人教版高中数学必修一第一章 集合与函数概念全章教案

课题：§1.1 集合
教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代 数学的一个重要的基础，一方
面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论 及其
所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课 型：新授课
教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；
（ 2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体
问题，感受集合语言的意 义和作用；
教学重点：集合的基本概念与表示方法；
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；
教学过程：
一、引入课题
军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集 合进行军训动员；试问这个通
知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们 常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是
高二、高三）对象的总体，而不是个别 的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣
布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P
2
-P
3
内容
二、新课教学
（一）集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体 ，人们能意识到
这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也
简称集。
3. 思考1：课本P
3
的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对 学
生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，
或者不是A的元素， 两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相 同的个体（对象），
因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样
5. 元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a
?
A（或
a A）（举例）
?


6. 常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N
*
或N
+
；
整数集，记作Z

有理数集，记作Q
实数集，记作R
（二）集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之
外还常用列举法和描述法来 表示集合。
（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2 ，3，4，5}，{x
2
，3x+2，5y
3
-x，x
2
+ y
2
}，…；
例1．（课本例1）
思考2，引入描述法
说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示 这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范
围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x
2
+1}，{直角三角形}，…；
例2．（课本例2）
说明：（课本P
5
最后一段）
思考3：（课本P
6
思考）
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x
2
+3x+2}与 {y|y= x
2
+3 x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，
例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，
{R}也是错误的。 说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，
要注意，一般集合中元素 较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（三）课堂练习（课本P
6
练习）
三、归纳小结
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集 合的概
念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。
四、作业布置
书面作业：习题1.1，第1- 4题
五、板书设计（略）

课题:§1.2集合间的基本关系
教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系
了解空集的含义
课 型：新授课
教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；
（2）理解子集、真子集的概念；
（3）能利用Venn图表达集合间的关系；
（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；
教学过程：
六、引入课题
1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：
（1）0 N；（2）
2
Q；（3）-1.5 R
2、 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣
布课题）
七、新课教学
（一） 集合与集合之间的“包含”关系；
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
如果集合A的任何一个元 素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称
集合A是集合B的子集（subset）。
记作：
A?B(或B?A)

读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A
当集合A不包含于集合B时，记作A
?
B
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系

B
A





A?B(或B?A)

（二） 集合与集合之间的 “相等”关系；
A?B且B?A
，则
A?B
中的元素是一样的，因此
A?B

即
A?B?
?
?
A?B

?
B?A
练习
结论：
任何一个集合是它本身的子集
（三） 真子集的概念

若集合
A?B
，存在元素
x ?B且x?A
，则称集合A是集合B的真子集（proper
subset）。
记作：A B（或B A）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
举例（由学生举例，共同辨析）
（四） 空集的概念
（实例引入空集概念）
不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：
?

规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（五） 结论：
1
A?A

2
A?B
，且
B?C
，则
A?C
○○
（六） 例题
（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x
?
5}，并表示A、B的关系 ；
（七） 课堂练习
（八） 归纳小结，强化思想
两个集合之间的基本关系只有 “包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小
关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关 系及其表示方法；
（九） 作业布置
1、 书面作业：习题1.1 第5题
2、 提高作业：
1
已知集合
A?{x|a?x?5}
，
B?{x|x
≥
2}
，且满足
A?B
，求实数
a
○
的取 值范围。
2
设集合
A?{
○
四边形}
，B
?{ 平行四边形}
，C
?{矩形}
，
D?{正方形}
，试用Venn图表示它们之间的关系。
板书设计（略）







课题：§1.3集合的基本运算
教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（ 2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用
Venn图表达集合的 关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型：新授课

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
教学过程：
八、引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算 ，两个
集合是否也可以“相加”呢？
思考（P
9
思考题），引入并集概念。
九、新课教学
1. 并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的 集合，称为集合A与B的并
集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：



B

A





A∪B

?
说明：两个集合求并集，结果还是一 个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合
（重复元素只看成一个元素）。
例题（P
9-10
例4、例5）
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
问题：在上 图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）
还应是我们所关心的，我们称其 为集合A与B的交集。
2. 交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合 ，叫做集合A与B的交集
（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”
即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
例题（P
9-10
例6、例7）
拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集

B A B
B
A(B) A A

B A
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交
集
3. 补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称 这个
集合为全集（Universe），通常记作U。
补集：对于全集U的一个子集A，由全 集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集
合称为集合A相对于全集U的补集（complement ary set）,简称为集合A的补集，
记作：C
U
A
即：C
U
A={x|x∈U且x∈A}
补集的Venn图表示
U
A
C
U
A

说明：补集的概念必须要有全集的限制
例题（P
12
例8、例9）
4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的
关 键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭
示、挖掘题设条件， 结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方
法。
5. 集合基本运算的一些结论：
A∩B
?
A，A∩B
?
B，A∩A=A ，A∩
?
=
?
,A∩B=B∩A
A
?
A∪B，B
?
A∪B，A∪A=A，A∪
?
=A,A∪B=B∪A
（C
U
A）∪A=U，（C
U
A）∩A=
?

若A∩B=A，则A
?
B，反之也成立
若A∪B=B，则A
?
B，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B
6. 课堂练习
（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=
?

（2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z
(3)集合 A?{n|
nm?1
?Z}，B?{m|?Z}，则A
?
B?_______ ___
22
5
(4)集合A?{x|?4?x?2}，B?{x|?1?x?3}，C ?{x|x?0，或x?}

2
那么A
?
B
?
C? _______________,A
?
B
?
C?____________ _;
十、归纳小结（略）

十一、 作业布置
3、 书面作业：P
13
习题1.1，第6-12题
4、 提高内容：
（1） 已知X={x|x
2
+px+q=0，p
2
-4q>0},A={1,3,5 ,7,9},B={1,4,7,10}，且
X?A??,X?B?X
，试求p、q；
（2） 集合A={x|x
2
+px-2=0},B={x|x
2
- x+q=0},若A
?
B={-2，0，1}，求p、q；
（3） A={2，3， a
2
+4a+2}，B={0，7，a
2
+4a-2，2-a}，且A
?
B ={3，7}，求B








课题：§1.2.1函数的概念
教材分析：函数是描述客观世界变化规 律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之
间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数 ，高中阶段更注重函数模型
化的思想．
教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描 述变量之间的依赖关系的重要数学模型，
在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系 在刻画函数概念
中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；
教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
教学过程：
十二、 引入课题
1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
备用实例：
我国2003年4月份非典疫情统计：
22 23 24 25 26 27 28 29 30
日 期
新增确诊病例数
106 105 89 103 113 126 98 152 101
3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

4. 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
十三、 新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是 非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
数x，在集合B中都有唯一确 定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B
的一个函数（function）．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义 域（domain）；与x的值相对应的
y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
注意：
1
“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”○；
2
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． ○
2． 构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
（由学生完成，师生共同分析讲评）
（二）典型例题
1．求函数定义域
课本P
20
例1
解：（略）
说明：
1
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○
2
如果只给出解析式y= f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这○
个式子有意义的实数的集合；
3
函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． ○
巩固练习：课本P
22
第1题
2．判断两个函数是否为同一函数
课本P
21
例2
解：（略）
说明：
1
构 成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决○
定的，所以，如果两个 函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一
函数）
2
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数○
值的字母无关。
巩固练习：
1
课本P
22
第2题 ○
2
判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ ○
（1）f ( x ) = (x －1)
0
；g ( x ) = 1

（2）f ( x ) = x； g ( x ) =
x
2

（3）f ( x ) = x
2
；f ( x ) = (x + 1)
2

（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
（三）课堂练习
求下列函数的定义域
（1）
f(x)?
x
2

1

x?|x|
（2）
f(x)?
1
1
1?
x

（3）
f(x)??x
2
?4x?5

（4）
f(x)?
（5）
f(x)?
4?x
2

x?1
x
2
?6x?10

（6）
f(x)?1?x?x?3?1

十四、 归纳小结，强化思想 从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概
念，介绍了求函 数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
十五、 作业布置
课本P
28
习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题












课题：§1.2.2映射
教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；
（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
教学重点：映射的概念．

教学难点：映射的概念．
教学过程：
十六、 引入课题
复习初中已经遇到过的对应：
1． 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；
2． 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
3． 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
4． 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
5． 函数的概念．
十七、 新课教学
1． 我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集 ”
弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关
系，这 种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）．
2． 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系
（1）开平方；
（2）求正弦
（3）求平方；
（4）乘以2；
3． 什么叫做映射？
一般地，设A、 B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A
中的任意一个元素x，在集合B中 都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
?
B
为从集合A到集合B的一个 映射（mapping）．
记作“f：A
?
B”
说明：
（1） 这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示
具体的对应法则，可以用 汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
4． 例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面
直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班
级都对应班里的学生．
思考：
将（ 3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f
改为：每一个学生都 对应他的班级，那么对应f： B
?
A是从集合B到集合A的映射吗？
5． 完成课本练习
十八、 作业布置
补充习题

课题：§1.2.2函数的表示法
教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方 法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示
及其图象．
教学过程：
十九、 引入课题
5. 复习：函数的概念；
6. 常用的函数表示法及各自的优点：
（1）解析法；
（2）图象法；
（3）列表法．
二十、 新课教学
（一）典型例题
例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三
种表示法表示函数y=f(x) ． 分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图
象，也 可以是对应值表．
解：（略）
注意：
1
函数图象既可以是连续的曲线 ，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一○
个图形是否是函数图象的依据；
2
解析法：必须注明函数的定义域； ○
3
图象法：是否连线； ○
4
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． ○
巩固练习：
课本P
27
练习第1题
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年 度几次数学测试的成绩及班级及班
级平均分表：

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
98 87 91 92 88 95
王 伟
90 76 88 75 86 80
张 城
68 65 73 72 75 82
赵 磊
班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目 要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助
什么工具？
解：（略）
注意：
1
本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究 成绩的变○

化特点；
2
本例能否用解析法？为什么？ ○
巩固练习：
课本P
27
练习第2题
例3．画出函数y = | x | ．
解：（略）
巩固练习：课本P
27
练习第3题
拓展练习：
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明
三者（图象）之间的关系．
课本P
27
练习第3题
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
已知两个相邻的公共汽车站 间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设
20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之 间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况 公共汽车到站才能停车，
所以行车里程只能取整数值．
解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站 （包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里
程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*
| x≤19}．
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
?
2
0?x?5
?
3
5?x?10
?
*
y?
?
(
x?N
)
?
4
10?x?15?
?
5
15?x?19
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所 示：
y
5
4
3
2
1
O
5
101 519x

注意：
1
本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ○
2
本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？ ○
实践与拓展：

请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可
以实地考查一下某公交车线路）
说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．
注意：分段 函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并
用一个左大括号括起来，并分 别注明各部分的自变量的取值情况．
二十一、 归纳小结，强化思想
理解函数的三种表示方 法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注
意分段函数的表示方法及其图象的画法．
二十二、 作业布置
课本P
28
习题1．2（A组） 第8—12题 （B组）第2、3题








课题：§1.3.1函数的单调性
教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
二十三、 引入课题
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y y y


1 1 1

-1 -1
1 x 1 x 1 x

-1
-1 -1 -1

1
随x的增大，y的值有什么变化？ ○
2
能否看出函数的最大、最小值？ ○
3
函数图象是否具有某种对称性？ ○
y
2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
1
1
从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2
在区间 ____________ 上，随着x的增 ○
-1
1 x
大，f(x)的值随着 ________ ．
-1

y
2．f(x) = -2x+1
1
-1
-1
1 x

1
从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2
在区间 ____________ 上，随着x的增 ○
大，f(x)的值随着 ________ ．
3．f(x) = x
2

y
1
在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○
着x的增大而 ________ ．
1
2
在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○
-1
1 x
着x的增大而 ________ ．
-1
二十四、 新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有
f(x
1
)2
)，那么就说f (x)在区间D上是增函数（increasing function）．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2
必须是对于区间 D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
) ． ○
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区
间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
； ○
2
作差f(x
1
)－f(x
2
)； ○
3
变形（通常是因式分解和配方）○；
4
定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）○；
5
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○．
（二）典型例题
例1．（教材P
34
例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本P
38
练习第1、2题
例2．（教材P
34
例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：
1
课本P
38
练习第3题； ○

2
证明函数
y?x?
○
1
在（1，+∞）上为增函数．
x
例3．借助计算机作出函数y =－x
2
+2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数
y?


1
的图象．
x
1
这个函数的定义域是什么？ ○
2
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论． ○

说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．
二十五、 归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算 机，
求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
二十六、 作业布置
1． 书面作业：课本P
45
习题1．3（A组） 第1- 5题．
2． 提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
1
求f(0)、f(1)的值； ○
2
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集． ○









课题：§1.3.2函数的奇偶性
教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）学会判断函数的奇偶性．
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．
教学过程：
二十七、 引入课题
1．实践操作：（也可借助计算机演示）
取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，
然后按如下操作 并回答相应问题：
1
以y轴为折痕将纸对折，○并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限 内图形的痕迹，
然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
问题：将第一象限和第二象限的图形看 成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)
的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质 ？函数图象上相应的点的坐标有什么特
殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；
（2）若 点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，
即函数图象上横坐 标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
2
以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕 将纸对折，在纸的背面（即第三象限）○
画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图 形：
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)< br>的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特
殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； < br>（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，
即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．
2．观察思考（教材P
39
、P
40
观察思考）
二十八、 新课教学
（一）函数的奇偶性定义
1
中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，< br>2
中的图象关于原点象上面实践操作○操作○
对称的函数即是奇函数．
1．偶函数（even function）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一 个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函
数．
（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
2．奇函数（odd function）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x) ，那么f(x)就叫做奇函
数．
注意：
1
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2
由函数 的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任○
意一个x，则－x也一定是 定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
（三）典型例题
1．判断函数的奇偶性
例1（．教材P
36
例3）应用函数奇偶性定义说明 两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本
例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）
解：（略）
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○
2
确定f(－x)与f(x)的关系； ○
3
作出相应结论： ○
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
巩固练习：（教材P
41
例5）
例2．（教材P
46
习题1．3 B组每1题）
解：（略）
说明 ：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶
性应应首先判断函数的 定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函
数．
2．利用函数的奇偶性补全函数的图象
（教材P
41
思考题）
规律：
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
巩固练习：（教材P
42
练习1）
3．函数的奇偶性与单调性的关系 （学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函
数和偶函数的 单调性具有什么特殊的特征．
例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f( x)在(－∞，0)上也是增函数
解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)
规律：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
二十九、 归纳小结，强化思想
本节 主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，
用定义法判断函数的 奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性
与奇偶性的综合应用是本节的一个 难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶
性这两个性质．
三十、 作业布置
3． 书面作业：课本P
46
习题1．3（A组） 第9、10题， B组第2题．
2．补充作业：判断下列函数的奇偶性：
2x
2
?2x
1

f(x)?
○；
x?1
3
2

f(x)?x?2x
； ○
3

f(x)?a
（
x?R
） ○
4
○
?
x(1?x)
x?0,

f(x)?
?
x(1?x)
x?0.
?
3． 课后思考：
已知
f(x)
是定义在R上的函数，
设
g(x)?
f(x )?f(?x)f(x)?f(?x)
，
h(x)?

22
1
试判断
g(x)与h(x)
的奇偶性； ○
2
试判断
g(x),h(x)与f(x)
的关系； ○
3
由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由． ○

课题：§1.3.1函数的最大（小）值
教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
教学过程：
三十一、 引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
1
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○
2
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ○
（1）
f(x)??2x?3


（2）
f(x)??2x?3

x?[?1,2]

（4）
f(x)?x
2
?2x?1

x?[?2,2]
（3）
f(x)?x
2
?2x?1

三十二、 新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学
生活动）
注意：
1
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M； ○
2
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都 有f(x)○
≤M（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
1
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○
2
利用图象求函数的最大（小）值 ○
3
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 ○
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f( x)在x=b
处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在 区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b
处有最小值f(b)；
（二）典型例题
例1．（教材P
36
例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：（略）
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当 的函
数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
巩固练习：如图，把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料，
25

如果矩形一边长为x，面积为y
试将y表示成x的函数，并画出
函数的大致图象，并判断怎样锯
才能使得截面面积最大？
例2．（新题讲解）
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率
的数据如下：
房价（元）
160
140
120
100
住房率（%）
55
65
75
85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160 元，并假设在各价位之间，房
价与住房率之间存在线性关系．
设
y
为旅馆一 天的客房总收入，
x
为与房价160相比降低的房价，因此当房价为
(160?x)< br>元时，住房率为
(55?
x
?10)%
，于是得
20
x
y
=150·
(160?x)
·
(55??10)%
．
20
x
?10)%
≤1，可知0≤
x
≤90． 由于
(55?
20
因此问题转化为：当0≤
x
≤90时，求
y
的最大值的问题．
将
y
的两边同除以一个常数0.75，得
y
1< br>=－
x
2
＋50
x
＋17600．
由于二次函数< br>y
1
在
x
=25时取得最大值，可知
y
也在
x
=25时取得最大值，此时
房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67 .5%，最大住房总收入为13668.75
（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
例3． （教材P
37
例4）求函数
y?
2
在区间[2，6]上的最大值和最 小值．
x?1
解：（略）
注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．
巩固练习：（教材P
38
练习4）
三十三、 归纳小结，强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，
求函数的单调 区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
三十四、 作业布置
4． 书面作业：课本P
45
习题1．3（A组） 第6、7、8题．
提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图， 各沿箭头方向航行，
快艇和轮船的速度分别是45 kmh和15 kmh，已知AC=150km，经过多少时间后，
快艇和轮船之间的距离最短？

B
C
D
A