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高中数学笔记大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 15:50
tags:高中数学集合

2016年高中数学课本-高中数学课没听过


高中数学笔记大全:囊括高一到高三
全部考点
高中数学第一章- 集合
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、
简易逻辑三部分:
二、知识回顾:
(一) 集合

1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;
符号的使用.
2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征:确定性、互异性、无序性.
集合的性质:
①任何一个集合是它本身的子集,记为
A?A

第 1 页 共 109



②空集是任何集合的子集,记为
?
?A

③空集是任何非空集合的真子集;
如果
A?B
,同时
B?A
,那么A = B.
如果
A?B,B?C,那么A?C
.
[注]:①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×)
②已知集合S 中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限
集.(×)(例:S=N; A=
N
?
,则C
s
A= {0})
③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B,则C
B
A =
?
, C
A
B =
?
C(= D ( 注 :
S
C
A
B)
C
A
B =
?
).
3. ①{(x

y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集.
②{(x

y)|xy<0,x∈R,y∈R
?
二、四象限的点集.
③{(x

y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集.
[注]:①对方程组解的集合应是点集.
例:
?
x?y?3
?
?
2x?3y?1
解的集合{(2,1)}.
②点集与数集的交集是
?
. (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y
=x
2
+1} 则A∩B =
?

4. ①n个元素的子集有2
n
个. ②n个元素的真子集有2
n
-1
个. ③n个元素的非空真子集有2
n
-2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题
?
逆命题.
②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题
?
逆否命
第 2 页 共 109



题.
例:①若
a?b?5,则a?2或b?3
应是真命题.
解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真.

x?1且y?2,

x?y?3
.
解:逆否:x + y =3
?x?1且y?2
x?y?3
x = 1或y = 2.
,故
x?y?3

x?1且y?2
的既不是充分,又不是 必
要条件.
⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围.
3. 例:若
x?5,?x?5或x?2
.
4. 集合运算:交、并、补.
交:AB?{x|x?A,且x?B}
并:AB?{x|x?A或x?B}
补:C
U
A?{x?U,且x?A}

5. 主要性质和运算律
(1) 包含关系:
A?A,??A,A?U,C
U
A?U,
A?B,B?C?A?C;AB?A ,AB?B;AB?A,AB?B.

(2) 等价关系:
A?B?AB?A?AB?B?CB?U
U
A
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)从右向左,从上向下,奇穿偶回,
零点讨论
①将不等式化为a
0
(x-x
1
)(x-x
2
)…(x-x
m
)>0(<0)形式,并将
各因式x的系数化“+”;(为了统一方便)
第 3 页 共 109



②求根,并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?);
④若不等式(x的系数化“+”后 )是“>0”,则找“线”
在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在
x轴下方的 区间.
x
1
x
m-3
x
2
x
3
-
x
m-2
x
m-1
+
-
x
m
+
x

(自右向左正负相间)
则不等式
a
0x
n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
?
?
?a
n
?0(?0)(a
0
?0)< br>的解可以根据各
区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论.


??0

??0


??0

2
二次函

y?ax
2
?bx?c


a?0
)的
图象



一元二次有两相异实
方程 根
有两相等
实根


第 4 页 共 109



ax
2
?bx?c?0
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)


?
a?0< br>?
的根
x
1
?x
2
??
b
2a
实根

ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集

?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
b
?
?
xx??
?

2a
??

R
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集

?
xx
1
?x?x
2
?


?



?


2.分式不等式的解法
(1)标准化:移项通分化为
f(x)
≤0)的形式,
g(x)
f (x)
>0(或
f(x)
<0);
f(x)
≥0(或
g( x)g(x)g(x)
(2)转化为整式不等式(组)
f(x)f(x)
f(x)g( x)?0

?0?f(x)g(x)?0;?0?
?
?
g(x)?0
?
g(x)g(x)
3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法:
a x?b?c
,与
ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法.
(2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方
法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解
第 5 页 共 109



2


之.
(2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思
想分析列式解之.
(三)简易逻辑
1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不 含有逻
辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词
“或”、“且”、“非”构成的命 题是复合命题。
构成复合命题的形式:p或q(记作“p∨q” );p且q(记
作“p∧q” );非p(记作“┑q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”
的真值判断
(1)“非p”形式复合命题的
真假与F的真假相反;
原命题
若p则q


否命题
若┐p则┐q






逆命题
若q则p

逆否命题
若┐q则┐p





(2)“p 且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其
他情况时为假;
(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其
他情况时为真.
4、四种命题的形式:
原命题:若P则q; 逆命题:若q则p;
否命题:若┑P则┑q;逆否命题:若┑q则┑p。
第 6 页 共 109



(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命
题;
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命
题是逆否命题.
5、四种命题之间的相互关系:
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题
?
逆否命题)
①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真,它的否命题不一定为真。
③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p
?
q那么我们说,p是q的充分条件,q是
p的必要条件。
若p
?
q且q
?
p,则称p是q的充要条件,记为p?q.
7、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已
知、公理、定理…)矛盾,从而否定假设证 明原命题成立,这
样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构:
第 7 页 共 109



定义
F:A
?
B
反函数
映射
函数< br>一般研究
图像
性质
二次函数
具体函数指数
指数函数
对数
对数函数

二、知识回顾:
(一) 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应
法则是起决定作用的要素,因为这二者 确定后,值域也就相应
得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才
是同一函数 .
(二)函数的性质
⒈函数的单调性
定义:对于函数f(x)的定义域I内某个 区间上的任意两个
自变量的值x
1
,x
2,

⑴若当x1
2
时,都有f(x
1
)2
), 则说f(x)在这个区间上是增函
数;
⑵若当x
1
2
时,都有f(x
1
)>f(x
2
),则说f(x) 在这个区间上是减函
数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数
第 8 页 共 109



y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数
y=f(x )的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
正确理解奇、偶 函数的定义。必须把握好两个问题:
(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数
f(x)
为奇
函数或偶函数的必要不充分条件;(2)
f(?x)?f(x)

f( ?x)??f(x)
是定义域上的恒等式。
2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函 数
的图象关于
y
轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也
可以利用函数图象的对 称性去判断函数的奇偶性。
3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增
减性相反.
4.如果
f(x)
是偶函数,则
f(x)?f(|x|)
,反之亦成 立。
若奇函数在
x?0
时有意义,则
f(0)?0


7. 奇函数,偶函数:
⑴偶函数:
f(?x)?f(x)

设(
a,b
)为偶函数上一点,则(
?a,b
)也是图象上一点.
偶函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于
y
轴对称,例如:< br>y?x
2
?1

[1,?1)
上不是偶函
数. ②满足
f(?x)?f(x)
,或
f(?x)?f(x)?0
,若
f(x)?0
时,
⑵奇函数:
f(?x)??f(x)

第 9 页 共 109



f(x)
?1
.
f(?x)


设(
a,b< br>)为奇函数上一点,则(
?a,?b
)也是图象上一点.
奇函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称,例如:
y?x3

[1,?1)
上不是奇函
数.
②满足
f(?x) ??f(x)
,或
f(?x)?f(x)?0
,若
f(x)?0
时,
y轴对称
???y?f(?x)
8. 对称变换:①y = f(x)
??

x轴对称
???y??f(x)
②y =f(x)
??

f(x)
??1
.
f(?x)
????y??f(?x)
③y =f(x)
?
原点对称

9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的 一定要分子
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)
2222
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?b?x
2
?b?
有理化,例如:


在进行讨论.
22
x
x
?b
2
?x
1< br>?b
2
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如:已知函数f(x)= 1+
x
的定义域为
1?x
A,函数f[ f(x)]
的定义域是B,则集合A与集合B之间的关系是 .
解:< br>f(x)
的值域是
f(f(x))
的定义域
B

f( x)
的值域
?R
,故
B?R
,而
A
?
?< br>x|x?1
?
,故
B?A
.
11. 常用变换:

f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?
证:
f(x?y)?
f (x)
.
f(y)
f(y)
?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x? y)f(y)

f(x)
B?A
)?f(x)?f(y)?f(x?y)?f (x)?f(y)

f(
x
y
第 10 页 共 109 页


x
证:
f(x)?f(
x
?y)?f()?f(y)

yy
12. ⑴熟悉常用函数图象:
y?2

|x|
关于
y
轴对称. 例:
|x|
|x?2|
?
1
?
y?
??
?
2
?
|x?2|

?
1
?
y?
? ?
?
2
?
|x|

?
1
?
y?< br>??
?
2
?



y
y
(0,1)
x
x


y


y
x
(-2,1)
x

y?|2x
2< br>?2x?1|

|y|
关于
x
轴对称.

⑵熟悉分式图象:
2
y
例:
y?
2x?1?2?
7
?
x?3x?3
定义域
{x|x?3,x?R}

x
3
值域
{y|y?2,y?R}
→值域
?
x
前的系数之比.
(三)指数函数与对数函数

x
指数函数
y?a(a?0且a?1)
的图象和性质




-4-3
a>1
4.5
4
3.5
04.5
4
3.53
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
y=1
1
0.5
y=1
0.5
-2-11234
-4-3-2-11234
-0.5
-0.5

-1
-1

第 11 页 共 109 页





(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)x>0时,y>1;x<0
时,0(5)在 R上是增函数 (5)在R上是减函数
(4)x>0时,01.
对数函数y=log
a
x的图象和性质:
对数运算:
loga
(M?N)?log
a
M?log
a
N
(1)
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
N
1
log
a
M
n
log
b
N
l og
b
a
log
a
M
n
?nlog
a?
?M
?
12)
log
a
n
M?
a< br>log
a
N

?N
换底公式:log
a
N?
推论:log
a
b?log
b
c?log
c
a?1
?log
a
1
a
2
?log
a
2
a
3
?...?log
a
n?1
a
n
?loga
1
a
n
(以上
M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b ?1,c?0,c?1,a
1
,a
2
...a
n
?0且?1







第 12 页 共 109 页




a>1
y
0y=log
a
x
a>1




O
x








x=1
a<1
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)过点(1,0),即当

x=1时,y=0

(4)
x?(0,1)


x?(0,1)

y?0







y?0

x?(1,??)

y?0

x?(1,??)
时 y>0
(5)在(0,+∞)
上是增函数
在(0,+∞)上是减函






第 13 页 共 109 页


注⑴:当
a,b?0
时,
log(a?b)?log(?a) ?log(?b)
.
⑵:当
M?0
时,取“+”,当
n
是 偶数时且
M?0
时,
M
故取“—”.
例如:
log
a
x
2
?
2log
a
x
?
(2log< br>a
x
中x>0而
log
a
x
2
中x∈R).

y?a
x

a?0,a?1
)与
y?loga
x
互为反函数.

a?1
时,
y?log
a
x

a
值越大,越靠近
x
轴;当
0?a?1时,则相反.


(四)方法总结
⑴.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算:
loga
(M?N)?log
a
M?log
a
N
(1)
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
N
1
log
a
M
n
log
b
N
l og
b
a
n
?0
,而
M?0

loga
M
n
?nlog
a
?
?M
?
12)
log
a
n
M?
a
log
a
N

?N
换底公式:log
a
N?
推论:log
a
b? log
b
c?log
c
a?1
?log
a
1
a
2
?log
a
2
a
3
?...?log
a
n?1
a
n
?log
a
1
a
n
(以上
M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a
1
,a
2
...a
n
?0且?1


注⑴:当a,b?0
时,
log(a?b)?log(?a)?log(?b)
.
⑵:当
M?0
时,取“+”,当
n
是偶数时且
M?0
时,
M
故取“—”.
第 14 页 共 109 页

n
?0
,而
M?0


例如:
log
a
x
2
?
2log
a
x
?
(2l og
a
x
中x>0而
log
a
x
2
中x∈ R).

y?a
x

a?0,a?1
)与
y?l og
a
x
互为反函数.

a?1
时,
y?log
a
x

a
值越大,越靠近
x
轴;当
0?a ?1
时,则相反.
⑵.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数
法.
⑶.反函数的求法:先解x,互换x、y,注明反函数的定义
域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不
等关系式,求解即可求得函数的定义域.常 涉及到的依据为①
分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数
大于0,底数大 于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;
⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域 的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式
法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单 调性
法.
⑹.单调性的判定法:①设x
1
,x
2
是所研究 区间内任两个自
变量,且x
1
<x
2
;②判定f(x
1)与f(x
2
)的大小;③作差比较
或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法 :首先考察定义域是否关于原点对称,
再计算f(-x)与f(x)之间的关系:①f(-x)=f(x )为偶函数;
f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(- x)=0
为奇;③f(-x)f(x)=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
第 15 页 共 109 页


⑻.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连
光滑曲线;②利用熟 知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;
③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学 第三章 数列
考试内容:
数列.
等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式.
等比数列及其通项公式.等比数列前n项和公式.
考试要求:
(1)理解数列的概 念,了解数列通项公式的意义了解递推公
式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几< br>项.
(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n
项和公式,并能解决 简单的实际问题.
(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n
项和公式,井 能解决简单的实际问题.
§03. 数 列 知识要点





数列
数列的定义
数列的有关概念
数列的通项
数列与函数的关系

项数
通项
第 16 页 共 109 页







等差数列




定义
递推
公式
通项
公式
中项
A?
a
n?k
?a
n?k
2
G??a
n? k
a
n?k
(a
n?k
a
n?k
?0)
等 差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前n项和
等差数列
a
n?1
?a
n
?d

a
n
?a
n?1
?d

a
n
?a
m?n
?md
等比数列
a
n?1
?q(q?0)

a
n
a
n
?a
n?1
q

a
n
?a< br>m
q
n?m

a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n
?a
1
q
n?1

a
1
,q?0


n
,
k?N
*
,
n?k?
0


n

n
,
k?N
*
,
n?k?
0

?
na
1
(q?1)
?
S
n
?
?
a
1
1?q
n
a?aq
?
1n
(q?2)
?
1?q
?
1?q
S
n
?
n
(a
1
?a
n
)
2


项和
S
n
?na
1
?
n(n?1)
d< br>2
??

重要

性质

m?n?p?q)

a
m
?a
n
?a
p< br>?a
q
(m,n,p,q?N
*
,

a
m< br>?a
n
?a
p
?a
q
(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)
第 17 页 共 109 页


1. ⑴等差、等比数列:

定义
通项
等差数列
{a
n
}为A?P?a
n?1
?a
n
?d(常数)

等比数列
{a
n
}为G?P?
a
n?1
a
n
?q(常数)
n?1n?k
a
n
=
a
1
+(n -1)d=
a
k
+(n-k)
a
n
?a
1
q?a
k
q

公式
d=
dn
+
a
1
-d
求和
公式
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d
22

d
2
d
?n?(a
1
?)n
22
s
n
?

(q?1)
?
na
1
?
s
n
?
?
a
1
(1?q
n< br>)
a
1
?a
n
q

?(q?1)
?
1?q1?q
?

中项
A=
a?b
2
推广:
G
2
?ab
2
。推广:
公式
2
a
n
=
a
n?m
?a
n?m




4

1
若m+n=p+q
a< br>n
?a
n?m
?a
n?m

则 若m+n=p+q, 则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

a
m
a
n
?a
p
a
q

2

{k
n
}
成A.P(其中
k
n?N
)若
{k
n
}
成等比数列 (其中

{a
k
}
也为A.P。
n
k
n
?N
),则
{a
k
n
}
成等比数
列。
3

s
n
,s
2n
?s
n
,s
3n
?s
2n
成等差
数列。
d?
a
n
?a
1
a
m
?a
n
?(m?n)

n?1m?n
s
n
,s
2n
?s
n
,s
3n
?s
2n
成等比数
列。
q
n?1
?
a
n
a
1

q
n?m
?
a
n
a
m

(m?n)

5
第 18 页 共 109 页


⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法:

a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
< br>②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
)

a
n
?kn?b
(
n,k
为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法:

a
n
?a
n ?1
q(n?2,q为常数,且?0)


a
n
2
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2

a
n< br>a
n?1
a
n?1
?0
)
注①:i.
b?ac



,是a

b

c 成等比的双非条件,即
b?ac
a

b

c等比数列.
ii.
iii.
iv.
b?ac
(ac>0)→为a

b

c等比数列的充分不必要.
a

b

c等比数列的必要不充分.
b??ac
→为
b??ac

ac?0
→为a

b

c等比数列的充要.
注意:任意两数a

c不一定有等比中项,除非有ac>0,则
等比中项一定有两个.

a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
log
xa
n
}(
x?1
)成等比数
列.
?
s
1
?a
1
(n?1)
a?
⑷数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系:< br>n
?
s?s(n?2)

n?1
?
n
[注]: ①
a
n
?a
1?
?
n?1
?
d?nd?
?
a
1
?d
?

d
可为零也可不为零→为等差数
列充要条件(即常数列也是等差 数列)→若
d
不为0,则是等
差数列充分条件).
第 19 页 共 109 页


d
d
?
2
?
d
?
②等差{
a
n
}前n项和
S
n
?An
2
?Bn?< br>?
??
n?
?
a
1
?
?
n
→可以为零也可
22
????
2
不为零→为等差的充要条件→若
d< br>为零,则是等差数列的充分
条件;若
d
不为零,则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,
..
即不可能有等比数 列)
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列,其公差为原公
差的k
2

S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
...

②若等差数列的项数为2
n
?
n?N
?
,则
S

?S

?nd,
S< br>?
S


?
a
n
a
n?1

③若等差数列的项数为
2n?1
?
n?N
?
?
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n,且
S

?S

?a
n

S

S

?
n
n?1

.
2

?代入n到2n?1得到所求项数
3. 常用公式:①1+2+3 …+n =
n
?
n?1
?


1
2
?2
2
?3
2
??n
2
?
n
?
n?1
??
2n?1
?

6

?
n
?
n?1
?
?
1
3
?2
3?3
3
?n
3
?
??
?
2
?
2

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,…
?a
n
?10< br>n
?1
; 5,55,
555,…
?a
n
?
5
?
10
n
?1
?
.
9
4. 等比数列的前
n
项和公式的常见应用题:
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例 如,第一年产量为
a

年增长率为
r
,则每年的产量成等比数列,公 比为
1?r
. 其中第
n
年产量为
a(1?r)
n?1,且过
n
年后总产量为:
2n?1
a?a(1?r)?a(1?r)? ...?a(1?r)
a[a?(1?r)
n
]
?.

1?(1?r)
第 20 页 共 109 页


⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存
a
元, 利息为
r
,每月利息按复利计算,则每月的
a
元过
n
个月< br>后便成为
a(1?r)
n
元. 因此,第二年年初可存款:
a(1? r)
12
?a(1?r)?a(1?r)
1110
a(1?r)[1?(1? r)
12
]
?...?a(1?r)
=
1?(1?r)
.
⑶分期付款应用题:
a
为分期付款方式贷款为a元;m为m个
月将款全部付清 ;
r
为年利率.
a
?
1?r
?
?x
?< br>1?r
?
mm?1
?x
?
1?r
?
m?2< br>?......x
?
1?r
?
?x?a
?
1?r?
m
x
?
1?r
?
m
?1ar
?1?r
?
m
??x?
r
?
1?r
?
m
?1

5. 数列常见的几种形式:

a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
(p

q为二阶常数)
?< br>用特证根方法求解.
具体步骤:①写出特征方程
x
2
?Px?q
x
2
对应
a
n?2
,x对应
a
n? 1
),
并设二根
x
1
,x
2
②若
x
1
?x
2
可设
a
n.
?c
1
x
n
1
?c
2
x
n
,若
x
1
?x< br>2
可设
a
n
?(c
1
?c
2
n)x
n
1

2
③由初始值
a
1
,a
2
确定
c
1
,c
2
.

a
n?Pa
n?1
?r
(P

r为常数)
?
用①转 化等差,等比数列;②逐
项选代;③消去常数n转化为
a
n?2
?Pa
n?1
?qa
n
的形式,再用特征根
方法求
a
n
;④
a
n
?c
1
?c
2
P
n?1
(公式法),
c
1
,c
2

a
1
,a2
确定.
①转化等差,等比:
a
n?1
?x?P(a
n
?x)?a
n?1
?Pa
n
?Px?x?x?
P
r
?1
.
②选代法:
a
n
?Pa
n?1
?r?P(Pa
n?2
?r)?r?
??a
n
?(a
1?
P
r
?1
)P
n?1
?
P
r
?1
?(a
1
?x)P
n?1
?x

?P
n?1
a
1
?P
n?2
?r?
?
?Pr?r.
征方程求
.
结果:
解:③用特
a
n?1
?Pa
n
?r
?
?
a
n?1
?a
n
?Pa
n
?Pa
n?1
?a
n?1
?(P?1)a
n
?Pa
n?1
?
相减,
a
n
?Pa
n ?1
?r
?
④由选代法推导
第 21 页 共 109 页


c
1
?
rrrr
,c
2
?a
1
?,a
n
?c
2
P
n?1
?c
1?(a
1
?)P
n?1
?
1?PP?1P?11?P
.
6. 几种常见的数列的思想方法:
⑴等差数列的前
n
项和为
S< br>n
,在
d?0
时,有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值,有两种方法:
dn
2
?(a
1
?)n
利用二一是求使
a
n?0,a
n?1
?
0
,成立的
n
值;二是由
S
n
?
d
22
次函数的性质求
n
的值.
⑵ 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应
项乘积,求此数列前
n
项和可 依照等比数列前
n
项和的推倒导
方法:错位相减求和. 例如:
1?
1
,3
1
,...(2n?1)
24
1
2
n
,...

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数
列的首项就 是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公

d
1
,d
2的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定< br>义法:对于n≥2的任意自然数,验证
a
n
?a
n?1
(a
n
(2)
)
为同一常数。
a
n?1
通项公式 法。(3)中项公式法:验证
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n
2
?1
?a
n
a
n?2
) n?N

成立。
3. 在等差数列{
a
n
}中,有关S
n
的最值问题:(1)当
a
1
>0,d<0时,
?
a
m
?0
满足
?
的项数
a?0
?
m?1
?
a
m
?0
的项数
?
?
a
m?1
?0
m使得
s
m< br>取最大值. (2)当
a
1
<0,d>0时,满足
m使得
s< br>m
取最小值。在解含绝对值的数列最值
问题时,注意转化思想的应用。
第 22 页 共 109 页


(三)、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等
比数列的数列。

?
c
?
2.裂项相消法:适用于
??
其中{
a< br>n
}是各项不为
?
a
n
a
n?1
?
0的
等差数列,c为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方
法.
5.常用结论
1): 1+2+3+...+n =
n(n?1)
2
a
n
}是等差数列,
?
b
n
?


2) 1+3+5+...+(2n-1) =
n
2


1
?3)
1?2???n?
?
n(n?1)
?
2
?
??
333
2

4)
1
2
? 2
2
?3
2
???n
2
?
1
n(n?1) (2n?1)

6
5)
6)
111
??

n(n?1)nn?1

1111
?(?)

n(n?2)2nn?2
1111
?(?)(p?q)

pqq?ppq
高中数学第四章-三角函数
考试内容:
角的概念的推广.弧度制.
任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的
第 23 页 共 109 页


基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
正弦函数、余弦函数的图像和 性质.周期函数.函数y=Asin(ω
x+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角 .
正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
考试要求:
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角
度的换算.
(2)掌握 任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正
割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌 握正弦、
余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义.
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二
倍角的正弦、余弦、正切公式.
(4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求
值和恒等式证明.
(5 )理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会
用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin(ωx+φ)的
简图,理解A.ω、φ的物理意义.
(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号
arcsinxarc- cosxarctanx表示.
(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角
形.
第 24 页 共 109 页


(8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sinαcosα=tanα,tanα?cosα=1”.
§04. 三角函数 知识要点
1. ①与
?
(0°≤
?
<360°)终边相同的角的集合(角
?
与角
?
的终

边重合):
?
?
|
?
?k?360
?
?
?
,k?Z
?

?
y
2
sinx
1
cosx
cosx
3
sinx
4
②终边在x轴上的角的集合:
?
?
|
?
?k?180,k?Z
?

c osx
③终边在y轴上的角的集合:
?
?
|
?
?k?180
?
x
?90,k?Z
1
?
cosx
?
< br>sinx
sinx
3
2
4
④终边在坐标轴上的角的集合:?
?
|
?
?k?90
?
,k?Z
?

、2、3、4表示第一、二、三、
k?Z
?
⑤终边在y=x轴上的角的集 合:
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?< br>,
1
四象限一半所在区域
SINCOS
三角函数值大小关系图
⑥终边在
y??x
轴上的角的集合:
?
?
|
?
?k ?180
?
?45
?
,k?Z
?

⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对称,则角
?
与角
?
的关 系:
?
?360
?
k?
?

⑧若角
?与角
?
的终边关于y轴对称,则角
?
与角
?
的关系:< br>?
?360
?
k?180
?
?
?

⑨若角
?
与角
?
的终边在一条直线上,则角
?
与角
?
的关系:
?
?180
?
k?
?

⑩角< br>?
与角
?
?360
?
k?
?
?90
?

?
的终边互相垂直,则角
?
与角
?
的关系:
2. 角度与弧度的互换关系:360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745
1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧
度数为零.
第 25 页 共 109 页


、弧度与角度互换公式: 1rad=
180
°≈57.30°=57°18
?
ˊ. 1°=
?
180
≈0.01745(rad)
22
3、弧长公式:
l?|
?
|?r
. 扇形 面积公式:
s
扇形
?
1
lr?
1
|
?|?r
2

4、三角函数:设
?
是一个任意角,在
?< br>的
边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P
原点的距离为r,则
tan
?
?
y
x
y
y
a
的终边
P(x, y)
r


y
sin
?
?
r
x< br>;
cos
?
?
x

r
o
x

cot
?
?
x

sec
?
?
r
;.
csc
?
?
r
.
y
5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
y
-+
o
-+x
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、 余切
O
y
y
P
T
M
A
x


6、三角函数线
正弦线:MP; 余弦线:
OM; 正切线: AT.

7. 三角函数的定义域:
三角函数
f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
16. 几个重要结论
:
(1)
y< br>(2)
y
|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
O
x
|cosx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
c osx>sinx
|sinx|>|cosx|
?
(3) 若 o2
定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?
2
??
cos
?
co
?
s
?c o
?
t
si
?
n

8、同角三角函数的基本关系式:
sin
?
?tan
?

sin
2
?
?cos
2
?
?1

ta
?
n?co
?
t?1

第 26 页 共 109 页


9、诱导公式:

k
?
?
?
的三 角函数化为
?
的三角函数,概括为:
2
“奇变偶不变,符号看象限”
三角函数的公式:(一)基本关系

(二)角与角之间的互换

cos(
?
?
?
)? cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin?


si2n
?
?2si
?
nco
?
s
co2s
?
?co
2
s
?
?si
2
n
?
?2co
2
s
?
?1?1?2si
2
n
?



ta2n
?
?
sin??
2
2ta
?
n
1?tan
?
2

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?

tan
?
?tan< br>?
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
?
1?co
?< br>s

2
tan(
?
?
?
)?

2
cos
?
2
??
1?cos
?
2
?

tan(
?
?
?
)?
?

1?cos
?

tan

??
1? cos
?
sin
?
1?cos
?
?
1?cos?
sin
?
sin15
?
?cos75
?
?< br>6?2
sin75
?
?cos15
?
?
4
,
6?2
tan15
?
?cot75
?
?2?3
ta n75
?
?cot15
?
?2?3
4
,
,.
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

定义域
值域
周期性
奇偶性


y?sinx
R
[?1,?1]

y?cosx
y?tan

x
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?
2
??
y?Asin
?
?
x?
?
?< br>
(A、
?
>0)
R R

[?1,?1]


2
?

2
?

R
?

奇函


?
?A,A
?

2
?
?

奇偶函
?
?0,
非奇
函数 数 非偶

?
?0,
奇函
第 27 页 共 109 页









单调性
[?
?
[
?
2k?1
?
?
,
?2 k
?
,
2k
?
]
2
?
?
?
?
?
??k
?
,?k
?
?
2
?
2
?
?
2
?2k
?
]
;上为上为增函数
上 为增函数(
k?Z

增函
[2k
?
,

?
2k?1
?
?
]
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
?< br>?
?
2
(?A)
?
?
?
??
??
上为增函数;
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),< br>?
?
?
?
3
?
?
?
?
?< br>2
(?A)
?
?
?
??
?
数;上为减
[?2k
?
,
函数
2
3
?
?2k
?
]

k?Z

2
?
?
上为

减函


k?Z
上为减函数

k?Z


注意:①
y??sinx

y?sinx
的单调性正好 相反;
y??cosx

y?cosx


单调性也同样相 反.一般地,若
y?f(x)

[a,b]
上递增(减),则
y?? f(x)

[a,b]
上递减(增).
O
x
y

y?sinx

y?cosx
的周期是
?
.
③< br>y?sin(
?
x?
?
)

y?cos(
?
x?
?
)

?
?0
)的周期
T?
2
?
.
?
y?tan
x
2
的周期为2
?

T?
?
?
?T?2
?
,如图,翻折无效).

y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
?

k?Z
),对称中心(
k
?
,0
);
2
y(?soc
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?

k?Z
),对称中心(
k
?
?
1
?
,0
);
2
第 28 页 共 109 页


y?tan(
?
x?
?
)
的对称中心(k
?
,0
).
2
y?cos2x?
原点对称
????y??cos(?2x)??cos2x

?
(k?Z)

tan
?
·⑤当
tan
?
·
tan
?
?1 ,
?
?
?
?k
?
?
?
tan
?< br>??1,
?
?
?
?k
?
?(k?Z)
. < br>22
?
?

y?cosx

y?sin
?< br>?
x??2k
?
?
是同一函数,而
y?(
?
x?
?
)
是偶函数,则
?
2
?
1
y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
??
)??cos(
?
x)
2
.
⑦函数
y?tanx

R
上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单
调递增. 若在整个定义域,
y?tanx
为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对 称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.
(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原 点对称(奇偶都要),
二是满足奇偶性条件,偶函数:
f(?x)?f(x)
,奇函数 :
f(?x)??f(x)

奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:
y?t anx
是奇函数,
1
y?tan(x?
?
)
是非奇非偶.( 定义域不关于原点对称)
3
奇函数特有性质:若
0?x
的定义域,则
f(x)
一定有
f(0)?0
.(
0?x
的定义域,则无此性质)


y?sinx
不是周期函数;
y?sinx
为周期函数 (
T?
?
);
x
y

y
y?cosx< br>是周期函数(如图);
y?cosx
为周期函数(
T?
?
);
y=cos|x|图象
12
x
1
y?cos2x?
2
的周期为
?
(如图),并非所有周期函数都有最小正周
y=|cos2x+12|图 象
期,例如:
y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.

y?acos
?
?bsin
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)?cos
?
?
b

a

a
2
?b
2
?y
.
11、三角函数图象的作法:
1)、几何法:
第 29 页 共 109 页


2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),
三点二线作图法(正 、余切曲线).
3)、利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换
等.
函数y=Asin(ωx +φ)的振幅|A|,周期
T?
2
?
,频率
f?
1
?
|
?
|

|
?
|
T2
?
相位
?
x?
?
;
初相
?
(即当x=0时的相位) .(当A>0,ω>0 时
以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐 标保持不变,纵坐标伸长
(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用yA
替换y)
由y=s inx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长
(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的
|
1
|
倍,得到y=sin
?
ω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx
替换x)
由y=sinx的图象 上所有的点向左(当φ>0)或向右(当
φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的 图象,
叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)
由y=sinx的图象上 所有的点向上(当b>0)或向下(当
b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫 做沿
y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)
第 30 页 共 109 页


由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)
(A>0 ,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和
相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量 伸缩量的区别。

高中数学第五章-平面向量
§05. 平面向量 知识要点
1.本章知识网络结构

2.向量的概念
(2)向量的表示:几何表(1)向量的基本要素:大小和方向.
示法
AB
;字母表示:a;
坐标表示法 a=
xi

yj=(



).
(3)向量的长度:即向量的大小,记作|a| .
(4)特殊的向量:零向量a=O
?
|a|=O.
单位向量a
O< br>为单位向量
?
|a
O
|=1.
(5)相等的向量:大小相等, 方向相同
?
x
1
?x
2

2

?
?
?
y
1
?y
2




(

1


1
)=(

2


(6) 相反向量:a=-b
?
b=-a
?
a+b=0
(7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行
第 31 页 共 109 页


向量.记作a∥
b
.平行向量也称为共线向量.










3.向量的运算
运算类


坐标方法 运算性质
a?b?b?a

几何方法
向量的 1.平行四边形法则
加法 2.三角形法则
向量的
减法




a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

(a?b)?c?a?(b?c)

AB?BC?AC

三角形法则
1.
?
a
是一个向量,
满足:
|?
a|?|
?
||a|

2.
?
>0时,
?
a与a

向;
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

a?b?a?(?b)

AB??BA
,
OB?OA?AB

?
(
?
a)?(
??
)a

?
a?(
?
x,
?
y)

(
?< br>?
?
)a?
?
a?
?
a

?
(a?b)?
?
a?
?
b

ab?a?
?
b

第 32 页 共 109 页


?
<0时,
?
a与a

向;
?
=0时,
?
a?0
.






4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
a?b
是一个数
a?b?b?a

(
?
a)?b ?a?(
?
b)?
?
(a?b)

1.
a?0或b?0
时,
a?b?0
.
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

(a?b)?c?a?c?b?c

2.
a?0且b?0时,
ab?|a||b|cos(a,b)

a?|a|
2
即|a|=x
2
?y
2
|a?b|?|a|| b|

2

e
1
,e
2
是同一平面内两个 不共线的向量,那么,对于这个
平面内任一向量,有且仅有一对实数λ
1

λ
2
,使a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥b
?
a=λb(b
0)
?
x
1
y
2
-x
2
y
1
=O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b
?
a· b=O
?
x
1
x
2
+y
1
y
2< br>=O.
(4)线段的定比分点公式
PP
2
设点
P
分有向线段
P
1
P
2
所成的比为λ,即
P
1
P
=λ

,则
第 33 页 共 109 页


OP

11
OP
1

OP
2
(线段的定比分点的向量公式)
1?
?
1?
?

?
x?
?
?
?
?
y?
?
?
x< br>1
?
?
x
2
,
1?
?
(线段定比 分点的坐标公式)
y
1
?
?
y
2
.
1?< br>?

当λ=1时,得中点公式:
x
1
?x
2
?
x?,
?
1
?
2
OP
=(
OP

1

OP
2
)或
?
2
y?y
2
?
y?
1
.
?
2
?
(5)平移公式
设点
P
(x,y)按向量a=(



)平移后得 到点
P
′(x′,
y′),

OP
?

OP
+a或
?
?
x
?
?x?h,

?y
?
?y?k.
曲线y=f(x)按向量a=(



)平移后所得的曲线的函
数解析式为:
y-

=f(x-

)
(6)正、余弦定理
正弦定理:

abc
???2R.
< br>sinAsinBsinC
222
余弦定理:a=b+c-2
bc
co s
A

b=c+a-2cacos
B

222
222

c=a+b-2abcos
C
.


(7)三角形面积计算公式:
设△ABC的三边为a

b

c

其高分别为h
a

h
b

h
c

半周长
第 34 页 共 109 页


为P,外接圆、内切圆的半径为R

r.
①S
△< br>=12ah
a
=12bh
b
=12ch
c
②S

=Pr
③S

=abc4R
④S
=12sinC
·
ab=12ac
·
sinB=12cb·
sinA ⑤S

=
P
?
P?a
??< br>P?b
??
P?c
?
[
海伦公式
] ⑥S

=12(b+c-a)r
a
[
如下图
]=12( b+a-c)r
c
=12(a+c-b)r
b

[注]:到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内心,其
余3个是旁心.
A
A
A
如图:
A
c
B
D
E
r
a
r
a
I
r
a
a
b
c
b
O
B
F
E
F

c
D
B
F
b
I
a
E
C
C
N
C
C
a
B




1图
图4


图2

图3


图1中的I为S

ABC
的内心, S

=Pr

图2中的I为S

ABC
的一个旁心,S

=12(b+c -a)r
a



附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
第 35 页 共 109 页


外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点.
旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交
一点.
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆,若BC=a,AC=b,AB=c [注:s
b?c
为△ABC的半周长,即
a?
2
]
则:①AE=
s?a
=12(b+c-a)
②BN=
s?b
=12(a+c-b)
③FC=
s?c
=12(a+b-c)
综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减
去对边(如图4).
特例:已知在Rt△ABC

c为斜边,则内切圆半径r=
a?b?c
?
2
ab
a?b?c
(如图3).
⑹ 在△ABC中,有下列等式成立
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC
.
证明:因为
A?B?
?
?C,
所以
tan
?
A?B
?
?tan
?
?
?C
?
,所以
?
tanA?tanB
??tanC

1?tanAtanB
结论!
AC
2
BD?AB
2
BC
上任意一点,则
AD?? BD?DC
.
BC
2
⑺在△ABC中,D是BC
证明:在△ABC D中,由余弦定理,有
AD
2
?AB
2
?BD
2
? 2?AB?BDcosB?

在△ABC
化简
AC
2
B D?AB
2
BC
可得,
AD??BD?DC
(斯德瓦定理)
BC
2
AB
2
?BC
2
?AC
2
中,由 余弦定理有
cosB??
②,②代入①,
2AB?BC
A
图5
第 36 页 共 109 页

B
D
C


①若AD是BC上的中线,
m
a?
1
2
②若AD是∠A的平分线,
t
a
?
2b
2
?2c
2
?a
2

2
bc?p
?
p?a
?
,其中
p
为半周长;
b?c
③若A D是BC上的高,
h
a
?
2
p
?
p?a
? ?
p?b
??
p?c
?
,其中
p
为半周长.
a
⑻△ABC的判定:
c
2
?a
2
?b
2
?
△ABC为直角△
?
∠A + ∠B =
?

2
c
2

a
2
?b
2
?
△ABC
c
2

a
2
?b
2
?
△ABC< br>为钝角△
?
∠A + ∠B<
?

2
2
为锐角△
?
∠A + ∠B>
?

a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ab
附:证 明:,得在钝角△ABC中,
coCs?0?a
2
?b
2
?c
2
?0,?a
2
?b
2
?c
2

⑼平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方
和.
a?b
2< br>?a?b
2
?2(a
2
?b
2
)


空间向量
1.空间向量的概念:
具有大小和方向的量叫做向量
注:⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同
一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表

2.空间向量的运算
第 37 页 共 109 页


定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向
量运算如下
?
?
OB?OA?AB?a?b

?
?
BA?OA?OB?a?b

?
OP?
?
a(
?
?R)

?
??
?
运算律:⑴加法交换律:
a?b?b?a

?
?
??
?
?
⑵加法结合律:
(a?b)?c?a?(b ?c)

??
?b)?
?
a?
?
b
⑶数乘分配律:
?
(a
??
3共线向量
表示空间向量的有向线段所 在的直线互相平行或重合,则
?
?
?
?
这些向量叫做共线向量或平行 向量.
a
平行于
b
记作
ab

???
? ??
当我们说向量
a

b
共线(或
a

b< br>)时,表示
a

b
的有向
线段所在的直线可能是同一直线,也 可能是平行直线.
4.共线向量定理及其推论:
???
?
??
共 线向量定理:空间任意两个向量
a

b

b

0< br>),
a

b

?
?
λ,使
a
=λ
b
. 充要条件是存在实数
?
推论:如果
l
为经过已知 点A且平行于已知非零向量
a
的直
线,那么对于任意一点O,点P在直线
l< br>上的充要条件是存在
实数t满足等式
?
OP?OA?t
a

?
其中向量
a
叫做直线
l
的方向向量.
5.向量与平面平行:
已知平面
?
和向量
a
,作
OA?a
,如果直线
OA
平行于
?
或在
第 38 页 共 109 页


内,那么我们说向量
a
平行于平面
?
,记作:
a
?

通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量
说明:空间任意的两向量都是共面的
6.共面向量定理:
如果两个向量
a ,b
不共线,
p
与向量
a,b
共面的充要条件是
存在实数< br>x,y
使
p?xa?yb

推论:空间一点
P
位于平 面
MAB
内的充分必要条件是存在
AyM

B
对空间任一点
O
,有有序实数对
x,y
,使
MP?xM?
OP?OM?x M?AyM

①式叫做平面
MAB
的向量表达式
?
7.空间向量基本定理:
如果三个向量
a,b,c
不共面,那么 对空间任一向量
p
,存在
一个唯一的有序实数组
x,y,z
,使p?xa?yb?zc

推论:设
O,A,B,C
是不共面的四点,则对 空间任一点
P
,都
存在唯一的三个
有序实数
x,y,z
,使
OP?xOA?yOB?zOC

8空间向量的夹角及其表示:
已知两非零向量
a,b
,在空间任取一点O
,作
OA?a,OB?b


?AOB
叫做向量a

b
的夹角,记作
?a,b?
;且规定
0??a,b ??
?

显然有
?a,b???b,a?
;若
?a,b??
?
,则称
a

b
互相垂直,记作:
2
a? b
.
9.向量的模:

OA?a
,则有向线段
OA的长度叫做向量
a
的长度或模,记
作:
|a|
.
10.向量的数量积:
a?b?
|a|?|b|?cos?a,b?

第 39 页 共 109 页


已知向量
AB?a
和轴
l

e
是< br>l
上与
l
同方向的单位向量,作

A

l< br>上的射影
A
?
,作点
B

l
上的射影
B
?
,则
A
?
B
?
叫做向量
AB
在轴
l
上或在
e
上的正射影.
可以证明
A
?
B
?
的长度
|A
?
B
?
|?|AB|co s?a,e??|a?e|

11.空间向量数量积的性质:
(1)< br>a?e?|a|cos?a,e?
.(2)
a?b?a?b?0
.(3)
|a|
2
?a?a

12.空间向量数量积运算律:
(1)< br>(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
.(2)
a?b?b?a
(交换律)(3)
a?(b?c)?a?b?a?c
(分配律).
空间向量的坐标运算
一.知识回顾:
(1)空间向量的坐标:空 间直角坐标系的x轴是横轴(对应
为横坐标),y轴是纵轴(对应为纵轴),z轴是竖轴(对应为
竖坐标).
①令
a
=(a
1
,a
2
,a
3
),
b?(b,b
12
,b
3
)
,则

a
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
?
a?(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)(
?
?R)a?b?a
1
b
1
?a< br>2
b
2
?a
3
b
3
b?a
1
?
?
b
1
,a
2
?
?
b
2,a
3
?
?
b
3
(
?
?R)
?

a
1
a
2
a
3
??
b
1
b
2
b
3

a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0

a?a?a?a
1
2
?a
2
2
?a
3
a
2
?a?a?a?a?a
?
?
?
?
a?b
cos?a,b??
?
?
?
|a|?|b |
2
(用到常用的向量模与向量之间的转化:
)
a
1
b< br>1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
2
a
1
2
?a
2
2
?a
3
?b< br>1
22
?b
2
2
?b
3

. ②空 间两点的距离公式:
d?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1< br>)
2
(2)法向量:若向量
a
所在直线垂直于平面
?
,则称这个向量
第 40 页 共 109 页


垂直于平面
?
,记作
a?
?
,如果
a?
?
那么向量
a
叫做平面
?
的法
向量.
(3)用向量的常用方法:
①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设n是平面
?
的法
向量,AB是平面
?
的一条射线,其中
A?
?
,则点B到平面
?

距离为
|AB?n|
.
|n|
②利用法向量求二面角的平面角定理:设
n,n
分别是二面角
12
?
?l?
?
中平面
?
,
?
的法向量,则
n,n所成的角就是所求二面角的
12
1212
平面角或其补角大小(
n,n< br>方向相同,则为补角,
n,n
反方,
则为其夹角).
③证直线和平面 平行定理:已知直线
a??
平面
?

A?B?a,C?D?
?

且CDE三点不共线,则a∥
?
的充要条件是存在有序实数对
?
?
?
使
AB?
?
CD?
?
CE
. (常设
AB?
?
CD?
?
CE
求解
?
,< br>?

?
,
?
存在即证毕,若
?
,
?
不存在,则直线
B
AB与平面相交).
A
B
n
1
C
n

?
?
C
A

D
E
n
2
?
?

第 41 页 共 109 页


高中数学第六章-不等式
考试内容:
不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含
绝对值的不等式.
考试要求:
(1)理解不等式的性质及其证明.
(2)掌握两个(不扩展到三个) 正数的算术平均数不小于它
们的几何平均数的定理,并会简单的应用.
(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.
(4)掌握简单不等式的解法.
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
§06. 不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
(1) 不等(等)号的定义:
a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.

(2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.
(3) 同向不等式与异向不等式.
(4) 同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
(1)
a?b?b?a
(对称性)
(2)
a?b,b?c?a?c
(传递性)
(3)
a?b?a?c?b?c
(加法单调性)
(4)
a?b,c?d?a?c?b?d
(同向不等式相加)
第 42 页 共 109 页


(5)
a?b,c?d?a?c?b?d
(异向不等式相减)
(6)
a.?b,c?0?ac?bc

(7)
a?b,c?0?ac?bc
(乘法单调性)
(8)
a?b?0,c?d?0?ac?bd
(同向不等式相乘)
(9)a?b?0,0?c?d?
ab
?
cd
(异向不等式相除)
(10)a?b,ab?0?
11
?
ab
(倒数关系)
( 11)
a?b?0?a
n
?b
n
(n?Z,且n?1)
(平 方法则)
(12)
a?b?0?
n
a?
n
b(n?Z,且 n?1)
(开方法则)
3.几个重要不等式
(1)
若a?R,则|a|? 0,a
(2)
若a、b?R
?
2
?0

(当仅当a=b时取等号)
(当仅当a=b时取等号)
,则a
2
?b
2
?2ab(或a
2
?b
2
?2|ab|?2ab)< br>(3)如果a,b都是正数,那么
极值定理:若
x,y?R
?
ab?
a?b
.
2
,x?y?S,xy?P,
则:
1如果P是定值, 那么当x=y时,S的值最小;

2如果S是定值, 那么当x=y时,P的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c?R
?
,则
a?b?c
3
?abc
3
(当仅当a=b=c时取等号)

ba
(5)若ab?0,则??2
ab
(当仅当a=b时取等号)
|x|?a?x
2
?a
2
??a?x?a(6)a?0时,|x|?a?x< br>2
?a
2
?x??a或x?a;
(7)
若a、b?R,则|| a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

4.几个著名不等式
(1)平均不等式: 如果a,b都是正数,那么
第 43 页 共 109 页


2
11
?
ab
?ab?
a?b
?< br>2
a
2
?b
2
.
2
(当仅当a=b时取等号 )即:平方平均≥算
术平均≥几何平均≥调和平均(a

b为正数):
a? b
2
a
2
?b
2
特别地,
ab?()?
2 2
2
(当a = b
a?b
2
a
2
?b
2
时,
()??ab

22
a
2
?b
2< br>?c
2
?
a??b?c
?
?
??
(a,b, c?R,a?b?c时取等)

33
??
22
?...?a
n
?
?
幂平均不等式:
a
1
2
?a
21
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
2

n
注:例如:
(ac?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)
.
常用不等 式的放缩法:①
1
?
n
11
?
n?1n(n?1)
1
n
2
111
??(n?2)

n(n?1)n?1n


n?1?n?
1
n?n?11
2n
1
n?n?1
?n?n?1(n?1)

(2)柯西不等式:
若a,a,a,
?
,a
123
?R, b
1
,b
2
,b
3
?
,b
n
?R ;则
2222222
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?
?
?a
n
b
n
)
2
?(a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
n
)(b
1
2
?b
2
?b
3
?
?
b
n
)
aa
aa当且仅当
1
?
2
?
3
?
?
?
n
时取等号
b
1
b
2
b
3
b
n< br>n

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f (x),对于定义域中任意两点
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
),
f(

f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?.
22
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
))?或
22

则称f(x)为凸(或凹)函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、
构造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
第 44 页 共 109 页


步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f(x)
?0?f(x)g(x) ?0;
g(x)
?
f(x)g(x)?0

f(x)
?0?
?
g(x)
?
g(x)?0
2
(3)无理不等式:转化为有 理不等式求解


1


2
?f(x)? 0
?
??
?定义域
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0< br>?
?
f(x)?g(x)
?

3

?
f(x)?0
?
f(x)?0
f(x)?g(x)?
?
g (x)?0或
?
?
g(x)?0
2
?
?
?
f(x)?[g(x)]
?
f(x)?0
?

f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
2
?
?
f(x)?[g(x)]
( 4).指数不等式:转化为代数不等式
a
f(x)
?a
g(x)
( a?1)?f(x)?g(x);
a
f(x)
?b(a?0,b?0)?f(x)?l ga?lgb
a
f(x)
?a
g(x)
(0?a?1)?f(x)? g(x)

(5)对数不等式:转化为代数不等式
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)(a?1)?
?< br>g(x)?0;
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0?
log
a
f(x)?log
a
g(x)(0?a?1)??
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?

(6)含绝对值不等式
1应用分类讨论思想去绝对值;

2应用数形思

想;
3应用化归思想等价转化
g(x)?0
|f(x)|?g(x)?
?
?
?g(x)?f(x)?g (x)
?

g(x)?0
|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x) ,g(x)不同时为0)或
?
?
f(x)??g(x)或f(x)?g(x)
?
第 45 页 共 109 页



注:常用不等式的解法举例(x为正数):

x(1?x )
2
?
1
?2x(1?x)(1?x)?
1
(
2< br>)
3
?
223
22
4

27

2x
2
(1?x
2
)(1?x
2
)12
3
423

y?x(1?x)?y?

?()??y?
223 279
类似于
y?sinxcos
2
x?sinx(1?sin
2< br>x)
,③
|x?
1
|?|x|?|
1
|(x与
1
同号,故取等)?2

xxx
第 46 页 共 109 页


高中数学第七章-直线和圆的方程
§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与轴正方向所成的最
小正 角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与
x
轴平行或重合时,
其倾斜角为0,故直线倾斜 角的范围是
0
?
?
?
?180
?
(0?
?
?
?
)
.
注:①当
?
?90
?

x
2
?x
1
时,直线
l
垂直于
x
轴,它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与
x
轴垂直的直线不 存
在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜
率一定时,其倾斜角也对应确定 .
2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地,当直线经过两 点
(a,0),(0,b)
,即直线在
x
轴,
y
轴上的截< br>距分别为
a,b(a?0,b?0)
时,直线方程是:
x
?
y
?1
.
ab
注:若
y??
2
x?2
是一 直线的方程,则这条直线的方程是
y??
2
x?2

33
但 若
y??
2
x?2(x?0)
则不是这条线.
3
附:直线 系:对于直线的斜截式方程
y?kx?b
,当
k,b
均为确定的
数值 时,它表示一条确定的直线,如果
k,b
变化时,对应的直
线也会变化.①当
b
为定植,
k
变化时,它们表示过定点(0,
b

的直线束 .②当
k
为定值,
b
变化时,它们表示一组平行直线.
3. ⑴两条直线平行:
l
1

l
2
?k
1
? k
2
两条直线平行的条件是:①
l
1

l
2
是两条不重合的直
线. ②在
l
1

l
2
的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注
第 47 页 共 109 页


意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
(一般的结论是: 对于两条直线
l
1
,l
2
,它们在
y
轴上的纵截距 是
b
1
,b
2
,则
l
1

l2
?k
1
?k
2
,且
b
1
?b
2

l
1
,l
2
的斜率均不存在,即
A
1
B
2
?B
1
A
2
是平行的必要不充分条件,且< br>C
1
?C
2

推论:如果两条直线
l
1< br>,l
2
的倾斜角为
?
1
,
?
2
则< br>l
1

l
2
?
?
1
?
?< br>2
.
⑵两条直线垂直:
两条直线垂直 的条件:①设两条直线
l
1

l
2
的斜率分别为
k
1

k
2
,则有
l
1
?l
2?k
1
k
2
??1
这里的前提是
l
1
,l
2
的斜率都存在. ②
(即
l
1
?l
2
?k
1
?0
,且
l
2
的斜率不存在或
k
2
?0
,且
l
1
的斜率不存在.
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
是垂直的充要条件)
4. 直线的交角:
⑴直线
l
1

l
2
的角(方向角);直线
l
1

l
2
的角,是指直线
l
1
绕交
点依逆时针方向旋转到与
l
2
重合时所转动的角< br>?
,它的范围是
(0,
?
)
,当
?
?90< br>?

tan
?
?
k
2
?k
1
1?k
1
k
2
.
⑵两条相交直线
l
1

l
2
的夹角:两条相交直线
l
1

l
2
的夹角,是
指由
l
1

l
2
相交所成的四 个角中最小的正角
?
,又称为
l
1

l
2

k
2
?k
1
?
?
?
?
0,tan
?
?
成的角,它的取值范围是
?
,当,则有.
?
?90
?
2
?
1?kk
?
?
12
5. 过两直线
?
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
?
?
l
2
:A
2
x ?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程
A
1x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(
?
为参数,
A
2x?B
2
y?C
2
?0
不包括在内)
6. 点到直线的距离:
⑴点到直线的距离公式:设点
P(x
0
,y
0< br>)
,直线
l:Ax?By?C?0,P

l

第 48 页 共 109 页


距离为
d
,则有
d?
注:
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
.
1. 两点P
1
(x
1
,y
1
)、P
2< br>(x
2
,y
2
)的距离公式:
|P
1
P2
|?
特例:点P(x,y)到原点O的距离:
|OP|?
(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
.
x
2
?y
2
12

12
2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段
PP所成的比为
?
即PP?
?
PP
,
其中P
1
(x
1< br>,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
). 则
x?
x
1
?
?
x
2
y?
?
y
2
,y?
1
1?
?
1?
?

特例,中点坐标公式;重要结论,三角形重心坐标公
式。
3. 直线的倾斜角(0°≤
?
<180°)、斜率:
k?tan
?

4. 过两点
P
1
(x
1
,y
1
),P< br>2
(x
2
,y
2
)的直线的斜率公式:k?
y
2
?y
1
.
x
2
?x
1
(x
1
?x
2
)


x
1
?x
2,y
1
?y
2
(即直线和x轴垂直)时,直线的倾斜角
?

90?
,没有斜率

⑵两条平行线间的距离公式:设两条平行直线l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0(C
1
?C
2
)
d?
C
1
?C
2
A?B
22
,它们之间的距离为
d
,则有< br>.
注;直线系方程
1. 与直线:Ax+By+C= 0平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.( m
?R, C≠m).
2. 与直线:Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.( m
?R)
第 49 页 共 109 页


3. 过定点(x
1
,y
1
)的直线系方程是: A(x-x
1
)+B(y-y
1
)=0 (A,B
不全为0)
4. 过直线l
1
、l
2
交点的直线系方程:(A
1
x+B
1
y+C
1
)+λ
( A
2
x+B
2
y+C
2
)=0 (λ?R) 注:该直线系不含l
2
.

7. 关于点对称和关于某直线对称:
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线
的距离相等.
⑵关于某 直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称
直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称
直线为两直线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对
称直线上(方程①),过两对称点 的直线方程与对称直线方程
垂直(方程②)①②可解得所求对称点.
注:①曲线、直线关于一 直线(
y??x?b
)对称的解法:y换x,
x换y. 例:曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是
f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b –
y)=0.
二、圆的方程.
1. ⑴曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线
C
上的 与一
第 50 页 共 109 页


个二元方程
f(x,y)?0
的实数建立了如下关系:
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图
形).
⑵曲线和方程的关 系,实质上是曲线上任一点
M(x,y)
其坐标与
方程
f(x,y)?0的一种关系,曲线上任一点
(x,y)
是方程
f(x,y)?0

解;反过来,满足方程
f(x,y)?0
的解所对应的点是曲线上的点.
注:如果曲线C的方程是f(x ,y)=0,那么点P
0
(x
0
,y)线C上的充
要条件是f(x
0
,y
0
)=0
2. 圆的标准方程:以点
C(a,b)
为圆心,
r
为半径的圆的标 准方程

(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2.
特例:圆心在坐标原点,半径为
r
的圆的方程是:
x
2?y
2
?r
2
.
注:特殊圆的方程:①与轴相切的圆方程(x?a)
2
?(y?b)
2
?b
2

[r?b,圆心(a,b)或(a,?b)]

相切的圆方程
(x?a)2
?(y?b)
2
?a
2
②与
y



[r?a,圆心(a,b)或(?a,b)]
③与轴
y< br>轴都相切的圆方程
(x?a)
2
?(y?a)
2
?a
2

3. 圆的一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
[r?a,圆心(?a,?a)]

DE
?

D
2
?E
2
?
4
F?
0
时,方程表示一个圆,其中圆心
C
?
?
?,?
?
,半径
22
??
r?
D
2
?E
2
?4F
2
.
??
DE
?

D
2
?E
2
?4F?0
时,方 程表示一个点
?
?
?,?
?
.
22
第 51 页 共 109 页



D
2
?E
2
?
4
F?< br>0
时,方程无图形(称虚圆).
x?a?rcos
?
注:①圆的参数 方程:
?

?
为参数).
?
y?b?rsin
?
?
②方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey? F?0
表示圆的充要条件是:
B?0

A?C?0

D2
?E
2
?
4
AF?
0
.
③圆的直 径或方程:已知
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y< br>2
)?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1)(y?y
2
)?0
(用向量可征).
4. 点和圆的位置关系:给定 点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.

M
在圆< br>C

?(x
0
?a)
2
?(y
0
? b)
2
?r
2


M
在圆
C
上< br>?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2


M
在圆
C

?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
5. 直线和圆的位置关系:
设圆圆
C

(
x ?a
)
2
?
(
y?b
)
2
?r
2
(
r?
0)
; 直线
l

Ax?By?C?
0(
A
2
?B
2
?
0)

圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?

d?r< br>时,
l

C
相切;
22
?
?
x? y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
附:若两圆相切, 则
?
22
?
相减为公切线方程.
?
?
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
Aa?Bb?C
A?B
22
.

d?r
时,
l

C
相交;
附 :公共弦方程:设
C:x
2
?y
2
?Dx?E
22
C
1
:x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
2
y?F
2
?0
有两个交点,则其公共弦方程为
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
.

d?r
时,
l

C
相离.
22?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
附:若两圆相离,则
?
22
?
相减为圆心
O
1
O
2
的连线
?
?
x?y?D
2
x?E2
y?F
2
?0
第 52 页 共 109 页


的中与线方程.
?
?
(x?a)
2
?(y ?b)
2
?r
2
由代数特征判断:方程组
?
?
?
Ax?Bx?C?0
用代入法,得关于
x
(或
y
)的一元 二次方程,其判别式为
?
,则:
??0?l

C
相切;
??0?l

C
相交;
??0?l

C
相离.
x
2
?y
2?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
相减,注:若两 圆为同心圆则
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0

不表示直线.
6. 圆的切线方程:圆< br>x
2
?y
2
?r
2
的斜率为
k
的切 线方程是
y?kx?1?k
2
r
过圆
x
2
?y2
?Dx?Ey?F?0

上一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为:
x
0
x?y
0
y?D
x?
2
x
0
?E
y?
2
y
0
? F?0
.
①一般方程若点(x
0
,y
0
)在圆上,则(x – a)(x
0
– a)+(y – b)(y
0

b)=R
2
. 特别地,过圆
x
0
x?y
0
y?r
2
.
?
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
b?y
1
?k(a?x
1
)
②若点(x
0
,y
0
)不在圆上,圆心为(a,b)则
?
?
R?
?< br>R
2
?1
?
A
x
2
?y
2
?r
2
上一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方 程为
B
C
D
(a,b)
,联立求

k?
切 线方程.
7. 求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公
共弦方程. 如图:ABCD四类共圆. 已知
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
?O
的方程
…① 又以
…②
ABCD为圆为方程为
(x ?x
A
)(x?a)?(y?y
A
)(x?b)?k
2
第 53 页 共 109 页


(x
A
?a)
2
?(y
A
?b)< br>2
R?
4
2
…③,所以BC的方程即③代②,①②相切即为
所 求.

三、曲线和方程
1.曲线与方程:在直角坐标系中,如果曲线C和方程f( x,y)=0
的实数解建立了如下的关系:
1) 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解(纯粹性);
2) 方程f(x,y)=0的解为 坐标的点都在曲线C上(完备性)。
则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程,曲线C叫做方程f(x ,y)=0
的曲线。
2.求曲线方程的方法:.
1)直接法:建系设点,列式表标,简化检验; 2)参数法;
3)定义法, 4)待定系数法.
第 54 页 共 109 页


高中数学第八章-圆锥曲线方程
§08. 圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义:
PF< br>1
?PF
2
?2a
?
F
1
F
2方程为椭圆,
PF
1
?PF
2
?2a
?
F1
F
2
无轨迹,
PF
1
?PF
2
?2 a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:
i. 中心在原点,焦点在x轴上:
x
焦 点在
y
轴上:
y
a
2
2
2
2
a< br>?
y
2
b
2
?1(
a?b?
0)
. ii. 中心在原点,
?
x
2
b
2
2
?1(
a?b?
0)
.
.③椭圆的标准参数方程:
x2
2
②一般方程:
Ax
?
2
?By?
1(A?
0,
B?
0)
a
?
y
2
b
2
?
1
x?acos
?
?
的参数方程为
?
(一象限
?
应是属于
0?
?
?
).
?
2
y?bsin
?
⑵①顶点:
(?a,0)(0,?b)

(0,?a)(?b,0)
.②轴:对称轴:x轴,
y
轴;长
轴长
2 a
,短轴长
2b
.③焦点:
(?c,0)(c,0)

(0 ,?c)(0,c)
.④焦距:
F
1
F
2
a
2?2c,c?a?b
.⑤准线:
x??
c
22
a
2
y??
c
.⑥离心率:
e?
c
(0?e?1)
.
a
⑦焦点半径:
i. 设
P(x

由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii.设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆

由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知:
pF
归结起来为“左加右减”.
第 55 页 共 109 页

1
0
,y
0
)
为椭圆
x
2
a2
?
y
2
b
2
?1(
a?b?
0)< br>PF?a?ex,PF?a?ex?
上的一点,右焦点,
F
1
,F2
为左、
1020
x
2
b
2
?
y2
a
2
?1(
a?b?
0)
PF?a?ey,PF?a ?ey?
上的一点,
F
1
,F
2
为上、下焦点,
1 020
a
2
a
2
?e(x
0
?)?a?ex
0
(x
0
?
0),pF
2
?e(?
x
0
)?
ex
0
?
a
(
x
0
?
0)
cc


注意:椭圆参数方程的推导:得
N(acos
?< br>,bsin
?
)?
方程的轨迹为椭
圆.
⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:
d?
b
2

(c,)
< br>a
2b
2
a
2
b
2
(?c,)
a< br>⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆
x
2
y
2
c
22< br>e?(c?a?b)
,方程
2
?
2
?t(t
是大于< br>a
ab
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1(
a?b?
0)
的离心率是
0的参数,
a? b?0)
的离心率
也是
e?
c
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
a
⑸若P是椭圆:
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1
上的点.
F< br>1
,F
2
为焦点,若
?F
1
PF
2
?
?
,则
?2a
可得).
?PF
1
F
2
的面积为
b
2
tan
?
2
2
(用余弦定理 与
PF
1
?PF
2
?cot
若是
双曲线,则面积为
b
二、双曲线方程.
?
2
.

y
(< br>bcos
?
,
bsin
?
)
(
acos?
,
asin
?
)
N
x
1. 双曲线的第一定义:
PF
1
?PF
2
?2a
?
F
1
F
2
方程为双曲线
PF
1
?PF
2?2a
?
F
1
F
2
无轨迹
PF
1?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
, F
2
的一个端点的一条射线

x
2
a
2
y
2
b
2
y
2
a
2
x
2
b
2
N的轨迹是椭圆
⑴①双曲线标准方程:
Ax
2
?Cy2
?
1(
AC?
0)
.
??1(a,b
?< br>0),??1(
a
,
b?
0)
. 一般方程:
⑵①i. 焦点在x轴上:
顶点:
(a,0),(?a,0)
焦点:
(c,0),(?c,0)

x
2
y
2
x
y
??0

2
?
2
?0

ab
ab
a
2
准线方程
x??
c
渐近线方程:
ii. 焦点在
y
轴上:顶点:
(0,?a),(0,a)
. 焦点:
(0,c),(0,?c)
. 准线方程:
a
2
y??
c
.
x?asec
?< br>y
2
x
2
y
x
渐近线方程:
??0

2
?
2
?0
,参数方程:
?
?
abab
?
y?btan
?

第 56 页 共 109 页


?
x?btan
?
?
?
y?asec
?
.
②轴
x,y
为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离
心率
e?
c
a
2
.
22
2a
2
2b
2
④准线距(两准线的距离);通径
ca
. ⑤参数
x
2
a
2
?
y
2b
2
?1
关系
c?a?b,e?
c
a
. ⑥ 焦点半径公式:对于双曲线方程

F
1
,F
2
分别为双曲线 的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦
点)
“长加短减”原则:
MF
1
?ex
0
?a
MF
2
?ex
0
?a
构成满足
MF
1
?MF
2
?2a

M
?
F
1
??ex
0
?a
M
?
F
2
??ex
0
?a

(与椭圆焦半径不
y
同,椭圆 焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)

y
M'
M
F
1
M
x
x
MF
1
?ey
0
?a
M F
2
?ey
0
?a
M
?
F
1
?? ey
0
?a
?
M
?
F
2
??ey
0
?a
?

F
1
F
2
M'
F< br>2
⑶等轴双曲线:双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴双曲线,其渐近线方
程为
y??x
,离心率
e?2
.
⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双
x
2
y< br>2
x
2
y
2
曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.
2
?
2
?
?

2
?
2
??
?
互为
ab
ab
共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
⑸共渐近线的 双曲线系方程:
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
x
2
a
2
?
x
2
a2
?
y
2
b
2
x
2
a
2?
y
2
b
2
?0
.
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
如果双曲线的渐近线为
x
?
y
?0
时,它的双曲线方程可
ab
y
2
b
2?
?
(
?
?0)
设为.
4

y3
)
,求双曲线的方例如:若双曲线一条渐近线为
y?
1
x且过
p(3,?
1
1
2
2
x
2
程?
第 57 页 共 109 页

F
1
5
3
3
F
2


解:令双 曲线的方程为:
x
2
y
2
1
x
2
2
??1
.
?y?
?
(
?
?0)
,代入
(3,?)

82
4
2
⑹直线与双曲线的位置关系:
区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的
直线,合计3条;
区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;
区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近
线平行的直线,合计2条;
区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.
小结:过定点作直线与双曲线有且仅有 一个交点,可以作出的
直线数目可能有0、2、3、4条.
(2)若直线与双曲线一支有交点 ,交点为二个时,求确定直
线的斜率可用代入
“?”
法与渐近线求交和两根之和与两根 之积
同号.
⑺若P在双曲线
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1
,则常用结论1:P到焦点的距离为m
= n,则P到两准线的距离比为m︰n.
PF
1
d
1
简证:
d
?
2
e
PF
2
e
=
m
n
.
常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.
3. 设
p?0
,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
第 58 页 共 109 页



图形
y
2
?2px

y
2
??2px


x
2
?2py

x
2
??2py



y
y
▲< br>y
y
x
O
x
O
x
O
x
O< br>
焦点
准线
范围
对称轴
顶点
离心率
焦点
2

F(?
p
,0)
2

F(0,
p
)

2
F(0,?
p
)
2


p

2
x?R,y?0

y?
p
F(,0)

2
p

2
x?0,y?R

x??

p

2
x?0,y?R

x?
p

2
x?R,y?0

y??
x

y

(0,0)
e?1

PF?
p
?x
1
2

PF?
p
?x
1
2

PF?
p
?y
1
2

PF?
p
?y
1
2

4ac?b
2
b
注:①
ay?by?c?x
顶点
(?)
.
4a2a< br>②
y
2
?2px(p?0)
P
2
则焦点半径
PF?x?
P
2
;
x
2
?2py(p?0)
则焦点 半径为
PF?y?
.
③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
④< br>y
2
?2px
(或
x?2py
)的参数方程为
2?
x?2pt
2
?
?
y?2pt
(或
?
?
x?2pt
2
?
y?2pt
)(
t
为参
数).
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直 线
l
的距离之
比为常数
e
的点的轨迹.

0?e?1
时,轨迹为椭圆;
第 59 页 共 109 页



e?1
时,轨迹为抛物线;

e?1
时,轨迹为双曲线;

e?0
时,轨迹为圆(< br>e?
c
,当
c?0,a?b
时).
a
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的
一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合
即可.
注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

定义
椭圆
1.到两定点
F
1
,F
2
的距离之
和为定值
2a( 2a>|F
1
F
2
|)的
点的轨迹
双曲线
1. 到两定点
F
1
,F
2
的距离之
差的绝对值为
定值< br>2a(0<2a<|F
1
F
2
|)
的点的轨迹
2. 与定点和直2.与定点和直与定点和直线的
线的距离之比
为定值e的点的
线的距离之比
为定值e的点
距离相等的点的
轨迹.
抛物线

轨迹.(01)
图形



x
2
y
2
??1
(
a?b
>
a
2
b
2

x
2
y
2
??1
(a> 0,b
a
2
b
2

y
2
=2px
方 准
第 60 页 共 109 页






0) >0)





?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角)
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角)
?
x?2pt
2
?
y?2pt
?
(t为参
数)
范围 ─a?x?a,─b?y?b |x| ? a,y?R
中心 原点O(0,0) 原点O(0,0)
顶点
(a,0), (─a,0),
(0,b) , (0,─b)
对称轴 x轴,y轴;
长轴长2a,短轴
长2b
焦点
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
a
2
?b
2
x?0

(0,0) (a,0), (─a,0)
x轴,y轴;
实轴长2a, 虚
轴长2b.
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
2c
(c=
a
2
?b
2
x轴
p
F(,0)

2
焦距
2c (c=)


e=1
x??
p
2
离心率
准线
渐近线
焦半径
通径
e?
c
(0?e?1)

a
e?
c
(e?1)

a
a
2
x=
?
c

a
2
x=
?
c
a



r?a?ex

2b
2
a
y=±
b
x
r??(ex?a)


r?x?
p

2

2b
2
a


第 61 页 共 109 页


2p
焦参数
a
2
c

a
2
c


P
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性
质.
2. 等轴双曲线
3. 共轭双曲线
5. 方程y
2
=ax与x
2
=ay的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.

高中数学第九章-立体几何
§09. 立体几何 知识要点
一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.(①两个平面平行,②
两个平面相交)
3. 过三条互相 平行的直线可以确定1或3个平面.(①三条直
线在一个平面内平行,②三条直线不在一个平面内平行)
[注]:三条直线可以确定三个平面,三条直线的公共点有0或
1个.
第 62 页 共 109 页


4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.(X、Y、Z三个方向)
二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面
有反且有一个 公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线
—不同在任一平面内
[注]:①两条异面直线 在同一平面内射影一定是相交的两条直
线.(×)(可能两条直线平行,也可能是点和直线等)
②直线在平面外,指的位置关系:平行或相交
③若直线a

b异面,a平行 于平面
?
,b与
?
的关系是相交、
平行、在平面
?
内.
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平
行线或两点.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定
只有直线,也可以是其他图形)
⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×)(并非是
从平面外一点向这个平面所引的 垂线段和斜线段)
..

a,b
是夹在两平行平面间的线段,若
a ?b
,则
a,b
的位置关系为
相交或平行或异面.
2. 异面直线 判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和
平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平 面内
的两条直线)
3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
第 63 页 共 109 页


4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行
并且方向相同,那么这两个角相等(如下图).
(二
面角的取值范围
?
?
?
0,180
?

??
1
1
2
2

方向相同

方向不相同
(直
线与直线所成角
?
?
?
0,90
?

??
(斜
线与平面成角
?
?
?
0,90
?

??
(直
线与平面所成角
?
?
?
0,90
?

??
(向
量与向量所成角
?
?[0,180])

??
推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这
两组直线所成锐角(或直角) 相等.
5. 两异面直线的距离:公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直.
l
1
,l
2
是异面直线,则过
l
1
,l
2
外一点P,过点P且与< br>l
1
,l
2
都平行平面
12
有一个或没有,但与l
1
,l
2
距离相等的点在同一平面内. (
L
L
在这个做出的平面内不能叫
L

L
平行的平面)
12
三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平
第 64 页 共 109 页


面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平
行,线面平行” )
[注]:①直线
a
与平面
?
内一条直线平行,则
a
?
. (×)(平
面外一条直线)
②直线
a
与平面
?
内一条直线相交,则
a
与平面
?
相交. (×)
(平面外一条直线)
③若直线
a
与平面
?
平行,则
?
内必存在无数条直线与
a
平行.
(√)(不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之)
④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这
个平面. (×)(可能在此平面内)
⑤平行于同一直线的两个平面平行(.×)(两个平面可能相交)
⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或
者异面)
⑦直线l
与平面
?

?
所成角相等,则
?

?
.
(×)(
?

?
可能
相交)
3. 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,
经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平
行.(“线面平行,线线平行”)
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何 一条直线垂直,过一
P
点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平
O
a
A
面和一条直线垂直.
? 若
PA

?
a

AO
,得
a

PO
(三垂线定 理),
第 65 页 共 109 页


得不出
?

PO
. 因为
a

PO
,但
PO
不垂直OA.
? 三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的
两 条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面.(“线
线垂直,线面垂直”)
直线与平 面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于
一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
[注]:①垂直于同一平面的 两个平面平行.(×)(可能相交,
....
垂直于同一条直线的两个平面平行)
. ....
②垂直于同一直线的两个平面平行.(√)(一条直线垂直于平
行的一个平面,必垂直 于另一个平面)
③垂直于同一平面的两条直线平行.(√)
5. ⑴垂线段和斜线段长定理 :从平面外一点向这个平面所引
..
的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影 较
长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段
射影较长;③垂线段比任何一条 斜线段短.
[注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影
是一条直线.(×)]
⑵射影定理推论:如果一个角所在平面外一 点到角的两边的距
离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
四、 平面平行与平面垂直.
第 66 页 共 109 页


1. 空间两个平面的位置关系:相交、平行.
2. 平面平行判定定理:如 果一个平面内有两条相交直线都平
行于另一个平面,哪么这两个平面平行.(“线面平行,面面平
行”)
推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平
面的两个平面平行.
[注]:一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理:如果两个平 面平行同时和第三
个平面相交,那么它们交线平行.(“面面平行,线线平行”)
4. 两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二
面角,则两个平面垂直.
两个平面垂 直性质判定二:如果一个平面与一条直线垂直,那
么经过这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直 ,面面垂
直”)
注:如果两个二面角的平面对应平面互相垂直,则两个二面角
没有什么关系.
5. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个
P
平面内垂直于它们交线的直线也垂直 于另一个平面.
B
θ
?
?
M
A
O
推论: 如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直
于第三平面.
证明:如图,找O作OA、OB分别垂直于
l,l

12
因为PM?
?
,OA?
?
,PM?
?
,OB?
?< br>则
PM?OA,PM?OB
.
第 67 页 共 109 页


6. 两异面直线任意两点间的距离公式:
l?m
2
?n2
?d
2
?2mncos
?

?
?
?
为锐角取加,
?
为钝取减,综上,都取加则必有
?
?
??
0,
?

2
??
7. ⑴最小角定理:
cos
?
?cos
?
1
θ

cos
?
2

?
1
为最小角,如图)
图1
θ
1
θ
2
图2
⑵最小角定理的应用(∠PBN为最小角)
简记为:成角比交线夹角一半大,且又比交线夹角补角一半长,
一定有4条.
成角比交线夹角一半大,又比交线夹角补角小,一定有2条.
成角比交线夹角一半大,又与交线夹角相等,一定有3条或者
2条.
成角比交线夹角一半小,又与交线夹角一半小,一定有1条或
者没有.
五、 棱锥、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱侧面积:
S?Ch

C< br>为底面周长,
h
是高)该公式是
利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积:
S?C
1
l

C
1
是斜棱柱 直截面周长,
l
是斜棱柱
的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得
出的.
⑵{四棱柱}
?
{平行六面体}
?
{直平行六面体 }
?
{长方体}
?
{正四
棱柱}
?
{正方体}.
{直四棱柱}
?
{平行六面体}={直平行六面体}.
四棱柱
底面 是侧棱垂直底面是
平行六面体直平行六面体
底面矩形
平行四边形
长方体
底面是
正方形
正四棱柱
侧面与
正方体
底面边长相等

第 68 页 共 109 页


⑶棱柱具有的性质:
①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等; 直棱
柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
............ .
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的
全等多边形.
..
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注:①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.
(×)
(直棱柱不能保证底面是钜形可如图)
②(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直.
⑷平行六面体:
定理一:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平
... ..........
分.
[注]:四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱
长的平方和.
推论一: 长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为
?
,
?
,
?,则
cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?1
.
推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角

?
,
?
,
?
,则
cos
2?
?cos
2
?
?cos
2
?
?2
.
[注]:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面体
的两个平行的平面可以为矩形 )
第 69 页 共 109 页


②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(应是各侧面
都是正方形的直 棱柱才行)

③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×)(只
能推出 对角线相等,推不出底面为矩形)
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱
与底面的两条边垂直. (两条边可能相交,可能不相交,若两
条边相交,则应是充要条件)
2. 棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶
点的三角形.
[注]:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥; 所以
V
棱柱
?Sh?3V
棱柱
.
⑴①正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面
的中心.
[注]:i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等
边三角形)
ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底
棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等
腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形.
②正棱锥的侧面积:
S?
1
Ch
'
(底面周长为
C
,斜高为
h
'

2
第 70 页 共 109 页


③棱锥的侧面积与底面积的射影公式:
S

?
cos
?
(侧面与底面
成的二面角为
?

?
为二面角
a?l?b
. 附:
a

c
以知
c

l

cos< br>?
?a?b

l
b
S


co
?
?sa?b

?
①②③得
S

?
S
1
?
1
a?l
2
①,
S2
?
1
l?b
2
②,
S

cos?
.
注:S为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).
⑵棱锥具有的性质:
①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰
三 角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直 角三角
形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角
三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置:
①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形
的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影
为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影
为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为
底面多边形内心.
第 71 页 共 109 页


⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂
心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角
形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球,球心0是各条棱的中垂面的交点,
此点到各顶点的距离等于球半径;
⑧每个四面体都有内切球,球心
I
是四面体各个二面角的平分
面的交点,到各 面的距离等于半径.
[注]:i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是
A< br>b
a
正四棱锥.(×)(各个侧面的等腰三角形不知是否全等)
c
BC
ii. 若一个三角锥,两条对角线互相垂直,则第三对角线必然
D
垂直.
简证:AB⊥CD,AC⊥BD
?
BC⊥AD. 令
AB?a,AD?c,AC?b


BC?AC?AB?b?a,AD?c ?BC?AD?bc?ac
,已知
a?
?
c?b
?
?0,b ?
?
a?c
?
?0

A
E
D
F< br>?ac?bc?0

BC?AD?0
.
O'
H
B
G
C
iii. 空间四边形OABC且四边长相等,则顺次连结各边的中点
的四边形一定是矩形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的
四边是一定是正方形.
简证:取AC 中点
O'
,则
oo
?
?AC,BO
?
?AC?AC ?
平面
90°易知EFGH为平行四边形
?
OO
?
B?AC ?BO??FG?H
形.若对角线等,则
EF?FG?EFGH
为正方形.
第 72 页 共 109 页

EFGH为长方


3. 球:⑴球的截面是一个圆面.
①球的表面积公式:
S?4
?
R
2
.
②球的体积公式:
V?
4
?
R
3
.
3
O
r
⑵纬度、经度:
①纬度:地球上一点
P
的 纬度是指经过
P
点的球半径与赤道面
所成的角的度数.
②经度:地球上A,B
两点的经度差,是指分别经过这两点的经
线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度 数,特别地,当经
过点
A
的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是
B< br>点的
经度.
附:①圆柱体积:
V?
?
r
2
h

r
为半径,
h
为高)
②圆锥体积:
V?1
?
r
2
h

r
为半径,
h
为高)
3
③锥形体积:
V?
1
Sh

S
为底面积,
h
为高)
O

R
3


4. ①内切球:当四面体为正四面体时,设边长为a,
h?
S

?
3
2
3
2
a

S

?a

44
3
2
63
2
13
2
2426
a?a?a?R??a?R?R?a3?a?3?a
.
434344344
6
a

3

11
注:球内切于四面体:
V
B?AC D
?
3
?S

?R?3?
3
S

?R?S

?h

②外接球:球外接于正四面体,可如图建立关系式.
六. 空间向量.
1. (1)共线向量:共线向量亦称平行向量,指空间向量的有
第 73 页 共 109 页


向线段所在直线互相平行或重合.
注:①若
a

b
共线,
b

c
共线,则
a

c
共 线.(×) [当
b?0
时,不成立]
②向量
a,b,c
共面即它们所在直线共面.(×) [可能异面]
③若< br>a

b
,则存在小任一实数
?
,使
a?
?< br>b
.(×)[与
b?0
不成
立]
④若
a
为 非零向量,则
0?a?0
.(√)[这里用到
?
b(b?0)
之积仍 为
向量]
(2)共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b?0)

a

b
的充
要条件是存在实数
?
(具有唯一性),使
a??
b
.
(3)共面向量:若向量
a
使之平行于平面
?

a

?
内,则
a

?
的关系是 平行,记作
a

?
.
(4)①共面向量定理:如果两个向量
a,b
不共线,则向量
P

向量
a,b
共面的充要条件是 存在实数对x、y使
P?xa?yb
.
②空间任


.< br>点

O






.< br>线





A


.< br>B



C

,则
OP?xOA?yOB? zOC(x?y?z?1)
是PABC四点共面的充要条件.(简证:
P

A

B

C四点共面)
OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC ?AP?yAB?zAC?
注:①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理: 如果三个向量,那么对空间
....
a,b,c
不共面
...
任一向 量
P
,存在一个唯一的有序实数组x

y

z,使
p?xa?yb?zc
.
推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P, 都
A
存在唯一的有序实数组x

y

z使
第 74 页 共 109 页

OP?xOA?yOB?zOC
B
M
C
G
(这里隐含
D


x+y+z≠1).
注:设四面体ABCD的三条棱,
AB?b,AC?c,AD?d,

中Q 是△BCD的重心,则向量
AQ?
1
(a?b?c)

AQ?AM? MQ
即证.
3
3. (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的x轴是横轴(对应为横坐标),y轴是纵轴(对应为纵轴),z轴是竖轴(对应
为竖坐标).
①令
a
=(a
1
,a
2
,a
3
),
b?(b ,b
12
,b
3
)
,则

a
a? b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a3
?b
3
)
?
a?(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)(
?
?R)a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
? a
3
b
3
b?a
1
?
?
b
1,a
2
?
?
b
2
,a
3
?
?
b
3
(
?
?R)
?

a
1
a
2
a
3
??
b
1
b
2
b3

a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0

a? a?a?a
1
2
?a
2
2
?a
3
a
2
?a?a?a?a?a
?
?
?
?
a?b
cos ?a,b??
?
?
?
|a|?|b|
2
(用到常用的向量模 与向量之间的转化:
)
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
2
a
1
2
?a
2
2
?a
3
?b
1
22
?b
2
2
?b
3

. ②空间两点的距离公式:
d?(x2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
(2)法向量 :若向量
a
所在直线垂直于平面
?
,则称这个向量
垂直于平面
?
,记作
a?
?
,如果
a?
?
那么向量
a
叫做平面
?
的法
向量.
(3)用向量的常用方法:
①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设n是平面
?
的法
向量,AB是平面
?
的一条射线,其中
A?
?
,则点B到平面
?

距离为
|AB?n|
.
|n|
②利用法向量求二面角的平面角定理:设n,n
分别是二面角
12
第 75 页 共 109 页


?
?l?
?
中平面
?
,
?
的法向量,则
n,n
所成的角就是所求二面角的
12
1212
平面角 或其补角大小(
n,n
方向相同,则为补角,
n,n
反方,
则为其夹 角).
③证直线和平面平行定理:已知直线
a??
平面
?

A?B?a,C?D?
?

且CDE三点不共线,则a∥
?
的充要 条件是存在有序实数对
?
?
?
使
AB?
?
CD?< br>?
CE
.(常设
AB?
?
CD?
?
CE求解
?
,
?

?
,
?
存在即证毕,若
?
,
?
不存在,则直线
B
AB与平面相交).
A
B
n
1
C
n

?
C
A

D
E
?
n
2
?
?

一、知识提纲
(一)空间的直线与平面
⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它
们的用途. ⑵斜二测画法.
⒉空间两条直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线.
⑴公理四(平行线的传递性).等角定理.
⑵异面直线的判定:判定定理、反证法.
⑶异面直线所成的角:定义(求法)、范围.
⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平
面平行的判定与性质.
⒋直线和平面垂直
⑴直线和平面垂直:定义、判定定理.
⑵三垂线定理及逆定理.
第 76 页 共 109 页


5.平面和平面平行
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质.
6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理.
(二)直线与平面的平行和垂直的证明思路(见附图)
(三)夹角与距离
7.直线和平面所成的角与二面角
⑴平面的斜线和平面所成的角:三面角余弦公式、最小角定
理、斜线和平
面所成的角、直线和平面所成的角.
⑵二面角:①定义、范围、二面角的平面角、直二面角.
②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理.
8.距离
⑴点到平面的距离.
⑵直线到与它平行平面的距离.
⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线、公垂线段.
⑷异面直线的距离:异面直线的公垂线及其性质、公垂线段.
(四)简单多面体与球
9.棱柱与棱锥
⑴多面体.
⑵棱柱与它的性质:棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质.
⑶平行六面体与长方体:平行六面体、直平行六面体、长方
第 77 页 共 109 页


体、正四棱柱、
正方体;平行六面体的性质、长方体的性质.
⑷棱锥与它的性质:棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的
性质.
⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法.
10.球
⑴球和它的性质:球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离.
⑵球的体积公式和表面积公式.
二、常用结论、方法和公式
1.从一点O出发的三条射线O A、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,
则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上;
2. 已知:直二面角M-AB-N中,AE
?
M,BF
?
N ,∠EAB=
?
1
,
∠ABF=
?
2
,异面直线A E与BF所成的角为
?
,则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
;

3.立平斜公式:如图,AB和平面所成的 角是
?
1
,AC在平
面内,BC和AB的射影BA
1
?
2
,设∠ABC=
?
3
,则
cos
?
1
cos
?
2
=cos
?
3

4.异面直线所成角的求法:
(1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,
作另一条的平行线;
(2 )补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如
正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易 发现两
第 78 页 共 109 页

?
B
D
A
A
1
C


条异面直 线间的关系;
5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三 条
边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。
通常通过斜线上某个特殊点作出平 面的垂线段,垂足和斜
足的连线,是产生线面角的关键;
6.二面角的求法
(1) 定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分
别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义 法时,
要认真观察图形的特性;
(2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的< br>垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;
(3)垂面法:已知二面角内一点到两个面 的垂线时,过两
垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由
此可知,二面角的平面 角所在的平面与棱垂直;
(4)射影法:利用面积射影公式S

=S
cos
?
,其中
?
为平
面角的大小,此法不必在图形中画出平面 角;
特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平
面,使之相交出现棱,然后再选 用上述方法(尤其要考虑
射影法)。
7.空间距离的求法
(1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以
第 79 页 共 109 页


一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算;
(2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求
解;
(3)求点到平面的 距离,一是用垂面法,借助面面垂直的
性质来作,因此,确定已知面的垂面是关键;二是不作出
公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解;
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等, 记为
?
,则S

cos
?
=S

9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角
分别为
?
,
?
,
?
,
因此有cos
2
?
+cos
2< br>?
+cos
2
?
=1; 若长方体的体对角
线与过同一顶点的 三侧面所成的角分别为
?
,
?
,
?
,
则有
cos
2
?
+cos
2
?
+cos
2
?< br>=2;
10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长;
11.欧拉公式: 如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数
为E.那么V+F-E=2;并且棱数E=各顶点连着的 棱数和的
一半=各面边数和的一半;
12.柱体的体积公式:柱体(棱柱、圆柱)的体积公式 是V
柱体
=Sh.其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.
13.直棱柱的侧面积和全面积
S
直棱柱侧
= c
?
(c表示底面周长,
?
表示侧棱长) S
棱柱

=S

+S


3
14.棱锥的体积:V
棱锥
=
1
Sh
,其中S是棱锥的底面积,h 是棱锥
第 80 页 共 109 页


的高。
15.球的体积公式V=
4
?
R
3
,表面积公式
S?4
?
R
2
;掌握球面上
3
两点A、B间的距离求法:(1)计算线段AB的长,(2)计
算球心角∠AOB的弧度数;(3)用 弧长公式计算劣弧AB的
长;

高中数学第十章-排列组合二项定理
考试内容:
分类计数原理与分步计数原理.
排列.排列数公式.
组合.组合数公式.组合数的两个性质.
二项式定理.二项展开式的性质.
考试要求:
(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和
解决一些简单的应用问题.
(2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决
一些简单的应用问题.
(3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,
并能用它们解决一些简单的应用问题.
(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算
和证明一些简单的问题.
§10. 排列组合二项定理 知识要点
第 81 页 共 109 页


一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重复元素的排列.
.......
从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重 复出现,
按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取
元素的方法都是m个,所 以从m个不同元素中,每次取出n
个元素可重复排列数m·m·… m = m
n
.. 例如:n件物品放入m
个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:
m
n
种)
二、排列.
1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺
.....
序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排

列.
⑵相同排列.
如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,
而且排列的顺序也必须完全相同.
⑶排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个
不同元 素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出
m个元素的一个排列数,用符号
A
n
m
表示.
⑷排列数公式:
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?
n !
(m?n,n,m?N)

(n?m)!
第 82 页 共 109 页


注意:
n?n!?(n?1)!?n!
规定0! = 1
mmmm?1mm?1

A
n?1
?A
n
?Am
?C
n
?A
n
?mA
n

mm?1
A
n
?nA
n?1
规定
C
0n
n
?C
n
?1

2. 含有可重元素的排列问题.
......
对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k 个不同元
素a
1
,a
2
,…...a
n
其中限重复 数为n
1
、n
2
……n
k
,且n = n
1
+n
2
+……n
k
,
则S的排列个数等于
n?
n!
.
n
1
!n
2
!...n
k
!
< br>1!2!
例如:已知数字3、2、2,求其排列个数
n?
(1?2)!
?3
又例如:数
字5、5、5、求其排列个数?其排列个数
n?
3!
?1
.
3!
三、组合.
1. ⑴组合:从n个不同的元素中任取m( m≤n)个元素并成一组,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
A
m< br>n(n?1)
?
(n?m?1)
n!
n
⑵组合数公式:
C?
m

?C
m
?
n
m!m!(n?m)!A
m
m
n
m?1mm
n?m
⑶两个公式:①
C
m
n
?C
n
;

C
n
?C
n
?C
n?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因
此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的,
因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n- m个元素的
唯一的一个组合.
(或者从n+1个编号不同的小球中,n个白球一个红球,任取
m个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有
m
1m?1
C
m?
n
?C
1
1
?C
n
一类是不含红球的选法有
C
n

②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m
第 83 页 共 109 页


个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如
果取这一元素,则 需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,
所以有C
m?
n
1
,如果 不取这一元素,则需从剩余n个元素中取出
m个元素,所以共有C
n
种,依分类原理有
C
⑷排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关
系,后者无顺序关系.
⑸①几个常用组合数公式
012n
C
n
?C
n
? C
n
???
n
?2

n
024135
C< br>n
?C
n
?C
n
?
?
?C
n
?C
n
?C
n
?
?
?2
n?1
mmmm ?1
C
m
?C?C
?
C?C
nm?1m?2m?nm?n? 1
k?1
kC
k
?nC
nn?1
m
m?1mm?C?C
nnn?1
.

11
k?1
C
k
?C
nn?1
k?1n?1
②常用的证明组合等式方法例.
123n1
n?111
??
)i. 裂项求和法. 如:
2
(利用

???
?
?1?
n!(n?1)! n!
!3!4!(n?1)!(n?1)!
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法(即用
C
m
n
1m
C
3
?C
4
?C
5
??C
n
?C
n ?1
.
?C
m?
n
?C
n?1
递推)如:
33334
02122n
)?(C
n
)???(C
n
vi . 构造二项式. 如:
(C
nn
)?C
2n

证明:这 里构造二项式
(x?1)
n
(1?x)
n
?(1?x)
2n
其中
x
n
的系数,左边为
n
01n?12n?2n00212n2
?C
2n

Cn
?C
n
n
?C
n
?C
n
?C
n
?C
n
?
?
?C
n
?C
n
? (C
n
)?(C
n
)?
?
?(C
n
),而右边
四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型:
第 84 页 共 109 页


①直接法. ②排除法.
③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元 素当作一个元
素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要
用于解决“元素相 邻问题”,例如,一般地,n个不同元素排成
?m?1m
一列,要求其中某
m(m?n )
个元素必相邻的排列有
A
n
n?m?1
?A
m
个 .其中
?m?1m
A
n
n?m?1
是一个“整体排列”,而
A
m
则是“局部排列”.
又例如①有n个不同座位,A、B两个不能相邻,则有排列 法
种数为
A
2
n
2
.
?
A
n?
1
1
?A
2

n? 1
n?1
②有n件不同商品,若其中A、B排在一起有
A?A
2
2< br>.
2
n
n?1
n?1
③有n件不同商品,若其中有二件要排 在一起有
A?A
.
注:①③区别在于①是确定的座位,有
A
种;而 ③的商品地位
2
2
相同,是从n件不同商品任取的2个,有不确定性.
④插 空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们
之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相 邻问题”.
例如:n个元素全排列,其中m个元素互不相邻,不同的排法
种数为多少?
A
有意义.
⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先
排列,然 后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题
中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置. 即采用“先
特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:
第 85 页 共 109 页

n?m
n?m
m
(插空法),当
?A
n?m?1
n – m+1≥m, 即m≤
n?1

2


m
先将n个元 素进行全排列有
A
n
n
种,
m(m?n)
个元素的全排列有
A
m
种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种
排法,可以利 用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一
列,其中m个元素次序一定,共有
A
n
n
A
m
m
种排列方法.
例如:n个元素全排列,其中m个元素顺序不变,共有多少种
不同的排法?
解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n! m!;解法二:
m
( 比例分配法)
A
n
n
A
m
.
⑦平均法:若把kn 个不同元素平均分成k组,每组n个,共

nn
C
kn
?C
(k?1)
n
n
?C
n
A
k
k
.
例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几
C
2
种分法?有4
?
(平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题
3
2!
了)又 例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手
必在一组的概率是多少?

P?
C
C
8
18
10
20
2
C
2
2!

注意:分组与插空综合. 例如:n个元素全排列,其中某m个
?m mm
元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有
A
n
n?m
?A
n?m?1
A
m

当n – m+1 ≥m, 即m≤
n?1
时有意义.
2
⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. < br>例如:
x?x
12
?x
3
?x
4
?12的正整数解的组数就可建立组合模型将12
个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中 任选
第 86 页 共 109 页

x
1
x
2
x
3
x
4


三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数
目依次为
x,x
12< br>,x
3
,x
4
显然
x
1
?x
2?x
3
?x
4
?12
,故(
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)是方程的一
12
组解. 反之,方程的任何一组解
(y,y,y
3
,y
4
)
,对应着 惟一的一种在
12个球之间插入隔板的方式(如图
所示)故方程的解和插板的方法一一对应.
即方程的解的组数等于插隔板的方法数
C
.
3
11
注意: 若为非负数解的x个数,即用
a,a,...a

a
等于
x?1,有
12n
i
i
进而转化为求
x
1
?x
2
?x
3
...?x
n
?A?a
1
?1?a2
?1?...a
n
?1?A

n?1
个数为
C
A?n
.
a的正整数解的
⑨定位问题:从n个不同元素中每次取出k个 不同元素作排列
规定某r个元素都包含在内,并且都排在某r个指定位置则有
?r
A< br>r
r
A
k
n?r
.
例如:从n个不同元素中,每次 取出m个元素的排列,其中
某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种
排法?
固定在某一位置上:
?1
A
m
n?1
;不在某一位置上:< br>m?1
A
m
n
?A
n?1

m1m?1A
n?1
?A
m?1
?A
n?1
(一类是不取出特殊元 素
m
a,有
A
n?1
,一类是取特殊
元素a,有从m-1个 位置取一个位置,然后再从n-1个元素中
取m-1,这与用插空法解决是一样的)
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组
合),规定某r个元素都包含在内 。先C后A策略,排列
C
第 87 页 共 109 页

r
r
k?rk
C
n?r
A
k

< p>
组合
C
r
r
?r
C
k
n?r
.
ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),
规定某r个元素都不 包含在内。先C后A策略,排列
C

C
.
k
n?r
k
n?r
A
k

k

iii 从n个不同元素中 每次取出k个不同元素作排列(或组合),
规定每个排列(或组合)都只包含某r个元素中的s个元素。
sk?s
sk?sk
C
CCA
先C后A策略,排列
rn?r k
;组合
r
C
n?r
.
II. 排列组合常见解题策略:
①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排
列、组 合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题
一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转 化策略;⑤
相邻问题插空处理策略;
⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略; ⑧分
排问题直排处理的策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部
的策略;⑩构造模型的策略 .
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号 的m组,假
定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为
AA
r
r
(其中A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K组均匀
分组应再除以
A
.
k
k
例:10人分成三组,各组元素个数为2、4、4,其分法种数为
2 44
C
10
C
8
C
4
A
2
2?1575
.若分成六组,各组人数分别为1、1、2、2、2、
第 88 页 共 109 页


24
2,其分法种数为
C
10
1
C
9
1
C
8
2
C
6
2
C
4
2
C
2
2
A
2
?A
4

②非均匀编号分组: n个不同元素分组,各组元素数目均不相
等,且考虑各组间的顺序,其分 法种数为
A?A

m
m
例:10人分成三组,各组人数分别为2、3 、5,去参加不同的
233
劳动,其安排方法为:
C
10
?C
8
?C
5
5
?A
3
种.
若从10人中选9人分 成三组,人数分别为2、3、4,参加不
3
同的劳动,则安排方法有
C
10< br>2
C
8
3
C
4
5
?A
3

③均匀编号分组:n个不同元素分成m组,其中r组元素个数
相同且考虑各组间的顺序,其分法 种数为
AA
r
r
?A
m
m
.
例:10人 分成三组,人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动,
244
C
10
C8
C
4
3
?A
3
分法种数为
A
2
2

④非均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编 号的m组,
每组元素数目均不相同,且不考虑各组间顺序,不管是否分尽,
其分法种数为
A?C
n
1
m
m
k
2
C
m
n- m
1

C
n-(m
1
?m
2
?...?m
k-1
)

例:10人分成三组,每组人数分别为2、3、5,其分法种数为
235
C
10
C
8
C
5
?2520
若从10人中选出6人分成三组,各组人数分别为1、
1
10
23
C
9
C
7
?12600
2、3,其分法种数为
C
五、二项式 定理.
.
1. ⑴二项式定理:
(a?b)
n
?C
n< br>0
a
n
b
0
?C
n
1
a
n ?1
b?
?
?C
n
r
a
n?r
b
r
?
?
?C
n
n
a
0
b
n
.
展开式具有以下特点:


项数:共有
n?1
项;
012r
,C
n
,Cn
,?,C
n
,?,C
n
系数:依次为组合数
C
nn
;

第 89 页 共 109 页


③ 每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幕
排列,b的升幕排列展开.
⑵二项展开式的通项.
(a?b)
n
展开式中的第
r?1
项为:
T
r?1
?C
n
a
rn?rr
b(0?r? n,r?Z)
.
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数
相等;
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
.....
I. 当n是偶数时,中间项是第
n
它的二项式系数
C
2
n
最大;
?1
项,
2
n
II. 当n是奇数时,中间项为两项,即第
n?1
项和第
n?1
?1
项,它
22
们的二项式系数
C
③系数和:
01n
C
n
?C
n
?
?
?C
n
n
?2
n?1n?1
2
?C
2nn
最大.
02413
C
n
?C
n
?Cn
?
?
?C
n
?C
n
?
?
? 2
n?1

附:一般来说
(ax?by)
n
(a, b
为常数)在求系数最大的项或最小的项
...........
时均可直接根据性质 二求解. 当
a?1或b?1
时,一般采用解不等
A
k
?A
k?1
,
?
A
k
?A
k?1

?
(A
k
为T
k?1
的系数或系数的绝对值)的办法来式组
?
?
A?AA?A
?
kk?1
?
kk?1
求解.
⑷ 如何来求
(a?b?c)
n
展开式中含
a
p
b
q< br>c
r
的系数呢?其中
p,q,r?N,

p?q?r?n
(a?b?c)
n
?[(a?b)?c]
n
视为二项式,先找 出含有
C
r
的项
r
qn?r?qqqpq
C
n(a?b)
n?r
C
r
,另一方面在
(a?b)
n?r
中含有
b
q
的项为
C
n?r
ab?C
n? r
ab

故在
(a?b?c)
n
中含
a
p
b
q
c
r
的项为
rqpqr
C
n
C
n?r
abc
.其系数为
第 90 页 共 109 页


r
C
n
C
n?
q
r
?(n?r)!
n!n!
pqr
???C
n
C
n?pC
r
.
r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!
2. 近似计算的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用近似公式
2233nn< br>(1?a)
n
?1?na
,因为这时展开式的后面部分
C
n< br>a?C
n
a???C
n
a
很小,
可以忽略不计。类似 地,有
(1?a)
n
?1?na
但使用这两个公式时应注
意a的条件 ,以及对计算精确度的要求.
高中数学第十一章-概率
§11. 概率 知识要点

1. 概率:随机事件A的概率是频率的稳定值,反之,频率是
概率的近似值.
2. 等可能事件的 概率:如果一次试验中可能出现的结果有年n
个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事 件
的概率都是
1
,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事
n
件A 的概率
P(A)?
m
.
n
3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果
事件A、B互斥,那么事件A+B发生(即 A、B中有一个发生)
的概率,等于事件A、B分别发生的概率和,即
P(A+B)=P(A) +P(B),推广:
P(A?A???A
12n
)?P(A
1
)?P (A
2
)???P(A
n
)
.
②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.
.............. .
例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”
互斥
互为互斥事 件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保证
第 91 页 共 109 页

对立


其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到
黑 色牌“互为对立事件,因为其中一个必发生.
注意:i.对立事件的概率和等于1:
P(A)?P(A)?P(A?A)?1
.
ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件:事件A( 或B)是否发生对事件B(或A)发生的
概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个
相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的
积,即P(A·B)=P(A)·P (B). 由此,当两个事件同时发生的概率P
(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称 这两
个事件为独立事件.例如:从一副扑克牌(52张)中任抽一张
设A:“抽到老K”;B: “抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看
上去A与B有关系很有可能不是独立事件,但
P( A)?
412611
?,P(B)??,P(A)?P(B)?
521352226< br>.又事件AB表示“既抽到老K对抽
21
?
5226
到红牌”即“抽到 红桃老K或方块老K”有
P(A?B)?
P(A)?P(B)?P(A?B)
,因此有
.
12
推广:若事件
A,A,?,A
n
相互独立,则P(A
1
?
A
2
?
A
n
)
?
P(A
1
)
?
P(A
2
)
?
P( A
n
)
.
注意:i. 一般地,如果事件A与B相互独立,那么A 与
B,A

B,
A

B
也都相互独立.
ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲, 而互斥事件是对同一实
验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件
相互之间必 然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.
第 92 页 共 109 页


④独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都
不依赖于其他各次 试验的结果,则称这n次试验是独立的. 如
果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重 复
试验中这个事件恰好发生k次的概率:
P
n
kn?k
(k)?C< br>k
n
P(1?P)
.
4. 对任何两个事件都有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B)

第十二章- 概率与统计
考试内容:
抽样方法.总体分布的估计.
总体期望值和方差的估计.
考试要求:
(1)了解随机抽样了解分层抽样的意义,会用它们对简单
实际问题进行抽样.
(2)会用样本频率分布估计总体分布.
(3)会用样本估计总体期望值和方差.
§12. 概率与统计 知识要点
一、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件:
①试验可以在相同的情形下重复进行;②试 验的所有可能结果
是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些
结果中的一个, 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现
哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按
一定次序一一列出,这样的随机 变量叫做离散型随机变量.若ξ
第 93 页 共 109 页


是一个随机变量,a,b是常数.则
?
?a
?
?b< br>也是一个随机变量.一
般地,若ξ是随机变量,
f(x)
是连续函数或单调函数 ,则
f(
?
)

是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随 机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为:
x,x
1
1ii
2< br>,?,x
i
,?

ξ取每一个值
x
(
i?< br>1,2,
?
)
的概率
P(
?
?x)?p
,则 表称为随机变量ξ的
概率分布,简称ξ的分布列.
?

x

x


p

p

P …
12
12
x
i

p
i



有性质①
p?0,i?1,2,?
; ②
p?p
112
???p
i
???1
.
注意:若 随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫
做连续型随机变量.例如:
?
?[ 0,5]

?
可以取0~5之间的一切数,
包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那
么在n次独立重复试验中这个 事件恰好发生k次的概率是:
kn?k
P(ξ?k)?C
k
[其中
k ?0,1,?,n,q?1?p
]
n
pq

于是得到随机变量ξ 的概率分布如下:我们称这样的随机变量
ξ服从二项分布,记作
?
~B(n·p),其 中n,p为参数,并记
kn?k
C
k
?b(k;n?p)
n
pq
.
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键 是看某一事件
是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不
满足此两条件,随机 变量就不服从二项分布.
第 94 页 共 109 页


②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说
又比较小,而每次抽 取时又只有两种试验结果,此时可以把它
看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.
4. 几何分布:“
?
?k
”表示在第k次独立重复试验时,事件第一
次发生,如果 把k次试验时事件A发生记为
A
,事A不发生
k
记为
A
k< br>,P(A
k
)?q
,那么
P(ξ?k)?P(A
1
A
2
?A
k?1
A
k
)
.根据相互独立事件的概12
率乘法分式:
P(ξ?k)?P(A)P(A
变量ξ的概率分布列.
?

1 2
P q qp
k?1
)?P(A
k?1
)P(A
k
)
?
qp(k
?
1,2,3,
?
)
于是得到随机
3
qp
2



k?1
k
q
k?1
p



我们称ξ服从几何分布,并记
g(k,p)?qp
,其中
q?1 ?p.k?1,2,3?

5. ⑴超几何分布:一批产品共有N件,其中有M(M<N)件< br>次品,今抽取
n(1?n?N)
件,则其中的次品数ξ是一离散型随机
变量,分 布列为
P(ξ?k)?
kk
C
M
?C
N
n
?
?
M
n
C
N
?(0?k?M,0?n?k?N?M).〔分子是从M
件次品中取k件,从N-M件正品中取n-k件的取法数,如果规

m

r

C
r
m
?0
,则k的范围可以 写为k=0,1,…,n.〕
⑵超几何分布的另一种形式:一批产品由 a件次品、b件正品
组成,今抽取n件(1≤n≤a+b),则次品数ξ的分布列为
P(ξ?k)?
n?k
C
k
a
?C
b
C
a?
n
b
k?
0,1,
?
,n.
.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成,不放回抽取n件时,
第 95 页 共 109 页


其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取,则其中次品数
?
的分布 列可如下求得:把
a?b
个产品编号,则抽取n次共有
(a?b)
个可能结果 ,等可能:
P(η?k)?
kn?k
C
k
n
ab
n
(η?k)

kn?k
C
k
n
ab
个结果 ,故
a
)
.[我们先为
a?b
(a?b)
n
?C< br>k
n
(
a
k
a
n?k
)(1?),k
?
0,1,2,
?
,n
a?ba?b
k
n
,即< br>?

B(n?
k
个次品选定位置,共
C
种选法;然后 每个次品位置有a种选法,
每个正品位置有b种选法] 可以证明:当产品总数很大而抽取
个数 不多时,
P(ξ?k)?P(η?k)
,因此二项分布可作为超几何分布的
近似,无放 回抽样可近似看作放回抽样.
二、数学期望与方差.
1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
?

x

x

x

… …
p

p

p

P … …
12i
12i
则称
E
?
?xp?x
112
p
2
???x
n
p
n< br>??
为ξ的数学期望或平均数、均值.数学
期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机 变量取值的平均
水平.
2. ⑴随机变量
?
?a
?
?b< br>的数学期望:
E
?
?E(a
?
?b)?aE
?
?b

①当
a?0
时,
E(b)?b
,即常数的数学期 望就是这个常数本身.
②当
a?1
时,
E(
?
?b)?E
?
?b
,即随机变量ξ与常数之和的期望等于
ξ的期望与这个常数的和. < br>③当
b?0
时,
E(a
?
)?aE
?
,即常 数与随机变量乘积的期望等于这个
常数与随机变量期望的乘积.
ξ
第 96 页 共 109 页

0 1


⑵单点分布:
E
?
?c?1?c
其 分布列为:
P
P(
?
?1)?c
q p
.
⑶两点分布:
E
?
?0?q?1?p?p
,其分布列为:(p + q = 1)
!
⑷二项分布:
E
?
?
?
k?k!(n
n
?
p
k)!
k
?q
n?k
?np
其分布列为
?

B(n,p)
.(P为
发生
?
的概率)
⑸几何分布:
E
?
?
1
其分布列为
?

q(k,p)
.(P为发生
?
的概率) < br>p
3.方差、标准差的定义:当已知随机变量ξ的分布列为
P(
?
?x
k
)?p
k
(k?1,2,?)
时,则称
D
??(x?E
?
)p?(x?E
?
)p???(x?E
?
)p??
为ξ的方差.
222
1122nn
显然
D
??0
,故
??
?D
?
.
??
为ξ的根方差或标 准差.随机变量ξ的
方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动,集中与
离散的程度.
D
?
越小,稳定性越高,波动越小.
..............
4.方差的性质.
⑴随机变量
?
? a
?
?b
的方差
D(
?
)?D(a
?
?b )?aD
?
.(a、b均为常数)
2
⑵单点分布:
D
?
?0
其分布列为
ξ
P(
?
?1)?p

P
⑶两点分布:
D
?
?pq
其分布列为:
(p + q = 1)
⑷二项分布:
D
?
?npq

⑸几何分布:
D
?
?
q
p
2
0
q
1
p

5. 期望与方差的关系.
⑴如果
E
?

E
?
都存在,则
E(
?
?
?
)?E
?
?E
?

⑵设ξ和
?
是互相独立的两个随机变量,则
第 97 页 共 109 页


E(
??
)?E
?
?E
?
,D(< br>?
?
?
)?D
?
?D
?

⑶期望与 方差的转化:(因为
E
?

)
D
?
?E
?
?(E
?
)

E(
?
?E
?)?E(
?
)?E(E
?
22
一常数)
?E
?
?E
?
?0
.
三、正态分布.(基本不列入考试范围)
1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量ξ,位于x轴上
方,ξ落在任一区间
[a,b)
内的概率等于它与x轴.直线
x?a
与直线
x?b
所围成的曲边梯形 的面积

y
y=f(x)
(如图阴影部分)的曲线叫ξ的密度曲线,以其作为
x
a
(??,??
b
)
” 图像的函数
f(x)< br>叫做ξ的密度函数,由于“
x?
是必然事件,故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴正态分布与正态曲线:如果随机变量ξ的概率密度为:
f(x)?
1
2
??
e
?
(x?
?
)
2
2
?< br>2
. (
x?R,
?
,
?
为常数,且
??0
),称ξ服从参数为
?
,
?
22
的正态分布,用< br>?

N(
?
,
?
)
表示.
f(x)
的表达式可简记为
N(
?
,
?
)

它的密 度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差:若
?

N(
?
,
?
)
,则ξ的期望与方差分
2
别为:
E
?
?
?
,D
?
?
?
.
2
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线
x?
?
对称.
③当
x?
?
时曲线处于最高点,当x向左、向右远离时,曲线不
断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线 .
④当
x

?
时,曲线上升;当
x

?
时,曲线下降,并且当曲线
第 98 页 共 109 页


向左、向右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向x轴无限的
靠近.
⑤当
?
一定时,曲线的形状由
?
确定,
?
越大,曲线越“矮 胖”.
表示总体的分布越分散;
?
越小,曲线越“瘦高”,表示总体的
分布越 集中.
3. ⑴标准正态分布:如果随机变量ξ的概率函数为
?
(
x
)?
1
2
?
e
?
x
2
2
(??
?x?
??)
,则称ξ服从标准正态分布. 即
?

N(0 ,1)

?
(x)?P(
?
?x)

?
( x)?1?
?
(?x)
求出,而P(a<
ξ
≤b)的计算则是
P(a?
?
?b)?
?
(b)?
?
(a)
. < br>注意:当标准正态分布的
?(x)
的X取0时,有
?(x)?0.5

?(x)
的X
取大于0的数时,有
?(x)?0.5
.比如
?(
小于0,如图.
a
0.5?
?
?
)?0.079 3?0.5

0.5?
?

y
?
必然
S< br>x
⑵正态分布与标准正态分布间的关系:若
?

N(
?
,
?
)

标准正态分布曲线
ξ的分布
2
S

=0.5
Sa=0.5+S
函数通
常用
F(x)
表示 ,且有
P(ξ?x)?F(x)?
?
(
x
?
μ
)< br>.
σ

4.⑴“3
?
”原则.
假设检验是就正 态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三
步:①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布N(
?
,
?
)
.
2
②确定一次试验中的取值< br>a
是否落入范围
(
?
?3
?
,
?
? 3
?
)
.③做出判
断:如果
a?(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
,接受统计假设. 如果
a?(< br>?
?3
?
,
?
?3
?
)
,由
于这是小概率事件,就拒绝统计假设.
第 99 页 共 109 页


⑵“3
?
”原则的应用:若随机变量ξ服从正态分布
N(?
,
?
)
则 ξ落
2

(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
内的概率为99.7% 亦即 落在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)< br>之外的概
率为0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此
种产品不合格( 即ξ不服从正态分布).





高中数学第十三章-极 限
考试内容:
教学归纳法.数学归纳法应用.
数列的极限.
函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.
考试要求:
(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单
的数学命题.
(2)了解数列极限和函数极限的概念.
(3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.
(4)了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值
和最小值的性质.
高中数学第十四章 导 数
第 100 页 共 109

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