个命题：
(1)集合
N
中最小的数是1； (2)若
?a
不属于
N
，则
a
属于
N
；
(3)若
a?N,b?N,
则
a?b
的最小值为2； (4)
x
2
?1?2x
的解可表示为
?
1,1
?
；
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．若以集合
S?
?
a,b,c
?
中的三个元素为边长可构 成一个三角形，则这个三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6． 设
a?0
，则不等式
ax?1?0
的解集为（ ）
A．
?
?
x|x
1
?
1
?
a
?
? B．
?
?
?
x|x??
1
?
a
?
?
C．
?
?
?
?
?
x|x?
a
?
?
D．
?
?
1
?
?
x|x??
a
?
?

二、填空题
7．用符号“
?
”或“
?
”填空
(1)-3______
N
，
2
______
N
，
9
______
N
；
(2)
?
1
2______R,
?
_______R,e______C
R
Q
(
e
是个无理数).
8. 方程组
?
?
x?y?2,
的解集
用列举法表示为 .
?
x?y?0
9．自然数中6个最小的完全平方数组成的集合为 .
10．由
|a|
a
?
|b|
b
(a,b?R)所确定的实数集合是 .
11．用描述法表示的集合
?
y|y? ?x
2
?2x?1,x?R
?
可化简为 .
三、解答题

12．已知集合
A?
?
x? N|
?
?
8
?
?N
?
，试用列举法表示集合
A
.
6?x
?
13．分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）大于
?4
且小于6的整数所组成的集合；
（2）方程
x?5x?6x?0
的实数根所组成的集合.
14．已知集合< br>A
={x
?R
|
ax?2x?1?0
，
a?R
}，若
A
中元素至多只有一个，求实数
a
的取值范
围.
答案与解析：
一、选择题
1.C 元素的确定性.
2.D 选项A所代表的集合是
?
0
?
并非空集，选项B所代表的集合是
?< br>(0,0)
?
并非空集，选项C所代表
的集合是
?
0
?
并非空集，选项D中的方程
x?x?1?0
无实数根.
2
232
1
,x
2
?4
，因为
x?Z
，故选B.
3
4.A (1)最小的数应该是
0
；(2)反例：
?0.5?N
，但
0.5?N
；
3. B 解方程得
x
1
?
(3)当
a?0,b?1,a?b?1
；(4)元素的互异性.
5.D 元素的互异性
a?b?c
.
6. A 不等式两边同除以一个负数，不等号的方向改变.
二、填空题
7.
(1)?,?,?;(2)?,?,?
.
8.
?
1，1
?
加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集.
9.
?
01，，4，916，，25
?
最小的6个自然数是0，1,2,3,4,5，容易把自然数“0”漏掉.
10.
?
?2，0，2
?
分别对
a,b
进行讨论，去掉绝对值，得到集合中的三个元素：-2,0,2.
11.
?
y|y?2
?

y??(x?1)?2
，
Q?(x?1)?0
，
?y?2
.
22
??

三、解答题
12.解：由题意可知
6?x
是
8
的正约数，当
6?x?1,x?5
；当
6?x?2,x ?4
；
当
6?x?4,x?2
；当
6?x?8,x??2
；而
x?0
，∴
x?2,4,5
，即
A?
?
2,4,5
?
.
13.解：（1）
?
?2,?1,0,1,2,3,4,5
?

?
x?Z|?4?x?6
?

（2）
?
?1,0,6
?

x?R|x?5x?6x?0
.
32
??

14. 解：（1）
a?0
时，原方程为
2x?1?0
，得
x??,
符合题意；
（2）
a?0
时，方程
ax? 2x?1?0
为一元二次方程，依题意
??4?4a?0
，解得
a?1
.
综上，实数
a
的取值范围是
a?1
或
a?0
.


2
1
2