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高一数学集合知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 15:53
tags:高中数学集合

高中数学教材电子书-高中数学函数应用问题


高一数学集合知识点集
1.1集合
1.1.1集合的含义与表示

一、集合的含义
集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做 集
合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物
的总体.
关键词:确定的、总体
【特征】
确定性、无序性、互异性、
【表示方法】
列举法、描述法、图示法.
二、元素与集合关系得判断 < br>【知识点的认识】一般地,我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体称
为集合,简称集. 元素一般用小写字母a,b,c表示,集合一般用大写字母 A,
B,C表示,两者之间的关系是属于与不属于关系,符号表示如:a∈A或a?A.
【命 题方向】元素与集合之间的关系命题方向有二,一是验证元素是否是集合的
元素;二是知元素是集合的元 素,根据集合的属性求出相关的参数.
【解题方法点拨】如题型一:已知A是偶数集,试判断a=2b 2+4b,b∈N是否是
集合的元素?

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方法点拨:因为偶数都可以写成整数2倍的形式,故解 决本题的方法就是看元素
a能否变成数的2倍的形式.
三、集合的确定性、互异性、无序性
知识点的认识】集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征.
(1)确定性:集合中的 元素是确定的,即任何一个对象都说明它是或者不是某
个集合的元素,两种情况必居其一且仅居其一,不 会模棱两可,例如“著名科学
家”,“与2接近的数”等都不能组成一个集合.
(2)互异性 :一个给定的集合中,元素互不相同,就是在同一集合中不能出现
相同的元素.例如不能写成{1,1, 2},应写成{1,2}.
(3)无序性:集合中的元素,不分先后,没有如何顺序.例如{1,2, 3}与{3,
2,1}是相同的集合,也是相等的两个集合.
【解题方法点拨】解答判断型题 目,注意元素必须满足三个特性;一般利用分类
讨论逐一研究,转化为函数与方程的思想,解答问题,结 果需要回代验证,元素
不许重复.
【命题方向】本部分内容属于了解性内容,但是近几年高考 中基本考查选择题或
填空题,试题多以集合相等,含参数的集合的讨论为主.
四、集合的分类
【知识点的认识】集合的分类主要依集合中元素个数的多少来划分,有限集和无
限集两种. < br>有限集元素个数是确定的,元素个数有限个,可以利用列举法或描述法表示;无
限集元素个数是无 限的,只能利用描述法表示.
【解题方法点拨】从集合的元素个数直接判断.
【命题方向】 这一考点,是了解内容,会考多以选择题判断为主,高考多与集合
之间的关系联合命题.
五、集合的表示法
【知识点的认识】
1.列举法:常用于表示有限集合,把集合中 的所有元素一一列举出来,写在大
括号内,这种表示集合的方法叫做列举法.{1,2,3,?},注意 元素之间用逗
号分开.

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2.描述法:常用于表示无限集合,把集合中元素的公 共属性用文字,符号或式
子等描述出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做描述法.即:{x|P }(x
为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的
正实数组成 的集合表示为:{x|0<x<π}
3.图示法(Venn图):为了形象表示集合,我们常常 画一条封闭的曲线(或者
说圆圈),用它的内部表示一个集合.
4.自然语言(不常用).
【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上,(例如方程的解,不等式的解法等
等),初步利用 数形结合思想解答问题,例如数轴的应用,Venn图的应用,通过
转化思想解答.注意解题过程中注意 元素的属性的不同,例如:{x|2x-1>0}表
示实数x的范围;{(x,y)|y-2x=0}表 示方程的解或点的坐标.
【命题方向】本考点是考试命题常考内容,多在选择题,填空题值出现,可以 与
集合的基本关系,不等式,简易逻辑,立体几何,线性规划,概率等知识相结合.
1.1.2集合间的基本关系
一、子集与真子集
【知识点的认识】子集定义:一般 地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意
一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含 关系,称集合A为集
合B的子集(subset).
记作:A?B(或B?A).
而真子集是对于子集来说的.
真子集定义:如果集合A?B,但存在元素x∈B,且元素x 不属于集合A,我们
称集合A是集合B的真子集.
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集,
若 B 中有一个元素,而A 中没有,且A 是 B 的子集,则称 A 是 B 的真子集,
注 ①空集是所有集合的子集
②所有集合都是其本身的子集
③空集是任何非空集合的真子集
例如:所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集.
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集.

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{1,3}?{1,2,3,4}
{1,2,3,4}?{1,2,3,4}
真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素,有可能与另一个集合相
等;
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在相等;
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”,如{1,2},{a,b,g};
另外, {1,2}的子集有:空集,{1},{2},{1,2}.真子集有:空集,{1},{2}.一
般来 说,真子集是在所有子集中去掉空集和它本身,所以对于含有n个(n不等
于0)元素的集合而言,它的 子集就有2n个;真子集就有2n-2.但空集属特殊
情况,它只有一个子集,没有真子集.
【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别,不可混为一谈,A?B,并且A?B
时,有A=B,但是A ?B,并且B?A,是不能同时成立的;子集个数的求法,空
集与自身是不可忽视的.
【命题 方向】本考点要求理解,高考会考中多以选择题、填空题为主,曾经考查
子集个数问题,常常与集合的运 算,概率,函数的基本性质结合命题.
二、集合的包含关系及其应用
【知识点的认识】如果 集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A
叫做集合B的子集;A?B; 如果集合A是集 合B的子集,并且B中至少有一个
元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,即A?B;
如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都
是集合A的元素,那么 我们就说集合A等于集合B,即A=B.
【解题方法点拨】1.按照子集包含元素个数从少到多排列.
2.注意观察两个集合的公共元素,以及各自的特殊元素.
3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.
4.有时借助数轴,平面直角坐标系,韦恩图等数形结合等方法.
【命题方向】通常命题的方 式是小题,直接求解或判断两个或两个以上的集合的
关系,可以与函数的定义域,三角函数的解集,子集 的个数,简易逻辑等知识相
结合命题.

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三、集合的相等
【知识点的认识】
(1)若集合A与集合B的元素相同,则称集合A等于集合B.
(2)对集合A和集合B,如 果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时
集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A 等于集合B,记作A=B.就
是如果A?B,同时B?A,那么就说这两个集合相等,记作 A=B.
(3)对于两个有限数集A=B,则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同,由此
可推出如 下性质:①两个集合的元素个数相等;②两个集合的元素之和相等;③
两个集合的元素之积相等. 由此知,以上叙述实质是一致的,只是表达方式不
同而已.上述概念是判断或证明两个集合相等的依据.
【解题方法点拨】集合A 与集合B相等,是指A 的每一个元素都在B 中,而且
B中的每一 个元素都在A中.解题时往往只解答一个问题,忽视另一个问题;解
题后注意集合满足元素的互异性.
【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合;利用相等集合求出变量的
值;与集合的运 算相联系,也可能与函数的定义域、值域联系命题,多以小题选
择题与填空题的形式出现,有时出现在大 题的一小问.
四、集合中元素个数的最值
【知识点的认识】
【命题方向】 【解题方法点拨】求集合中元素个数的最大(小)值问题的方法通常有:类分法、
构造法、反证法、 一般问题特殊化、特殊问题一般化等.需要注意的是,有时一
道题需要综合运用几种方法才能解决.
五、空集的定义、性质及运算
【知识点的认识】空集的定义:不含任何元素的集合称为空集. 记作?.空集的
性质:空集是一切集合的子集.
空集不是没有;它是内部没有元素的集合,而集合是存在的.这通常是初学者的
一个难理解点.
将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助;
袋子可能是空的,但袋子本身确实是存在的.

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例如:{x|x2+1=0,x∈R}=?.虽然有x 的表达式,但方程中根本就没有这样的实
数x使得方程成立,所以方程的解集是空集.
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
【解题方法点拨】解答与空集有关的问题 ,例如集合A∩B=B?B?A,实际上包
含3种情况:①B=?;②B?A且B≠?;
③B =A;往往遗漏B是?的情形,所以老师们在讲解这一部分内容或题目时,总是
说“空集优先的原则”, 就是首先
考虑空集.
【命题方向】一般情况下,多与集合的基本运算联合命题,是学生容易 疏忽、出
错的地方,考查分析问题解决问题的细心程度,
难度不大,可以在选择题、填空题、简答题中出现.
1.1.3集合的基本运算
一、并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集,记作A
∪B.
符号语言:A∪B={x|x∈A或x∈B}.
图形语言:.
A∪B实际理解为:①x仅是A中元素;②x仅是B中的元素;③x是A且是B中
的元素.
运算形状:
①A∪B=B∪A.②A∪?=A.③A∪A=A.④A∪B?A,A∪B?B. ⑤A∪B=B?A?B.⑥
A∪B=?,两个集合都是空集.⑦A∪(CUA)=U.⑧CU(A∪B) =(CUA)∩(CUB).
【解题方法点拨】解答并集问题,需要注意并集中:“或”与“所有”的 理解.不
能把“或”与“且”混用;注意并集中元素的互异性.不能重复.
【命题方向】掌握并集的表示法,会求两个集合的并集,命题通常以选择题、填

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空题为主,也可以与函数的定义域,值域联合命题.
二、交集及其运算
【知识点的 认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素的所有元素组成的集合
叫做A与B的交集,记作A∩B.
符号语言:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
图形语言:.
A∩B实际理解为:x是A且是B中的相同的所有元素.
当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交
集.
运算形状:
①A∩B=B∩A.②A∩?=?.③A∩A=A.④A∩B?A,A∩B?B. ⑤A∩B=A?A?B.⑥
A∩B=?,两个集合没有相同元素.⑦A∩(CUA)=?.⑧CU(A∩ B)=(CUA)∪(CUB).
【解题方法点拨】解答交集问题,需要注意交集中:“且”与“所有 ”的理解.不
能把“或”与“且”混用;求交集的方法是:①有限集找相同;②无限集用数轴、
韦恩图.
【命题方向】掌握交集的表示法,会求两个集合的交集.
命题通常以选择题、填空 题为主,也可以与函数的定义域,值域,函数的单调性、
复合函数的单调性等联合命题.
三、补集及其运算
【知识点的认识】一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所 有元
素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.(通常把给定的集合作为全集).
对于一个 集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相
对于全集U的补集,简称为集合A 的补集,记作CUA,即CUA={x|x∈U,且x?A}.其
图形表示如图所示的Venn图..
【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答,补集常用于对立事件,否
命题,反证法.

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【命题方向】通常情 况下以小题出现,高考中直接求解补集的选择题,有时出现
在简易逻辑中,也可以与函数的定义域、值域 ,不等式的解集相结合命题,也可
以在恒成立中出现.
四、全集及其运算
【知识点 的认识】一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元
素,那么就称这个集合为全集,通 常记作U.(通常把给定的集合作为全集).全
集是相对概念,元素个数可以是有限的,也可以是无限的 .例如{1,2};R;Q
等等.
【解题方法点拨】注意审题,可以借助数轴韦恩图解答.
【命题方向】本考点属于理解,常出现的类型有直接求出全集,利用全集求解子
集的个数,集合 在参数的范围等问题,难度属于容易题.
五、交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】集合交换律 A∩B=B∩A,A∪B=B∪A.
集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C).
集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A
∪C).
集合的摩根律 Cu(A∩B)=CuA∪CuB,Cu(A∪B)=CuA∩CuB.
集合吸收律 A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A.
集合求补律 A∪CuA=U,A∩CuA=Φ.
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算 性质,借助数
轴或韦恩图直接解答.
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算,每年高 考一般都是单独命题,
一道选择题或填空题,属于基础题.
六、Venn图表达集合的关系及运算
【知识点的认识】用平面上一条封闭曲线的内部来代表 集合,这个图形就叫做
Venn图(韦恩图).集合中图形语言具有直观形象的特点,将集合问题图形化 ,
利用Venn图的直观性,可以深刻理解集合的有关概念、运算公式,而且有助于
显示集合间 的关系.
运算公式:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)的推广形式:

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card(A∪B∪ C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)
-card(A∩C)+card(A∩B∩C),
或利用Venn图解决.公式不易记住,用Venn图来解决比较简洁、直观、明了.
【解题 方法点拨】在解题时,弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关
系,结合题目应很好地使用Ve nn图表达集合的关系及运算,利用直观图示帮助
我们理解抽象概念.Venn图解题,就必须能正确理 解题目中的集合之间的运算
及关系并用图形准确表示出来.
【命题方向】一般情况涉及Ven n图的交集、并集、补集的简单运算,也可以与
信息迁移,应用性开放问题.也可以联系实际命题.

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