高中一年级数学集合教(学)案

..
1.1.1 集合的概念

【教学目标】
1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质．
2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．
【教学重点】
集合的基本概念，元素与集合的关系．
【教学难点】
正确理解集合的概念．
【教学过程】
环节

导
入
教学内容 师生互动 设计意图
师生共同欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学”．
师：“物以类聚”；“人以群分”；这些都给我们以集合的印象．
．
引例：
(1) 某学校数控班学生的全体；
(2) 正数的全体；
(3) 平行四边形的全体；
(4) 数轴上所有点的坐标的全体．

1. 集合的概念．
(1) 一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全
体构成的集合(简称为集)．
(2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素．
(3) 集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母
A
，
B
，
C
，…表示，它的元素
通常用小写英文字母
a
，
b
，
c
，… 表示．
2. 元素与集合的关系．
(1) 如果
a
是集合
A
的元素，就 说
a
属于
A
，记作
a
?
A
，读作“
a
属于
A
”．
(2)如果
a
不是集合
A
的元素，就说
a
不属于
A
，记作
a
?
A
．读作“
a
不属于
A
”．

3. 集合中元素的特性．
(1) 确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的．这就是说，不能确定的对象，就不能构
成集合．
(2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的任何两个






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..










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课






















元素都是不同的对象．
4. 集合的分类．
(1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集．
(2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集．
5. 常用数集及其记法．
(1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作 N；
(2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作 N
＋
或 N*；
(3) 整数集：整数全体构成的集合，记作 Z；
(4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作 Q；
(5) 实数集：实数全体构成的集合，记作 R．
注意：（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0；
（2）自然数集内排除0的集，表示成 或
，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}
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..
内排除0的集，也可类似表示 ，
，
；
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..
（3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如
，
，
…不再适用．
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..
例1 判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由．
(1) 小于 10 的自然数的全体；
(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生；
(3) 英文的 26 个大写字母；
(4) 非常接近 1 的实数．

练习1 判断下列语句是否正确：
(1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素；
(2) 所有三角形构成的集合是无限集；
(3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集；
(4) 如果
a
? Q，
b
? Q，则
a
＋
b
? Q．
2．选择题
⑴ 以下四种说法正确的( )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}
(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不
确定
⑵ 已知2是集合M={

例2 用符号“?”或“?”填空：
(1) 1 N，0 N，－4 N，0.3 N；
(2) 1 Z，0 Z，－4 Z，0.3 Z；
(3) 1 Q，0 Q，－4 Q，0.3 Q；
(4) 1 R，0 R，－4 R，0.3 R．
练习2 用符号“?”或“?”填空：
(1) －3 N；(2) 3.14 Q；
11
(3) Z； (4) － R；
32
(5) 2 R； (6) 0 Z．


}中的元素，则实数为( )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
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..





















1.1.2 集合的表示方法

【教学目标】
1. 掌握集合的表示方法；能够按照指定的方法表示一些集合．．
【教学重点】
集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.
【教学难点】
集合特征性质的概念，以及运用描述法表示集合.
【教学过程】
环节

导
入
教学内容
1. 集合、元素、有限集和无限集的概念是什么？
2. 用符号“?”与“?”填空白：
(1) 0 N；
(2) －2

Q；
师生互动 设计意图
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..
(3)－2

R．
这节课我们一起研究如何将集合表示出来．





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课





1. 列举法．
当集合元素不多时，我们常常把集合的元素列举出来， 写在大括号“{}”内表示这个集合，
这种表示集合的方法叫列举法．
例如，由1，2，3，4，5，6这6个数组成的集合，可表示为：
{1，2，3，4，5，6}．
又如，中国古代四大发明构成的集合，可以表示为：
{指南针，造纸术，活字印刷术，火药}．
有些集合元素较多，在不发生误解的情况下，可列几个元素为代表，其他元素用省略号表示．
如：小于100的自然数的全体构成的集合，可表示为
{0，1，2，3，…，99}．
例1 用列举法表示下列集合：
(1) 所有大于3且小于10的奇数构成的集合；
(2) 方程
x
－5
x
＋6＝0的解集．
解 (1) {5，7，9}；
(2) {2，3}．
练习1 用列举法表示下列集合：
(1) 大于3小于9的自然数全体；
(2) 绝对值等于1的实数全体；
(3) 一年中不满31天的月份全体；
(4) 大于3.5且小于12.8的整数的全体．
2. 性质描述法．
给定
x
的取值集合
I
，如果属于集合
A
的任意元素
x
都具有性质
p
(
x
)，而不属于集合
A
的元素都不具有性质
p
(
x
)，则性质
p
(
x
)叫做集合
A
的一个特征性质，于是集合
A
可以用它的特
征性质描述为 {
x
?
I
|
p
(
x
)} ，它表示集合
A
是由集合
I
中具有性质
p
(
x
)的所有元素构成的．这
种表示集合的 方法，叫做性质描述法．
使用特征性质描述法时要注意：
(1) 特征性质明确；
(2) 若元素范围为 R，“
x
?R”可以省略不写．
例2 用性质描述法表示下列集合：
(1) 大于3的实数的全体构成的集合；
(2) 平行四边形的全体构成的集合；
(3) 平面
?
内到两定点
A
，
B
距离相等的点的全体构成的集合．
2
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..























新


课


解 (1){
x
|
x
>3}；
(2){
x
|
x
是两组对边分别平行的四边形}；
(3)
l
＝{
P
?
?
，|
PA
|＝|
PB
|，
A
，
B
为
?
内两定点}．
练习2 用性质描述法表示下列集合：
(1) 目前你所在班级所有同学构成的集合；
(2) 正奇数的全体构成的集合；
(3) 绝对值等于3的实数的全体构成的集合；
(4) 不等式4
x
－5<3的解构成的集合；
(5)所有的正方形构成的集合．
2、用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②{-2，-4，-6，-8，-10}
3、用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数}
②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}
③
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..
④
⑤
⑥
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..

①注意区别
a
与 {
a
}．
a
是集合{
a
}的一个元素，而{
a
}表示一个集合．
例如，某个代表团只有一个人，这个人本身和这个人构成的代表团是完全不同的；
②用列举法表示集合时，不必考虑元素的前后顺序．集合{1，2}与{2，1}表示同一个集合吗？
注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。
如：{直角三角形}；{大于104的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

正偶数构成的集合．它的每一个元素都具有性质“能被2整除且大于0”，而这个集合外的其
他元素都不具有这种性质，性质“能被2整除，且大于0”就是此集合的一个特征性质．
师：(1) 一个集合的特征性质不是唯一的．如平行四边形全体也可表示为
{
x
|
x
是有一组对边平行且相等的四边形}．
(2) 在几何中，通常用大写字母表示点(元素)，用小写字母表示点的集合．

通过练习，进一步突出重点，深化两种表示方法的灵活运用．



小

结
本节课学习了以下内容：
1. 列举法．
2. 性质描述法．
3. 比较两种表示集合的方法，分析它们所适用的不同情况．
分析总结：
1. 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法．
如：集合{2}．
2. 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用
描述法．
如：集合 {
x
?Q|1≤
x
≤4}．










1.1.3 集合之间的关系(一)
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..

【教学目标】
1. 理解子集、真子集概念；掌握子集、真子集的符号及表示方法；会用它们表示集合间的关系．
2. 了解空集的意义；会求已知集合的子集、真子集并会用符号及Venn图表示．
【教学重点】
子集、真子集的概念．
【教学难点】
集合间包含关系的正确表示．
【教学过程】

导
入
已知：
M
＝{－1，1 }，
N
＝{－1，1，
3}，
P
＝{
x
|
x
－1＝0}．问
1. 哪些集合表示方法是列举法？ 集合
M
与 集合
N
；集合
M
与集合
P
通过元素建立了
2
2. 哪些集合表示方法是描述法？ 某种关系，本节课，我们就来研究有关两个集合之间关
3. 集合
M
中元素与集合
N
有何
关系？集合
M
中元素与集合
P
有何
关系？


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系的问题．
1. 子集定义．
如果集合
A
的任何一个元素都是集 合
B
的元素，那么集合
A
叫做集合
B
的子集．
记作
A
?
B
或
B
?
A
；
读作 “
A
包含于
B
”，或“
B
包含
A
”．
2. 真子集定义．
如果集合
A
是集合
B
的子集，并且集 合
B
中至少有一个元素不属于
A
，那么集合
A
是集合
B
的真子集．
记作
A
?
?

B
(或
B
?
?

A
)；
读作 “
A
真包含于
B
”，
或“
B
真包含
A
”．
3. Venn图表示．
集合
B
同它的真子集
A
之间的关系，可用Venn图表示如下．





A
B

..


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课




























(2) 集合
B
的所有子集是
?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．
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4. 空集定义．
不含任何元素的集合叫空集．
记作 ?．
如，{
x
|
x
＜0}；{
x
|
x
＋1＝
x
＋2}，这两个集合都为空集．
5．性质．
(1)
A
?
A
任何一个集合是它本身的子集．
(2) ? ?
A

空集是任何集合的子集．
(3) 对于集合
A
，
B
，
C
，如果
A
?
B
，
B
?
C
，则
A
?
C
．
(4) 对于集合
A< br>，
B
，
C
，如果
A
?
?
B
，
B
?
?
C
，则
A
?
?
C
．

例1 判断：集合
A
是否为集合
B
的子集，若是则在( )打“√”，若不是则在( )打“×”．
(1)
A
＝{1，3，5}，
B
＝{1，2，3，4，5，6} ( )
(2)
A
＝{1，3，5}，
B
＝{1，3，6，9} ( )
(3)
A
＝{0}，
B
＝{
x

|

x
＋2＝0}
( )
(4)
A
＝{
a
，
b
，
c
，
d
}，
B
＝{
d
，
b
，
c
，
a
} ( )
例2 (1) 写出集合
A
＝{1，2}的所有子集及真子集．
(2) 写出集合
B
＝{1，2，3}的所有子集及真子集．
解 (1)集合
A
的所有子集是
?，{1}，{2}，{1，2}．
在上述子集中，除去集合
A
本身，即{1，2}，剩下的都是
A
的真子集．
2
2

..
在上述子集中，除去集合B
本身，即{1，2，3}，剩下的都是
B
的真子集．
练习 写出集 合
A
＝{
a
，
b
，
c
}的所有子集及真子 集．
解疑：不能．
因为集合的子集也包括它本身，而这个子集是由它的全体元素组成的．空 集是任一个集合的
子集，而这个集合中并不含有
B
中的元素．
理解子集及真子集的概念．
遵循从特殊到一般的认知规律，归纳出定义．


渗透数形结合的数学思想，提高学生的数学能力．


1.1.4 集合之间的关系(二)

【教学目标】
1. 理解两个集合相等概念．能判断两集合间的包含、相等关系．
2. 理解掌握元素与集合、集合与集合之间关系的区别．
【教学重点】
1. 理解集合间的包含、真包含、相等关系及传递关系．
2. 元素与集合、集合与集合之间关系的区别．
【教学难点】
弄清元素与集合、集合与集合之间关系的区别．
【教学过程】
环节

导
入
下列集合：
(1)
A
＝{1，3}，
B
＝{1，3，5，6}；
(2)
C
＝{
x
|
x
是长方形}，
教学内容
D
＝{
x
|
x
是平行四边形}；


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课


(3)
P
＝{
x
|
x
是菱形}，
Q
＝{
x
|
x
是正方形}；
(4)
S
＝{
x
|
x
＞3}，
T
＝{
x
| 3
x
－6＞3}；
(5) < br>E
＝{
x
|(
x
＋1)(
x
＋2)＝0}，
F
＝{－1，－2}．
如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等．
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..














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课


















记作
A
＝
B
．
读作 集合
A
等于集合
B
．
如果
A
?
B
，且
B
?
A
，那么
A
＝
B
；
反之，如果
A
＝
B
，那么
A
?
B
，且
B
?
A
．
例1 指出下面各组中集合之间的关系：
(1)
A
＝{
x
|
x
－9＝0}，
2
B
＝{－3，3}；
(2)
M
＝{
x
| |
x
|＝1}，
N
＝{－1，1}．
解 (1)
A
＝
B
；
(2)
M
＝
N
．
例2 判断以下各组集合之间的关系：
(1)
A
＝{2，4，5，7}，
B
＝{2，5}；
(2)
P
＝{
x
|
x
＝1}，
Q
＝{－1，1}；
(3)
C
＝{
x
|
x
是正奇数}，
D
＝{
x
|
x
是正整数}；
(4)
M
＝{
x
|
x
是等腰直角三角形}，
2
N
＝{
x
|
x
是有一个角是45?的直角三角形}．
解 (1)
B
?
?

A
；(2)
P
＝
Q
；(3)
C
?
?

D
；(4)
M
＝
N
．
练习1 用适当的符号 (?，
?，
＝
，
?
?
，
?
?
)填 空：
(1)
a
{
a
，
b
，
c
}；
(2) {4，5，6} {6，5，4}；
(3) {
a
} {
a
，
b
，
c
}；
(4) {
a
，
b
，
c
} {
b
，
c
}；
(5)
?
{1，2，3}；
(6) {
x
|
x
是矩形} {
x
|
x
是平行四边形}；
(7) 5 {5}；
(8) {2，4，6，8} {2，8}．
例3 指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：
A
＝{
x
|
x
是平行四边形}，
B
＝{< br>x
|
x
是菱形}，
C
＝{
x
|
x< br>是矩形}，
D
＝{
x
|
x
是正方形}．
解



练习2
集合
U
，
S
，
T
，
U
S
T
F
A
B
D
C
F
如图所示
，
下列关系中哪些是对的？哪些是错的？
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..




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课

小结

(1)
S
?
?

U
；(2)
F
?
?

T
；
(3)
S
?
?

T
；(4)
S
?
?

F
；
(5)
S
?
?

F
；(6)
F
?
?

U
．

1. 子集，真子集，集合相等．
2. 元素与集合、集合与集合的关系．
1.1.5 集合的运算(一)

【教学目标】
1. 理解交集与并集的概念与性质．
2. 掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集．
【教学重点】
交集与并集的概念与运算．
【教学难点】
交集和并集的概念、符号之间的区别与联系．
【教学过程】
环节



导

入



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课


教学内容
实例引入，以我校食堂每天买菜的品种构成的集合为例，引出集合运算的定义．
第一天买菜的品种构成的集合记为
A
＝{黄瓜，冬瓜，鲫鱼，虾，茄子}；
第二天买菜的品种构成的集合记为
B
＝{黄瓜，猪肉，毛豆，芹菜，虾，土豆}．
一、 集合的交
1. 交集的定义．
给定两个集合
A
，
B
，由既属于
A
又属于
B
的所有公共元素所构成的集合，叫做
A
，
B
的交集．
记作
A
∩
B
，
读作 “
A
交
B
”．
2. 交集的Venn图表示．

A




A (B)
A
B
B
A
B
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..
















新


课























3. 交集的性质．
(1)
A
∩
B

B
∩
A
；
(2) (
A
∩
B
)
∩ C

A
∩ (
B
∩
C
)；
(3)
A
∩
A
＝ ；
(4)
A
∩ ?＝?
A
＝ ．


例1(1) 已知：
A
＝{1，2，3}，
B
＝{3，4，5}，
C
＝{5，3}，
则
A
∩
B
＝ ；
B
∩
C
＝ ；
(
A
∩
B
)∩
C
＝ ．
例2(1) 已知
A
＝{
x
|
x
是奇数}，
B
＝{
x
|
x
是偶数}，Z＝{
x
|
x
是整数}，求
A
∩ Z，
B
∩
Z，
A
∩
B
．
解
A
∩ Z＝{
x
|
x
是奇数} ∩ {
x
|
x
是整数}＝{
x
|
x
是奇数}＝
A
；
B
∩ Z＝{
x
|
x
是偶数} ∩ {
x
|
x
是整数}＝{
x
|
x
是偶数}＝
B
；
A
∩
B
＝{
x
|
x
是奇数} ∩ {
x
|
x
是偶数}＝?．
二、 集合的并
1. 并集的定义． < br>给定两个集合
A
，
B
，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做
A
与
B
的并集
记作
A
∪
B
，
读作 “
A
并
B
”．
2. 并集的Venn图表示．



A
B
A
B
A (B)
A
B
3. 并集的性质．
(1)
A
∪
B

B
∪
A
；
(2) (
A
∪
B
)∪
C

A
∪(
B
∪
C
)；
(3)
A
∪
A
＝ ；
..下载可编辑..

..














新


课
















(4)
A
∪ ?＝?
A
＝ ．
例1(2) 已知：
A＝{1，2，3}，
B
＝{3，4，5}，
C
＝{5，3}．
则
A
∪
B
＝ ；
B
∪
C
＝ ；
(
A
∪
B
)∪
C
＝ ．
例2(2) 已知
A
＝{
x
|
x
是奇数}，
B
＝{
x
|
x
是偶数}，Z＝{
x
|
x
是整数}，求
A
∪ Z，
B
∪
Z，
A
∪
B
．
解
A
∪ Z＝{
x
|
x
是奇数} ∪{
x
|
x
是整数}＝{
x
|
x
是整数}＝Z；
B
∪ Z＝{
x
|
x
是偶数} ∪ {
x
|
x
是整数}＝{
x
|
x
是整数}＝Z；
A
∪
B
＝{
x
|
x
是奇数} ∪ {
x
|
x
是偶数}＝{
x
|
x
是整数}＝Z．
三、 综合应用
例3 已知
C
＝{
x
|
x
≥1}，
D
＝{
x
|
x
＜5}，求
C
∩
D
，
C
∪
D
．
解
C
∩
D
＝{
x
|
x
≥1} ∩ {
x
|
x
＜5}
＝{
x
| 1≤
x
＜5}；
C
∪
D
＝{
x
|
x
≥1}∪{
x
|
x
＜5}＝R．
练习1 已知
A
＝{
x
|
x
是锐角三角形}，
B
＝{
x
|
x
是钝角三角形}．
求
A
∩
B
，
A
∪
B
．
练习2 已知
A
＝{
x
|
x
是平行四边形}，
B
＝{
x
|
x
是菱形}，求
A
∩
B
，
A
∪
B
．
练习3 已知
A
＝{
x
|
x
是菱形}，
B
＝{
x
|
x
是矩形}，求
A
∩
B
．
例4 已知
A
＝{(
x
，
y
) | 4
x
＋
y
＝6}，
B
＝{(
x
，
y
)| 3
x
＋2
y
＝7}，求
A
∩
B
．
解
A
∩
B
＝{(
x
，
y
)| 4
x
＋
y
＝6} ∩ {(
x
，
y
)| 3
x
＋2
y
＝7}
＝{(
x
，
y
)
4
x
＋
y
＝6
?
|
?
}

?
3
x
＋2
y
＝7
＝{(1，2)}．
1.1.4 集合的运算（二)


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..
【教学目标】
1. 了解全集的意义；理解补集的概念，掌握补集的表示法；理解集合的补集 的性质；会求一个集合
在全集中的补集．

【教学重点】
补集的概念与运算．
【教学难点】
全集的意义；数集的运算．
【教学方法】
【教学过程】
环节

导
入
1. 复习提问：集合的交运算与并运算．
2. 实例引入，以我校食堂每天买菜的品种构成的集合为例：
计划购进的品种构成的集合记为
U
＝{黄瓜，冬瓜，鲫鱼，虾，茄子，猪肉，毛豆，芹菜，
土豆}；

已经购进的品种构成的集合记为
A
＝{黄瓜，鲫鱼，茄子，猪肉，芹菜，土豆}．


新

课















一、全集
1. 定义：我们在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某 一给定集合的子集，那么
称这个给定的集合为这些集合的全集．通常用字母
U
表示．
2. 特征：全集是一个相对的概念，是一个给定的集合，在研究不同问题时，全集也不一定相同．
我们在研究数集时，常常把实数集R作为全集．
二、补集
1. 定义．
如果
A
是全集
U
的一个子集，由
U
中的所有不属于
A
的元素构成的集合，叫做
A
在
U
中
的补集．
记作
U
A
．
读作 “
A
在
U
中的补集”．
2. 补集的Venn图表示．



U
A
C
U
A

例1 已知：
U
＝{1，2，3，4，5，6}，
A
＝{1，3，5}．
则
U
A
＝ ；
教学内容
A
∩
U
A
＝ ；
A
∪
U
A
＝ ．
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..


新


课



















解 {2，4，6}；?；
U
．
例2 已知
U
＝{
x
|
x
是实数}，Q＝{
x
|
x
是有理数}．
则
U
Q＝ ；
Q

∩
U
Q＝ ；
Q

∪
U
Q＝ ．
解 {
x
|
x
是无理数}；?；
U
．
3. 补集的性质．
(1)
A
∪
U
A
＝
U
；
(2)
A
∩
U
A
＝?

；
(3)
U
(
U
A
)＝
A

．

例3 已知全集
U
＝R，
A
＝{
x
|
x
＞5}，求
U
A
．

解
U
A
＝{
x
|
x
≤5}．
练习 1
(1) 已知全集
U
＝R，
A
＝{
x
|
x
＜1}，求
U
A
．
(2) 已知全集
U
＝R，
A
＝{
x
|
x
≤1}，求
U
A
．
练习2 设
U
＝{1，2，3，4，5，6 }，
A
＝{5，2，1}，
B
＝{5，4，3，2}．求
U
A
；
U
B
；
U
A
∩
U

B
；
U
A
∪
U
B
．
练习3 已知全集
U
＝R，
A
＝{
x
| -１<
x
< 1}．求
U
A
，
U
A
∩
U
，
U
A
∪
U
，
A
∩
U
A
，
A
∪
U
A
．

1.1.4 集合的运算（二)


【教学目标】
1. 了解全集的意义；理解补集的概念，掌握补集的表示法；理解 集合的补集的性质；会求一个集合
在全集中的补集．
【教学重点】
补集的概念与运算．
【教学难点】
全集的意义；数集的运算．
【教学方法】
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..
【教学过程】


导
入

1. 复习提问：集合的交运算与并运算．
2. 实例引入，以我校食堂每天买菜的品种构成的集合为例：
计划购进的品种构成的集合记为
U
＝{黄瓜，冬瓜，鲫鱼，虾，茄子，猪肉，毛豆，芹菜，
土豆}；



新

课

















新


课




已经购进的品种构成的集合记为
A
＝{黄瓜，鲫鱼，茄子，猪肉，芹菜，土豆}．
一、全集
1. 定义：我们在研 究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某一给定集合的子集，那么
称这个给定的集合为这些集合 的全集．通常用字母
U
表示．
2. 特征：全集是一个相对的概念，是一个给定的集合，在研究不同问题时，全集也不一定相同．
我们在研究数集时，常常把实数集R作为全集．
二、补集
1. 定义．
如果
A
是全集
U
的一个子集，由
U
中的所有不属于
A
的元素构成的集合，叫做
A
在
U
中
的补集．
记作
U
A
．
读作 “
A
在
U
中的补集”．
2. 补集的Venn图表示．



U
A
C
U
A

例1 已知：
U
＝{1，2，3，4，5，6}，
A
＝{1，3，5}．
则
U
A
＝ ；
A
∩
U
A
＝ ；
A
∪
U
A
＝ ．
解 {2，4，6}；?；
U
．
例2 已知
U
＝{
x
|
x
是实数}，Q＝{
x
|
x
是有理数}．
则
U
Q＝ ；
Q

∩
U
Q＝ ；
Q

∪
U
Q＝ ．
解 {
x
|
x
是无理数}；?；
U
．
3. 补集的性质．
(1)
A
∪
U
A
＝
U
；
(2)
A
∩
U
A
＝?

；
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(3)
U
(
U
A
)＝
A

．

例3 已知全集
U
＝R，
A
＝{
x
|
x
＞5}，求
U
A
．

解
U
A
＝{
x
|
x
≤5}．
练习 1
(1) 已知全集
U
＝R，
A
＝{
x
|
x
＜1}，求
U
A
．
(2) 已知全集
U
＝R，
A
＝{
x
|
x
≤1}，求
U
A
．
练习2 设
U
＝{1，2，3，4，5，6 }，
A
＝{5，2，1}，
B
＝{5，4，3，2}．求
U
A
；
U
B
；
U
A
∩
U

B
；
U
A
∪
U
B
．
练习3 已知全集
U
＝R，
A
＝{
x
| -１<
x
< 1}．求
U
A
，
U
A
∩
U
，
U
A
∪
U
，
A
∩
U
A
，
A
∪
U
A
．
1.2.2 子集与推出的关系

【教学目标】
1. 正确理解子集和推出的关系．
2. 掌握通过“推出”判断集合的关系．
【教学重点】
理解子集和推出的关系．
【教学难点】
理解通过“推出”判断集合的包含关系．
【教学过程】
环节



导

入


1. 口答下列各题：
(1)什么情况下
p
是
q
的充要条件？
(2)什么情况下
p
是
q
的充分条件？
(3)什么情况下
p
是
q
的必要条件？
2. 用充分条件、必要条件或充要条件填空：
(1)
x
是整数是
x
是有理数的 ；(2)
x
＞5是
x
＞3的 ．
1. 已知 Q＝{
x
|
x
是有理数}，R＝{
x
|
x
是实数}，Q是R的子集．
命题“如果
x
是有理数，则
x
是实数”正确．
教学内容
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新

课

















新


课

即：
x
是有理数?
x
是实数．
反过来，如果上述命题正确，那么有理数集Q也一定是实数集R的子集．
2. 山东省公民构成的集合一定是中国公民构成的集合的子集．

命题
“如果我是山东省公民，则我是中国公民”正确．
一般地，设
A
＝{
x
|
p
(
x
)}，
B
＝{
x
|
q
(
x
)}，如果
A
?
B
，则
x
?
A
?
x
?
B
．
于是
x
具有性质
p
?
x
具有性质
q
，即
p
?
q
； 反之，如果
A
中的所有元素
x
都具有性质
q
(
x
)，则
A
一定是
B
的子集．
例1 判断下列集合
A
与
B
的关系．
(1)
A
＝{
x
|
x
是12的约数}，
B
＝{
x
|
x
是36的约数}；(2)
A
＝{
x
|
x
＞3}，
B
＝{
x
|
x
＞5}；
(3)
A
＝{
x
|
x
是矩形}，
B
＝{
x
|
x
是有一个角为直角的平行四边形}．
解 (1) 因为
x
是12的约数?
x
是36的约数，
所以
A
?
B
．
(2) 因为
x
＞5 ?
x
＞3，
所以
B
?
A
．
(3) 因为
x
是矩形 ?
x
是有一个角为直角的平行四边形，
所以
A
?
B
．
练习1
教材P24 练习A组第1题．
例2 已知
A
＝{
x
|
x
是等腰三角形}，
B
＝{
x
|
p
(
x
)}，试确定一个集合
B
，使
A
?
B
．
解 因为
A
?
B
，
则
x
是等腰三角形?
x
具有性质
p
(
x
)，
p
(
x
)：
x
是三角形，
所以
B
＝{
x
|
x
是三角形}．
练习2

小
结
本节课学习了以下内容：
我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系．
设
A
＝{
x
|
p
(
x
)}，
B
＝{
x
|
q
(
x
)}，如果
p
?
q
，则
A
?
B
．
反之亦然．






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集合的含义与表示
1.用符号
?
或
?
填空：
（1）
23

{x|x?11}
；
（2）3
{x|x?n
2
?1,n?N
?
}
；
（3）
(?1,1)

{y|y?x
2
}
，
(?1,1)

{(x,y)|y?x
2
}.

2.用列举法表示下列集合：
（1）
{(x,y)|x?y?3,n?N,y?N}
； （2）
{(x,y)|y?x
2
?1,|x|?2,x?Z}.

?
x?y?3,
3.可以表示方程组
?
的解集是 。（写出所有正确答案的序号）
x?y??1
?
（1）
{x?1,y?2}
； （2）
{ 1,2}
；（3）
{(1,2)}
；（4）
{(x,y)|x?1,或y?2 }
；
x?1,
?
；
22
（5）
{(x,y)|x ?1,且y?2}
；（6）
?
(x,y)
?
??
（7）{(x,y)|(x?1)?(y?2)?0}.

?
y?2
?
4.设集合
A?{1,a,b},B?{a,a
2
,ab}
，且
A? B
，求实数
a,b.





5.已知 集合
M?{?2,3x
2
?3x?4,x
2
?x?4}
，若
2?M,
求
x.





集合间的基本关系
1.下列各组中的两个集合相等的有（ ）
①
P?{x|x?2n,n?Z},Q?{x|x?2(n?1),n?Z}
； ②
P?{x|x?2n?1,n?N
?
},Q?{x|x?2n?1,n?N?
}
；
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1?(?1)
n
③
P?{x|x?x?0}
，
Q?{x|x ?,n?Z}.

2
2
A．①②③





B．①③ C．②③ D．①②
2.设集合
A?{2,8 ,a},B?{2,a
2
?3a?4}
，且
A
?
B
，求
a
的值。
?
3.（1）已知集合
A?{1,3},B?{x| mx?3?0},
且
B?A
，则
m
的值是 。
（2）已知集合
A?{x|?2?x?5},B?{x|m?1?x?2m?1}
，若
B?A
，求实数
m
的取值范围。




4.（1）以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来。
①0与
{0}
；②0与
?
；③
?
与
{0}
；④
{0,1 }
与
{(0,1)}
；⑤
{(b,a)}
与
{(a,b)} .

（2）已知
A?{0,1},B?{x|x?A}
，则A与B的关系正确的是（ ）
A．
A?B

A．16个
B．
A
?
B

B．15个
?
C．
B
?
A

C．7个
?
D．
A?B

D．6个
5.（1）同时满足：①
M?{1,2,3,4,5}
；②
a?M
，则
6?a?M
的非空集 合M有（ ）
6.（1）已知集合X满足
{1,2}?X?{1,2,3,4,5}
，求所有满足条件的X。
（2）设集合
A?{x|x
2
?4x?0},B ?{x|x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0,a?R}
。若B?A
，求实数
a
的值。



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